Geometrie - Exam.pdf

Aufgabe 1)

Gegeben ist ein rechteckiges Grundstück, das in drei gleich große rechteckige Teilgrundstücke aufgeteilt wurde. In der Mitte jedes Teilgrundstücks wird ein runder Blumengarten mit dem maximal möglichen Radius angelegt.

a)

Berechne den Gesamtumfang der drei Blumengärten, wenn die Breite des gesamten Grundstücks 15 Meter beträgt und die Länge des gesamten Grundstücks 30 Meter ist. Notiere deine Berechnungen vollständig und detailliert.

Lösung:

Lösung:

• Das gesamte Grundstück hat eine Breite von 15 Metern und eine Länge von 30 Metern.
• Das Grundstück wird in drei gleich große rechteckige Teilgrundstücke aufgeteilt.
• Jedes Teilgrundstück hat dann folgende Abmessungen:
  • Breite: 15 Meter (gleiche Breite wie das gesamte Grundstück)
  • Länge: \(\frac{30}{3}\) Meter = 10 Meter (durch 3 geteilt, da es drei Teilgrundstücke gibt)
• In der Mitte jedes Teilgrundstücks wird ein runder Blumengarten angelegt. Der mögliche maximale Radius des Kreises wird durch die kürzere Seite des Teilgrundstücks bestimmt.
• Der maximale Radius des Kreises ist also: \(\frac{10}{2}\) Meter = 5 Meter.
• Der Umfang eines Kreises wird mit folgender Formel berechnet: \(U = 2\pi r\), wobei r der Radius ist.
• Für unseren Blumengarten ist der Umfang:
  • \(U = 2 \pi \times 5 = 10 \pi\) Meter.
• Da es drei Blumengärten gibt, beträgt der Gesamtumfang:
  • \(U_{gesamt} = 3 \times 10 \pi = 30 \pi\) Meter.

b)

Bestimme die Gesamtfläche der drei Blumengärten und überprüfe, ob die Summe der Flächen der Blumengärten ein Drittel der Gesamtfläche des Grundstücks übersteigt. Begründe deine Antwort mit mathematischen Berechnungen.

Lösung:

Lösung:

• Das gesamte Grundstück hat eine Breite von 15 Metern und eine Länge von 30 Metern.
• Das Grundstück wird in drei gleich große rechteckige Teilgrundstücke aufgeteilt.
• Jedes Teilgrundstück hat dann folgende Abmessungen:
  • Breite: 15 Meter (gleiche Breite wie das gesamte Grundstück)
  • Länge: \(\frac{30}{3}\) Meter = 10 Meter (durch 3 geteilt, da es drei Teilgrundstücke gibt)
• Die gesamte Fläche des Grundstücks beträgt:
  • \(A_{gesamt} = 15 \times 30 = 450\) Quadratmeter
• In der Mitte jedes Teilgrundstücks wird ein runder Blumengarten angelegt. Der mögliche maximale Radius des Kreises wird durch die kürzere Seite des Teilgrundstücks bestimmt.
• Der maximale Radius des Kreises ist also: \(\frac{10}{2}\) Meter = 5 Meter.
• Die Fläche eines Kreises wird mit folgender Formel berechnet: \(A = \pi r^2\), wobei r der Radius ist.
• Für einen Blumengarten beträgt die Fläche:
  • \(A = \pi \times 5^2 = 25 \pi\) Quadratmeter.
• Da es drei Blumengärten gibt, beträgt die Gesamtfläche der Blumengärten:
  • \(A_{gesamt} \text{ (Blumengärten)} = 3 \times 25 \pi = 75 \pi\) Quadratmeter.
• Ein Drittel der Gesamtfläche des Grundstücks beträgt:
  • \(\frac{1}{3} \times 450 = 150\) Quadratmeter.
• Nun überprüfen wir, ob die Gesamtfläche der Blumengärten ein Drittel der Gesamtfläche des Grundstücks übersteigt:
• \(75 \pi\) ist ungefähr 235,62 Quadratmeter (da \(\pi\) ungefähr 3,14159 ist).
• 235,62 Quadratmeter ist größer als 150 Quadratmeter.

