Analysis 2 - Exam.pdf

Aufgabe 1)

Seien \(a_n\) eine Folge und \(f(x)\) eine Funktion, die auf einem Intervall \(I\) definiert ist. Untersuche die Konvergenz dieser Folge und Funktion, um grundlegende Eigenschaften von Grenzwerten zu illustrieren.

• Definition Grenzwert (Folge): \( a_n \rightarrow a \), wenn für alle \( \epsilon > 0 \) ein \( N \) existiert, sodass für alle \( n > N \) gilt: \( |a_n - a| < \epsilon \).
• Definition Grenzwert (Funktion): \( f(x) \rightarrow L \), wenn für alle \( \epsilon > 0 \) ein \( \delta > 0 \) existiert, sodass für alle \( 0 < |x - c| < \delta \) gilt: \( |f(x) - L| < \epsilon \).
• Eigenschaften:
• Eindeutigkeit
• Beschränktheit
• Rechenregeln: Additivität, Homogenität, Produktregel, Quotientenregel unter gewissen Bedingungen

a)

Zeige, dass die Folge \(a_n = \frac{1}{n}\) gegen den Grenzwert 0 konvergiert. Verwende dazu die Definition des Grenzwerts und führe einen Beweis mit \( \epsilon \)-\( N \) durch.

Lösung:

Um zu zeigen, dass die Folge \(a_n = \frac{1}{n}\) gegen den Grenzwert 0 konvergiert, verwenden wir die Definition des Grenzwerts für eine Folge.

• Definition Grenzwert (Folge): Eine Folge \(a_n\) konvergiert gegen den Grenzwert \(a\), wenn für alle \(\epsilon > 0\) ein \(N\) existiert, sodass für alle \(n > N\) gilt: \(|a_n - a| < \epsilon\).

Hier sei die Folge \(a_n = \frac{1}{n}\) und der Grenzwert \(a = 0\).

1. Wir müssen zeigen, dass für alle \(\epsilon > 0\) ein \(N\) existiert, sodass für alle \(n > N\) gilt:

• \(|a_n - 0| = \frac{1}{n} < \epsilon\)

1. Das bedeutet, wir müssen \(n\) so wählen, dass:

• \(\frac{1}{n} < \epsilon\)

1. Daraus folgt:

• \(n > \frac{1}{\epsilon}\)

1. Wir wählen also \(N = \frac{1}{\epsilon}\).
2. Nun haben wir für \(n > N\):

• \(n > \frac{1}{\epsilon}\)
• Demzufolge ist \(\frac{1}{n} < \epsilon\)

1. Damit ist gezeigt, dass:

• Für alle \(\epsilon > 0\) ein \(N = \frac{1}{\epsilon}\) existiert, sodass für alle \(n > N\) gilt: \(|a_n - 0| = \frac{1}{n} < \epsilon\).

Damit haben wir gezeigt, dass die Folge \(a_n = \frac{1}{n}\) gegen den Grenzwert 0 konvergiert.

b)

Beweise, dass die Funktion \(f(x) = \frac{1}{x}\) keinen Endwert bei \( x \rightarrow 0 \) besitzt. Verwende dazu die Definition des Funktionsgrenzwerts und zeige, dass kein \( \delta \) existiert, das die Bedingung \( |f(x) - L| < \epsilon \) für alle \( 0 < |x - c| < \delta \) erfüllt.

Lösung:

Um zu zeigen, dass die Funktion \(f(x) = \frac{1}{x}\) keinen Endwert bei \(x \rightarrow 0\) besitzt, verwenden wir die Definition des Funktionsgrenzwerts und zeigen, dass kein \(\delta\) existiert, das die Bedingung \(|f(x) - L| < \epsilon\) für alle \(0 < |x - c| < \delta\) erfüllt.

• Definition Grenzwert (Funktion): \(f(x) \rightarrow L\), wenn für alle \(\epsilon > 0\) ein \(\delta > 0\) existiert, sodass für alle \(0 < |x - c| < \delta\) gilt: \(|f(x) - L| < \epsilon\).

Hier betrachten wir die Funktion \(f(x) = \frac{1}{x}\) bei \(x \rightarrow 0\).

