Bachelor's Thesis - Cheatsheet.pdf

Ableitungen und Regel von L'Hôpital

Definition:

Ableitungen beschreiben die Änderungsrate einer Funktion. Die Regel von L'Hôpital hilft, Grenzwerte unbestimmter Formen zu berechnen.

Details:

• Ableitung einer Funktion f(x): \[f'(x) = \frac{d}{dx} f(x)\]
• Einfache Ableitungsregeln:
  • Potenzenregel: \[f(x) = x^n \Rightarrow f'(x) = n \cdot x^{n-1}\]
  • Kettenregel: \[(g(f(x)))' = g'(f(x)) \cdot f'(x)\]
  • Produktregel: \[(f(x) \cdot g(x))' = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x)\]
  • Quotientenregel: \[\frac{f(x)}{g(x)}' = \frac{f'(x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g'(x)}{g(x)^2}\]
• Regel von L'Hôpital: Berechnung von Grenzwerten der Form \[\frac{0}{0} \text{ oder } \frac{\infty}{\infty}\]
  • Anwendung: \[\text{Wenn } \lim_{x \to c} \frac{f(x)}{g(x)} \text{ eine unbestimmte Form ist, dann } \lim_{x \to c} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{f'(x)}{g'(x)}\]
  • Wiederhole Falls notwendig.

Bestimmte und unbestimmte Integrale

Definition:

Bestimmtes Integral: Fläche unter einer Kurve zwischen zwei Grenzen. Unbestimmtes Integral: Stammfunktion einer gegebenen Funktion.

Details:

• Bestimmtes Integral: \( \int_{a}^{b} f(x) \, dx \)
• Berechnung: \( \int_{a}^{b} f(x) \, dx = F(b) - F(a) \), wobei \( F(x) \) die Stammfunktion von \( f(x) \) ist.
• Unbestimmtes Integral: \( \int f(x) \, dx \)
• Ergebnis: Stammfunktion \( F(x) + C \), wobei \( C \) eine Konstante ist.
• Lineare Eigenschaften: \( \int (af(x) + bg(x)) \, dx = a \int f(x) \, dx + b \int g(x) \, dx \)

Konvergenz von Reihen und Folgen

Definition:

Eine Folge konvergiert, wenn sie einen Grenzwert besitzt, d.h., für jede Umgebung um diesen Wert gibt es ein Folgenglied, ab dem alle weiteren Folgenglieder in dieser Umgebung liegen. Eine Reihe konvergiert, wenn die Folge ihrer Partialsummen konvergiert.

Details:

• Eine Folge \((a_n)\) konvergiert gegen \(a\) wenn \( \forall \, \epsilon > 0 \, \exists \, N \, so \, dass \, \forall \, n \geq N, \, |a_n - a| < \epsilon \).
• Eine Reihe \( \sum_{n=1}^{\infty} a_n \) konvergiert, wenn die Folge der Partialsummen \( (S_N) \) mit \( S_N = \sum_{n=1}^{N} a_n \) konvergiert.
• Cauchy-Kriterium: Eine Folge konvergiert genau dann, wenn sie Cauchy-Folge ist, d.h., \( \forall \, \epsilon > 0 \, \exists \, N \, so \, dass \, \forall \, m,n \geq N, \, |a_n - a_m| < \epsilon \).
• Alternierend konvergente Reihen und Leibniz-Kriterium: Eine alternierende Reihe \( \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n a_n \) konvergiert, wenn \( (a_n) \) monoton fallend und \( \text{lim}_{n \to \infty} a_n = 0 \).
• Divergenzkriterium: Wenn \( \text{lim}_{n \to \infty} a_n \) ungleich Null ist, dann divergiert \( \sum_{n=1}^{\infty} a_n \).

Numerische Integration und Differenzierung

Definition:

Numerische Methoden zur Berechnung von Integralen und Ableitungen, wenn analytische Lösungen schwer oder unmöglich sind.

Details:

• Trapezregel: \( \int_a^b f(x) \, dx \approx \frac{b-a}{2} \left[ f(a) + f(b) \right] \)
• Simpson-Regel: \( \int_a^b f(x) \, dx \approx \frac{b-a}{6} [ f(a) + 4f(\frac{a+b}{2}) + f(b) ] \)
• Mittelpunktsregel: \( \int_a^b f(x) \, dx \approx (b-a)f\left(\frac{a+b}{2}\right) \)
• Numerische Differenzierung: Vorwärtsdifferenz: \( f'(x) \approx \frac{f(x+h) - f(x)}{h} \)
• Zentrale Differenz: \( f'(x) \approx \frac{f(x+h) - f(x-h)}{2h} \)

Eigenwerte und Eigenvektoren

Definition:

Eigenwerte sind Skalare, die die Skalierung eines Eigenvektors durch eine Matrix ausdrücken. Eigenvektoren sind Vektoren, die durch eine Matrix nur skaliert und nicht gedreht werden.

Details:

• Sei A eine quadratische Matrix, dann ist \( \mathbf{A} \mathbf{v} = \lambda \mathbf{v} \) die Eigenwertgleichung, wobei \( \mathbf{v} \) ein Eigenvektor und \( \lambda \) der zugehörige Eigenwert ist.
• Zur Bestimmung von Eigenwerten löse \( \text{det}(\mathbf{A} - \lambda \mathbf{I}) = 0 \).
• Eigenvektoren findet man durch Lösen des Gleichungssystems \( (\mathbf{A} - \lambda \mathbf{I}) \mathbf{v} = \mathbf{0} \).
• Eigenvektoren sind bis auf einen skalaren Faktor eindeutig bestimmbar.
• Die Eigenwertzerlegung einer Matrix \( \mathbf{A} \) ist möglich, falls \( \mathbf{A} \) diagonalisiert werden kann: \( \mathbf{A} = \mathbf{P} \mathbf{D} \mathbf{P}^{-1} \), wobei \( \mathbf{D} \) eine Diagonalmatrix mit Eigenwerten auf der Diagonale und \( \mathbf{P} \) eine Matrix aus Eigenvektoren ist.

Verteilungstheorie: Binomial-, Normal- und Poissonverteilung

Definition:

Unterscheidung und Charakterisierung von Binomial-, Normal- und Poissonverteilung in der Wahrscheinlichkeits- und Statistiktheorie.

Details:

• Binomialverteilung: Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung, beschreibt die Anzahl der Erfolge in einer festen Anzahl von Versuchen. Erfolgswahrscheinlichkeit p.Formel: \[P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}\]
• Normalverteilung: Stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung, zentrales Limit-Theorem. Charakterisiert durch Mittelwert μ und Standardabweichung σ.Dichtefunktion: \[f(x) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2} \left( \frac{x-\mu}{\sigma} \right)^2}\]
• Poissonverteilung: Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung, beschreibt die Anzahl der Ereignisse in einem festen Intervall. Ereignisrate λ.Formel: \[P(X = k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}\]

Fehleranalyse und Stabilität numerischer Verfahren

Definition:

Untersuchung der Genauigkeit und Robustheit numerischer Methoden bei der Lösung mathematischer Probleme.

Details:

• Fehlerarten: Rundungsfehler, Approximationsfehler, Modellierungsfehler
• Fehlerfortpflanzung analysieren
• Stabilität: Methode ist stabil, wenn kleine Änderungen in den Eingangsdaten zu kleinen Änderungen in den Ergebnissen führen.
• Fehlerabschätzung durch Fehlergleichung
• Differenzengleichungen: Konsistenz, Stabilität und Konvergenzbedingungen
• Backward Error Analysis
• Condition Number und Sensitivität