Analysis 3 - Exam.pdf

Aufgabe 1)

Grenzwertberechnungen und -beweise Angenommen, Du hast eine Folge \(a_n\) und eine Funktion \(f(x)\), die jeweils gegen einen Grenzwert \(L\) konvergieren. Du wirst gebeten, einige Aufgaben zu Grenzwerten zu lösen und die Resultate nachzuweisen. Beachte dabei wichtige Eigenschaften wie Eindeutigkeit und Beschränktheit. Verwende die gegebenen Definitionen und Sätze, um die Lösungen zu begründen.

a)

1. Betrachte die Folge \(a_n = \frac{1}{n}\). Zeige, dass \(a_n\) gegen den Grenzwert 0 konvergiert. Verwende dazu die formale Definition der Konvergenz einer Folge, um den Nachweis zu führen.

Lösung:

Grenzwertberechnungen und -beweise Angenommen, Du hast eine Folge \(a_n\) und eine Funktion \(f(x)\), die jeweils gegen einen Grenzwert \(L\) konvergieren. Du wirst gebeten, einige Aufgaben zu Grenzwerten zu lösen und die Resultate nachzuweisen. Beachte dabei wichtige Eigenschaften wie Eindeutigkeit und Beschränktheit. Verwende die gegebenen Definitionen und Sätze, um die Lösungen zu begründen. Teilaufgabe: 1. Betrachte die Folge \(a_n = \frac{1}{n}\). Zeige, dass \(a_n\) gegen den Grenzwert 0 konvergiert. Verwende dazu die formale Definition der Konvergenz einer Folge, um den Nachweis zu führen.

• Formale Definition der Konvergenz: Eine Folge \(\{a_n\}\) konvergiert gegen einen Grenzwert \(L\), wenn für jedes \(\varepsilon > 0\)\ ein \(N\) existiert, sodass für alle \(n > N\) gilt, dass \(|a_n - L| < \varepsilon\).
• Gegeben: Die Folge \(a_n = \frac{1}{n}\). Wir möchten zeigen, dass \(\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0\).
• Nachweis:
  • Betrachte ein beliebiges und festes \(\varepsilon > 0\)\.
  • Wir müssen ein \(\varepsilon\)\-abhängiges \(N\) finden, sodass für alle \(n > N\) gilt: \(|a_n - 0| < \varepsilon\)\ oder \(|\frac{1}{n} - 0| < \varepsilon\)\.
  • Beachte, dass \(|\frac{1}{n}| = \frac{1}{n}\).
  • Wir müssen also \(\frac{1}{n} < \varepsilon\)\ haben. Dies lässt sich umformen zu \(n > \frac{1}{\varepsilon}\).
  • Wähle \(N = \lceil \frac{1}{\varepsilon} \rceil\), wobei \(\lceil x \rceil\) die kleinste ganze Zahl ist, die größer oder gleich \(x\) ist.
  • Für alle \(n > N\) gilt dann: \(|\frac{1}{n}| < \varepsilon\), weil \(n > \frac{1}{\varepsilon}\).
  • Schlussfolgerung: Da für jedes beliebige \(\varepsilon > 0\)\ ein \(N\) existiert, sodass für alle \(n > N\) gilt, dass \(|a_n - 0| < \varepsilon\),\ folgt daraus, dass die Folge \(a_n = \frac{1}{n}\) gegen \(0\) konvergiert.

Aufgabe 2)

In der Vorlesung hast Du das Epsilon-Delta-Kriterium zur Präzisierung der Definition eines Grenzwerts einer Funktion an einem Punkt kennengelernt. Wir wollen nun das Verständnis dieses Konzepts vertiefen.

b)

Sei \[ f(x) = \frac{4x + 1}{2} \] und \[ a = 2 \]. Bestimme den Grenzwert L und zeige mithilfe des Epsilon-Delta-Kriteriums, dass \[ f(x) \] diesen Grenzwert bei \[ x = a \] erreicht.

