Analysis 2 - Exam.pdf

Aufgabe 1)

Seien $a_n$ eine Folge und $f(x)$ eine Funktion, die auf einem Intervall $I$ definiert ist. Untersuche die Konvergenz dieser Folge und Funktion, um grundlegende Eigenschaften von Grenzwerten zu illustrieren.

• Definition Grenzwert (Folge): $a_n\to a$, wenn für alle $ϵ>0$ ein $N$ existiert, sodass für alle $n>N$ gilt: $|a_n-a|<ϵ$.
• Definition Grenzwert (Funktion): $f(x)\to L$, wenn für alle $ϵ>0$ ein $\delta >0$ existiert, sodass für alle $0<|x-c|<\delta$ gilt: $|f(x)-L|<ϵ$.
• Eigenschaften:
• Eindeutigkeit
• Beschränktheit
• Rechenregeln: Additivität, Homogenität, Produktregel, Quotientenregel unter gewissen Bedingungen

a)

Zeige, dass die Folge $a_n=\frac{1}{n}$ gegen den Grenzwert 0 konvergiert. Verwende dazu die Definition des Grenzwerts und führe einen Beweis mit $ϵ$-$N$ durch.

Lösung:

Um zu zeigen, dass die Folge $a_n=\frac{1}{n}$ gegen den Grenzwert 0 konvergiert, verwenden wir die Definition des Grenzwerts für eine Folge.

• Definition Grenzwert (Folge): Eine Folge $a_n$ konvergiert gegen den Grenzwert $a$, wenn für alle $ϵ>0$ ein $N$ existiert, sodass für alle $n>N$ gilt: $|a_n-a|<ϵ$.

Hier sei die Folge $a_n=\frac{1}{n}$ und der Grenzwert $a=0$.

1. Wir müssen zeigen, dass für alle $ϵ>0$ ein $N$ existiert, sodass für alle $n>N$ gilt:

• $|a_n-0|=\frac{1}{n}<ϵ$

1. Das bedeutet, wir müssen $n$ so wählen, dass:

• $\frac{1}{n}<ϵ$

1. Daraus folgt:

• $n>\frac{1}{ϵ}$

1. Wir wählen also $N=\frac{1}{ϵ}$.
2. Nun haben wir für $n>N$:

• $n>\frac{1}{ϵ}$
• Demzufolge ist $\frac{1}{n}<ϵ$

1. Damit ist gezeigt, dass:

• Für alle $ϵ>0$ ein $N=\frac{1}{ϵ}$ existiert, sodass für alle $n>N$ gilt: $|a_n-0|=\frac{1}{n}<ϵ$.

Damit haben wir gezeigt, dass die Folge $a_n=\frac{1}{n}$ gegen den Grenzwert 0 konvergiert.

b)

Beweise, dass die Funktion $f(x)=\frac{1}{x}$ keinen Endwert bei $x\to 0$ besitzt. Verwende dazu die Definition des Funktionsgrenzwerts und zeige, dass kein $\delta$ existiert, das die Bedingung $|f(x)-L|<ϵ$ für alle $0<|x-c|<\delta$ erfüllt.

Lösung:

Um zu zeigen, dass die Funktion $f(x)=\frac{1}{x}$ keinen Endwert bei $x\to 0$ besitzt, verwenden wir die Definition des Funktionsgrenzwerts und zeigen, dass kein $\delta$ existiert, das die Bedingung $|f(x)-L|<ϵ$ für alle $0<|x-c|<\delta$ erfüllt.

• Definition Grenzwert (Funktion): $f(x)\to L$, wenn für alle $ϵ>0$ ein $\delta >0$ existiert, sodass für alle $0<|x-c|<\delta$ gilt: $|f(x)-L|<ϵ$.

Hier betrachten wir die Funktion $f(x)=\frac{1}{x}$ bei $x\to 0$.

