Berufspraktikum - Exam.pdf

Aufgabe 1)

Ein großes Produktionsunternehmen möchte seine Produktionsprozesse durch den Einsatz mathematischer Modelle optimieren. Das Ziel ist es, die Produktionskosten zu minimieren, ohne dabei die Qualität der Produkte zu beeinträchtigen. Im Folgenden werden verschiedene Ansätze und Modelle beschrieben, die zur Lösung dieses Problems beitragen können.

a)

Optimierung: Formuliere eine Optimierungsaufgabe zur Minimierung der Produktionskosten. Welche Variablen, Einschränkungen und Zielfunktion würdest Du in diesem Kontext verwenden? Stelle das Optimierungsproblem als lineares Programm dar.

Lösung:

• Optimierungsaufgabe: Um die Produktionskosten in einem großen Produktionsunternehmen zu minimieren, kann eine lineare Optimierungsaufgabe formuliert werden.

• Definierung der Variablen:

• • \(x_i\): Anzahl der hergestellten Einheiten des Produkttyps \(i\), wobei \(i = 1, 2, ..., n\) ist.

• Einschränkungen (Constraints):

• • Ressourcenbeschränkungen: Die Nutzung der Ressourcen (z.B. Maschinen, Arbeitskraft, Materialien) darf das verfügbare Maximum nicht überschreiten.

• • \[\sum_{i=1}^{n} a_{ij} \times x_i \leq b_j,\quad \text{für alle } j = 1, 2, ..., m\]
  • \(a_{ij}\): Die Nutzung der Ressource \(j\) durch eine Einheit des Produkttyps \(i\).
  • \(b_j\): Die verfügbare Menge der Ressource \(j\).

• • Produktionsanforderungen: Es müssen bestimmte Mindestproduktionsanforderungen erfüllt werden.

• \[\sum_{i=1}^{n} x_i \geq y, \quad \text{wobei } y \text{ die Mindestproduktionsmenge ist}\]

• • Qualitätsanforderungen: Die Qualität der Produkte darf nicht abnehmen, daher müssen bestimmte Standards eingehalten werden.

• \[\sum_{i=1}^{n} c_i \times x_i \geq d,\quad \text{wobei } c_i \text{ die Qualität jeder Einheit von Produkttyp } i ist \text{ und } d \text{ der Mindestqualitätsstandard ist}\]

• Zielfunktion: Die Zielfunktion besteht darin, die Gesamtkosten der Produktion zu minimieren. Angenommen, die Kosten pro Einheit des Produkttyps \(i\) seien \(k_i\), ergibt sich die Zielfunktion als:

• \[\text{Minimiere} \ C = \sum_{i=1}^{n} k_i \times x_i\]

• Zusammenfassung des linearen Programms:

• \[\begin{aligned}\text{Minimiere} \ C &= \sum_{i=1}^{n} k_i\times x_i \ \text{unter den Einschränkungen:} \ \sum_{i=1}^{n} a_{ij} \times x_i & \leq b_j, \quad \text{für alle } j = 1, 2, ..., m\ \sum_{i=1}^{n} x_i & \geq y\ \sum_{i=1}^{n} c_i \times x_i & \geq d\ x_i & \geq 0, \quad \text{für alle } i = 1, 2, ..., n\end{aligned}\]

b)

Stochastische Modelle: Diskutiere den Einsatz stochastischer Modelle zur Risikoanalyse in der Produktion. Beschreibe ein mögliches stochastisches Modell und wie es helfen kann, Risiken zu minimieren.

Lösung:

• Stochastische Modelle zur Risikoanalyse in der Produktion:

• Einführung: Stochastische Modelle sind mathematische Modelle, die Zufälligkeit und Unsicherheit in ihre Berechnungen einbeziehen. Sie sind besonders nützlich in der Produktion, um Unsicherheiten in Bezug auf Nachfrage, Lieferzeiten, Produktionsprozesse und viele andere Faktoren zu berücksichtigen.

• Mögliches stochastisches Modell:

• • Stochastisches Bestandsmodell:

• • Beschreibung: Ein stochastisches Bestandsmodell berücksichtigt die Unsicherheiten in der Nachfrage nach Produkten und die Lieferzeiten von Rohmaterialien. Es verwendet Wahrscheinlichkeitsverteilungen, um verschiedene Szenarien zu modellieren und optimale Bestellmengen und Bestellzeitpunkte zu bestimmen.

• • Nutzung:

• • Die Nachfrage nach einem Produkt \(D\) kann als Zufallsvariable mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeitsverteilung (z.B. Normalverteilung) modelliert werden: \(D \sim N(\mu, \sigma^2)\), wobei \(\mu\) der Durchschnitt und \(\sigma\) die Standardabweichung ist.

• • Die Lieferzeit \(L\) für Rohmaterialien kann ebenfalls als Zufallsvariable mit einer Wahrscheinlichkeitsverteilung modelliert werden: \(L \sim N(\lambda, \tau^2)\).

• • Die optimale Bestellmenge \(Q\) und der Bestellzeitpunkt \(R\) können durch Minimierung der erwarteten Kosten (Bestellkosten, Lagerhaltungskosten und Fehlmengenkosten) bestimmt werden.

• Minimierung von Risiken:

• • Bestellpolitik: Durch die Optimierung der Bestellpolitik (z.B. Bestellmenge und Bestellzeitpunkt) mithilfe des stochastischen Modells kann das Unternehmen das Risiko von Lagerbestandsengpässen und Überbeständen minimieren.

• • Pufferkapazität: Das Modell kann dazu beitragen, eine geeignete Pufferkapazität festzulegen, um Unsicherheiten in der Nachfrage und Lieferzeit zu begegnen.

• • Szenarioanalyse: Mit stochastischen Modellen können verschiedene Szenarien (z.B. unerwartete Nachfragespitzen oder Lieferverzögerungen) simuliert und deren Auswirkungen auf die Produktion analysiert werden.

• • Erwartungswert und Varianz: Das Modell berechnet den Erwartungswert und die Varianz der Ergebnisse, was dem Unternehmen hilft, fundierte Entscheidungen zu treffen, indem es die wahrscheinlichen und extremen Szenarien berücksichtigt.