1. Angenommen, \(f(x)\) hat einen Grenzwert \(L\) bei \(x \rightarrow 0\).
2. Das bedeutet, wir müssen zeigen, dass für alle \(\epsilon > 0\) ein \(\delta > 0\) existiert, sodass für alle \(0 < |x - 0| < \delta\) gilt:

• \(|\frac{1}{x} - L| < \epsilon\)

1. Betrachten wir zunächst den Fall, dass \(x\) positiv ist (\(x \rightarrow 0^+\)): Wenn \(x\) sehr klein und positiv ist, wird \(\frac{1}{x}\) sehr groß. Somit kann \(|\frac{1}{x} - L|\) für kein beliebiges \(L\) und beliebiges \(\epsilon\) innerhalb einer endlichen Grenze gehalten werden.
2. Betrachten wir nun den Fall, dass \(x\) negativ ist (\(x \rightarrow 0^-\)): Wenn \(x\) sehr klein und negativ ist, wird \(\frac{1}{x}\) sehr groß und negativ. Auch hier kann \(|\frac{1}{x} - L|\) für kein beliebiges \(L\) und beliebiges \(\epsilon\) innerhalb einer endlichen Grenze gehalten werden.

Für beide Fälle existiert kein \(L\), das die Bedingung \(|\frac{1}{x} - L| < \epsilon\) für alle \(0 < |x - 0| < \delta\) erfüllt.

Somit haben wir gezeigt, dass die Funktion \(f(x) = \frac{1}{x}\) keinen Endwert bei \(x \rightarrow 0\) besitzt.

Aufgabe 2)

Betrachte die Funktion \( h(x) = \frac{x^2 - a^2}{x - a} \). Wir möchten die Grenzwerte dieser Funktion untersuchen und dabei die L'Hôpital'sche Regel anwenden.

• Erinnere Dich daran, dass die L'Hôpital'sche Regel verwendet werden kann, um unbestimmte Grenzwerte der Formen \( \frac{0}{0} \) oder \( \frac{\frac{\text}{\text}}{\frac{\text}{\text}} \) zu berechnen.
• In diesem Zusammenhang können wir die Ableitungen nutzen, um die Grenzwerte zu bestimmen.

a)

Bestimme den Grenzwert von \( h(x) = \frac{x^2 - a^2}{x - a} \), wenn \( x \) gegen \( a \) strebt, ohne die L'Hôpital'sche Regel anzuwenden.

Lösung:

Grenzwertbestimmung ohne die L'Hôpital'sche Regel

Um den Grenzwert der Funktion h(x) zu bestimmen, wenn x gegen a strebt, können wir den Ausdruck im Zähler faktorisieren.

Die Funktion lautet:

Wir wissen, dass der Ausdruck \(x^2 - a^2\) als Differenz von zwei Quadraten faktorisierbar ist:

Indem wir diesen Ausdruck in die Funktion einsetzen, erhalten wir:

Wir können nun \((x - a)\) im Zähler und Nenner kürzen:

Jetzt können wir den Grenzwert direkt berechnen, indem wir x gegen a streben lassen:

Daher ist der Grenzwert der Funktion, wenn x gegen a strebt:

b)

Berechne den Grenzwert von \( h(x) = \frac{x^2 - a^2}{x - a} \) unter Anwendung der L'Hôpital'schen Regel für \( x \to a \).

Lösung:

Anwendung der L'Hôpital'schen Regel zur Grenzwertbestimmung

Wir wollen den Grenzwert der Funktion h(x) bestimmen, wenn x gegen a strebt:

Für x gegen a ist der Ausdruck eine unbestimmte Form \( \frac{0}{0} \), da sowohl der Zähler \(x^2 - a^2\) als auch der Nenner \(x - a\) bei x = a null werden.

In solchen Fällen können wir die L'Hôpital'sche Regel anwenden, die besagt, dass:

wenn der Grenzwert auf der rechten Seite existiert und entweder \(\frac{f(x)}{g(x)}\) die Form \(\frac{0}{0}\) oder \(\frac{\infty}{\infty}\) hat.

Hier setzen wir:

• \(f(x) = x^2 - a^2\)
• \(g(x) = x - a\)

Die Ableitungen sind:

Anwendung der L'Hôpital'schen Regel ergibt:

Nun lassen wir x gegen a streben:

Daher ist der Grenzwert der Funktion, wenn x gegen a strebt:

c)

Es sei \( a = 2 \). Bestimme den Grenzwert von \( h(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2} \) für \( x \to 2 \) unter Anwendung der L'Hôpital'schen Regel.

