Geometrie - Cheatsheet.pdf

Eigenschaften und Klassifizierungen von Dreiecken, Quadraten und Kreisen

Definition:

Eigenschaften und Klassifizierungen von Dreiecken, Quadraten und Kreisen.

Details:

• Dreiecke: Summe der Innenwinkel ist immer 180°.
• Klassifizierungen Dreieck: Gleichseitig (alle Seiten gleich), gleichschenklig (zwei Seiten gleich), ungleichseitig.
• Wichtige Formeln für Dreiecke: Fläche \(A = \frac{1}{2} \cdot Grundseite \cdot Höhe\)
• Quadrate: Vier gleiche Seiten, vier rechte Winkel (90°).
• Wichtige Formeln für Quadrate: Fläche \(A = a^2\), Umfang \(U = 4a\)
• Kreise: Alle Punkte haben den gleichen Abstand vom Mittelpunkt.
• Wichtige Formeln für Kreise: Fläche \(A = \pi r^2\), Umfang \(U = 2 \pi r\)

Translation, Rotation, Spiegelung und Skalierung

Definition:

Details:

• Translation: Verschiebung eines Objekts um einen Vektor \(\begin{pmatrix}t_x \ t_y \end{pmatrix}\).
• Rotation: Drehung eines Objekts um einen Winkel \(\theta\) um einen Punkt (meist den Ursprung). Rotationsmatrix: \(\begin{pmatrix}\text{cos}(\theta) & -\text{sin}(\theta) \ \text{sin}(\theta) & \text{cos}(\theta) \end{pmatrix}\).
• Spiegelung: Spiegelung eines Objekts an einer Achse. Zum Beispiel an der x-Achse: \(\begin{pmatrix}1 & 0 \ 0 & -1 \end{pmatrix}\).
• Skalierung: Vergrößerung/Verkleinerung eines Objekts durch Multiplikation mit Skalierungsfaktoren \(s_x, s_y\). Skalierungsmatrix: \(\begin{pmatrix}s_x & 0 \ 0 & s_y \end{pmatrix}\).

Koordinatensysteme und Vektoren

Definition:

Darstellung von Punkten im Raum mittels geordneter Zahlenpaare/triple; Vektoren sind gerichtete Größen zur Beschreibung von Richtung und Betrag.

Details:

• Einheitsvektoren: \( \mathbf{i}, \mathbf{j}, \mathbf{k} \)
• Vektoren: \( \mathbf{v} = (v_1, v_2, ..., v_n) \)
• Betrag eines Vektors: \( ||\mathbf{v}|| = \sqrt{v_1^2 + v_2^2 + ... + v_n^2} \)
• Skalarprodukt: \( \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = u_1v_1 + u_2v_2 + ... + u_nv_n \)
• Vektorprodukt (nur in 3D): \( \mathbf{u} \times \mathbf{v} = (u_2v_3 - u_3v_2, u_3v_1 - u_1v_3, u_1v_2 - u_2v_1) \)
• Koordinatentransformationen: Wechsel von einem Koordinatensystem in ein anderes
• Wichtige Koordinatensysteme: kartesisch, polar, zylindrisch, sphärisch

Satz des Pythagoras und seine Anwendungen

Definition:

In einem rechtwinkligen Dreieck ist das Quadrat der Hypotenuse gleich der Summe der Quadrate der Katheten.

Details:

• Formel: \[a^2 + b^2 = c^2\]
• a und b: Längen der Katheten
• c: Länge der Hypotenuse
• Anwendungen: Bestimmung von Längen im rechtwinkligen Dreieck, Euklidische Distanz, Trigonometrie, Architektur

Kreuzprodukt und Skalarprodukt

Definition:

Kreuzprodukt und Skalarprodukt sind Operationen in der Vektorrechnung, die zwei Vektoren zu einem neuen mathematischen Objekt kombinieren.

Details:

• Skalarprodukt (Dot-Produkt): Berechnung durch \( \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \sum_{i=1}^{n} a_i b_i \). Resultat ist ein Skalar.
• Kreuzprodukt (Vektorprodukt): Gilt nur in \( \mathbb{R}^3 \). Berechnung durch \( \mathbf{a} \times \mathbf{b} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \ \ a_1 & a_2 & a_3\ \ b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix} \). Resultat ist ein Vektor.
• Wichtig: \( \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 0 \) bei orthogonalen Vektoren, \( \mathbf{a} \times \mathbf{b} = \mathbf{0} \) bei parallelen Vektoren.
• Anwendungen in Physik und Ingenieurwesen zur Bestimmung von Projektionen, Winkeln, Flächen und Volumina.

Komposition von Transformationen

Definition:

Verkettung mehrerer geometrischer Transformationen in einer bestimmten Reihenfolge.

Details:

• Reihenfolge der Transformationen ist wichtig
• Häufige Transformationen: Translation, Rotation, Skalierung, Spiegelung
• Mathematische Darstellung: Wenn Transformationen durch Matrizen dargestellt sind, entspricht die Komposition der Matrixmultiplikation
• A \text{ und } B seien Transformationen, dann ist die Komposition C = A(B(x))
• Komposition ist im Allgemeinen nicht kommutativ: A(B(x)) e B(A(x))

Grundbegriffe der Topologie (offene und geschlossene Mengen, Basis)

Definition:

Grundlegende Konzepte der Topologie beinhalten offene und geschlossene Mengen sowie Basen.

Details:

• Offene Mengen: Eine Menge \( U \subseteq X \) ist offen, falls für jedes \( x \in U \) eine Umgebung \( V \) existiert, sodass \( V \subseteq U \).
• Geschlossene Mengen: Eine Menge \( A \subseteq X \) ist geschlossen, falls \( X \setminus A \) offen ist.
• Basis: Eine Menge \({\cal B}\) offener Mengen in \( X \), sodass jede offene Menge eine Vereinigung von Mengen aus \({\cal B}\) ist.

Anwendung der Transformationsgeometrie in der analytischen Geometrie

Definition:

Transformationsgeometrie hilft bei der Untersuchung und Modellierung von geometrischen Formen und deren Eigenschaften unter verschiedenen Transformationen in der analytischen Geometrie.

Details:

• Translationen: Verschiebung von Punkten um einen Vektor \(\vec{v}\); \((x,y) \rightarrow (x+a, y+b)\)
• Drehungen: Rotationen um einen Punkt; \((x',y') = (x \cos \theta - y \sin \theta, x \sin \theta + y \cos \theta)\).
• Skalierungen: Vergrößerung/Verkleinerung; \((x',y') = (kx, ly)\).
• Spiegelungen: Punktspiegelung an einer Geraden; z.B. an der x-Achse: \(y' = -y\).
• Scherungen: Verzerrung eines Rechtecks zu einem Parallelogramm; \((x',y') = (x + ky, y)\).
• Matrixdarstellung: \(\mathbf{x}' = \mathbf{A} \mathbf{x} + \vec{b}\) für lineare Transformationen