• Fazit: Der Einsatz stochastischer Modelle zur Risikoanalyse in der Produktion ermöglicht es dem Unternehmen, Unsicherheiten besser zu managen, indem es fundierte Entscheidungen trifft, die sowohl die Risiken minimieren als auch die Effizienz steigern.

c)

Simulationen: Erkläre, wie Simulationen verwendet werden können, um verschiedene Produktionsszenarien zu analysieren. Erstelle ein einfaches Simulationsmodell, das mögliche Engpässe im Produktionsprozess aufzeigt.

Lösung:

• Simulationen: Simulationen sind ein mächtiges Werkzeug, um verschiedene Produktionsszenarien zu analysieren. Sie ermöglichen es, komplexe Systeme und Prozesse zu modellieren und deren Verhalten unter verschiedenen Bedingungen zu testen, ohne dabei realen Produktionsunterbrechungen oder -kosten zu verursachen.

• Verwendung von Simulationen:

• • Szenarioanalyse: Simulationen können verwendet werden, um verschiedene „Was-wäre-wenn“-Szenarien zu analysieren. Dadurch können Produktionsleiter die Auswirkungen verschiedener Entscheidungen auf die Produktionseffizienz und -kosten testen.

• • Identifizierung von Engpässen: Durch Simulationen können mögliche Engpässe im Produktionsprozess identifiziert und analysiert werden. Dies ermöglicht es, proaktiv Maßnahmen zu ergreifen, um diese Engpässe zu beseitigen.

• • Optimierung des Produktionsplans: Simulationen helfen dabei, den Produktionsplan zu optimieren, indem sie die beste Nutzung der verfügbaren Ressourcen und die Minimierung von Produktionskosten ermitteln.

• • Ressourcenmanagement: Durch die Modellierung und Simulation des Ressourcenverbrauchs können Unternehmen besser planen und sicherstellen, dass sie über genügend Ressourcen verfügen, um die Produktion effizient zu halten.

• Einfaches Simulationsmodell:

• Zur Veranschaulichung eines einfachen Simulationsmodells zur Aufdeckung möglicher Engpässe im Produktionsprozess betrachten wir das folgende Beispiel:

• • Modellannahmen:

• • Es gibt drei Produktionsstufen: A, B und C.
  • Die Durchsatzrate jeder Stufe ist zufällig und folgt einer bestimmten Verteilung (z.B. Normalverteilung mit gegebenem Mittelwert und Standardabweichung).
  • Das Ziel ist es, die Anzahl der Produkte zu maximieren, die die Stufe C innerhalb einer bestimmten Zeitspanne durchlaufen.

• • Schritte zur Erstellung des Simulationsmodells:

• • 1. Modellierung der Durchsatzraten: Angenommen, die Durchsatzrate jeder Stufe (in Einheiten pro Stunde) ist wie folgt:
  • Stufe A: \( R_A \sim N(100, 10) \)
  • Stufe B: \( R_B \sim N(80, 8) \)

• • 2. Implementierung der Simulation: Mithilfe einer Programmiersprache wie Python kann das Simulationsmodell implementiert werden:

import numpy as np  import simpy # Simulationsparameter  SIM_TIME = 1000 # Produktionsstufen  def stage(env, name, rate, next_stage=None):    while True:        yield env.timeout(np.random.normal(rate, rate * 0.1))        if next_stage:            yield env.process(next_stage(env)) # Simulationsumgebung  env = simpy.Environment() # Initialisierung der Produktionsstufen  env.process(stage(env, 'Stage A', 100))  env.process(stage(env, 'Stage B', 80))  env.process(stage(env, 'Stage C', 60))   # Start der Simulation  env.run(until=SIM_TIME)  

• • 3. Analyse der Simulationsergebnisse: Nach der Durchführung der Simulation können die Ergebnisse analysiert werden, um mögliche Engpässe zu erkennen (z.B. wenn die Anzahl der durch Stufe B verarbeiteten Einheiten die Verarbeitungskapazität von Stufe C überschreitet).

• • Fazit: Simulationen sind ein wertvolles Werkzeug zur Analyse von Produktionsszenarien und zur Identifizierung von Engpässen. Durch die Nutzung von Simulationen können Unternehmen fundierte Entscheidungen treffen, die zur Optimierung der Produktion und zur Minimierung von Risiken führen.

d)

Statistische Methoden und Maschinelles Lernen: Wie können statistische Methoden und Maschinelles Lernen in der Qualitätskontrolle angewendet werden? Gib ein konkretes Beispiel, wie Datenanalyse zur Vorhersage von Qualitätsproblemen beitragen kann.

Lösung:

• Statistische Methoden und maschinelles Lernen in der Qualitätskontrolle:

• Statistische Methoden und maschinelles Lernen bieten leistungsstarke Werkzeuge zur Überwachung und Verbesserung der Qualität in der Produktion. Diese Methoden können dabei helfen, Muster und Anomalien in den Produktionsdaten zu erkennen, die auf potenzielle Qualitätsprobleme hinweisen.

• Verwendung statistischer Methoden:

• Zu den in der Qualitätskontrolle häufig verwendeten statistischen Methoden gehören:

• Statistische Prozesskontrolle (SPC): Verwendet Kontrollkarten, um den Produktionsprozess zu überwachen und sicherzustellen, dass dieser stabil und innerhalb der festgelegten Spezifikationen bleibt.
• Hypothesentests: Dienen dazu, statistische Hypothesen zu prüfen und zu validieren, z.B. ob eine Prozessänderung zu einer Verbesserung der Produktqualität führt.
• Regressionsanalyse: Nutzbar zur Identifizierung von Beziehungen zwischen verschiedenen Produktionsvariablen und der Endqualität des Produkts.
• Verwendung maschinellen Lernens:
• Maschinelles Lernen kann zur Vorhersage von Qualitätsproblemen und zur Verbesserung der Qualität eingesetzt werden, indem es Muster in großen Datenmengen erkennt und nutzt, um zukünftige Ereignisse zu prognostizieren:
• Überwachtes Lernen: Dabei wird ein Modell auf Basis historischer Daten trainiert, das dann zur Vorhersage von Qualitätsproblemen bei neuen Produktionschargen verwendet wird. Beispiele beinhalten Klassifikations- und Regressionsmodelle.
• Unüberwachtes Lernen: Verwendet Techniken wie Clustering und Anomalieerkennung, um verborgene Muster und Anomalien in den Produktionsdaten zu identifizieren, die auf potenzielle Qualitätsprobleme hinweisen können.
• Konkretes Beispiel:
• Ein konkretes Beispiel zur Anwendung von Datenanalyse und maschinellem Lernen zur Vorhersage von Qualitätsproblemen ist die Vorhersage von Fehlerraten bei der Produktherstellung:
• • Schritt 1: Datensammlung Die relevanten Produktionsdaten werden erfasst. Dazu gehören Variablen wie Temperatur, Druck, Produktionsgeschwindigkeit, Materialeigenschaften usw. Zusätzlich werden Qualitätsmetriken wie Fehler- oder Ausschussraten aufgenommen.
• • Schritt 2: Datenvorverarbeitung Die gesammelten Daten werden bereinigt und vorbereitet, einschließlich der Behandlung fehlender Werte, der Normierung der Variablen und der Identifizierung relevanter Merkmale.
• • Schritt 3: Modelltraining Ein maschinelles Lernmodell, beispielsweise ein Entscheidungsbaum oder ein Random Forest, wird auf den vorbereiteten Daten trainiert. Das Modell lernt die Beziehung zwischen den Produktionsvariablen und den Qualitätsergebnissen.
• • Schritt 4: Vorhersage und Validierung Das trainierte Modell wird verwendet, um Qualitätsprobleme in zukünftigen Produktionschargen vorherzusagen. Die Modellleistung wird anhand eines Validierungssatzes bewertet, und das Modell wird ggf. optimiert.

import pandas as pd  from sklearn.model_selection import train_test_split  from sklearn.ensemble import RandomForestClassifier  from sklearn.metrics import accuracy_score # Schritt 1: Datensammlung  data = pd.read_csv('produktionsdaten.csv') # Schritt 2: Datenvorverarbeitung  data = data.dropna()  X = data[['temperatur', 'druck', 'produktionsgeschwindigkeit', 'materialeigenschaften']]  y = data['qualitaet'] # Schritt 3: Modelltraining  X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y, test_size=0.2, random_state=42)  model = RandomForestClassifier()  model.fit(X_train, y_train) # Schritt 4: Vorhersage und Validierung  y_pred = model.predict(X_test)  accuracy = accuracy_score(y_test, y_pred)  print(f'Modellgenauigkeit: {accuracy*100:.2f}%')  

• • Fazit: Durch die Anwendung statistischer Methoden und maschinellen Lernens in der Qualitätskontrolle kann ein Produktionsunternehmen potenzielle Qualitätsprobleme frühzeitig erkennen und proaktiv Maßnahmen ergreifen, um die Qualität zu verbessern und die Produktionskosten zu minimieren.

Aufgabe 2)

Prozessoptimierung durch mathematische MethodenDie Optimierung von Geschäftsprozessen kann durch verschiedene mathematische Modelle realisiert werden, die darauf abzielen, die Effizienz zu maximieren und die Kosten zu minimieren. In diesem Zusammenhang wird oft ein Ablaufplan als mathematisches Modell dargestellt. Das Ziel besteht darin, optimale Werte für die Entscheidungsvariablen zu bestimmen. Zu den wichtigsten Verfahren gehören die lineare Programmierung, die nichtlineare Programmierung und die dynamische Programmierung. Wesentliche Kennzahlen in diesen Modellen sind die Zielfunktion und die Nebenbedingungen. Hilfsmittel wie MATLAB, R, Python und GAMS werden oft zur Implementierung und Lösung der Modelle verwendet. Diese Methoden finden zahlreiche Anwendungen in der Produktionsplanung, Logistik, Ressourcenallokation und Finanzmodellierung.

a)

Du sollst ein Produktionsplanungsproblem mittels linearer Programmierung analysieren. Die Firma X produziert Produkte A und B. Produkt A hat eine Gewinnspanne von 40€ pro Einheit, und Produkt B hat eine Gewinnspanne von 30€ pro Einheit. Pro Tag stehen maximal 120 Maschinenstunden zur Verfügung. Die Herstellung einer Einheit von Produkt A erfordert 2 Maschinenstunden, und die Herstellung einer Einheit von Produkt B erfordert 1 Maschinenstunde. Formuliere das mathematische Modell für dieses Problem, indem Du die Zielfunktion und die Nebenbedingungen angibst. Löse anschließend das Modell mit einem geeigneten mathematischen Tool Deiner Wahl (z.B. MATLAB, R).

Lösung:

Prozessoptimierung durch mathematische MethodenDie Optimierung von Geschäftsprozessen kann durch verschiedene mathematische Modelle realisiert werden, die darauf abzielen, die Effizienz zu maximieren und die Kosten zu minimieren. In diesem Zusammenhang wird oft ein Ablaufplan als mathematisches Modell dargestellt. Das Ziel besteht darin, optimale Werte für die Entscheidungsvariablen zu bestimmen. Zu den wichtigsten Verfahren gehören die lineare Programmierung, die nichtlineare Programmierung und die dynamische Programmierung. Wesentliche Kennzahlen in diesen Modellen sind die Zielfunktion und die Nebenbedingungen. Hilfsmittel wie MATLAB, R, Python und GAMS werden oft zur Implementierung und Lösung der Modelle verwendet. Diese Methoden finden zahlreiche Anwendungen in der Produktionsplanung, Logistik, Ressourcenallokation und Finanzmodellierung. Zu lösende Teilaufgabe: Du sollst ein Produktionsplanungsproblem mittels linearer Programmierung analysieren. Die Firma X produziert Produkte A und B. Produkt A hat eine Gewinnspanne von 40 € pro Einheit und Produkt B hat eine Gewinnspanne von 30 € pro Einheit. Pro Tag stehen maximal 120 Maschinenstunden zur Verfügung. Die Herstellung einer Einheit von Produkt A erfordert 2 Maschinenstunden und die Herstellung einer Einheit von Produkt B erfordert 1 Maschinenstunde. Formuliere das mathematische Modell für dieses Problem, indem Du die Zielfunktion und die Nebenbedingungen angibst. Löse anschließend das Modell mit einem geeigneten mathematischen Tool Deiner Wahl (z.B. MATLAB, R). Mathematisches Modell: Definiere die Variablen:

• X: die Anzahl der produzierten Einheiten von Produkt A.
• Y: die Anzahl der produzierten Einheiten von Produkt B.

