Bachelor's Thesis - Exam.pdf

Aufgabe 2)

Betrachte die Funktion \( f(x) = x^2 - 2x + 3 \).

a)

Bestimme die Stammfunktion \( F(x) \) der Funktion \( f(x) \).

Lösung:

Um die Stammfunktion F(x) der Funktion f(x) zu bestimmen, betrachte die gegebene Funktion:

• \( f(x) = x^2 - 2x + 3 \)

Die Stammfunktion F(x) ist eine Funktion, deren Ableitung die gegebene Funktion f(x) ergibt. Das bedeutet, dass wir f(x) integrieren müssen:

• Verwende die Regel für das Integrieren von Potenzfunktionen: \[ \int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \]
• Verwende die Regel für das Integrieren von Konstanten: \[ \int C \, dx = Cx + C \]

Dann finden wir die Stammfunktion F(x):

• Integriere den ersten Term: \[ \int x^2 \, dx = \frac{x^{3}}{3} + C_1 \]
• Integriere den zweiten Term: \[ \int -2x \, dx = -x^{2} + C_2 \]
• Integriere den dritten Term: \[ \int 3 \, dx = 3x + C_3 \]

Füge alle integrierten Terme zusammen und berücksichtige die Integrationskonstante C:

• \( F(x) = \frac{x^{3}}{3} - x^{2} + 3x + C \)

Die Stammfunktion von \( f(x) = x^2 - 2x + 3 \) ist:

• \( F(x) = \frac{x^{3}}{3} - x^{2} + 3x + C \)

b)

Berechne das bestimmte Integral \( \int_{1}^{4} (x^2 - 2x + 3) \, dx \).

Lösung:

Um das bestimmte Integral \( \int_{1}^{4} (x^2 - 2x + 3) \, dx \) zu berechnen, folge diesen Schritten:

• Schritt 1: Bestimme die Stammfunktion \( F(x) \) der Funktion \( f(x) = x^2 - 2x + 3 \).

Wie bereits zuvor berechnet, ist die Stammfunktion:

• \( F(x) = \frac{x^{3}}{3} - x^{2} + 3x + C \)

• Schritt 2: Verwende das bestimmte Integral zwischen den Grenzen 1 und 4.

Das bestimmte Integral wird wie folgt berechnet:

• \( \int_{1}^{4} f(x) \, dx = F(4) - F(1) \)

Nun berechne:

• \( F(4) = \frac{4^{3}}{3} - 4^{2} + 3*4 \)

• \( F(4) = \frac{64}{3} - 16 + 12 = \frac{64}{3} - 4 = \frac{64}{3} - \frac{12}{3} = \frac{52}{3} \)

Nun berechne:

• \( F(1) = \frac{1^{3}}{3} - 1^{2} + 3*1 \)

• \( F(1) = \frac{1}{3} - 1 + 3 = \frac{1}{3} + 2 = \frac{7}{3} \)

• Schritt 3: Subtrahiere die Ergebnisse:

\( \int_{1}^{4} (x^2 - 2x + 3) \, dx = F(4) - F(1) = \frac{52}{3} - \frac{7}{3} = \frac{45}{3} = 15 \)

Das bestimmte Integral ist:

• \( \int_{1}^{4} (x^2 - 2x + 3) \, dx = 15 \)

c)

Nutze die linearen Eigenschaften des Integrals, um \( \int_{1}^{4} (2x^2 - 4x + 6) \, dx \) zu berechnen.

Lösung:

Um das Integral \( \int_{1}^{4} (2x^2 - 4x + 6) \, dx \) unter Verwendung der linearen Eigenschaften des Integrals zu berechnen, können wir die Funktion in ihre einzelnen Terme aufteilen und dann jeden Term separat integrieren.

• Die linearen Eigenschaften des Integrals besagen:\( \int (a \, f(x) + b \, g(x)) \, dx = a \, \int f(x) \, dx + b \, \int g(x) \, dx \)

Wenden wir diese Eigenschaften auf die gegebene Funktion an:

• \( \int_{1}^{4} (2x^2 - 4x + 6) \, dx = 2 \int_{1}^{4} x^2 \, dx - 4 \int_{1}^{4} x \, dx + 6 \int_{1}^{4} 1 \, dx \)

Berechnen wir nun jedes einzelne Integral:

• \( \int_{1}^{4} x^2 \, dx \):
• Die Stammfunktion von \( x^2 \) ist \( \frac{x^3}{3} \).
• \( \int_{1}^{4} x^2 \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{1}^{4} = \frac{4^3}{3} - \frac{1^3}{3} = \frac{64}{3} - \frac{1}{3} = \frac{63}{3} = 21 \)