Lösung:

Um zu zeigen, dass die Funktion \( f(x) = \frac{4x + 1}{2} \) den Grenzwert \( L \) bei \( a = 2 \) hat, verwenden wir das Epsilon-Delta-Kriterium. Das Kriterium besagt, dass für jede positive Zahl \( \epsilon > 0 \) eine positive Zahl \( \delta > 0 \) existiert, so dass:

• Wenn \( 0 < |x - a| < \delta \), dann gilt \( |f(x) - L| < \epsilon \).

Gegeben sei die Funktion \( f(x) = \frac{4x + 1}{2} \) und \( a = 2 \). Bestimmen wir zuerst den Grenzwert \( L \):

Berechnung des Grenzwerts \( L \)

• Setze \( x = a \):

\( \begin{align} f(a) &= \frac{4a + 1}{2} \ &= \frac{4 \cdot 2 + 1}{2} \ &= \frac{8 + 1}{2} \ &= \frac{9}{2} \ &= 4.5 \end{align} \)

Der Grenzwert \( L \) der Funktion \( f(x) \) bei \( x = 2 \) ist also \( L = 4.5 \).

Verwendung des Epsilon-Delta-Kriteriums

1. Definiere \( |f(x) - L| \)

• Die Funktion \( f(x) = \frac{4x + 1}{2} \) hat den Grenzwert \( L = 4.5 \) bei \( a = 2 \). Also:

\( \begin{align} |f(x) - L| &= \left| \frac{4x + 1}{2} - 4.5 \right| \ &= \left| \frac{4x + 1}{2} - \frac{9}{2} \right| \ &= \left| \frac{4x + 1 - 9}{2} \right| \ &= \left| \frac{4x - 8}{2} \right| \ &= \left| \frac{4(x - 2)}{2} \right| \ &= \left| 2(x - 2) \right| \end{align} \)

Hieraus folgt, dass:

\( |f(x) - 4.5| = 2|x - 2| \)

1. Setze \( |f(x) - L| < \epsilon \)

• Also muss \( 2|x - 2| < \epsilon \) erfüllt sein. Um dies zu erreichen, teilen wir beide Seiten der Ungleichung durch 2:

\( |x - 2| < \frac{\epsilon}{2} \)

• Wir setzen \( \delta = \frac{\epsilon}{2} \)

• Damit haben wir gezeigt, dass für jedes \( \epsilon > 0 \) ein \( \delta = \frac{\epsilon}{2} \) existiert, so dass:
• Wenn \( 0 < |x - 2| < \delta \), dann gilt \( | \frac{4x + 1}{2} - 4.5 | < \epsilon \).

Aufgabe 3)

Gegeben sei eine stetige und differenzierbare Funktion \(f : [a,b] \rightarrow \mathbb{R}\) mit einer Stammfunktion \(F\). Wir verwenden den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung, um verschiedene Eigenschaften dieser Funktion zu untersuchen und zu bestimmen.

a)

Zeige, dass die Funktion \(F\) eine Stammfunktion von \(f\) ist, also dass \(\frac{d}{dx} F(x) = f(x) \) für alle \(x \in [a,b]\) gilt.

Lösung:

Aufgabe: Zeige, dass die Funktion F eine Stammfunktion von f ist, also dass \(\frac{d}{dx} F(x) = f(x)\) für alle \(x \in [a,b]\) gilt. Lösung:

• Gegeben:
  • Eine stetige und differenzierbare Funktion f auf dem Intervall [a, b]
  • Eine Funktion F, die eine Stammfunktion von f darstellt
• Ziel: Wir wollen zeigen, dass \(\frac{d}{dx} F(x) = f(x)\) für alle x im Intervall [a, b] gilt

• Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung: Nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung wissen wir, dass wenn F eine Stammfunktion von f ist, dann gilt
  • \(F'(x) = f(x)\)
• Differentiation der Stammfunktion: Um zu zeigen, dass F eine Stammfunktion von f ist, müssen wir zeigen, dass die Ableitung von F gleich f ist, also dass
  • \(\frac{d}{dx} F(x) = f(x)\)

• Beweis: Angenommen, F ist eine Stammfunktion von f. Dies bedeutet, dass
  • \(F(x) = \int_a^x f(t) \, dt\)
  Für die Ableitung von F bezüglich x verwenden wir die Definition der Ableitung:
  • \(\frac{d}{dx} F(x) = \frac{d}{dx} \left( \int_a^x f(t) \, dt \right)\)
  Nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung wissen wir, dass das Differenzieren des bestimmten Integrals der Funktion f von der unteren Grenze a bis zur oberen Grenze x gleich der Funktion f an der oberen Grenze x ist. Daher erhalten wir:
  • \(\frac{d}{dx} \left( \int_a^x f(t) \, dt \right) = f(x)\)
  Demzufolge haben wir gezeigt, dass
  • \(\frac{d}{dx} F(x) = f(x)\)
  für alle x im Intervall [a,b] gilt.

b)

Bestimme das bestimmte Integral \(\int_a^b f(x) \, dx\) anhand der Stammfunktion \(F\).

Lösung:

Aufgabe: Bestimme das bestimmte Integral \(\int_a^b f(x) \, dx\) anhand der Stammfunktion \(F\).Lösung:

• Gegeben:
  • Eine stetige und differenzierbare Funktion \(f : [a,b] \rightarrow \mathbb{R}\)
  • Eine Funktion \(F\), die eine Stammfunktion von \(f\) darstellt
• Ziel: Wir wollen das bestimmte Integral \(\int_a^b f(x) \, dx\) anhand der Stammfunktion \(F\) berechnen.

• Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung: Nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung gilt für eine Funktion \(f\), die auf dem Intervall \([a, b]\) stetig ist und eine Stammfunktion \(F\) hat:
  • \(\int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a)\)
• Berechnung des bestimmten Integrals: Um das bestimmte Integral zu berechnen, verwenden wir die obige Beziehung:
  • \(\int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a)\)

• Ergebnis: Das bestimmte Integral \(\int_a^b f(x) \, dx\) anhand der Stammfunktion \(F\) wird daher berechnet als:
  • \(\int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a)\)

c)

Sei \(f(x) = x^2 - 3x + 2\). Finde eine entsprechende Stammfunktion \(F(x)\) und berechne \(\int_1^4 f(x) \, dx\).

Lösung:

Aufgabe: Sei \(f(x) = x^2 - 3x + 2\). Finde eine entsprechende Stammfunktion \(F(x)\) und berechne \(\int_1^4 f(x) \, dx\). Lösung:

• Gegeben:
  • Die Funktion \(f(x) = x^2 - 3x + 2\)
• Ziel: Wir wollen eine Stammfunktion \(F(x)\) von \(f(x)\) finden und anschließend das bestimmte Integral \(\int_1^4 f(x) \, dx\) berechnen.

• Bestimmung der Stammfunktion: Um eine Stammfunktion \(F(x)\) von \(f(x)\) zu finden, integrieren wir \(f(x) = x^2 - 3x + 2\):
  • \( \int f(x) \, dx = \int (x^2 - 3x + 2) \, dx\)
  Wir integrieren die einzelnen Terme:
  • \( \int x^2 \, dx = \frac{x^3}{3} \)
  • \( \int (-3x) \, dx = -\frac{3x^2}{2} \)
  • \( \int 2 \, dx = 2x \)
  Daher ist eine Stammfunktion von \(f(x)\):
  • \( F(x) = \frac{x^3}{3} - \frac{3x^2}{2} + 2x + C \)