Zielfunktion: Maximiere den Gewinn:

• Zielfunktion: Maximiere: 40X + 30Y
• Nebenbedingungen:
  • 2X + Y ≤ 120 (Maschinenstunden)
  • X ≥ 0 (Nichtnegativitätsbedingung)
  • Y ≥ 0 (Nichtnegativitätsbedingung)

Lösung des Modells: Du kannst dieses Modell mit verschiedenen mathematischen Tools lösen, z.B. MATLAB, R, Python (mit 'scipy'-Paket) oder GAMS. Hier ist ein Beispiel, wie Du es in MATLAB lösen kannst:

 c = [-40 -30];A = [2 1];b = [120];Aeq = [];beq = [];LB = [0; 0];UB = [];[x, fval] = linprog(c, A, b, Aeq, beq, LB, UB);profit = -fval; 

Erklärung:

• c: Das ist der Vektor der zu maximierenden Koeffizienten der Zielfunktion. Da MATLAB minimiert, werden die Koeffizienten negativ gemacht.
• A: Matrix der Koeffizienten der Ungleichungen der Nebenbedingungen.
• b: Rechter Vektor der Ungleichungen der Nebenbedingungen.
• LB: Untere Schranke der Variablen (nicht-negativ).
• UB: Obere Schranke der Variablen (hier unbeschränkt).

Durch Ausführen dieses Codes erhältst Du die optimale Anzahl der zu produzierenden Einheiten für die Produkte A und B sowie den maximalen Gewinn.Alternativ kannst Du auch andere Tools wie R oder Python verwenden. Hier ist ein Beispiel zur Lösung in Python:

 from scipy.optimize import linprogc = [-40, -30]A = [[2, 1]]b = [120]x_bounds = (0, None)y_bounds = (0, None)res = linprog(c, A_ub=A, b_ub=b, bounds=[x_bounds, y_bounds], method='highs')profit = -res.funprint(f'Optimale Anzahl Produkt A: {res.x[0]}')print(f'Optimale Anzahl Produkt B: {res.x[1]}')print(f'Maximaler Gewinn: {profit}€') 

Auch hier wird der maximale Gewinn und die optimale Produktionsmenge für die Produkte A und B ermittelt. Viel Erfolg bei der Umsetzung!

c)

Erkläre, wie das Verfahren der dynamischen Programmierung auf ein Ressourcenallokationsproblem angewendet werden kann. Wende die Methode auf das folgende Beispiel an: Ein Unternehmen hat 100.000€ für Investitionen in drei Projekte zur Verfügung. Jedes Projekt erfordert unterschiedliche Investitionssummen und hat unterschiedliche Erträge. Die Daten sind wie folgt:

• Projekt 1: Investition 30.000€, Ertrag 50.000€
• Projekt 2: Investition 50.000€, Ertrag 80.000€
• Projekt 3: Investition 40.000€, Ertrag 70.000€

Lege fest, wie das Unternehmen seine Investitionen verteilen sollte, um den maximalen Gesamtertrag zu erzielen.

Lösung:

Prozessoptimierung durch mathematische MethodenDie Optimierung von Geschäftsprozessen kann durch verschiedene mathematische Modelle realisiert werden, die darauf abzielen, die Effizienz zu maximieren und die Kosten zu minimieren. In diesem Zusammenhang wird oft ein Ablaufplan als mathematisches Modell dargestellt. Das Ziel besteht darin, optimale Werte für die Entscheidungsvariablen zu bestimmen. Zu den wichtigsten Verfahren gehören die lineare Programmierung, die nichtlineare Programmierung und die dynamische Programmierung. Wesentliche Kennzahlen in diesen Modellen sind die Zielfunktion und die Nebenbedingungen. Hilfsmittel wie MATLAB, R, Python und GAMS werden oft zur Implementierung und Lösung der Modelle verwendet. Diese Methoden finden zahlreiche Anwendungen in der Produktionsplanung, Logistik, Ressourcenallokation und Finanzmodellierung. Zu lösende Teilaufgabe:Erkläre, wie das Verfahren der dynamischen Programmierung auf ein Ressourcenallokationsproblem angewendet werden kann. Wende die Methode auf das folgende Beispiel an: Ein Unternehmen hat 100.000 € für Investitionen in drei Projekte zur Verfügung. Jedes Projekt erfordert unterschiedliche Investitionssummen und hat unterschiedliche Erträge. Die Daten sind wie folgt:

• Projekt 1: Investition 30.000 €, Ertrag 50.000 €
• Projekt 2: Investition 50.000 €, Ertrag 80.000 €
• Projekt 3: Investition 40.000 €, Ertrag 70.000 €

Lege fest, wie das Unternehmen seine Investitionen verteilen sollte, um den maximalen Gesamtertrag zu erzielen.Verfahren der dynamischen ProgrammierungDie dynamische Programmierung ist ein Optimierungsverfahren, das Probleme durch Zerlegen in kleinere Teilprobleme löst. Diese kleineren Teilprobleme werden einmal gelöst und ihre Ergebnisse in einer Tabelle gespeichert, um sie bei Bedarf wiederzuverwenden. So wird die Gesamtkomplexität des Problems reduziert.Anwendung auf das Ressourcenallokationsproblem:1. Definiere die Zustandsvariablen:

• S: Der verbleibende Investitionsbetrag
• n: Die Anzahl der Projekte, die noch in Betracht gezogen werden

2. Definiere die Zustandsübergänge:

• Wenn in Projekt i investiert wird, reduziert sich der verbleibende Investitionsbetrag um die Investitionssumme dieses Projekts.

3. Definiere die Rekursionsbeziehung (Bellman-Gleichung):

• Die optimale Lösung zum Zeitpunkt t hängt von der besten Lösung der verbleibenden Subprobleme ab:\[\text{f(S, n) = max(f(S - I_i, n-1) + E_i, f(S, n-1))}\]wobei:\[I_i:\] Investitionssumme des Projekts i\[E_i:\] Ertrag des Projekts i

4. Der Basisfall:

• Wenn S = 0 oder n = 0, ist der Ertrag 0, da keine Investitionen mehr möglich sind oder keine Projekte mehr übrig sind.

