Lineare Algebra 1 - Exam.pdf

Aufgabe 1)

Gegeben sei der Vektorraum \( \textbf{V} = \textbf{R}^3 \) mit den üblichen Operationen der Vektoraddition und der skalaren Multiplikation über den reellen Zahlen. Sei \( U \) eine Teilmenge von \( \textbf{R}^3 \), definiert durch:

\( U = \big\{ (x, y, z) \in \textbf{R}^3 \ | \ ax + by + cz = 0 \big\} \)

wobei \( a, b, \) und \( c \) gegebene reelle Zahlen sind, wobei mindestens eine der Konstanten ungleich Null ist.

c)

Betrachte nun den Fall, wenn die reellen Zahlen \( a = 1 \), \( b = 2 \), und \( c = 3 \) sind.

• Finde explizit zwei Vektoren, die eine Basis von \( U \) bilden.
• Überprüfe, dass diese Vektoren die Bedingung \( x + 2y + 3z = 0 \) erfüllen und dass sie linear unabhängig sind.

Lösung:

Gegeben sei die Gleichung der Ebene \( ax + by + cz = 0 \) mit den definierten Koeffizienten \( a = 1 \), \( b = 2 \) und \( c = 3 \). Das bedeutet, unser Untervektorraum \( U \) besteht aus allen Vektoren \((x, y, z) \in \textbf{R}^3\), die die Gleichung \( x + 2y + 3z = 0 \) erfüllen. Wir müssen zwei Vektoren finden, die diese Bedingung erfüllen und eine Basis von \( U \) bilden.

Finden zweier Basisvektoren:

Wir lösen die Gleichung nach einer der Variablen auf, z.B. nach \( x \):

\( x = -2y - 3z \).

Wir wählen willkürlich Werte für \( y \) und \( z \) und berechnen \( x \). Nehmen wir zunächst \( y = 1 \) und \( z = 0 \):

• \( x = -2(1) - 3(0) = -2 \)

Das ergibt den Vektor \((-2, 1, 0)\).

Nun wählen wir \( y = 0 \) und \( z = 1 \):

• \( x = -2(0) - 3(1) = -3 \)

Das ergibt den Vektor \((-3, 0, 1)\).

Unsere beiden Kandidaten für die Basis sind also \( \mathbf{u_1} = (-2, 1, 0) \) und \( \mathbf{u_2} = (-3, 0, 1) \).

Überprüfen der Bedingung \( x + 2y + 3z = 0 \):

• Für \( \mathbf{u_1} = (-2, 1, 0) \): \( -2 + 2(1) + 3(0) = -2 + 2 + 0 = 0 \)
• Für \( \mathbf{u_2} = (-3, 0, 1) \): \( -3 + 2(0) + 3(1) = -3 + 0 + 3 = 0 \)

Beide Vektoren erfüllen die Gleichung \( x + 2y + 3z = 0 \).

Überprüfen der linearen Unabhängigkeit:

Um die lineare Unabhängigkeit nachzuweisen, müssen wir zeigen, dass die einzige Lösung der Gleichung \( k_1 \mathbf{u_1} + k_2 \mathbf{u_2} = \mathbf{0} \) die triviale Lösung \( k_1 = 0 \) und \( k_2 = 0 \) ist.

Setzen wir \( \mathbf{u_1} \) und \( \mathbf{u_2} \) in diese Gleichung ein:

\( k_1(-2, 1, 0) + k_2(-3, 0, 1) = (0, 0, 0) \)

Das ergibt drei Gleichungen:

• \( -2k_1 - 3k_2 = 0 \)
• \( k_1 = 0 \)
• \( k_2 = 0 \)

Von der zweiten Gleichung haben wir \( k_1 = 0 \) und von der dritten Gleichung haben wir \( k_2 = 0 \). Diese sind die einzigen Lösungen, also sind die Vektoren \( \mathbf{u_1} = (-2, 1, 0) \) und \( \mathbf{u_2} = (-3, 0, 1) \) linear unabhängig.

Da die beiden Vektoren \( \mathbf{u_1} \) und \( \mathbf{u_2}\) die Bedingung \( x + 2y + 3z = 0 \) erfüllen und linear unabhängig sind, bilden sie eine Basis für den Untervektorraum \( U \). Die Dimension von \( U \) ist daher 2.

Aufgabe 2)

Betrachte den Vektorraum \( \textbf{V} \) über den reellen Zahlen \( \textbf{R} \), dessen Basis \( \textbf{B} = \{ \textbf{v}_1, \textbf{v}_2, \textbf{v}_3 \} \) aus den Vektoren \( \textbf{v}_1 = (1, 0, 0) \), \( \textbf{v}_2 = (0, 1, 0) \) und \( \textbf{v}_3 = (0, 0, 1) \) besteht. \( \textbf{w}_1 = (1, 1, 1) \), \( \textbf{w}_2 = (1, 2, 3) \) und \( \textbf{w}_3 = (2, 1, 2) \) sind Vektoren in \( \textbf{V} \). Du sollst die folgenden Teilaufgaben lösen:

a)

• Bestimmung von Linearkombinationen:
• Drücke den Vektor \( \textbf{w}_1 \) als Linearkombination der Basisvektoren \( \textbf{v}_1, \textbf{v}_2, \textbf{v}_3 \) aus.
• Der Vektor \( \textbf{w}_1 \) kann als \( \textbf{w}_1 = a \cdot \textbf{v}_1 + b \cdot \textbf{v}_2 + c \cdot \textbf{v}_3 \) geschrieben werden. Bestimme die Koeffizienten \( a, b \) und \( c \).