Lösung:

Anwendung der L'Hôpital'schen Regel: Spezieller Fall mit a = 2

Wir wollen den Grenzwert der Funktion h(x) bestimmen, wenn x gegen a strebt, wobei a = 2.

Die Funktion lautet:

Für x gegen 2 erhalten wir eine unbestimmte Form \( \frac{0}{0} \), da sowohl der Zähler \(x^2 - 4\) als auch der Nenner \(x - 2\) bei x = 2 null werden.

In einem solchen Fall können wir die L'Hôpital'sche Regel anwenden, die besagt, dass:

wenn der Grenzwert auf der rechten Seite existiert und \(\frac{f(x)}{g(x)}\) die Form \(\frac{0}{0}\) oder \(\frac{\infty}{\infty}\) hat.

Hier setzen wir:

• \(f(x) = x^2 - 4\)
• \(g(x) = x - 2\)

Die Ableitungen sind:

Anwendung der L'Hôpital'schen Regel ergibt:

Nun lassen wir x gegen 2 streben:

Daher ist der Grenzwert der Funktion, wenn x gegen 2 strebt:

d)

Bestimme den Ableitungen der Funktionen \( f(x) = x^2 - a^2 \) und \( g(x) = x - a \), und zeige, dass die Anwendung der L'Hôpital'schen Regel zur Berechnung des Grenzwerts in den vorherigen Aufgaben korrekt ist.

Lösung:

Ableitungsbestimmung und Anwendung der L'Hôpital'schen Regel

Um zu zeigen, dass die Anwendung der L'Hôpital'schen Regel zur Berechnung des Grenzwerts korrekt ist, bestimmen wir zunächst die Ableitungen der Funktionen:

Gegeben sind:

• \( f(x) = x^2 - a^2 \)
• \( g(x) = x - a \)

Nun bestimmen wir die Ableitungen:

• Die Ableitung von \( f(x) \) ist:

• Die Ableitung von \( g(x) \) ist:

Nun wenden wir die L'Hôpital'sche Regel an:

Um den Grenzwert weiter zu berechnen, lassen wir x gegen a streben:

Daher ist der Grenzwert:

Dies zeigt, dass die Anwendung der L'Hôpital'schen Regel korrekt ist und der vorherige Grenzwert richtig berechnet wurde:

Aufgabe 3)

Konvergente und divergente Reihen Betrachte die Reihen \( \sum a_n \) und analysiere deren Konvergenz bzw. Divergenz mittels verschiedener Kriterien. Nutze die folgenden Reihen als Basis für Deine Antworten:

• \( a_n = \frac{1}{n^2 + 1} \)
• \( a_n = (-1)^n \frac{1}{n} \)
• \( a_n = \frac{(-1)^n}{n^{1/3}} \)
• \( a_n = \frac{3^n}{n!} \)
• \( a_n = \frac{1}{n\log(n)} \)

a)

Prüfe die Konvergenz der Reihe \( \sum \frac{1}{n^2 + 1} \). Nutze dabei das Majorantenkriterium. Gib an, welche Majorante Du verwendest und wie Du die Konvergenz dieser Majorante zeigst.

Lösung:

Prüfung der Konvergenz der Reihe \( \sum \frac{1}{n^2 + 1} \) mittels MajorantenkriteriumUm die Konvergenz der Reihe \( \sum \frac{1}{n^2 + 1} \) zu prüfen, nutzen wir das Majorantenkriterium. Dabei suchen wir eine Majorante, also eine konvergente Reihe, deren Glieder größer oder gleich den Gliedern der ursprünglichen Reihe sind.Wir vergleichen die Glieder \( \frac{1}{n^2 + 1} \) mit der Reihe \( \sum \frac{1}{n^2} \), da \( \frac{1}{n^2} \) eine bekannte konvergente Reihe ist, die leicht zu analysieren ist.

• Betrachte \( \frac{1}{n^2 + 1} \) und \( \frac{1}{n^2} \). Es gilt, dass \( \frac{1}{n^2 + 1} < \frac{1}{n^2} \) für alle \( n \geq 1 \).

Wir wissen, dass die Reihe \( \sum \frac{1}{n^2} \) konvergiert. Das kann man durch den p-Reihentest zeigen:Eine p-Reihe der Form \( \sum \frac{1}{n^p} \) konvergiert, wenn \( p > 1 \). Insbesondere für \( p = 2 \) gilt:

• Die Reihe \( \sum \frac{1}{n^2} \) konvergiert, da \( 2 > 1 \).