Dynamische Programmierung auf das gegebene Problem anwendenWir erstellen eine Tabelle, um die maximale Rendite für jede mögliche Investition zu berechnen. Wir iterieren durch jedes Projekt und aktualisieren die Tabelle basierend auf den möglichen Investitionen:Hier ist ein Python-Code, der das Problem mithilfe der dynamischen Programmierung löst:

def dynamische_programmierung(projekte, max_investition):    n = len(projekte)    dp_table = [[0 for _ in range(max_investition + 1)] for _ in range(n + 1)]    # Fülle die Tabelle aus    for i in range(1, n + 1):        investition, ertrag = projekte[i - 1]        for j in range(max_investition + 1):            if investition <= j:                dp_table[i][j] = max(dp_table[i - 1][j], dp_table[i - 1][j - investition] + ertrag)            else:                dp_table[i][j] = dp_table[i - 1][j]    return dp_table[n][max_investition]projekte = [(30000, 50000), (50000, 80000), (40000, 70000)]max_investition = 100000print(f'Maximaler Ertrag: {dynamische_programmierung(projekte, max_investition)} €')

In diesem Code:

• Der \(dp\_table[i][j]\) Eintrag gibt den maximalen Ertrag an, der erzielt werden kann, wenn die ersten i Projekte betrachtet werden und ein Investitionsbudget von j verfügbar ist.
• Wir iterieren durch jedes Projekt und aktualisieren die Tabelle bei jeder möglichen Investition.
• Am Ende enthält \(dp\_table[n][max\_investition]\) den maximalen Ertrag.

Durch Ausführen dieses Codes erhältst du den maximalen Ertrag, der mit den gegebenen Investitionen erzielt werden kann. Viel Erfolg bei der Umsetzung!

d)

Berücksichtige ein Optimierungsproblem in der Finanzmodellierung. Ein Investor möchte sein Portfolio aus zwei Aktien (Aktie X und Aktie Y) optimieren. Die erwartete Rendite von Aktie X beträgt 8%, und die erwartete Rendite von Aktie Y beträgt 12%. Das Risiko von Aktie X wird als 4% und das von Aktie Y als 6% gemessen. Der Investor möchte das Risiko minimieren, während die erwartete Rendite mindestens 10% betragen soll. Formuliere dieses Problem als Modell der nichtlinearen Programmierung mit den entsprechenden Ziel- und Nebenbedingungen. Löse das Modell numerisch mit einem geeigneten Tool (z.B. MATLAB, R).

Lösung:

Prozessoptimierung durch mathematische MethodenDie Optimierung von Geschäftsprozessen kann durch verschiedene mathematische Modelle realisiert werden, die darauf abzielen, die Effizienz zu maximieren und die Kosten zu minimieren. In diesem Zusammenhang wird oft ein Ablaufplan als mathematisches Modell dargestellt. Das Ziel besteht darin, optimale Werte für die Entscheidungsvariablen zu bestimmen. Zu den wichtigsten Verfahren gehören die lineare Programmierung, die nichtlineare Programmierung und die dynamische Programmierung. Wesentliche Kennzahlen in diesen Modellen sind die Zielfunktion und die Nebenbedingungen. Hilfsmittel wie MATLAB, R, Python und GAMS werden oft zur Implementierung und Lösung der Modelle verwendet. Diese Methoden finden zahlreiche Anwendungen in der Produktionsplanung, Logistik, Ressourcenallokation und Finanzmodellierung.Zu lösende Teilaufgabe:Berücksichtige ein Optimierungsproblem in der Finanzmodellierung. Ein Investor möchte sein Portfolio aus zwei Aktien (Aktie X und Aktie Y) optimieren. Die erwartete Rendite von Aktie X beträgt 8%, und die erwartete Rendite von Aktie Y beträgt 12%. Das Risiko von Aktie X wird als 4% und das von Aktie Y als 6% gemessen. Der Investor möchte das Risiko minimieren, während die erwartete Rendite mindestens 10% betragen soll. Formuliere dieses Problem als Modell der nichtlinearen Programmierung mit den entsprechenden Ziel- und Nebenbedingungen. Löse das Modell numerisch mit einem geeigneten Tool (z.B. MATLAB, R).Mathematisches Modell:

• Definiere die Variablen:

• \(w_X\): Gewichtung der Investition in Aktie X
• \(w_Y\): Gewichtung der Investition in Aktie Y

• Zielfunktion:
• Minimiere das Gesamtrisiko des Portfolios:\[\text{Minimiere: } R = 4w_X^2 + 6w_Y^2\]

• Nebenbedingungen:
• Die erwartete Rendite des Portfolios sollte mindestens 10% betragen:\[0.08w_X + 0.12w_Y \geq 0.1\]
• Die Summe der Gewichtungen sollte 1 betragen, um das gesamte Investment abzubilden:\[w_X + w_Y = 1\]
• Die Gewichtungen sollten nicht negativ sein:\[w_X \geq 0\]\[w_Y \geq 0\]

Lösung des Modells:Hier ist ein Beispiel, wie Du das Modell numerisch mit Python und dem Paket 'SciPy' lösen kannst:

import numpy as npfrom scipy.optimize import minimize# Definition der Zielfunktiondef risiko(w): w_X, w_Y = w return 4 * w_X ** 2 + 6 * w_Y ** 2# Definition der Nebenbedingungenrendite_constraint = {'type': 'ineq', 'fun': lambda w: 0.08 * w[0] + 0.12 * w[1] - 0.1}sum_constraint = {'type': 'eq', 'fun': lambda w: w[0] + w[1] - 1}# Anfangsannahme für wX und wYstart_w = np.array([0.5, 0.5])# Lösung des Optimierungsproblemsresult = minimize(risiko, start_w, constraints=[rendite_constraint, sum_constraint], bounds=[(0, None), (0, None)])# Ergebnis anzeigenprint('Optimales Gewicht für Aktie X:', result.x[0])print('Optimales Gewicht für Aktie Y:', result.x[1])print('Minimales Risiko:', risiko(result.x))

Dieser Code löst das Portfolio-Optimierungsproblem und gibt die optimalen Gewichtungen für die Aktien X und Y sowie das minimale Risiko des Portfolios an. Viel Erfolg bei der Umsetzung!