Aufgabe 3)

Gegeben sind zwei Vektoren im dreidimensionalen kartesischen Koordinatensystem:

• Der Vektor\[ \mathbf{u} = (2, -1, 3) \]
• Der Vektor\[ \mathbf{v} = (1, 4, -2) \]
  • Stelle sicher, dass du alle benötigten Berechnungen ausführlich dokumentierst.
  • Benutze die Einheitsvektoren \( \mathbf{i}, \mathbf{j}, \mathbf{k} \) zur Darstellung der Vektoren, wenn möglich.

a)

Sub-Exercise 1: Berechne die Beträge der beiden Vektoren \( \mathbf{u} \) und \( \mathbf{v} \).

• Vergiss nicht den Betrag mit der Formel \( ||\mathbf{v}|| = \sqrt{v_1^2 + v_2^2 + v_3^2} \) zu bestimmen.
• Stelle die Schritte deiner Berechnung dar und vereinfache die Wurzelausdrücke, wo möglich.

Lösung:

Gegeben sind zwei Vektoren im dreidimensionalen kartesischen Koordinatensystem:

• Der Vektor \( \mathbf{u} = (2, -1, 3) \)
• Der Vektor \( \mathbf{v} = (1, 4, -2) \)
• Stelle sicher, dass du alle benötigten Berechnungen ausführlich dokumentierst.
• Benutze die Einheitsvektoren \( \mathbf{i}, \mathbf{j}, \mathbf{k} \) zur Darstellung der Vektoren, wenn möglich.
Sub-Exercise 1: Berechne die Beträge der beiden Vektoren \( \mathbf{u} \) und \( \mathbf{v} \).
• Vergiss nicht den Betrag mit der Formel \( ||\mathbf{v}|| = \sqrt{v_1^2 + v_2^2 + v_3^2} \) zu bestimmen.
• Stelle die Schritte deiner Berechnung dar und vereinfache die Wurzelausdrücke, wo möglich.
Berechnung: Schritt 1: Die Betragsformel anwenden.
• Für den Vektor \( \mathbf{u} = 2 \mathbf{i} - 1 \mathbf{j} + 3 \mathbf{k} \) :
• Betragsformel: \[ ||\mathbf{u}|| = \sqrt{u_1^2 + u_2^2 + u_3^2} \]
• \[ u_1 = 2, \ u_2 = -1, \ u_3 = 3 \]
• \[ ||\mathbf{u}|| = \sqrt{(2)^2 + (-1)^2 + (3)^2} \]
• \[ ||\mathbf{u}|| = \sqrt{4 + 1 + 9} \]
• \[ ||\mathbf{u}|| = \sqrt{14} \]
• Für den Vektor \( \mathbf{v} = 1 \mathbf{i} + 4 \mathbf{j} - 2 \mathbf{k} \) :
• Betragsformel: \[ ||\mathbf{v}|| = \sqrt{v_1^2 + v_2^2 + v_3^2} \]
• \[ v_1 = 1, \ v_2 = 4, \ v_3 = -2 \]
• \[ ||\mathbf{v}|| = \sqrt{(1)^2 + (4)^2 + (-2)^2} \]
• \[ ||\mathbf{v}|| = \sqrt{1 + 16 + 4} \]
• \[ ||\mathbf{v}|| = \sqrt{21} \]
Endergebnis:
• Der Betrag des Vektors \( \mathbf{u} \) ist \( \sqrt{14} \).
• Der Betrag des Vektors \( \mathbf{v} \) ist \( \sqrt{21} \).

b)

Sub-Exercise 2: Berechne das Skalarprodukt der beiden Vektoren \( \mathbf{u} \) und \( \mathbf{v} \).

• Erinnere Dich an die Formel \( \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = u_1v_1 + u_2v_2 + u_3v_3 \).
• Prüfe, ob die Vektoren orthogonal zueinander sind.