• Berechnung des bestimmten Integrals: Um \(\int_1^4 f(x) \, dx\) zu berechnen, verwenden wir den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung:
  • \(\int_1^4 f(x) \, dx = F(4) - F(1)\)
  Zuerst berechnen wir \(F(4)\):
  • \(F(4) = \frac{4^3}{3} - \frac{3 \cdot 4^2}{2} + 2 \cdot 4\)
  • = \( \frac{64}{3} - \frac{48}{2} + 8 \)
  • = \( \frac{64}{3} - 24 + 8 \)
  • = \( \frac{64}{3} - 16 \)
  • = \( \frac{64}{3} - \frac{48}{3} \)
  • = \( \frac{16}{3} \)
  Dann berechnen wir \(F(1)\):
  • \(F(1) = \frac{1^3}{3} - \frac{3 \cdot 1^2}{2} + 2 \cdot 1\)
  • = \( \frac{1}{3} - \frac{3}{2} + 2 \)
  • = \( \frac{1}{3} - 1.5 + 2 \)
  • = \( \frac{1}{3} - \frac{3}{2} + 2 \)
  • = \( \frac{1}{3} - \frac{3}{2} + \frac{6}{3} \)
  • = \( \frac{1}{3} - \frac{4.5}{3} + \frac{6}{3} \)
  • = \( \frac{1}{3} - \frac{4.5}{3} + \frac{6}{3} \)
  • = \( 1 - \frac{1.5}{3} \)
  • = \( \frac{1}{6} \)
  Daher ist:
  • \( \int_1^4 f(x) \, dx = F(4) - F(1) \)
  • = \( \frac{16}{3} - \frac{1}{6} \)
  • = \( \frac{32}{6} - \frac{1}{6} \)
  • = \( \frac{31}{6} \)

• Ergebnis: Das bestimmte Integral \( \int_1^4 f(x) \, dx \) ist daher:
  • \( \frac{31}{6} \)

d)

Zeige, dass das bestimmte Integral \(\int_a^x f(t) \, dt\) eine differenzierbare Funktion von \(x\) ist und dass die Ableitung dieser Funktion gerade \(f(x)\) ist.

Lösung:

Aufgabe: Zeige, dass das bestimmte Integral \(\int_a^x f(t) \, dt\) eine differenzierbare Funktion von \(x\) ist und dass die Ableitung dieser Funktion gerade \(f(x)\) ist. Lösung:

• Gegeben:
  • Eine stetige und differenzierbare Funktion \(f : [a,b] \rightarrow \mathbb{R}\)
• Ziel: Wir wollen zeigen, dass
  • Das bestimmte Integral \(\int_a^x f(t) \, dt\) eine differenzierbare Funktion von \(x\) ist
  • Die Ableitung dieser Funktion \(f(x)\) ist

• Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung:
  • Nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung ist die Funktion
    • \(G(x) = \int_a^x f(t) \, dt\)
    für eine stetige Funktion \(f\) differenzierbar, und ihre Ableitung ist \(f(x)\):
    • \(G'(x) = f(x)\)

• Beweis: Sei \(G(x) = \int_a^x f(t) \, dt\). Um zu zeigen, dass \(G'(x) = f(x)\), verwenden wir den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung:
  • Nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung ist \(G(x)\) kontinuierlich differenzierbar mit der Ableitung
    • \(\frac{d}{dx} G(x) = \frac{d}{dx} \left( \int_a^x f(t) \, dt \right) = f(x)\)

• Ergebnis:Das bestimmte Integral \(\int_a^x f(t) \, dt\) ist eine differenzierbare Funktion von \(x\), und die Ableitung dieser Funktion ist \(f(x)\):
  • \(\frac{d}{dx} \left( \int_a^x f(t) \, dt \right) = f(x)\)

Aufgabe 4)

