Analysis 2 - Cheatsheet.pdf

Analysis 2 - Cheatsheet

Definition und grundlegende Eigenschaften von Grenzwerten Definition: Mathematisches Konzept zur Beschreibung des Verhaltens von Funktionen oder Folgen an einem Punkt oder im Unendlichen. Details: Definition Grenzwert (Folge):

a_{n} \to a

, wenn für alle

ϵ > 0

ein

N

existiert, sodass für alle

n > N

gilt:

| a_{n} - a | < ϵ

. Definition Grenzwert (Funktion...

Definition und grundlegende Eigenschaften von Grenzwerten

Definition:

Mathematisches Konzept zur Beschreibung des Verhaltens von Funktionen oder Folgen an einem Punkt oder im Unendlichen.

Details:

Definition Grenzwert (Folge): $a_{n} \to a$ , wenn für alle $ϵ > 0$ ein $N$ existiert, sodass für alle $n > N$ gilt: $| a_{n} - a | < ϵ$ .
Definition Grenzwert (Funktion): $f (x) \to L$ , wenn für alle $ϵ > 0$ ein $δ > 0$ existiert, sodass für alle $0 < | x - c | < δ$ gilt: $| f (x) - L | < ϵ$ .
Eigenschaften:

Eindeutigkeit
Beschränktheit
Rechenregeln: Additivität, Homogenität, Produktregel, Quotientenregel unter gewissen Bedingungen

L'Hôpital'sche Regel zur Berechnung unbestimmter Grenzwerte

Definition:

Verwendung zur Berechnung von unbestimmten Grenzwerten der Form $\frac{0}{0}$ oder $\frac{\infty}{\infty}$ .

Details:

Anwendbar, wenn $lim_{x \to c} f (x) = 0 oder \infty$ und $lim_{x \to c} g (x) = 0 oder \infty$ .
Wende die Regel an: $lim_{x \to c} \frac{f (x)}{g (x)} = lim_{x \to c} \frac{f^{'} (x)}{g^{'} (x)}$ , falls der Grenzwert existiert.
Ggf. mehrfach anwenden, falls erneut unbestimmte Form auftritt.

Konvergenz- und Divergenzkriterien von Reihen

Definition:

Kriterien zur Bestimmung, ob eine unendliche Reihe konvergiert oder divergiert.

Details:

Divergenzkriterium: Wenn $a_{n}$ nicht gegen 0 konvergiert, divergiert die Reihe $\sum a_{n}$ .
Majorantenkriterium (Vergleichskriterium): Ist $0 \leq a_{n} \leq b_{n}$ und $\sum b_{n}$ konvergiert, dann konvergiert auch $\sum a_{n}$ .
Minorantenkriterium: Ist $0 \leq b_{n} \leq a_{n}$ und $\sum b_{n}$ divergiert, dann divergiert auch $\sum a_{n}$ .
Quotientenkriterium: Setze $L = lim_{n \to \infty} | \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} |$ . Konvergiert für $L < 1$ , divergiert für $L > 1$ .
Wurzelkriterium: Setze $L = lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{| a_{n} |}$ . Konvergiert für $L < 1$ , divergiert für $L > 1$ .
Leibnizkriterium: Eine alternierende Reihe $\sum (- 1)^{n} a_{n}$ konvergiert, wenn $a_{n}$ monoton fallend ist und $a_{n} \to 0$ .
Integralkriterium: Ist $a_{n} = f (n)$ für eine positiv monoton fallende Funktion $f$ und das Integral $\int_{1}^{\infty} f (x) d x$ konvergiert, dann konvergiert auch $\sum a_{n}$ .

Taylor- und Maclaurin-Reihen

Definition:

Taylor- und Maclaurin-Reihen sind Darstellungen einer Funktion als unendliche Summe ihrer Ableitungen in einem Punkt.