1. Angenommen, $f(x)$ hat einen Grenzwert $L$ bei $x\to 0$.
2. Das bedeutet, wir müssen zeigen, dass für alle $ϵ>0$ ein $\delta >0$ existiert, sodass für alle $0<|x-0|<\delta$ gilt:

• $|\frac{1}{x}-L|<ϵ$

1. Betrachten wir zunächst den Fall, dass $x$ positiv ist ($x\to 0^{+}$): Wenn $x$ sehr klein und positiv ist, wird $\frac{1}{x}$ sehr groß. Somit kann $|\frac{1}{x}-L|$ für kein beliebiges $L$ und beliebiges $ϵ$ innerhalb einer endlichen Grenze gehalten werden.
2. Betrachten wir nun den Fall, dass $x$ negativ ist ($x\to 0^{-}$): Wenn $x$ sehr klein und negativ ist, wird $\frac{1}{x}$ sehr groß und negativ. Auch hier kann $|\frac{1}{x}-L|$ für kein beliebiges $L$ und beliebiges $ϵ$ innerhalb einer endlichen Grenze gehalten werden.

Für beide Fälle existiert kein $L$, das die Bedingung $|\frac{1}{x}-L|<ϵ$ für alle $0<|x-0|<\delta$ erfüllt.

Somit haben wir gezeigt, dass die Funktion $f(x)=\frac{1}{x}$ keinen Endwert bei $x\to 0$ besitzt.

Aufgabe 2)

Betrachte die Funktion $h(x)=\frac{x^2-a^2}{x-a}$. Wir möchten die Grenzwerte dieser Funktion untersuchen und dabei die L'Hôpital'sche Regel anwenden.

• Erinnere Dich daran, dass die L'Hôpital'sche Regel verwendet werden kann, um unbestimmte Grenzwerte der Formen $\frac{0}{0}$ oder $\text{Missing argument for text}$ zu berechnen.
• In diesem Zusammenhang können wir die Ableitungen nutzen, um die Grenzwerte zu bestimmen.

a)

Bestimme den Grenzwert von $h(x)=\frac{x^2-a^2}{x-a}$, wenn $x$ gegen $a$ strebt, ohne die L'Hôpital'sche Regel anzuwenden.

Lösung:

Grenzwertbestimmung ohne die L'Hôpital'sche Regel

Um den Grenzwert der Funktion h(x) zu bestimmen, wenn x gegen a strebt, können wir den Ausdruck im Zähler faktorisieren.

Die Funktion lautet:

Wir wissen, dass der Ausdruck $x^2-a^2$ als Differenz von zwei Quadraten faktorisierbar ist:

Indem wir diesen Ausdruck in die Funktion einsetzen, erhalten wir:

Wir können nun $(x-a)$ im Zähler und Nenner kürzen:

Jetzt können wir den Grenzwert direkt berechnen, indem wir x gegen a streben lassen:

Daher ist der Grenzwert der Funktion, wenn x gegen a strebt:

b)

Berechne den Grenzwert von $h(x)=\frac{x^2-a^2}{x-a}$ unter Anwendung der L'Hôpital'schen Regel für $x\to a$.

Lösung:

Anwendung der L'Hôpital'schen Regel zur Grenzwertbestimmung

Wir wollen den Grenzwert der Funktion h(x) bestimmen, wenn x gegen a strebt:

Für x gegen a ist der Ausdruck eine unbestimmte Form $\frac{0}{0}$, da sowohl der Zähler $x^2-a^2$ als auch der Nenner $x-a$ bei x = a null werden.

In solchen Fällen können wir die L'Hôpital'sche Regel anwenden, die besagt, dass:

wenn der Grenzwert auf der rechten Seite existiert und entweder $\frac{f(x)}{g(x)}$ die Form $\frac{0}{0}$ oder $\frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }}$ hat.

Hier setzen wir:

• $f(x)=x^2-a^2$
• $g(x)=x-a$

Die Ableitungen sind:

Anwendung der L'Hôpital'schen Regel ergibt:

Nun lassen wir x gegen a streben:

Daher ist der Grenzwert der Funktion, wenn x gegen a strebt:

c)

Es sei $a=2$. Bestimme den Grenzwert von $h(x)=\frac{x^2-4}{x-2}$ für $x\to 2$ unter Anwendung der L'Hôpital'schen Regel.

Lösung:

Anwendung der L'Hôpital'schen Regel: Spezieller Fall mit a = 2

Wir wollen den Grenzwert der Funktion h(x) bestimmen, wenn x gegen a strebt, wobei a = 2.