Aufgabe 3)

Du bist ein Produktionsplaner in einem Unternehmen, das zwei Produkte A und B herstellt. Jedes Produkt muss durch zwei Maschinen, M1 und M2, bearbeitet werden. Die verfügbare Zeit der Maschinen beträgt 40 Stunden für M1 und 30 Stunden für M2. Für die Herstellung einer Einheit von Produkt A benötigt die Maschine M1 2 Stunden und die Maschine M2 1 Stunde. Für die Herstellung einer Einheit von Produkt B benötigt die Maschine M1 1 Stunde und die Maschine M2 2 Stunden. Der Gewinn pro Einheit beträgt 3 Euro für Produkt A und 4 Euro für Produkt B.

Erstelle ein lineares Programm, das den Gesamtgewinn maximiert, und benutze den Simplex-Algorithmus zur Lösung des Problems.

b)

(b) Löse das lineare Programm mithilfe des Simplex-Algorithmus. Zeige den Rechenweg und kommentiere die Zwischenschritte. Gib die optimale Produktionsmenge von Produkt A und B sowie den maximalen Gesamtgewinn an.

Lösung:

Um das lineare Programm mit dem Simplex-Algorithmus zu lösen, müssen wir einige Schritte durchführen. Hier ist der vollständige Rechenweg und die dazugehörigen Erklärungen:

• 1. Schritt: Aufstellung der Kanonischen Form (Standardform)Wir stellen zunächst das ursprüngliche Problem mit den Beschränkungen in eine Standardform um, wo alle Ungleichungen in Gleichungen umgewandelt werden.Zunächst nehmen wir die Nebenbedingungen und fügen Schlupfvariablen hinzu: - für 2x₁ + x₂ ≤ 40 fügen wir s₁ hinzu- für x₁ + 2x₂ ≤ 30 fügen wir s₂ hinzuDas ergibt: 2x₁ + x₂ + s₁ = 40 x₁ + 2x₂ + s₂ = 30 s₁ ≥ 0 s₂ ≥ 0x₁ ≥ 0x₂ ≥ 0Unsere Zielfunktion in der Standardform ist:Maximiere Z = 3x₁ + 4x₂
• 2. Schritt: Erstellung der AnfangstableauWir erstellen ein Tableau für den Simplex-Algorithmus. Jede Ungleichung wird eine Zeile im Tableau und die Zielfunktion wird eine zusätzliche Zeile.Initiales Tableau:

   | Basis | x1 | x2 | s1 | s2 | Rechte Seite | |-------------------------------------------| | s1    |  2 |  1 |  1 |  0 |      40     | | s2    |  1 |  2 |  0 |  1 |      30     | | -Z    | -3 | -4 |  0 |  0 |       0     |

• 3. Schritt: Identifizierung der Pivotspalte und PivotzeileWir suchen die negativste Zahl in der Zielzeile (Z-Zeile). Dies wird unsere Pivotspalte sein. In unserem Fall, ist -4 in der x₂ Spalte die negativste Zahl.Dann berechnen wir die Verhältnisse der rechten Seite zu den positiven Werten in der Pivotspalte:Ratio für s₁ = 40 / 1 = 40Ratio für s₂ = 30 / 2 = 15Die kleinste positive Ratio ist 15, also ist dies die Pivotzeile und s₂ ist die Pivotvariable.
• 4. Schritt: PivotierungWir teilen jede Zahl in der Pivotzeile durch den Pivot-Element-Wert, der hier 2 ist:

  | Basis | x1 | x2 | s1 | s2 | Rechte Seite | |-------------------------------------------| | s1    |  2 |  1 |  1 |  0 |      40     | | x2    |0.5 |  1 |  0 |0.5 |      15     | | -Z    | -3 | -4 |  0 |  0 |       0     |

  Dann nullen wir den restlichen Teil der Pivotspalte (x₂ Spalte) indem wir die Pivotzeile auf die anderen Zeilen addieren oder subtrahieren:

   | Basis | x1 | x2 | s1 | s2 | Rechte Seite | |-------------------------------------------| | s1 | 1 | 0 | 1 | -0.5 | 25 | | x2 | 0.5 | 1 | 0 | 0.5 | 15 | | -Z | -1 | 0 | 0 | 2 | 60 | 

• 5. Schritt: Wiederholung der Schritte 3 und 4Jetzt wiederholen wir die Schritte 3 und 4, bis keine negativen Werte mehr in der Zielzeile (Z-Zeile) sind. In diesem Fall, haben wir schon keine negativen Werte in der -Z-Zeile:

   | Basis | x1 | x2 | s1 | s2 | Rechte Seite | |-------------------------------------------| | s1 | 1 | 0 | 1 | -0.5 | 25 | | x2 | 0.5 | 1 | 0 | 0.5 | 15 | | -Z | -1 | 0 | 0 | 2 | 60 | 

• 6. Schritt: Ausgabe der optimalen LösungDie optimale Lösung ist erreicht.x₁ = 10x₂ = 15 x₂ = 15. Der maximale Gesamtgewinn beträgt: Z = 60 Euro.Anmerkungen:- Der Simplex-Algorithmus kann Iterationen erfordern bis man die optimalen Lösungen erreicht.- Manchmal sind die Variablenwerte x₁ und x₂ nicht einfach ganze Zahlen.

Aufgabe 4)

Risikomanagement mit probabilistischen MethodenBetrachte ein Unternehmen, das Rohstoffe kauft und verarbeitet, um fertige Produkte zu verkaufen. Das Unternehmen möchte das Risiko von Preisschwankungen für Rohstoffe verstehen und steuern. Du wirst Methoden des probabilistischen Risikomanagements anwenden, um diese Risiken zu bewerten und zu modellieren.

a)

Ermittle die Eintrittswahrscheinlichkeit und die potenziellen Auswirkungen von Preisschwankungen bei einem bestimmten Rohstoff. Gegeben sei die folgende Wahrscheinlichkeitsverteilung des Rohstoffpreises (in Euro) zum jeweiligen Zeitpunkt:

• 50 €/t - Wahrscheinlichkeit: 0,2
• 60 €/t - Wahrscheinlichkeit: 0,5
• 70 €/t - Wahrscheinlichkeit: 0,3

Berechne den Erwartungswert und die Varianz des Rohstoffpreises.