• \( \int_{1}^{4} x \, dx \):
• Die Stammfunktion von \( x \) ist \( \frac{x^2}{2} \).
• \( \int_{1}^{4} x \, dx = \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{1}^{4} = \frac{4^2}{2} - \frac{1^2}{2} = \frac{16}{2} - \frac{1}{2} = 8 - \frac{1}{2} = \frac{16}{2} - \frac{1}{2} = \frac{15}{2} = 7.5 \)

• \( \int_{1}^{4} 1 \, dx \):
• Die Stammfunktion von \( 1 \) ist \( x \).
• \( \int_{1}^{4} 1 \, dx = x \bigg|_{1}^{4} = 4 - 1 = 3 \)

Setzen wir jetzt alle Kombinationen zusammen:

• \( 2 \int_{1}^{4} x^2 \, dx - 4 \int_{1}^{4} x \, dx + 6 \int_{1}^{4} 1 \, dx \)
• \( = 2 \cdot 21 - 4 \cdot 7.5 + 6 \cdot 3 \)

• \( = 42 - 30 + 18 \)
• \( = 30 \)

Das Integral lautet:

• \( \int_{1}^{4} (2x^2 - 4x + 6) \, dx = 30 \)

Aufgabe 3)

Betrachte die Folge \(a_n = \frac{1}{n}\) und die zugehörige Reihe \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}\).

b)

Untersuche, ob die Reihe \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}\) konvergiert oder divergiert. Nutze dazu ein geeignetes Kriterium (Divergenzkriterium, Cauchy-Kriterium oder Alternierend konvergente Reihen, je nachdem was passend ist).

Lösung:

Um zu untersuchen, ob die Reihe \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}\) konvergiert oder divergiert, nutzen wir das Divergenzkriterium.

Das Divergenzkriterium besagt: Wenn \(\lim_{{n \to \infty}} a_n \) nicht gleich 0 ist oder nicht existiert, dann divergiert die Reihe \(\sum_{{n=1}}^{{\infty}} a_n\).

Betrachten wir die allgemeine Form der Reihe:

• \(a_n = \frac{1}{n}\)

Wir müssen den Grenzwert von \(a_n\) bestimmen:

• \(\lim_{{n \to \infty}} \frac{1}{n} = 0\)

Da dieser Grenzwert 0 ist, reicht das Divergenzkriterium allein nicht aus, um endgültig zu entscheiden, ob die Reihe konvergiert oder divergiert. Daher betrachten wir einen alternativen Test: das Integraltest.

Das Integraltest besagt, dass eine Reihe \(\sum_{{n=1}}^{{\infty}} a_n\) konvergiert, wenn und nur wenn das zugehörige uneigentliche Integral \(\int_{{1}}^{{\infty}} f(x) \mathrm{d}x\) konvergiert, wobei \(f(x)\) eine positive, kontinuierliche und monoton fallende Funktion ist, die der Folge \(a_n\) entspricht.

Für unsere Funktion \(f(x) = \frac{1}{x}\) gilt:

• \(f(x) = \frac{1}{x}\) ist positiv, kontinuierlich und monoton fallend für \(x \ge 1\).

Nun berechnen wir das Integral:

• \(\int_{{1}}^{{\infty}} \frac{1}{x} \mathrm{d}x\)

Wende das uneigentliche Integral an:

• \(= \lim_{{t \to \infty}} \int_{{1}}^{{t}} \frac{1}{x} \mathrm{d}x\)
• \(= \lim_{{t \to \infty}} [\ln x]_{{1}}^{{t}}\)
• \(= \lim_{{t \to \infty}} (\ln t - \ln 1)\)
• \(= \lim_{{t \to \infty}} \ln t\)

Da \(\ln t\) gegen \(\infty\) strebt, divergiert das Integral.

Da das zugehörige Integral divergiert, folgt daraus gemäß dem Integraltest, dass auch die Reihe \(\sum_{{n=1}}^{{\infty}} \frac{1}{n}\) divergiert.

Fazit: Die Reihe \(\sum_{{n=1}}^{{\infty}} \frac{1}{n}\) divergiert.