Die Funktion lautet:

Für x gegen 2 erhalten wir eine unbestimmte Form $\frac{0}{0}$, da sowohl der Zähler $x^2-4$ als auch der Nenner $x-2$ bei x = 2 null werden.

In einem solchen Fall können wir die L'Hôpital'sche Regel anwenden, die besagt, dass:

wenn der Grenzwert auf der rechten Seite existiert und $\frac{f(x)}{g(x)}$ die Form $\frac{0}{0}$ oder $\frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }}$ hat.

Hier setzen wir:

• $f(x)=x^2-4$
• $g(x)=x-2$

Die Ableitungen sind:

Anwendung der L'Hôpital'schen Regel ergibt:

Nun lassen wir x gegen 2 streben:

Daher ist der Grenzwert der Funktion, wenn x gegen 2 strebt:

d)

Bestimme den Ableitungen der Funktionen $f(x)=x^2-a^2$ und $g(x)=x-a$, und zeige, dass die Anwendung der L'Hôpital'schen Regel zur Berechnung des Grenzwerts in den vorherigen Aufgaben korrekt ist.

Lösung:

Ableitungsbestimmung und Anwendung der L'Hôpital'schen Regel

Um zu zeigen, dass die Anwendung der L'Hôpital'schen Regel zur Berechnung des Grenzwerts korrekt ist, bestimmen wir zunächst die Ableitungen der Funktionen:

Gegeben sind:

• $f(x)=x^2-a^2$
• $g(x)=x-a$

Nun bestimmen wir die Ableitungen:

• Die Ableitung von $f(x)$ ist:

• Die Ableitung von $g(x)$ ist:

Nun wenden wir die L'Hôpital'sche Regel an:

Um den Grenzwert weiter zu berechnen, lassen wir x gegen a streben:

Daher ist der Grenzwert:

Dies zeigt, dass die Anwendung der L'Hôpital'schen Regel korrekt ist und der vorherige Grenzwert richtig berechnet wurde:

Aufgabe 3)

Konvergente und divergente Reihen Betrachte die Reihen $\sum a_n$ und analysiere deren Konvergenz bzw. Divergenz mittels verschiedener Kriterien. Nutze die folgenden Reihen als Basis für Deine Antworten:

• $a_n=\frac{1}{n^2+1}$
• $a_n=(-1{)}^n\frac{1}{n}$
• $a_n=\frac{(-1{)}^n}{n^{1/3}}$
• $a_n=\frac{3^n}{n!}$
• $a_n=\frac{1}{n\log (n)}$

a)

Prüfe die Konvergenz der Reihe $\sum \frac{1}{n^2+1}$. Nutze dabei das Majorantenkriterium. Gib an, welche Majorante Du verwendest und wie Du die Konvergenz dieser Majorante zeigst.

Lösung:

Prüfung der Konvergenz der Reihe $\sum \frac{1}{n^2+1}$ mittels MajorantenkriteriumUm die Konvergenz der Reihe $\sum \frac{1}{n^2+1}$ zu prüfen, nutzen wir das Majorantenkriterium. Dabei suchen wir eine Majorante, also eine konvergente Reihe, deren Glieder größer oder gleich den Gliedern der ursprünglichen Reihe sind.Wir vergleichen die Glieder $\frac{1}{n^2+1}$ mit der Reihe $\sum \frac{1}{n^2}$, da $\frac{1}{n^2}$ eine bekannte konvergente Reihe ist, die leicht zu analysieren ist.

• Betrachte $\frac{1}{n^2+1}$ und $\frac{1}{n^2}$. Es gilt, dass $\frac{1}{n^2+1}<\frac{1}{n^2}$ für alle $n\ge 1$.

Wir wissen, dass die Reihe $\sum \frac{1}{n^2}$ konvergiert. Das kann man durch den p-Reihentest zeigen:Eine p-Reihe der Form $\sum \frac{1}{n^p}$ konvergiert, wenn $p>1$. Insbesondere für $p=2$ gilt:

• Die Reihe $\sum \frac{1}{n^2}$ konvergiert, da $2>1$.