Betrachte die folgenden Techniken zur Integration: Substitution und partielle Integration. Diese Techniken helfen dabei, Integrale analytisch zu berechnen. Bei der Substitution wird eine komplizierte Funktion durch eine einfachere Variable ersetzt. Wenn sei \( u = g(x) \), dann gilt \( \frac{du}{dx} = g'(x) \) und das Integral \( \int f(g(x))g'(x) \,dx = \int f(u) \,du \). Bei der partiellen Integration wird das Integral mittels der Produktregel umgeformt. Die Formel für partielle Integration lautet: \( \int u \,dv = uv - \int v \,du \). Nutze dieses Wissen um die folgenden Aufgaben zu lösen.

a)

Berechne das Integral \( \int x e^{x^2} \,dx \) durch die Methode der Substitution. Gib alle wesentlichen Schritte an und konkludiere mit dem exakten Ausdruck des Integrals.

Lösung:

Schritte zur Lösung des Integrals durch Substitution:

• Betrachte das gegebene Integral: \( \int x e^{x^2} \,dx \)
• Führe eine geeignete Substitution durch. Setze daher: \( u = x^2 \). Daraus folgt: \( du = 2x \, dx \) oder \( dx = \frac{du}{2x} \).
• Setze nun die Substitution in das Integral ein. Ersetze \( x \) und \( dx \) durch die neuen Variablen: \( \int x e^{x^2} \,dx = \int x e^u \frac{du}{2x} \).
• Vereinfache den Ausdruck, um das neue Integral zu erhalten: \( \int x e^u \frac{du}{2x} = \frac{1}{2} \int e^u \, du \).
• Bestimme das Integral von \( e^u \): \( \frac{1}{2} \int e^u \, du = \frac{1}{2} e^u + C \).
• Resubstituiere \( u = x^2 \), um das Ergebnis in der ursprünglichen Variable zu erhalten: \( \frac{1}{2} e^{x^2} + C \).

Das endgültige Ergebnis des Integrals ist: \( \int x e^{x^2} \,dx = \frac{1}{2} e^{x^2} + C \).

b)

Berechne das Integral \( \int x^2 \,e^x \,dx \) durch die Methode der partiellen Integration. Gib alle wesentlichen Schritte an und gehe am Ende auf das Resultat ein.

Lösung:

Schritte zur Lösung des Integrals durch partielle Integration:

• Betrachte das gegebene Integral: \( \int x^2 e^x \, dx \)
• Wähle geeignete Funktionen für \( u \) und \( dv \). Setze \( u = x^2 \) und \( dv = e^x \, dx \).
• Berechne \( du \) und \( v \):\( du = 2x \, dx \)\( v = \int e^x \, dx = e^x \)
• Wende die Formel der partiellen Integration an: \( \int u \, dv = uv - \int v \, du \):\( \int x^2 e^x \, dx = x^2 e^x - \int e^x \, 2x \, dx \)
• Vereinfache den letzten Ausdruck: \( x^2 e^x - 2 \int x e^x \, dx \)
• Zur Berechnung des übrig gebliebenen Integrals \( \int x e^x \, dx \) wende erneut partielle Integration an. Setze: \( u = x \) und \( dv = e^x \, dx \).
• Berechne \( du \) und \( v \):\( du = dx \)\( v = \int e^x \, dx = e^x \)
• Wende erneut die Formel der partiellen Integration an: \( \int u \, dv = uv - \int v \, du \):\( \int x e^x \, dx = x e^x - \int e^x \, dx \)
• Berechne das verbleibende Integral: \( x e^x - \int e^x \, dx = x e^x - e^x \)
• Setze dieses Ergebnis in den ursprünglichen Ausdruck ein: \( x^2 e^x - 2 \left( x e^x - e^x \right) = x^2 e^x - 2x e^x + 2e^x \)
• Fasse den Ausdruck zusammen: \( x^2 e^x - 2x e^x + 2e^x \)

Das endgültige Ergebnis des Integrals ist: \( \int x^2 e^x \, dx = x^2 e^x - 2x e^x + 2e^x + C \)