Aufgabe 4)

Numerische Integration und Differenzierung: Du hast die Aufgabe, eine Funktion numerisch zu integrieren und deren Ableitung an einem bestimmten Punkt zu bestimmen. Gegeben sei die Funktion f(x) und die notwendigen numerischen Methoden zur Durchführung dieser Aufgaben. Zur Erinnerung, hier sind die verwendeten Regeln:

• Trapezregel: \( \int_a^b f(x) \, dx \approx \frac{b-a}{2} \left[ f(a) + f(b) \right] \)
• Simpson-Regel: \( \int_a^b f(x) \, dx \approx \frac{b-a}{6} [ f(a) + 4f(\frac{a+b}{2}) + f(b) ] \)
• Mittelpunktsregel: \( \int_a^b f(x) \, dx \approx (b-a)f\left(\frac{a+b}{2}\right) \)
• Numerische Differenzierung: Vorwärtsdifferenz: \( f'(x) \approx \frac{f(x+h) - f(x)}{h} \)
• Zentrale Differenz: \( f'(x) \approx \frac{f(x+h) - f(x-h)}{2h} \)

a)

Berechne das Integral der Funktion \( f(x) = e^{-x^2}\) im Intervall [0,1] mittels der Trapezregel und der Simpson-Regel. Vergleiche die Ergebnisse.

Lösung:

Numerische Integration und Differenzierung: Du hast die Aufgabe, eine Funktion numerisch zu integrieren und deren Ableitung an einem bestimmten Punkt zu bestimmen. Gegeben sei die Funktion f(x) und die notwendigen numerischen Methoden zur Durchführung dieser Aufgaben. Zur Erinnerung, hier sind die verwendeten Regeln:

• Trapezregel: \(\int_a^b f(x) \, dx \approx \frac{b-a}{2} \left[ f(a) + f(b) \right]\)
• Simpson-Regel: \(\int_a^b f(x) \, dx \approx \frac{b-a}{6} [ f(a) + 4f(\frac{a+b}{2}) + f(b) ]\)
• Mittelpunktsregel: \(\int_a^b f(x) \, dx \approx (b-a)f\left(\frac{a+b}{2}\right)\)
• Numerische Differenzierung: Vorwärtsdifferenz: \( f'(x) \approx \frac{f(x+h) - f(x)}{h} \)
• Zentrale Differenz: \( f'(x) \approx \frac{f(x+h) - f(x-h)}{2h} \)

Unteraufgabe:

Berechne das Integral der Funktion \( f(x) = e^{-x^2} \) im Intervall \[0,1\] mittels der Trapezregel und der Simpson-Regel. Vergleiche die Ergebnisse.

Lösung:

Wir beginnen mit der Berechnung des Integrals \( \int_0^1 e^{-x^2} \, dx \) anhand der Trapezregel und der Simpson-Regel. Zunächst definieren wir die Funktion:

import numpy as npdef f(x):    return np.exp(-x**2)

1. Trapezregel:

Die Trapezregel lautet:

\(\int_a^b f(x) \, dx \approx \frac{b-a}{2} \left[ f(a) + f(b) \right]\)

Für das gegebene Intervall \[0,1\]:

a = 0b = 1trapz_integral = (b - a) / 2 * (f(a) + f(b))

Einsetzen der Werte:

a = 0b = 1trapz_integral = (b - a) / 2 * (f(a) + f(b))trapz_integral = (1 - 0) / 2 * (f(0) + f(1))trapz_integral = 0.5 * (1 + np.exp(-1))trapz_integral_result = 0.5 * (1 + np.exp(-1))trapz_integral_result = 0.5 * (1 + 0.36787944117144233)trapz_integral_result = 0.5 * 1.3678794411714423trapz_integral_result = 0.6839397205857212

Das Integral basierend auf der Trapezregel ergibt etwa 0.684.

2. Simpson-Regel:

Die Simpson-Regel lautet:

\(\int_a^b f(x) \, dx \approx \frac{b-a}{6} [ f(a) + 4f(\frac{a+b}{2}) + f(b) ]\)

Für das gegebene Intervall \[0,1\]:

simpson_integral = (b - a) / 6 * (f(a) + 4 * f((a + b) / 2) + f(b))

Einsetzen der Werte:

simpson_integral = (1 - 0) / 6 * (f(0) + 4 * f((0 + 1) / 2) + f(1))simpson_integral = 1/6 * (1 + 4 * np.exp(-(1/2)**2) + np.exp(-1))simpson_integral_result = 1/6 * (1 + 4 * np.exp(-0.25) + np.exp(-1))simpson_integral_result = 1/6 * (1 + 4 * 0.7788007830714049 + 0.36787944117144233)simpson_integral_result = 1/6 * (1 + 3.1152031322856196 + 0.36787944117144233)simpson_integral_result = 1/6 * 4.483082573457062das Ergebnis = 0.7471804289095103

Das Integral basierend auf der Simpson-Regel ergibt etwa 0.747.