Da $\frac{1}{n^2+1}<\frac{1}{n^2}$ und die Reihe $\sum \frac{1}{n^2}$ konvergiert, folgt aus dem Majorantenkriterium, dass auch die Reihe $\sum \frac{1}{n^2+1}$ konvergiert.Somit haben wir gezeigt, dass die Reihe $\sum \frac{1}{n^2+1}$ konvergiert, indem wir die konvergente Reihe $\sum \frac{1}{n^2}$ als Majorante genutzt haben.

b)

Betrachte die Reihe $\sum (-1{)}^n\frac{1}{n}$ und prüfe deren Konvergenz durch Anwendung des Leibnizkriteriums. Stelle sicher, dass Du alle Bedingungen des Kriteriums überprüfst und erläutere, ob die Reihe konvergiert oder divergiert.

Lösung:

Prüfung der Konvergenz der Reihe $\sum (-1{)}^n\frac{1}{n}$ mittels LeibnizkriteriumUm die Konvergenz der Reihe $\sum (-1{)}^n\frac{1}{n}$ zu prüfen, verwenden wir das Leibnizkriterium (alternierendes Reihen-Kriterium). Dieses Kriterium besagt, dass eine alternierende Reihe der Form $\sum (-1{)}^n{b}_n$ konvergiert, wenn die folgenden beiden Bedingungen erfüllt sind:

• 1. Die Folge $b_n$ ist monoton fallend, d.h. $b_{n+1}\le b_n$ für alle $n\ge n_0$.
• 2. Der Grenzwert der Folge $b_n$ ist null, d.h. $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{b}_n=0$.

In unserem Fall ist $b_n=\frac{1}{n}$. Prüfen wir die Bedingungen:

1. Monoton fallende Folge:Wir müssen zeigen, dass $\frac{1}{n+1}\le \frac{1}{n}$ für alle $n\ge 1$. Da $\frac{1}{n+1}$ kleiner ist als $\frac{1}{n}$, ist diese Bedingung erfüllt.
2. Grenzwert der Folge:Wir müssen zeigen, dass $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{n}=0$.
   • Betrachtung des Grenzwerts:$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{n}=0$
   Da der Grenzwert tatsächlich null ist, ist auch diese Bedingung erfüllt.

Da beide Bedingungen des Leibnizkriteriums erfüllt sind, konvergiert die Reihe $\sum (-1{)}^n\frac{1}{n}$ nach dem Leibnizkriterium.

d)

Verwende das Integralkriterium, um die Konvergenz der Reihe $\sum \frac{1}{n\log (n)}$ zu bestimmen. Stelle das zugehörige Integral auf und berechne es. Diskutiere die Konvergenz dieser Reihe basierend auf dem Ergebnis der Integralfunktion.

Lösung:

Untersuchung der Konvergenz der Reihe $\sum \frac{1}{n\log (n)}$ mit Hilfe des IntegralkriteriumsDas Integralkriterium besagt, dass die Reihe $\sum a_n$ konvergiert, wenn das zugehörige unbestimmte Integral ${\int }_1^{\mathrm{\infty }}f(x)dx$ konvergiert. Um die Konvergenz der Reihe $\sum \frac{1}{n\log (n)}$ zu untersuchen, betrachten wir das Integral:$${\int }_1^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{x\log (x)}dx$$1. **Aufstellung des Integrals**:Das zu untersuchende Integral ist:$${\int }_1^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{x\log (x)}dx$$2. **Substitutions-Methode**:Um dieses Integral zu lösen, verwenden wir die Substitution $u=\log (x)$. Dann ist $du=\frac{1}{x}dx$. Das Integral wird umgeschrieben zu:$$\int \frac{1}{x\log (x)}dx=\int \frac{1}{u}du$$Die Grenzen des Integrals ändern sich wie folgt:

• Wenn $x=1$, dann $u=\log (1)=0$.
• Wenn $x\to \mathrm{\infty }$, dann $u\to \mathrm{\infty }$.