Details:

Taylor-Reihe einer Funktion f(x) um den Punkt a: $f (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{f^{(n)} (a)}{n!} (x - a)^{n}$
Maclaurin-Reihe ist ein Spezialfall der Taylor-Reihe mit a = 0: $f (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{f^{(n)} (0)}{n!} x^{n}$
Konvergenzradius: Bestimmt den Bereich, in dem die Reihe die Funktion korrekt darstellt.
Resteglied (Fehlerabschätzung): $R_{n} (x) = \frac{f^{(n + 1)} (ξ)}{(n + 1)!} (x - a)^{n + 1}, ξ \in [a, x]$

Fundamentalsatz der Analysis

Definition:

Der Fundamentalsatz der Analysis verbindet Differenzialrechnung und Integralrechnung. Er besagt, dass das Integrieren einer Funktion und das Differenzieren ihres bestimmten Integrals entgegengesetzte Operationen sind.

Details:

Sei f eine stetige Funktion auf einem Intervall [a, b].
(1. Teil): Wenn F eine Stammfunktion von f ist, dann gilt: $\int_{a}^{b} f (x) d x = F (b) - F (a)$ .
(2. Teil): Wenn G(x) = \int_a^x f(t) \,dt, dann ist G'(x) = f(x).
Zusammenhang zwischen Integral und Ableitung: Das Integral der Ableitung einer Funktion über einem Intervall ergibt die Differenz der Funktionswerte an den Intervallgrenzen.

Integrationstechniken, wie partielle Integration und Substitution

Definition:

Integrationstechniken, mit Fokus auf partieller Integration und Substitution.

Details:

Partielle Integration (Produktregel rückwärts): $\int u d v = u v - \int v d u$
Substitution: Ersetze die Variable durch eine Funktion $\int f (g (x)) g^{'} (x) d x = \int f (u) d u$
Anwendungsbeispiel Partielle Integration: Für $\int x e^{x} d x$ , wähle $u = x$ und $d v = e^{x} d x$ .
Anwendungsbeispiel Substitution: Für $\int 2 x e^{x^{2}} d x$ , setze $u = x^{2}$ und somit $d u = 2 x d x$ .

Lösungsmethoden für Differentialgleichungen erster und zweiter Ordnung

Definition:

Lösungstechniken für DGL 1. und 2. Ordnung wichtig für Analyse 2; grundlegende Verfahren helfen, analytische Lösungen zu finden.

Details:

Homogene und inhomogene Differentialgleichungen (DGL)
Trennung der Variablen: $\frac{d y}{d x} = g (y) h (x)$
Lineare DGL erster Ordnung: $\frac{d y}{d x} + p (x) y = q (x)$
Charakteristische Gleichungen bei linearen DGL 2. Ordnung: $a y^{″} + b y^{'} + c y = 0$
Variation der Konstanten
Ansatz mit Potenzreihen
Laplace-Transformation zur Lösung von Anfangswertproblemen

Stetigkeit und Differenzierbarkeit von Funktionen

Definition:

Analyse von Funktionen hinsichtlich ihrer Stetigkeit und Differenzierbarkeit.

Details:

Eine Funktion f ist stetig bei a, wenn $lim_{x \to a} f (x) = f (a) .$
Differenzierbarkeit einer Funktion im Punkt a bedeutet Existenz des Grenzwertes $f^{'} (a) = lim_{h \to 0} \frac{f (a + h) - f (a)}{h} .$
Differenzierbarkeit impliziert Stetigkeit.
Für höhere Ableitungen (n-te Ableitung), $f^{(n)} (x) = \frac{d^{n}}{d x^{n}} f (x) .$
Stetigkeit alleine garantiert keine Differenzierbarkeit (Bsp: Betragsfunktion).

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Definition und grundlegende Eigenschaften von Grenzwerten

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Details:

L'Hôpital'sche Regel zur Berechnung unbestimmter Grenzwerte

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Konvergenz- und Divergenzkriterien von Reihen

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Taylor- und Maclaurin-Reihen

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Fundamentalsatz der Analysis

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Integrationstechniken, wie partielle Integration und Substitution

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Lösungsmethoden für Differentialgleichungen erster und zweiter Ordnung

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L'Hôpital'sche Regel zur Berechnung unbestimmter Grenzwerte

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