Lineare Algebra 1 - Cheatsheet.pdf

Definition von Vektorräumen und Untervektorräumen

Definition:

Ein Vektorraum ist eine Menge von Vektoren zusammen mit zwei Operationen (Addition und skalare Multiplikation), die bestimmten Axiomen genügen.

Details:

• Ein Untervektorraum ist eine Teilmenge eines Vektorraums, die selbst ein Vektorraum ist.
• Vektorraumaxiome: Assoziativität, Kommutativität der Addition; Existenz eines Nullvektors und eines inversen Elements; Distributivität der skalaren Multiplikation bezüglich Vektoraddition und Skalaraddition; Existenz eines Einselements für die skalare Multiplikation; Kompatibilität der skalaren Multiplikation.
• Untervektorraumkriterien: Nichtleer, abgeschlossen bezüglich Addition und skalare Multiplikation.

Basis und Dimension

Definition:

Eine Basis eines Vektorraums ist eine Menge von Vektoren, die den Raum aufspannen und linear unabhängig sind.

Details:

• Ein Vektorraum \( V \) hat eine Basis \( \{v_1, v_2, \ldots, v_n\} \).
• Jeder Vektor in \( V \) lässt sich eindeutig als Linearkombination der Basisvektoren darstellen.
• Die Dimension eines Vektorraums \( V \) ist die Anzahl der Vektoren in einer Basis von \( V \), bezeichnet als \( \dim(V) \).
• Wichtige Eigenschaft: Jede Basis eines Vektorraums hat gleich viele Elemente.

Darstellung linearer Abbildungen durch Matrizen

Definition:

Lineare Abbildungen zwischen Vektorräumen können durch Matrizen dargestellt werden, wenn Basen gewählt sind.

Details:

• Sei \(T: V \rightarrow W\) eine lineare Abbildung.
• Wähle Basen \(B_V = \{v_1, v_2, \ldots, v_n\}\) und \(B_W = \{w_1, w_2, \ldots, w_m\}\).
• Matrix \(A\) mit Komponenten \(a_{ij}\) ermittelt durch \(T(v_j) = \sum_{i=1}^m a_{ij} w_i\).
• Darstellung in Matrixform: \([T]_B = A\).
• Lineare Abbildung dann durch Matrix-Vektor-Produkt: \(T(v) = A[v]_B\).

Inversion und Rang von Matrizen

Definition:

Inversion und Rang von Matrizen beschäftigen sich mit der Bestimmung der Umkehrbarkeit und der Dimensionsbestimmung des Spalten- oder Zeilenraums einer Matrix.

Details:

• Eine Matrix \(A\) ist invertierbar, wenn es eine Matrix \(A^{-1}\) gibt, sodass \(A \cdot A^{-1} = I\).
• Der Rang einer Matrix ist die Anzahl der linear unabhängigen Zeilen oder Spalten.
• Rang \leq\ Anzahl der Zeilen und Spalten.
• Eine quadratische Matrix ist genau dann invertierbar, wenn ihr Rang gleich ihrer Dimension ist.
• Rang einer Matrix mit der Gaußschen Eliminationsmethode bestimmen.

Laplace-Entwicklung zur Berechnung von Determinanten

Definition:

Laplace-Entwicklung zur Berechnung einer Determinante $|A|$ eines $n \times n$-Matrix.

Details:

• Entwicklung entlang einer Zeile oder Spalte.
• Wähle eine Zeile/Spalte: $i$ oder $j$.
• Determinante $A_{ij}$ der Untermatrix durch Streichen der $i$-ten Zeile und $j$-ten Spalte.
• Formel für Zeilenentwicklung: \[|A| = \textstyle \sum_{j=1}^{n} (-1)^{i+j} a_{ij} |A_{ij}| \] für Spaltenentwicklung: \[|A| = \textstyle \sum_{i=1}^{n} (-1)^{i+j} a_{ij} |A_{ij}| \]

Charakteristische Gleichung und Diagonalisierung

Definition:

Charakteristische Gleichung bestimmt Eigenwerte von Matrizen. Diagonalisierung: Matrix wird durch diagonalisierbare Matrix ersetzt.

Details:

• Charakteristische Gleichung: \[ \text{det}(A - \lambda I) = 0 \]
• Eigenwerte \lambda durch Nullstellen der charakteristischen Gleichung
• Diagonalisierbarkeit: Matrix A ist diagonalisierbar, wenn sie n linear unabhängige Eigenvektoren hat
• Diagonalisierung: \[ A = PDP^{-1} \] wobei D eine Diagonalmatrix und P eine Matrix der Eigenvektoren ist

Eigenwerte und Eigenvektoren: Berechnung und Anwendungen

Definition:

Eigenwerte sind Skalare \(\lambda\), für die gilt, dass es einen Vektor \(\mathbf{v}\) gibt, der durch eine Matrix \(A\) nur skaliert wird: \(A\mathbf{v} = \lambda\mathbf{v}\). Dieser Vektor \(\mathbf{v}\) ist der Eigenvektor.

Details:

• Berechnung: Lösen von \(\det(A - \lambda I) = 0\) für \(\lambda\)
• Eigenvektoren: Lösen von \(A\mathbf{v} = \lambda\mathbf{v}\)
• Verwendung in der Diagonalisierung: \(A = PDP^{-1}\), wobei \(P\) die Matrix der Eigenvektoren und \(D\) die Diagonalmatrix der Eigenwerte ist
• Stabilitätsanalyse: Untersuchung des Verhaltens dynamischer Systeme
• PCA (Hauptkomponentenanalyse): Reduktion der Daten dimensionalität