Bonusfrage: Was lässt sich über die Winkel zwischen diesen Vektoren aussagen?

Lösung:

Gegeben sind zwei Vektoren im dreidimensionalen kartesischen Koordinatensystem:

• Der Vektor \( \mathbf{u} = (2, -1, 3) \)
• Der Vektor \( \mathbf{v} = (1, 4, -2) \)
• Stelle sicher, dass du alle benötigten Berechnungen ausführlich dokumentierst.
• Benutze die Einheitsvektoren \( \mathbf{i}, \mathbf{j}, \mathbf{k} \) zur Darstellung der Vektoren, wenn möglich.
Sub-Exercise 2: Berechne das Skalarprodukt der beiden Vektoren \( \mathbf{u} \) und \( \mathbf{v} \).
• Erinnere Dich an die Formel \( \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = u_1v_1 + u_2v_2 + u_3v_3 \).
• Prüfe, ob die Vektoren orthogonal zueinander sind.

Bonusfrage: Was lässt sich über die Winkel zwischen diesen Vektoren aussagen?

Berechnung:Schritt 1: Bestimme das Skalarprodukt \( \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} \).
• Formel: \( \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = u_1v_1 + u_2v_2 + u_3v_3 \)
• Gegeben: \( \mathbf{u} = (2, -1, 3) \) und \( \mathbf{v} = (1, 4, -2) \)
• \( u_1 = 2, \ u_2 = -1, \ u_3 = 3 \)
• \( v_1 = 1, \ v_2 = 4, \ v_3 = -2 \)
• Berechnung:
  • \( \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = (2)(1) + (-1)(4) + (3)(-2) \)
  • \( \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = 2 - 4 - 6 \)
  • \( \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = -8 \)
Ergebnis:
• Das Skalarprodukt der Vektoren \( \mathbf{u} \) und \( \mathbf{v} \) ist \( -8 \).
Schritt 2: Prüfe, ob die Vektoren orthogonal sind.
• Für Orthogonalität muss gelten: \( \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = 0 \).
• Da \( \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = -8 \), sind die Vektoren \( \mathbf{u} \) und \( \mathbf{v} \) nicht orthogonal.

Bonusfrage: Was lässt sich über die Winkel zwischen diesen Vektoren aussagen?

• Der Winkel \( \theta \) zwischen zwei Vektoren kann durch die Formel bestimmt werden: \[ \cos \theta = \frac{\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}}{||\mathbf{u}|| \ ||\mathbf{v}||} \]
• Berechnung von \( \cos \theta \):
  • \( ||\mathbf{u}|| = \sqrt{14} \)
  • \( ||\mathbf{v}|| = \sqrt{21} \)
  • \( \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = -8 \)
  • \[ \cos \theta = \frac{-8}{\sqrt{14} \sqrt{21}} = \frac{-8}{\sqrt{294}} \]
• Der Winkel \( \theta \) zwischen den Vektoren \( \mathbf{u} \) und \( \mathbf{v} \) ist also der Winkel, dessen Kosinus \( \frac{-8}{\sqrt{294}} \) ist.

c)

Sub-Exercise 3: Führe das Vektorprodukt der beiden Vektoren \( \mathbf{u} \) und \( \mathbf{v} \) aus.

• Erinnere Dich an die Formel für das Vektorprodukt: \( \mathbf{u} \times \mathbf{v} = (u_2v_3 - u_3v_2, u_3v_1 - u_1v_3, u_1v_2 - u_2v_1) \).
• Berechne und gib den resultierenden Vektor an.
• Erläutere die geometrische Bedeutung des resultierenden Vektors in Bezug auf \( \mathbf{u} \) und \( \mathbf{v} \).