Das Integral wird nun zu:$${\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{u}du$$3. **Berechnung des Integrals**:Das Integral $\int \frac{1}{u}du$ ist ein bekanntes Integral und ergibt:\[ \int_{0}^\infty \frac{1}{u} \; du = \lim_{b \to \infty} \int_{0}^b \frac{1}{u} \; du = \lim_{b \to \infty} [\log|u|]_{0}^b \]Evaluieren wir dies:$$=\underset{b\to \mathrm{\infty }}{lim}[\log (b)-\log (0)]$$Da $\log (0)$ nicht definiert ist und gegen $-\mathrm{\infty }$ geht, divergiert das Integral.4. **Diskussion der Konvergenz:**Da das Integral ${\int }_1^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{x\log (x)}dx$ divergiert, folgt aus dem Integralkriterium, dass auch die Reihe $\sum \frac{1}{n\log (n)}$ divergiert.Zusammenfassung:Durch Anwendung des Integralkriteriums und Berechnung des entsprechenden Integrals haben wir gezeigt, dass die Reihe $\sum \frac{1}{n\log (n)}$ divergiert, da das Integral ${\int }_1^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{x\log (x)}dx$ divergiert.

Aufgabe 4)

Betrachte die Funktion f(x) = e^x. Entwickle f(x) in eine Taylor-Reihe um den Punkt a = 1.

a)

Bestimme die Taylor-Reihe der Funktion f(x) = e^x um den Punkt a = 1 und schreibe die ersten vier Terme der Reihe explizit auf. Zeige alle Zwischenrechnungen.

Lösung:

Um die Taylor-Reihe der Funktion f(x) = e^x um den Punkt a = 1 zu entwickeln, benötigen wir die Ableitungen der Funktion und die allgemeine Formel für die Taylor-Reihe. Die allgemeine Formel lautet:

• $$\text{f(a)}+\text{f'}(a)(x-a)+\frac{\text{f''}(a)}{2!}(x-a{)}^2+\frac{\text{f'''}(a)}{3!}(x-a{)}^3+\text{...}$$

Für f(x) = e^x sind alle Ableitungen ebenfalls e^x, da die Ableitung einer Exponentialfunktion e^x sich selbst ergibt. Also:

• $$\text{f(1)}=e^1=e$$
• $$\text{f'(1)}=e^1=e$$
• $$\text{f''(1)}=e^1=e$$
• $$\text{f'''(1)}=e^1=e$$

Nun fügen wir diese Ableitungen in die Taylor-Reihen-Formel ein:

• $$T(x)=e+e(x-1)+\frac{e}{2!}(x-1{)}^2+\frac{e}{3!}(x-1{)}^3+\text{...}$$

Die ersten vier Terme der Taylor-Reihe für f(x) = e^x um den Punkt a = 1 lauten also:

• $$e+e(x-1)+\frac{e}{2}(x-1{)}^2+\frac{e}{6}(x-1{)}^3$$

b)

Berechne den Konvergenzradius der Taylor-Reihe von f(x) = e^x um den Punkt a = 1 und begründe Deine Antwort. Nutze gegebenenfalls das Quotientenkriterium.

Lösung:

Um den Konvergenzradius der Taylor-Reihe von f(x) = e^x um den Punkt a = 1 zu berechnen, können wir das Quotientenkriterium nutzen. Das Quotientenkriterium besagt, dass der Konvergenzradius R einer Taylor-Reihe durch die Formel bestimmt wird:

• $$R=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|$$

Für die Funktion f(x) = e^x sind alle Ableitungen gleich e^x. Die Taylor-Reihe um a = 1 ist:

• $$e+e(x-1)+\frac{e}{2!}(x-1{)}^2+\frac{e}{3!}(x-1{)}^3+\dots$$

Die allgemeinen Koeffizienten a_n der Reihe sind:

• $$a_n=\frac{e}{n!}$$

Wir wenden das Quotientenkriterium an:

• $$R=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\left|\frac{\frac{e}{n!}}{\frac{e}{(n+1)!}}\right|=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}|\frac{e}{n!}\times \frac{(n+1)!}{e}|=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\left|\frac{(n+1)!}{n!}\right|=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(n+1)=\mathrm{\infty }$$

Da der Konvergenzradius unendlich ist ($R=\mathrm{\infty }$), konvergiert die Taylor-Reihe von f(x) = e^x um den Punkt a = 1 für alle Werte von x. Das bedeutet, die Reihe konvergiert über die gesamte reelle Achse.