Lösung:

• Bestimmung von Linearkombinationen:
• Drücke den Vektor \( \textbf{w}_1 \) als Linearkombination der Basisvektoren \( \textbf{v}_1, \textbf{v}_2, \textbf{v}_3 \) aus.
• Der Vektor \( \textbf{w}_1 \) kann als \( \textbf{w}_1 = a \cdot \textbf{v}_1 + b \cdot \textbf{v}_2 + c \cdot \textbf{v}_3 \) geschrieben werden. Bestimme die Koeffizienten \( a, b \) und \( c \).

• Gegeben sind die Vektoren:
• \( \textbf{v}_1 = (1, 0, 0) \)
• \( \textbf{v}_2 = (0, 1, 0) \)
• \( \textbf{v}_3 = (0, 0, 1) \)
• \( \textbf{w}_1 = (1, 1, 1) \)
• Wir wollen \( \textbf{w}_1 \) als Linearkombination der Basisvektoren schreiben:
• \( \textbf{w}_1 = a \cdot \textbf{v}_1 + b \cdot \textbf{v}_2 + c \cdot \textbf{v}_3 \)
• Daraus ergibt sich:
• \([1, 1, 1] = a[1, 0, 0] + b[0, 1, 0] + c[0, 0, 1] \)
• Dies führt zu folgendem Gleichungssystem:
• \(1 = a \)
• \(1 = b \)
• \(1 = c \)
• Die Koeffizienten sind daher:
• \( a = 1 \)
• \( b = 1 \)
• \( c = 1 \)
• Somit kann der Vektor \( \textbf{w}_1 \) als:
• \( \textbf{w}_1 = 1 \cdot \textbf{v}_1 + 1 \cdot \textbf{v}_2 + 1 \cdot \textbf{v}_3 \)
• geschrieben werden.

b)

• Prüfung der Linearunabhängigkeit:
• Überprüfe, ob die Vektoren \( \textbf{w}_1, \textbf{w}_2 \) und \( \textbf{w}_3 \) linear unabhängig sind. Falls ja, begründe die Antwort.
• Falls nein, zeige dies durch Angabe einer nicht-trivialen Linearkombination, die den Nullvektor ergibt.

Lösung:

• Prüfung der Linearunabhängigkeit:
• Überprüfe, ob die Vektoren \( \textbf{w}_1, \textbf{w}_2 \) und \( \textbf{w}_3 \) linear unabhängig sind. Falls ja, begründe die Antwort.
• Falls nein, zeige dies durch Angabe einer nicht-trivialen Linearkombination, die den Nullvektor ergibt.

• Gegeben sind die Vektoren:
• \( \textbf{w}_1 = (1, 1, 1) \)
• \( \textbf{w}_2 = (1, 2, 3) \)
• \( \textbf{w}_3 = (2, 1, 2) \)
• Wir prüfen die Linearunabhängigkeit, indem wir untersuchen, ob die Gleichung:
• \( c_1 \cdot \textbf{w}_1 + c_2 \cdot \textbf{w}_2 + c_3 \cdot \textbf{w}_3 = (0, 0, 0) \)
• nur die triviale Lösung \( c_1 = c_2 = c_3 = 0 \) hat. Dazu stellen wir ein lineares Gleichungssystem auf:
• \( c_1 \cdot (1, 1, 1) + c_2 \cdot (1, 2, 3) + c_3 \cdot (2, 1, 2) = (0, 0, 0) \)
• Dies ergibt folgendes Gleichungssystem:
• \( c_1 + c_2 + 2c_3 = 0 \)
• \( c_1 + 2c_2 + c_3 = 0 \)
• \( c_1 + 3c_2 + 2c_3 = 0 \)
• Wir schreiben das als erweiterte Koeffizientenmatrix:
• \( A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 & | & 0 \ 1 & 2 & 1 & | & 0 \ 1 & 3 & 2 & | & 0 \end{pmatrix} \)
• Wir bringen die Matrix in die Zeilenstufenform (RREF). Fangen wir an mit der zweiten Zeile minus der ersten Zeile:
• \( R_2 - R_1 \rightarrow R_2 \)
• \( \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 & | & 0 \ 0 & 1 & -1 & | & 0 \ 1 & 3 & 2 & | & 0 \end{pmatrix} \)
• Nun ziehen wir die erste Zeile von der dritten Zeile ab:
• \( R_3 - R_1 \rightarrow R_3 \)
• \( \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 & | & 0 \ 0 & 1 & -1 & | & 0 \ 0 & 2 & 0 & | & 0 \end{pmatrix} \)
• Jetzt halbieren wir die dritte Zeile:
• \( \frac{1}{2} R_3 \rightarrow R_3 \)
• \( \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 & | & 0 \ 0 & 1 & -1 & | & 0 \ 0 & 1 & 0 & | & 0 \end{pmatrix} \)
• Nun ziehen wir die dritte Zeile von der zweiten Zeile ab:
• \( R_2 - R_3 \rightarrow R_2 \)
• \( \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 & | & 0 \ 0 & 0 & -1 & | & 0 \ 0 & 1 & 0 & | & 0 \end{pmatrix} \)
• Zum Schluss die dritte Zeile minus zwei mal der zweiten Zeile:
• \( R_1 - 2 \times R_3 - R_2 \rightarrow R_1 \)
• \( \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & | & 0 \ 0 & 0 & -1 & | & 0 \ 0 & 1 & 0 & | & 0 \end{pmatrix} \)
• Die zweite Zeile sagt aus, dass \( -c_3 = 0 \), also \( c_3 = 0 \).
• Die dritte Zeile sagt aus, dass \( c_2 = 0 \).
• Die erste Zeile sagt aus, dass \( c_1 = 0 \).
• Dies zeigt, dass die einzige Lösung \( c_1 = c_2 = c_3 = 0 \) ist.
• Da die Koeffizienten nur die triviale Lösung haben, sind die Vektoren \( \textbf{w}_1, \textbf{w}_2 \) und \( \textbf{w}_3 \) linear unabhängig.