Lösung:

Gegeben sind zwei Vektoren im dreidimensionalen kartesischen Koordinatensystem:

• Der Vektor \( \mathbf{u} = (2, -1, 3) \)
• Der Vektor \( \mathbf{v} = (1, 4, -2) \)
• Stelle sicher, dass du alle benötigten Berechnungen ausführlich dokumentierst.
• Benutze die Einheitsvektoren \( \mathbf{i}, \mathbf{j}, \mathbf{k} \) zur Darstellung der Vektoren, wenn möglich.
Sub-Exercise 3: Führe das Vektorprodukt der beiden Vektoren \( \mathbf{u} \) und \( \mathbf{v} \) aus.
• Erinnere Dich an die Formel für das Vektorprodukt: \( \mathbf{u} \times \mathbf{v} = (u_2v_3 - u_3v_2, u_3v_1 - u_1v_3, u_1v_2 - u_2v_1) \).
• Berechne und gib den resultierenden Vektor an.
• Erläutere die geometrische Bedeutung des resultierenden Vektors in Bezug auf \( \mathbf{u} \) und \( \mathbf{v} \).
Berechnung:Schritt 1: Bestimme das Vektorprodukt \( \mathbf{u} \times \mathbf{v} \). Dazu verwenden wir die gegebene Formel: \( \mathbf{u} \times \mathbf{v} = (u_2v_3 - u_3v_2, u_3v_1 - u_1v_3, u_1v_2 - u_2v_1) \)
• Gegeben: \( \mathbf{u} = (2, -1, 3) \) und \( \mathbf{v} = (1, 4, -2) \)
• Berechnung:
• Erster Komponenten: \( u_2v_3 - u_3v_2 = (-1)(-2) - (3)(4) = 2 - 12 = -10 \)
• Zweite Komponenten: \( u_3v_1 - u_1v_3 = (3)(1) - (2)(-2) = 3 + 4 = 7 \)
• Dritte Komponenten: \( u_1v_2 - u_2v_1 = (2)(4) - (-1)(1) = 8 + 1 = 9 \)
• Resultierender Vektor: \( \mathbf{u} \times \mathbf{v} = (-10, 7, 9) \)
Ergebnis:
• Das Vektorprodukt des Vektors \( \mathbf{u} \) und \( \mathbf{v} \) ist \( \mathbf{u} \times \mathbf{v} = -10 \mathbf{i} + 7 \mathbf{j} + 9 \mathbf{k} \).
Schritt 2: Erläutere die geometrische Bedeutung des resultierenden Vektors.
• Das Vektorprodukt \( \mathbf{u} \times \mathbf{v} \) ergibt einen Vektor, der senkrecht sowohl zu \( \mathbf{u} \) als auch zu \( \mathbf{v} \) steht.
• Das heißt, \( \mathbf{u} \times \mathbf{v} \) ist orthogonal zu den Vektoren \( \mathbf{u} \) und \( \mathbf{v} \), und seine Richtung wird durch die Rechte-Hand-Regel bestimmt.
• Die Länge dieses Vektors entspricht der Fläche des Parallelogramms, das durch \( \mathbf{u} \) und \( \mathbf{v} \) aufgespannt wird.

Aufgabe 4)

Gegeben sei ein rechtwinkliges Dreieck ABC, wobei das rechtwinklige Dreieck einen rechten Winkel bei Punkt C hat. Die Kathetenlängen betragen AC = 3 cm und BC = 4 cm.

b)

Bestimme den Flächeninhalt des Dreiecks ABC.

Lösung:

Um den Flächeninhalt eines rechtwinkligen Dreiecks zu berechnen, kannst Du die Formel verwenden:

• Flächeninhalt = (1/2) * Grundlinie * Höhe

In unserem rechtwinkligen Dreieck ABC sind die beiden Katheten (AC und BC) die Grundlinie und die Höhe.

• AC = 3 cm (Grundlinie)
• BC = 4 cm (Höhe)

Setzen wir die Werte in die Formel ein:

• Flächeninhalt = (1/2) * AC * BC
• Flächeninhalt = (1/2) * 3 cm * 4 cm
• Flächeninhalt = (1/2) * 12 cm²
• Flächeninhalt = 6 cm²

Der Flächeninhalt des rechtwinkligen Dreiecks ABC beträgt somit 6 cm².

c)

Ein weiteres rechtwinkliges Dreieck DEF hat ebenfalls einen rechten Winkel bei Punkt F und die Hypotenuse DE besitzt die gleiche Länge wie die Hypotenuse von Dreieck ABC. Wenn die Katheten DF = 6 cm beträgt, finde die Länge der anderen Kathete EF.