Da \( \frac{1}{n^2 + 1} < \frac{1}{n^2} \) und die Reihe \( \sum \frac{1}{n^2} \) konvergiert, folgt aus dem Majorantenkriterium, dass auch die Reihe \( \sum \frac{1}{n^2 + 1} \) konvergiert.Somit haben wir gezeigt, dass die Reihe \( \sum \frac{1}{n^2 + 1} \) konvergiert, indem wir die konvergente Reihe \( \sum \frac{1}{n^2} \) als Majorante genutzt haben.

b)

Betrachte die Reihe \( \sum (-1)^n \frac{1}{n} \) und prüfe deren Konvergenz durch Anwendung des Leibnizkriteriums. Stelle sicher, dass Du alle Bedingungen des Kriteriums überprüfst und erläutere, ob die Reihe konvergiert oder divergiert.

Lösung:

Prüfung der Konvergenz der Reihe \( \sum (-1)^n \frac{1}{n} \) mittels LeibnizkriteriumUm die Konvergenz der Reihe \( \sum (-1)^n \frac{1}{n} \) zu prüfen, verwenden wir das Leibnizkriterium (alternierendes Reihen-Kriterium). Dieses Kriterium besagt, dass eine alternierende Reihe der Form \( \sum (-1)^n b_n \) konvergiert, wenn die folgenden beiden Bedingungen erfüllt sind:

• 1. Die Folge \( b_n \) ist monoton fallend, d.h. \( b_{n+1} \leq b_n \) für alle \( n \geq n_0 \).
• 2. Der Grenzwert der Folge \( b_n \) ist null, d.h. \( \lim_{n \to \infty} b_n = 0 \).

In unserem Fall ist \( b_n = \frac{1}{n} \). Prüfen wir die Bedingungen:

1. Monoton fallende Folge:Wir müssen zeigen, dass \( \frac{1}{n+1} \leq \frac{1}{n} \) für alle \( n \geq 1 \). Da \( \frac{1}{n+1} \) kleiner ist als \( \frac{1}{n} \), ist diese Bedingung erfüllt.
2. Grenzwert der Folge:Wir müssen zeigen, dass \( \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0 \).
   • Betrachtung des Grenzwerts:\( \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0 \)
   Da der Grenzwert tatsächlich null ist, ist auch diese Bedingung erfüllt.

Da beide Bedingungen des Leibnizkriteriums erfüllt sind, konvergiert die Reihe \( \sum (-1)^n \frac{1}{n} \) nach dem Leibnizkriterium.

d)

Verwende das Integralkriterium, um die Konvergenz der Reihe \( \sum \frac{1}{n\log(n)} \) zu bestimmen. Stelle das zugehörige Integral auf und berechne es. Diskutiere die Konvergenz dieser Reihe basierend auf dem Ergebnis der Integralfunktion.

Lösung:

Untersuchung der Konvergenz der Reihe \( \sum \frac{1}{n\log(n)} \) mit Hilfe des IntegralkriteriumsDas Integralkriterium besagt, dass die Reihe \( \sum a_n \) konvergiert, wenn das zugehörige unbestimmte Integral \( \int_{1}^\infty f(x) \,dx \) konvergiert. Um die Konvergenz der Reihe \( \sum \frac{1}{n\log(n)} \) zu untersuchen, betrachten wir das Integral:\[ \int_{1}^\infty \frac{1}{x\log(x)} \,dx \]1. **Aufstellung des Integrals**:Das zu untersuchende Integral ist:\[ \int_{1}^\infty \frac{1}{x\log(x)} \,dx \]2. **Substitutions-Methode**:Um dieses Integral zu lösen, verwenden wir die Substitution \( u = \log(x) \). Dann ist \( du = \frac{1}{x} dx \). Das Integral wird umgeschrieben zu:\[ \int \frac{1}{x\log(x)} \,dx = \int \frac{1}{u} \,du \]Die Grenzen des Integrals ändern sich wie folgt:

• Wenn \( x = 1 \), dann \( u = \log(1) = 0 \).
• Wenn \( x \to \infty \), dann \( u \to \infty \).