Vergleich der Ergebnisse:

Die Trapezregel ergibt ein Integral von etwa 0.684, während die Simpson-Regel ein Integral von etwa 0.747 ergibt. Die Simpson-Regel ist bekanntermaßen genauer als die Trapezregel, insbesondere für glatte Funktionen wie \( e^{-x^2} \).

b)

Bestimme die Ableitung der Funktion \( f(x) = x^3 - 4x + 1 \) an der Stelle \( x = 2 \) sowohl mit der Vorwärtsdifferenz als auch mit der zentralen Differenz, unter Verwendung eines kleinen Schrittes \( h = 0.01 \).

Lösung:

Numerische Integration und Differenzierung: Du hast die Aufgabe, eine Funktion numerisch zu integrieren und deren Ableitung an einem bestimmten Punkt zu bestimmen. Gegeben sei die Funktion f(x) und die notwendigen numerischen Methoden zur Durchführung dieser Aufgaben. Zur Erinnerung, hier sind die verwendeten Regeln:

• Trapezregel: \(\int_a^b f(x) \, dx \approx \frac{b-a}{2} \left[ f(a) + f(b) \right]\)
• Simpson-Regel: \(\int_a^b f(x) \, dx \approx \frac{b-a}{6} [ f(a) + 4f(\frac{a+b}{2}) + f(b) ]\)
• Mittelpunktsregel: \(\int_a^b f(x) \, dx \approx (b-a)f\left(\frac{a+b}{2}\right)\)
• Numerische Differenzierung: Vorwärtsdifferenz: \( f'(x) \approx \frac{f(x+h) - f(x)}{h} \)
• Zentrale Differenz: \( f'(x) \approx \frac{f(x+h) - f(x-h)}{2h} \)

Unteraufgabe:

Bestimme die Ableitung der Funktion \( f(x) = x^3 - 4x + 1 \) an der Stelle \( x = 2 \) sowohl mit der Vorwärtsdifferenz als auch mit der zentralen Differenz, unter Verwendung eines kleinen Schrittes \( h = 0.01 \).

Lösung:

Wir beginnen mit der Definition der Funktion:

def f(x):    return x**3 - 4*x + 1

1. Vorwärtsdifferenz:

Die Vorwärtsdifferenz lautet:

\( f'(x) \approx \frac{f(x+h) - f(x)}{h} \)

Für \( x = 2 \) und \( h = 0.01 \):

x = 2h = 0.01forward_difference = (f(x + h) - f(x)) / h

Einsetzen der Werte:

def f(x):    return x**3 - 4*x + 1x = 2h = 0.01forward_difference = (f(x + h) - f(x)) / hforward_difference = (f(2 + 0.01) - f(2)) / 0.01forward_difference = (f(2.01) - f(2)) / 0.01forward_difference_result = (2.01**3 - 4*2.01 + 1 - (2**3 - 4*2 + 1)) / 0.01forward_difference_result = ((8.120601 - 8.04 + 1) - (8 - 8 + 1)) / 0.01forward_difference_result = (1.080601 - 1) / 0.01forward_difference_result = 0.080601 / 0.01forward_difference_result = 8.0601

Die numerische Ableitung an der Stelle \( x = 2 \) mit der Vorwärtsdifferenz ergibt etwa 8.0601.

2. Zentrale Differenz:

Die zentrale Differenz lautet:

\( f'(x) \approx \frac{f(x+h) - f(x-h)}{2h} \)

Für \( x = 2 \) und \( h = 0.01 \):

x = 2h = 0.01central_difference = (f(x + h) - f(x - h)) / (2 * h)

Einsetzen der Werte:

def f(x):    return x**3 - 4*x + 1x = 2h = 0.01central_difference = (f(x + h) - f(x - h)) / (2 * h)central_difference = (f(2 + 0.01) - f(2 - 0.01)) / (2 * 0.01)central_difference = (f(2.01) - f(1.99)) / 0.02central_difference_result = ((2.01**3 - 4*2.01 + 1) - (1.99**3 - 4*1.99 + 1)) / 0.02central_difference_result = ((8.120601 - 8.04 + 1) - (7.880599 - 7.96 + 1)) / 0.02central_difference_result = (1.080601 - 0.880599) / 0.02central_difference_result = 0.200002 / 0.02central_difference_result = 10.0001

Die numerische Ableitung an der Stelle \( x = 2 \) mit der zentralen Differenz ergibt etwa 10.0001.