Lösung:

Um die Länge der anderen Kathete EF im rechtwinkligen Dreieck DEF zu berechnen, können wir den Satz des Pythagoras anwenden. Wir wissen bereits, dass die Länge der Hypotenuse DE gleich der Länge der Hypotenuse des Dreiecks ABC ist, nämlich 5 cm.

• Sei DE = 5 cm (Hypotenuse)
• Sei DF = 6 cm (eine Kathete)
• Sei EF = x (die zu bestimmende Länge der anderen Kathete)

Wende den Satz des Pythagoras an:

• \(DF^2 + EF^2 = DE^2\)
• \(6^2 + x^2 = 5^2\)
• \(36 + x^2 = 25\)
• \(x^2 = 25 - 36\) -> ein Fehler liegt vor, daher ist es geometrisch nicht möglich

Hier liegt ein Fehler vor, da das Quadrat der Länge einer Seite nicht negativ sein kann. Das bedeutet, dass das Dreieck DEF mit den gegebenen Maßen nicht existieren kann. Vermutlich ist bei der Angabe der Kathetenlänge DF = 6 cm ein Fehler unterlaufen, da die Kathete nicht länger als die Hypotenuse sein kann. Prüfe die Aufgabenstellung und die gegebenen Maße noch einmal.

d)

In einem Koordinatensystem liegt der Punkt A bei (0,0), der Punkt B bei (3,0) und der Punkt C bei (3,4). Beweise, dass das Dreieck ABC ein rechtwinkliges Dreieck ist und berechne den Euklidischen Abstand zwischen den Punkten A und C.

Lösung:

Um zu beweisen, dass das Dreieck ABC ein rechtwinkliges Dreieck ist, prüfen wir die Längen der Seiten und stellen fest, ob diese den Satz des Pythagoras erfüllen. Anschließend berechnen wir den euklidischen Abstand zwischen den Punkten A und C.

1. Beweis, dass Dreieck ABC ein rechtwinkliges Dreieck ist:

• Punkt A: \((0,0)\)
• Punkt B: \((3,0)\)
• Punkt C: \((3,4)\)

Um zu zeigen, dass ABC ein rechtwinkliges Dreieck ist, berechnen wir die Längen der Seiten AC, BC und AB:

• \(AC: \sqrt{(3-0)^2 + (4-0)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \, \text{cm}\)
• \(BC: \sqrt{(3-3)^2 + (4-0)^2} = \sqrt{0 + 16} = \sqrt{16} = 4 \, \text{cm}\)
• \(AB: \sqrt{(3-0)^2 + (0-0)^2} = \sqrt{9 + 0} = \sqrt{9} = 3 \, \text{cm}\)

Nun prüfen wir den Satz des Pythagoras:

• \(AB^2 + BC^2 = AC^2\)
• \(3^2 + 4^2 = 5^2\)
• \(9 + 16 = 25\)
• \(25 = 25\)

Da die Gleichung erfüllt ist, ist bewiesen, dass das Dreieck ABC ein rechtwinkliges Dreieck ist.

2. Berechne den euklidischen Abstand zwischen den Punkten A und C:

Der euklidische Abstand zwischen zwei Punkten \((x_1, y_1)\) und \((x_2, y_2)\) ist durch die folgende Formel gegeben:

• \(d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\)

Setze die Koordinaten der Punkte A \((0,0)\) und C \((3,4)\) ein:

• \(d = \sqrt{(3 - 0)^2 + (4 - 0)^2}\)
• \(d = \sqrt{3^2 + 4^2}\)
• \(d = \sqrt{9 + 16}\)
• \(d = \sqrt{25}\)
• \(d = 5 \, \text{cm}\)

Der euklidische Abstand zwischen den Punkten A und C beträgt also 5 cm.