Analysis 2 - Cheatsheet.pdf

Definition und grundlegende Eigenschaften von Grenzwerten

Definition:

Mathematisches Konzept zur Beschreibung des Verhaltens von Funktionen oder Folgen an einem Punkt oder im Unendlichen.

Details:

• Definition Grenzwert (Folge): \( a_n \rightarrow a \), wenn für alle \( \epsilon > 0 \) ein \( N \) existiert, sodass für alle \( n > N \) gilt: \( |a_n - a| < \epsilon \).
• Definition Grenzwert (Funktion): \( f(x) \rightarrow L \), wenn für alle \( \epsilon > 0 \) ein \( \delta > 0 \) existiert, sodass für alle \( 0 < |x - c| < \delta \) gilt: \( |f(x) - L| < \epsilon \).
• Eigenschaften:
• Eindeutigkeit
• Beschränktheit
• Rechenregeln: Additivität, Homogenität, Produktregel, Quotientenregel unter gewissen Bedingungen

L'Hôpital'sche Regel zur Berechnung unbestimmter Grenzwerte

Definition:

Verwendung zur Berechnung von unbestimmten Grenzwerten der Form \(\frac{0}{0}\) oder \(\frac{\infty}{\infty}\).

Details:

• Anwendbar, wenn \( \lim_{{x \to c}} f(x) = 0 \text{ oder } \infty \) und \( \lim_{{x \to c}} g(x) = 0 \text{ oder } \infty \).
• Wende die Regel an: \( \lim_{{x \to c}} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{{x \to c}} \frac{f'(x)}{g'(x)} \), falls der Grenzwert existiert.
• Ggf. mehrfach anwenden, falls erneut unbestimmte Form auftritt.

Konvergenz- und Divergenzkriterien von Reihen

Definition:

Kriterien zur Bestimmung, ob eine unendliche Reihe konvergiert oder divergiert.

Details:

• Divergenzkriterium: Wenn \( a_n \) nicht gegen 0 konvergiert, divergiert die Reihe \( \sum a_n \).
• Majorantenkriterium (Vergleichskriterium): Ist \( 0 \leq a_n \leq b_n \) und \( \sum b_n \) konvergiert, dann konvergiert auch \( \sum a_n \).
• Minorantenkriterium: Ist \( 0 \leq b_n \leq a_n \) und \( \sum b_n \) divergiert, dann divergiert auch \( \sum a_n \).
• Quotientenkriterium: Setze \( L = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| \). Konvergiert für \( L < 1 \), divergiert für \( L > 1 \).
• Wurzelkriterium: Setze \( L = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|} \). Konvergiert für \( L < 1 \), divergiert für \( L > 1 \).
• Leibnizkriterium: Eine alternierende Reihe \( \sum (-1)^n a_n \) konvergiert, wenn \( a_n \) monoton fallend ist und \( a_n \to 0 \).
• Integralkriterium: Ist \( a_n = f(n) \) für eine positiv monoton fallende Funktion \( f \) und das Integral \( \int_{1}^{\infty} f(x) \, dx \) konvergiert, dann konvergiert auch \( \sum a_n \).

Taylor- und Maclaurin-Reihen

Definition:

Taylor- und Maclaurin-Reihen sind Darstellungen einer Funktion als unendliche Summe ihrer Ableitungen in einem Punkt.

Details:

• Taylor-Reihe einer Funktion f(x) um den Punkt a: \[ f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (x-a)^n \]
• Maclaurin-Reihe ist ein Spezialfall der Taylor-Reihe mit a = 0: \[ f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n \]
• Konvergenzradius: Bestimmt den Bereich, in dem die Reihe die Funktion korrekt darstellt.
• Resteglied (Fehlerabschätzung): \[ R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!} (x-a)^{n+1}, \; \xi \in [a,x] \]

Fundamentalsatz der Analysis

Definition:

Der Fundamentalsatz der Analysis verbindet Differenzialrechnung und Integralrechnung. Er besagt, dass das Integrieren einer Funktion und das Differenzieren ihres bestimmten Integrals entgegengesetzte Operationen sind.

Details:

• Sei f eine stetige Funktion auf einem Intervall [a, b].
• (1. Teil): Wenn F eine Stammfunktion von f ist, dann gilt: \( \int_a^b f(x) \,dx = F(b) - F(a) \).
• (2. Teil): Wenn G(x) = \int_a^x f(t) \,dt, dann ist G'(x) = f(x).
• Zusammenhang zwischen Integral und Ableitung: Das Integral der Ableitung einer Funktion über einem Intervall ergibt die Differenz der Funktionswerte an den Intervallgrenzen.

Integrationstechniken, wie partielle Integration und Substitution

Definition:

Integrationstechniken, mit Fokus auf partieller Integration und Substitution.

Details:

• Partielle Integration (Produktregel rückwärts): \[ \int u \, dv = uv - \int v \, du \]
• Substitution: Ersetze die Variable durch eine Funktion \[ \int f(g(x))g'(x) \, dx = \int f(u) \, du \]
• Anwendungsbeispiel Partielle Integration: Für \( \int x e^x \, dx \), wähle \( u = x \) und \( dv = e^x \, dx \).
• Anwendungsbeispiel Substitution: Für \( \int 2x e^{x^2} \, dx \), setze \( u = x^2 \) und somit \( du = 2x \, dx \).

Lösungsmethoden für Differentialgleichungen erster und zweiter Ordnung

Definition:

Lösungstechniken für DGL 1. und 2. Ordnung wichtig für Analyse 2; grundlegende Verfahren helfen, analytische Lösungen zu finden.

Details:

• Homogene und inhomogene Differentialgleichungen (DGL)
• Trennung der Variablen: \[\frac{dy}{dx} = g(y) h(x)\]
• Lineare DGL erster Ordnung: \[\frac{dy}{dx} + p(x) y = q(x)\]
• Charakteristische Gleichungen bei linearen DGL 2. Ordnung: \[a y'' + b y' + c y = 0\]
• Variation der Konstanten
• Ansatz mit Potenzreihen
• Laplace-Transformation zur Lösung von Anfangswertproblemen

Stetigkeit und Differenzierbarkeit von Funktionen

Definition:

Analyse von Funktionen hinsichtlich ihrer Stetigkeit und Differenzierbarkeit.

Details:

• Eine Funktion f ist stetig bei a, wenn \[ \lim_{{x \to a}} f(x) = f(a). \]
• Differenzierbarkeit einer Funktion im Punkt a bedeutet Existenz des Grenzwertes \[ f'(a) = \lim_{{h \to 0}} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}. \]
• Differenzierbarkeit impliziert Stetigkeit.
• Für höhere Ableitungen (n-te Ableitung), \[ f^{(n)}(x) = \frac{d^n}{dx^n} f(x). \]
• Stetigkeit alleine garantiert keine Differenzierbarkeit (Bsp: Betragsfunktion).