Analysis 3 - Cheatsheet.pdf

Definition und Eigenschaften von Grenzwerten

Definition:

Grenzwert: Annäherung einer Folge/Funktion an einen bestimmten Wert.

Details:

• Sei \(a_n\) eine Folge. \(a_n\) konvergiert gegen L, wenn: \[ \forall \epsilon > 0, \exists N \in \mathbb{N}: n \geq N \Rightarrow |a_n - L| < \epsilon \]
• Für Funktionen f(x): f konvergiert gegen L an x0, wenn: \[ \forall \epsilon > 0, \exists \delta > 0: 0 < |x - x_0| < \delta \Rightarrow |f(x) - L| < \epsilon \]
• Eigenschaften:
  • Eindeutigkeit
  • Beschränktheit
  • Alter -> anderer Konvergenzsätze (z.B. Sandwich-Theorem)

Epsilon-Delta-Kriterium

Definition:

Kriterium zur Präzisierung der Definition des Grenzwerts einer Funktion in einem Punkt.

Details:

• Eine Funktion f hat den Grenzwert L an der Stelle a, wenn für jedes \epsilon > 0 ein \delta > 0 existiert, sodass:
• \[0 < |x-a| < \delta \Rightarrow |f(x) - L| < \epsilon\]
• Formel: \[\forall \epsilon > 0 \exists \delta > 0, \text{so dass} \forall x ( 0 < |x-a| < \delta \Rightarrow |f(x) - L| < \epsilon )\]

Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

Definition:

Fundamentaler Zusammenhang zwischen Ableitungs- und Integralrechnung.

Details:

• Erster Teil: Integral einer Funktion über Intervall kann mittels einer Stammfunktion bestimmt werden.
• \

  Techniken der Integration: Substitution, partielle Integration

  Definition:

  Substitution und partielle Integration sind Techniken zur analytischen Berechnung von Integralen.

  Details:

  • Substitution: Ersetzt eine komplizierte Funktion durch eine einfachere Variable.
  • Sei \( u = g(x) \); dann \( \frac{du}{dx} = g'(x) \) und das Integral \( \textstyle \int f(g(x))g'(x) \,dx = \int f(u) \,du \).
  • Partielle Integration: Nutzt das Produktregel zu Umformung des Integrals.
  • Formel: \[ \int u \,dv = uv - \int v \,du \]

  Potenzreihen und ihr Konvergenzradius

  Definition:

  Potenzreihen sind Reihen der Form \( \sum_{n=0}^{\infty} a_n (x - x_0)^n \). Der Konvergenzradius \( R \) gibt den Abstand vom Mittelpunkt \( x_0 \) an, innerhalb dessen die Reihe konvergiert.

  Details:

  • Gegeben: \( \sum_{n=0}^{\infty} a_n (x - x_0)^n \)
  • Formel für den Konvergenzradius: \[ R = \frac{1}{\limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|}} \]
  • Alternativ: \[ R = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_n}{a_{n+1}} \right|, \text{ falls dieser Grenzwert existiert} \]
  • Innerhalb \( |x - x_0| < R \) konvergiert die Potenzreihe absolut.
  • Außerhalb \( |x - x_0| > R \) divergiert die Potenzreihe.
  • An der Grenze \( |x - x_0| = R \) muss separat untersucht werden.

  Fourier-Reihen

  Definition:

  Periodische Funktion in eine Reihe von Sinus- und Kosinusfunktionen zerlegen.

  Details:

  • Allgemeine Form: \(f(x) = a_0 + \sum_{n=1}^{\infty} \left( a_n \cos(nx) + b_n \sin(nx) \right) \)
  • Koeffizienten: \[ a_0 = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \; dx \] \[ a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos(nx) \; dx \] \[ b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin(nx) \; dx \]
  • Konvergenz: Punktweise vs. gleichmäßige Konvergenz beachten

  Höhere Ableitungen

  Definition:

  Höhere Ableitungen beziehen sich auf die Ableitungen einer Funktion über die erste Ableitung hinaus. Sie geben Auskunft über das Krümmungsverhalten der Funktion.

  Details:

  • Notation für die n-te Ableitung: \(f^{(n)}(x)\).
  • Berechnung: \(f^{(n)}(x) = \frac{d^n}{dx^n} f(x)\).
  • dritte Ableitung: \(f'''(x)\), vierte Ableitung: \(f^{(4)}(x)\).
  • Genutzt in Taylorreihen, um Näherungen von Funktionen zu erstellen.
  • Wichtig für das Verständnis von Funktionsverhalten wie Konvexität und Wendepunkte.

  Transformationssätze: Jacobi-Determinante, Polar- und Kugelkoordinaten

  Definition:

  Transformationssätze in der Analysis 3 umfassen Techniken zur Änderung der Variablen in Integralen durch Koordinatentransformationen, unter Anwendung der Jacobi-Determinante und der Nutzung von Polar- und Kugelkoordinaten.

  Details:

  • Jacobi-Determinante: Dient zur Umrechnung von Integralen bei Transformationen der Variablen. Für eine Transformation \( x = x(u,v) \) und \( y = y(u,v) \) ist die Jacobi-Determinante \( J = \begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \ \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \end{vmatrix} \).
  • Polarkoordinaten: Umrechnung der Koordinaten von kartesisch (\( x, y \)) zu polar (\( r, \theta \)). Transformation: \( x = r \cos \theta \) und \( y = r \sin \theta \), wobei \( J = r \).
  • Kugelkoordinaten: Umrechnung von kartesischen Koordinaten (\( x, y, z \)) zu Kugelkoordinaten (\( \rho, \theta, \phi \)). Transformation: \( x = \rho \sin \phi \cos \theta \), \( y = \rho \sin \phi \sin \theta \), und \( z = \rho \cos \phi \), wobei \( J = \rho^2 \sin \phi \).