Analysis 3 - Cheatsheet.pdf

Analysis 3 - Cheatsheet

Definition und Eigenschaften von Grenzwerten Definition: Grenzwert: Annäherung einer Folge/Funktion an einen bestimmten Wert. Details: Sei

a_{n}

eine Folge.

a_{n}

konvergiert gegen L, wenn:

\forall ϵ > 0, \exists N \in N : n \geq N \Rightarrow | a_{n} - L | < ϵ

Für Funktionen f(x): f konvergiert gegen L an x0, wenn: \[ \forall \epsilon > 0, \exists \delta > 0: 0 < |x - ...

Definition und Eigenschaften von Grenzwerten

Definition:

Grenzwert: Annäherung einer Folge/Funktion an einen bestimmten Wert.

Details:

Sei $a_{n}$ eine Folge. $a_{n}$ konvergiert gegen L, wenn: $\forall ϵ > 0, \exists N \in N : n \geq N \Rightarrow | a_{n} - L | < ϵ$
Für Funktionen f(x): f konvergiert gegen L an x0, wenn: $\forall ϵ > 0, \exists δ > 0 : 0 < | x - x_{0} | < δ \Rightarrow | f (x) - L | < ϵ$
Eigenschaften:
- Eindeutigkeit
- Beschränktheit
- Alter -> anderer Konvergenzsätze (z.B. Sandwich-Theorem)

Epsilon-Delta-Kriterium

Definition:

Kriterium zur Präzisierung der Definition des Grenzwerts einer Funktion in einem Punkt.

Details:

Eine Funktion f hat den Grenzwert L an der Stelle a, wenn für jedes \epsilon > 0 ein \delta > 0 existiert, sodass:
$0 < | x - a | < δ \Rightarrow | f (x) - L | < ϵ$
Formel: $\forall ϵ > 0 \exists δ > 0, so dass \forall x (0 < | x - a | < δ \Rightarrow | f (x) - L | < ϵ)$

Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

Definition:

Fundamentaler Zusammenhang zwischen Ableitungs- und Integralrechnung.

Details:

Erster Teil: Integral einer Funktion über Intervall kann mittels einer Stammfunktion bestimmt werden.
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Techniken der Integration: Substitution, partielle Integration
Definition:

Substitution und partielle Integration sind Techniken zur analytischen Berechnung von Integralen.

Details:
- Substitution: Ersetzt eine komplizierte Funktion durch eine einfachere Variable.
- Sei $u = g (x)$ ; dann $\frac{d u}{d x} = g^{'} (x)$ und das Integral $\int f (g (x)) g^{'} (x) d x = \int f (u) d u$ .
- Partielle Integration: Nutzt das Produktregel zu Umformung des Integrals.
- Formel: $\int u d v = u v - \int v d u$
Potenzreihen und ihr Konvergenzradius
Definition:

Potenzreihen sind Reihen der Form $\sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} (x - x_{0})^{n}$ . Der Konvergenzradius $R$ gibt den Abstand vom Mittelpunkt $x_{0}$ an, innerhalb dessen die Reihe konvergiert.

Details:
- Gegeben: $\sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} (x - x_{0})^{n}$
- Formel für den Konvergenzradius: $R = \frac{1}{\underset{n \to \infty}{lim sup} \sqrt[n]{| a_{n} |}}$
- Alternativ: $R = lim_{n \to \infty} | \frac{a_{n}}{a_{n + 1}} |, falls dieser Grenzwert existiert$
- Innerhalb $| x - x_{0} | < R$ konvergiert die Potenzreihe absolut.
- Außerhalb $| x - x_{0} | > R$ divergiert die Potenzreihe.
- An der Grenze $| x - x_{0} | = R$ muss separat untersucht werden.
Fourier-Reihen
Definition:

Periodische Funktion in eine Reihe von Sinus- und Kosinusfunktionen zerlegen.

Details:
- Allgemeine Form: $f (x) = a_{0} + \sum_{n = 1}^{\infty} (a_{n} \cos (n x) + b_{n} \sin (n x))$
- Koeffizienten: $a_{0} = \frac{1}{2 π} \int_{- π}^{π} f (x) d x$ $a_{n} = \frac{1}{π} \int_{- π}^{π} f (x) \cos (n x) d x$ $b_{n} = \frac{1}{π} \int_{- π}^{π} f (x) \sin (n x) d x$
- Konvergenz: Punktweise vs. gleichmäßige Konvergenz beachten
Höhere Ableitungen
Definition:

Höhere Ableitungen beziehen sich auf die Ableitungen einer Funktion über die erste Ableitung hinaus. Sie geben Auskunft über das Krümmungsverhalten der Funktion.

Details:
- Notation für die n-te Ableitung: $f^{(n)} (x)$ .
- Berechnung: $f^{(n)} (x) = \frac{d^{n}}{d x^{n}} f (x)$ .
- dritte Ableitung: $f^{‴} (x)$ , vierte Ableitung: $f^{(4)} (x)$ .
- Genutzt in Taylorreihen, um Näherungen von Funktionen zu erstellen.
- Wichtig für das Verständnis von Funktionsverhalten wie Konvexität und Wendepunkte.
Transformationssätze: Jacobi-Determinante, Polar- und Kugelkoordinaten
Definition:

Transformationssätze in der Analysis 3 umfassen Techniken zur Änderung der Variablen in Integralen durch Koordinatentransformationen, unter Anwendung der Jacobi-Determinante und der Nutzung von Polar- und Kugelkoordinaten.

Details:
- Jacobi-Determinante: Dient zur Umrechnung von Integralen bei Transformationen der Variablen. Für eine Transformation $x = x (u, v)$ und $y = y (u, v)$ ist die Jacobi-Determinante $J = | \begin{matrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \end{matrix} |$ .
- Polarkoordinaten: Umrechnung der Koordinaten von kartesisch ( $x, y$ ) zu polar ( $r, θ$ ). Transformation: $x = r \cos θ$ und $y = r \sin θ$ , wobei $J = r$ .
- Kugelkoordinaten: Umrechnung von kartesischen Koordinaten ( $x, y, z$ ) zu Kugelkoordinaten ( $ρ, θ, ϕ$ ). Transformation: $x = ρ \sin ϕ \cos θ$ , $y = ρ \sin ϕ \sin θ$ , und $z = ρ \cos ϕ$ , wobei $J = ρ^{2} \sin ϕ$ .

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Definition und Eigenschaften von Grenzwerten

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Epsilon-Delta-Kriterium

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Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

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Potenzreihen und ihr Konvergenzradius

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Fourier-Reihen

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Höhere Ableitungen

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