Lösung:

Berechnung des Erwartungswerts und der Varianz des Rohstoffpreises

• Gegebene Wahrscheinlichkeitsverteilung:
• 50 €/t - Wahrscheinlichkeit: 0,2
• 60 €/t - Wahrscheinlichkeit: 0,5
• 70 €/t - Wahrscheinlichkeit: 0,3

• 1. Erwartungswert (\(E[X]\)) Berechnung:
• Der Erwartungswert wird berechnet, indem jeder Preis mit seiner jeweiligen Wahrscheinlichkeit multipliziert und die Produkte summiert werden.
• Formel: \(E[X] = \text{sum}(p_i \times x_i)\)
• \(E[X] = (50 \times 0,2) + (60 \times 0,5) + (70 \times 0,3)\)
• \(E[X] = 10 + 30 + 21 = 61€ / t\)

• 2. Varianz (\(\text{Var}(X)\)) Berechnung:
• Die Varianz misst die durchschnittliche Abweichung vom Erwartungswert.
• Formel: \(\text{Var}(X) = \text{sum}(p_i \times (x_i - E[X])^2)\)
• Berechnung der Abweichungen:\((50 - 61)^2 = 121\)\((60 - 61)^2 = 1\)\((70 - 61)^2 = 81\)
• Multiplikation der Abweichungsquadrate mit den jeweiligen Wahrscheinlichkeiten und Summieren:\(\text{Var}(X) = (0,2 \times 121) + (0,5 \times 1) + (0,3 \times 81)\)\(\text{Var}(X) = 24,2 + 0,5 + 24,3 = 49€^2 / t^2\)

• Zusammenfassung:
• Erwartungswert (\(E[X]\)): 61 €/t
• Varianz (\(\text{Var}(X)\)): 49 €²/t²

b)

Führe eine Monte-Carlo-Simulation durch, um die Unsicherheit bei den Rohstoffpreisen zu modellieren. Simuliere 1000 Preisentwicklungen basierend auf der gegebenen Wahrscheinlichkeitsverteilung. Stelle die simulierten Preise grafisch dar (z.B. Histogramm) und berechne die 95%-Konfidenzintervall der simulierten Rohstoffpreise.

Lösung:

Monte-Carlo-Simulation der Rohstoffpreise

• Um eine Monte-Carlo-Simulation durchzuführen, folgen wir diesen Schritten:
• 1. Generiere 1000 zufällige Rohstoffpreise basierend auf der gegebenen Wahrscheinlichkeitsverteilung.
• 2. Stelle die simulierten Preise in einem Histogramm dar.
• 3. Berechne das 95%-Konfidenzintervall der simulierten Preise.

1. Generierung der Rohstoffpreise:Wir verwenden die Wahrscheinlichkeiten 0,2, 0,5 und 0,3 für die Preise 50, 60 und 70 €/t entsprechend. Dafür nutzen wir Python und die Bibliothek numpy.

import numpy as npimport matplotlib.pyplot as plt# Wahrscheinlichkeitsverteilungpreise = [50, 60, 70]wahrscheinlichkeiten = [0.2, 0.5, 0.3]# Simuliere 1000 Rohstoffpreisesimulierte_preise = np.random.choice(preise, size=1000, p=wahrscheinlichkeiten)# Stelle die simulierten Preise als Histogramm darplt.hist(simulierte_preise, bins=range(45, 76, 5), edgecolor='black', alpha=0.7)plt.title('Histogramm der simulierten Rohstoffpreise')plt.xlabel('Preis (€/t)')plt.ylabel('Häufigkeit')plt.show()# Berechne das 95%-Konfidenzintervallconfidence_interval = np.percentile(simulierte_preise, [2.5, 97.5])print(f'95%-Konfidenzintervall: {confidence_interval}')

2. Histogramm der simulierten Preise:3. Berechnung des 95%-Konfidenzintervalls:Das Konfidenzintervall gibt uns den Bereich an, in dem 95% der simulierten Preise liegen.Nach der Berechnung:

• 95%-Konfidenzintervall der simulierten Preise: [50, 70] €

c)

Stelle ein Bayesianisches Modell auf, um die Risikobewertungen basierend auf neuen Informationen zu aktualisieren. Angenommen, neue Daten zeigen, dass sich die Wahrscheinlichkeit, dass der Rohstoffpreis auf 70 €/t fällt, auf 0,4 erhöht. Aktualisiere die Wahrscheinlichkeitsverteilung und berechne den neuen Erwartungswert sowie die neue Varianz.

Lösung:

Bayesianisches Modell zur Aktualisierung der Wahrscheinlichkeitsverteilung

• Um die Wahrscheinlichkeitsverteilung basierend auf neuen Informationen zu aktualisieren, verwenden wir ein bayesianisches Modell.

• Gegebene Wahrscheinlichkeiten:
• alter Preis 50 €/t - alte Wahrscheinlichkeit: 0,2
• alter Preis 60 €/t - alte Wahrscheinlichkeit: 0,5
• alter Preis 70 €/t - alte Wahrscheinlichkeit: 0,3

• Neue Information: Die Wahrscheinlichkeit, dass der Preis 70 €/t erreicht, erhöht sich auf 0,4.

• Wir müssen die Wahrscheinlichkeiten so umskalieren, dass ihre Summe wieder 1 ergibt.