Das Integral wird nun zu:\[ \int_{0}^\infty \frac{1}{u} \,du \]3. **Berechnung des Integrals**:Das Integral \( \int \frac{1}{u} \,du \) ist ein bekanntes Integral und ergibt:\\[ \int_{0}^\infty \frac{1}{u} \; du = \lim_{b \to \infty} \int_{0}^b \frac{1}{u} \; du = \lim_{b \to \infty} [\log|u|]_{0}^b \]Evaluieren wir dies:\[ = \lim_{b \to \infty} [\log(b) - \log(0)] \]Da \( \log(0) \) nicht definiert ist und gegen \( -\infty \) geht, divergiert das Integral.4. **Diskussion der Konvergenz:**Da das Integral \( \int_{1}^{\infty} \frac{1}{x \log(x)} \,dx \) divergiert, folgt aus dem Integralkriterium, dass auch die Reihe \( \sum \frac{1}{n \log(n)} \) divergiert.Zusammenfassung:Durch Anwendung des Integralkriteriums und Berechnung des entsprechenden Integrals haben wir gezeigt, dass die Reihe \( \sum \frac{1}{n \log(n)} \) divergiert, da das Integral \( \int_{1}^{\infty} \frac{1}{x \log(x)} \,dx \) divergiert.

Aufgabe 4)

Betrachte die Funktion f(x) = e^x. Entwickle f(x) in eine Taylor-Reihe um den Punkt a = 1.

a)

Bestimme die Taylor-Reihe der Funktion f(x) = e^x um den Punkt a = 1 und schreibe die ersten vier Terme der Reihe explizit auf. Zeige alle Zwischenrechnungen.

Lösung:

Um die Taylor-Reihe der Funktion f(x) = e^x um den Punkt a = 1 zu entwickeln, benötigen wir die Ableitungen der Funktion und die allgemeine Formel für die Taylor-Reihe. Die allgemeine Formel lautet:

• \[ \text{f(a)} + \text{f'}(a)(x-a) + \frac{\text{f''}(a)}{2!}(x-a)^2 + \frac{\text{f'''}(a)}{3!}(x-a)^3 + \text{...} \]

Für f(x) = e^x sind alle Ableitungen ebenfalls e^x, da die Ableitung einer Exponentialfunktion e^x sich selbst ergibt. Also:

• \[ \text{f(1)} = e^1 = e \]
• \[ \text{f'(1)} = e^1 = e \]
• \[ \text{f''(1)} = e^1 = e \]
• \[ \text{f'''(1)} = e^1 = e \]

Nun fügen wir diese Ableitungen in die Taylor-Reihen-Formel ein:

• \[ T(x) = e + e(x-1) + \frac{e}{2!}(x-1)^2 + \frac{e}{3!}(x-1)^3 + \text{...} \]

Die ersten vier Terme der Taylor-Reihe für f(x) = e^x um den Punkt a = 1 lauten also:

• \[ e + e(x-1) + \frac{e}{2}(x-1)^2 + \frac{e}{6}(x-1)^3 \]

b)

Berechne den Konvergenzradius der Taylor-Reihe von f(x) = e^x um den Punkt a = 1 und begründe Deine Antwort. Nutze gegebenenfalls das Quotientenkriterium.

Lösung:

Um den Konvergenzradius der Taylor-Reihe von f(x) = e^x um den Punkt a = 1 zu berechnen, können wir das Quotientenkriterium nutzen. Das Quotientenkriterium besagt, dass der Konvergenzradius R einer Taylor-Reihe durch die Formel bestimmt wird:

• \[ R = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_n}{a_{n+1}} \right| \]

Für die Funktion f(x) = e^x sind alle Ableitungen gleich e^x. Die Taylor-Reihe um a = 1 ist:

• \[ e + e(x-1) + \frac{e}{2!}(x-1)^2 + \frac{e}{3!}(x-1)^3 + \ldots \]

Die allgemeinen Koeffizienten a_n der Reihe sind:

• \[ a_n = \frac{e}{n!} \]

Wir wenden das Quotientenkriterium an:

• \[ R = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_n}{a_{n+1}} \right| = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{ \frac{e}{n!} }{ \frac{e}{(n+1)!} } \right| = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{e}{n!} \times \frac{(n+1)!}{e} \right| = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{(n+1)!}{n!} \right| = \lim_{n \to \infty} (n+1) = \infty \]

Da der Konvergenzradius unendlich ist (\( R = \infty \)), konvergiert die Taylor-Reihe von f(x) = e^x um den Punkt a = 1 für alle Werte von x. Das bedeutet, die Reihe konvergiert über die gesamte reelle Achse.