Vergleich der Ergebnisse:Die Vorwärtsdifferenz ergibt eine Ableitung von etwa 8.0601, während die zentrale Differenz eine Ableitung von etwa 10.0001 ergibt. Die zentrale Differenz ist gewöhnlich genauer als die Vorwärtsdifferenz, da sie beide Seiten eines Punktes betrachtet, während die Vorwärtsdifferenz nur eine Seite berücksichtigt.

c)

Erkläre, warum die Simpson-Regel genauer sein könnte als die Trapezregel, und beschreibe eine Situation, in der Du die Mittelpunktsregel einer anderen Methode vorziehen würdest.

Lösung:

Numerische Integration und Differenzierung: Du hast die Aufgabe, eine Funktion numerisch zu integrieren und deren Ableitung an einem bestimmten Punkt zu bestimmen. Gegeben sei die Funktion f(x) und die notwendigen numerischen Methoden zur Durchführung dieser Aufgaben. Zur Erinnerung, hier sind die verwendeten Regeln:

• Trapezregel: \(\int_a^b f(x) \, dx \approx \frac{b-a}{2} \left[ f(a) + f(b) \right]\)
• Simpson-Regel: \(\int_a^b f(x) \, dx \approx \frac{b-a}{6} [ f(a) + 4f(\frac{a+b}{2}) + f(b) ]\)
• Mittelpunktsregel: \(\int_a^b f(x) \, dx \approx (b-a)f\left(\frac{a+b}{2}\right)\)
• Numerische Differenzierung: Vorwärtsdifferenz: \( f'(x) \approx \frac{f(x+h) - f(x)}{h} \)
• Zentrale Differenz: \( f'(x) \approx \frac{f(x+h) - f(x-h)}{2h} \)

Unteraufgabe:

Erkläre, warum die Simpson-Regel genauer sein könnte als die Trapezregel, und beschreibe eine Situation, in der Du die Mittelpunktsregel einer anderen Methode vorziehen würdest.

Lösung:

Erklärung der Genauigkeit der Simpson-Regel gegenüber der Trapezregel:

• Die Trapezregel approximiert das Integral einer Funktion über einem Intervall, indem sie das Intervall in Form eines Trapezes darstellt. Dies bedeutet, dass die Funktion linear zwischen den Endpunkten \(a\) und \(b\) angenähert wird. Für eine gegebene Funktion \(f(x)\) im Intervall \(a, b\) lautet die Trapezregel:

\(\int_a^b f(x) \, dx \approx \frac{b-a}{2} \left[ f(a) + f(b) \right]\)

• Im Gegensatz dazu berücksichtigt die Simpson-Regel sowohl die Endpunkte als auch den Mittelpunkt des Intervalls. Die Funktion wird durch eine Parabel angenähert, die durch die Punkte \(f(a)\), \(f(\frac{a+b}{2})\) und \(f(b)\) verläuft. Die Simpson-Regel lautet:

\(\int_a^b f(x) \, dx \approx \frac{b-a}{6} [ f(a) + 4f(\frac{a+b}{2}) + f(b) ]\)

• Da die Simpson-Regel auch den Punkt \(f(\frac{a+b}{2})\) einbezieht, passt die angenommene Parabel besser zur tatsächlichen Kurve der Funktion \(f(x)\), insbesondere wenn \(f(x)\) eine glatte Funktion ist. Während die Trapezregel nur gerade Linien verwendet, die die Funktionen zwischen den Punkten verbinden, nutzt die Simpson-Regel Quadratikpolynome, was zu einer höheren Genauigkeit führt.

Situation, in der die Mittelpunktsregel bevorzugt wird:

• Die Mittelpunktsregel lautet:

\(\int_a^b f(x) \, dx \approx (b-a)f\left(\frac{a+b}{2}\right)\)

• Eine typische Situation, in der die Mittelpunktsregel bevorzugt werden könnte, ist, wenn die Funktion \(f(x)\) symmetrisch oder annähernd symmetrisch um den Mittelpunkt des Intervalls \((a+b)/2\) ist. In diesem Fall liefert die Mittelpunktsregel oft eine sehr gute Näherung des Integrals, da die Funktion im Bereich des Mittelwerts gut angenähert wird.

• Ein weiterer Fall, in dem die Mittelpunktsregel nützlich sein kann, ist, wenn man eine schnelle und einfache Schätzung des Integrals benötigt und die Genauigkeit der Methodik sekundär ist. Da die Mittelpunktsregel nur eine einzige Funktionsbewertung verwendet, ist sie weniger rechenaufwendig als die Trapez- oder Simpson-Regel. Diese Einfachheit kann besonders nützlich sein bei Echtzeitberechnungen oder bei Szenarien mit begrenzter Rechenkapazität.