Die bisherigen Wahrscheinlichkeiten (\(P(50) = 0,2\), \(P(60) = 0,5\), \(P(70) = 0,3\)) münden jetzt in eine neue Prior-Wahrscheinlichkeit (\(P'(70) = 0,4\)).Diese neuen Wahrscheinlichkeiten müssen angepasst werden:

• Summe der alten Wahrscheinlichkeiten ohne 70 €/t: \(P(50) + P(60) = 0,2 + 0,5 = 0,7\)
• Neue Wahrscheinlichkeiten:\[P'(50) = P(50) \times \frac{1-0,4}{0,7}\]\[P'(50) = 0,2 \times \frac{0,6}{0,7} \approx 0,1714\]\[P'(60) = P(60) \times \frac{1-0,4}{0,7}\]\[P'(60) = 0,5 \times \frac{0,6}{0,7} \approx 0,4286\]\[P'(70) = 0,4\]

• Neue Wahrscheinlichkeiten:
• 50 €/t: \(0,1714\)
• 60 €/t: \(0,4286\)
• 70 €/t: \(0,4\)

• Neuer Erwartungswert (\(E[X]\)):
• \[E[X] = 50 \times 0,1714 + 60 \times 0,4286 + 70 \times 0,4\]
• \[E[X] = 8.57 + 25.71 + 28 = 62.28 €/t\]

• Neue Varianz (\(\text{Var}(X)\)):
• Abweichungen:\((50 - 62.28)^2 = 150.1584\)\((60 - 62.28)^2 = 5.1984\)\((70 - 62.28)^2 = 59.5584\)
• Varianz: \(\text{Var}(X) = P'(50) \times 150.1584 + P'(60) \times 5.1984 + P'(70) \times 59.5584\)\[\text{Var}(X) = 0.1714 \times 150.1584 + 0.4286 \times 5.1984 + 0.4 \times 59.5584\]\[\text{Var}(X) = 25.7484 + 2.2274 + 23.8234 \approx 51.7992 €/t^2\]

• Zusammenfassung:
• Neuer Erwartungswert (\(E[X]\)): 62.28 €/t
• Neue Varianz (\(\text{Var}(X)\)): 51.7992 €/t²

d)

Berechne den Value-at-Risk (VaR) für das Unternehmen zur Bestimmung des maximalen potenziellen Verlusts bei einem Konfidenzniveau von 99%. Vergleiche die früheren und aktualisierten Wahrscheinlichkeitsverteilungen und erläutere, wie sich die Änderungen in der Risikobewertung auf den VaR auswirken.

Lösung:

Berechnung des Value-at-Risk (VaR) bei einem Konfidenzniveau von 99%Der Value-at-Risk (VaR) gibt den maximalen potenziellen Verlust eines Unternehmens bei einem bestimmten Konfidenzniveau an. In diesem Fall berechnen wir den VaR bei einem 99%-Konfidenzniveau basierend auf den früheren und aktualisierten Wahrscheinlichkeitsverteilungen.

• 1. Frühere Wahrscheinlichkeitsverteilung:
• 50 €/t - Wahrscheinlichkeit: 0,2
• 60 €/t - Wahrscheinlichkeit: 0,5
• 70 €/t - Wahrscheinlichkeit: 0,3

• 2. Aktualisierte Wahrscheinlichkeitsverteilung:
• 50 €/t - Wahrscheinlichkeit: 0,1714
• 60 €/t - Wahrscheinlichkeit: 0,4286
• 70 €/t - Wahrscheinlichkeit: 0,4

• Berechnung des Value-at-Risk (VaR):
• Wir verwenden eine Monte-Carlo-Simulation, um den VaR bei einem Konfidenzniveau von 99% zu berechnen. Dazu simulieren wir 1000 Preise basierend auf den Wahrscheinlichkeitsverteilungen und bestimmen das 1%-Quantil der simulierten Preise.

1. Frühere Wahrscheinlichkeitsverteilung:

import numpy as npimport matplotlib.pyplot as plt# Wahrscheinlichkeitsverteilung für frühere Preisepreise_frueher = [50, 60, 70]wahrscheinlichkeiten_frueher = [0.2, 0.5, 0.3]# Simuliere 1000 Rohstoffpreise basierend auf der früheren Wahrscheinlichkeitsverteilungsimulierte_preise_frueher = np.random.choice(preise_frueher, size=1000, p=wahrscheinlichkeiten_frueher)# Sortiere die Preise und bestimme das 1%-QuantilVaR_frueher = np.percentile(simulierte_preise_frueher, 1)print(f'VaR (frühere Verteilung) bei 99%-Konfidenzniveau: {VaR_frueher} €/t')

2. Aktualisierte Wahrscheinlichkeitsverteilung:

# Wahrscheinlichkeitsverteilung für aktualisierte Preisepreise_aktualisiert = [50, 60, 70]wahrscheinlichkeiten_aktualisiert = [0.1714, 0.4286, 0.4]# Simuliere 1000 Rohstoffpreise basierend auf der aktualisierten Wahrscheinlichkeitsverteilungsimulierte_preise_aktualisiert = np.random.choice(preise_aktualisiert, size=1000, p=wahrscheinlichkeiten_aktualisiert)# Sortiere die Preise und bestimme das 1%-QuantilVaR_aktualisiert = np.percentile(simulierte_preise_aktualisiert, 1)print(f'VaR (aktualisierte Verteilung) bei 99%-Konfidenzniveau: {VaR_aktualisiert} €/t')

• Änderungen in der Risikobewertung und Implikationen:

• Der VaR bezieht sich auf den maximalen Verlust, den das Unternehmen mit 99%-iger Sicherheit nicht überschreitet.
• Früherer VaR:
• Basierend auf der früheren Wahrscheinlichkeitsverteilung beträgt der VaR: \( VaR_{frueher} \). Die Simulation könnte beispielsweise einen Wert von 50 €/t ergeben.
• Aktualisierter VaR:
• Basierend auf der aktualisierten Wahrscheinlichkeitsverteilung beträgt der VaR: \( VaR_{aktualisiert} \). Die Simulation könnte beispielsweise einen Wert von 50 €/t ergeben.
• Implikationen der Änderungen:
• Durch die Erhöhung der Wahrscheinlichkeit von 70 €/t wurde die Verteilung der Rohstoffpreise verändert. Dies könnte den VaR beeinflussen.
• Ein höheres \( VaR_{aktualisiert} \) im Vergleich zu \( VaR_{frueher} \) würde bedeuten, dass das Unternehmen mit einem höheren maximalen Verlust rechnen muss.
• Eine gründliche Analyse der Änderungen ist entscheidend, um die Risikobewertungen besser zu verstehen und entsprechend zu handeln.

• Zusammenfassung:

• Die bayesianische Aktualisierung der Wahrscheinlichkeitsverteilung und die Berechnung des VaR helfen dabei, die potenziellen Risiken für das Unternehmen zu bewerten.
• Die Monte-Carlo-Simulation gibt eine präzise Ermittlung des VaR, was für Entscheidungen im Risikomanagement äußerst nützlich ist.