c)

• Dimension des Unterraumes:
• Bestimme die Dimension des von den Vektoren \( \textbf{w}_1, \textbf{w}_2 \) und \( \textbf{w}_3 \) aufgespannten Unterraums von \( \textbf{V} \).

Lösung:

• Dimension des Unterraumes:
• Bestimme die Dimension des von den Vektoren \( \textbf{w}_1, \textbf{w}_2 \) und \( \textbf{w}_3 \) aufgespannten Unterraums von \( \textbf{V} \).

• Gegeben sind die Vektoren:
• \( \textbf{w}_1 = (1, 1, 1) \)
• \( \textbf{w}_2 = (1, 2, 3) \)
• \( \textbf{w}_3 = (2, 1, 2) \)
• Um die Dimension des von diesen Vektoren aufgespannten Unterraums zu bestimmen, müssen wir die maximale Anzahl linear unabhängiger Vektoren unter \( \textbf{w}_1, \textbf{w}_2 \) und \( \textbf{w}_3 \) finden.
• Wir untersuchen die Linearunabhängigkeit dieser Vektoren, indem wir ihre Koeffizientenmatrix aufstellen und den Rang (dimensional rank) der Matrix bestimmen:
• \( A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \ 1 & 2 & 3 \ 2 & 1 & 2 \end{pmatrix} \)
• Bringen wir diese Matrix in die Zeilenstufenform (RREF):
• Erstens, wir subtrahieren die erste Zeile von der zweiten und dritten Zeile:
• \( R_2 = R_2 - R_1 \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \ 0 & 1 & 2 \ 2 & 1 & 2 \end{pmatrix} \)
• \( R_3 = R_3 - 2R_1 \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \ 0 & 1 & 2 \ 0 & -1 & 0 \end{pmatrix} \)
• Zweitens, wir addieren die zweite Zeile zur dritten Zeile:
• \( R_3 = R_3 + R_2 \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \ 0 & 1 & 2 \ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} \)
• Drittens, wir dividieren die dritte Zeile durch 2:
• \( R_3 = \frac{1}{2}R_3 \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \ 0 & 1 & 2 \ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \)
• Zuletzt, wir subtrahieren zweimal die dritte Zeile von der zweiten und subtrahieren die dritte und die zweite Zeile von der ersten Zeile:
• \( R_2 = R_2 - 2R_3 \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \ 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \)
• \( R_1 = R_1 - R_3 - R_2 \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \)
• Die Matrix ist nun in der reduzierten Zeilenstufenform. Sie hat 3 nicht triviale (nicht-Nulllinien) Zeilen.
• Da der Rang der Matrix 3 ist, sind die Vektoren \( \textbf{w}_1, \textbf{w}_2 \) und \( \textbf{w}_3 \) linear unabhängig und der von ihnen aufgespannte Unterraum hat die Dimension 3.

• Die Dimension des von den Vektoren \( \textbf{w}_1, \textbf{w}_2 \) und \( \textbf{w}_3 \) aufgespannten Unterraums ist 3.

d)

• Basiswechsel:
• Finde eine neue Basis für den Unterraum von \( \textbf{V} \), der von \( \textbf{w}_1 \) und \( \textbf{w}_2 \) aufgespannt wird.
• Gib die Transformationsmatrix an, die die Koordinaten eines Vektors bezüglich der Basis \( \{ \textbf{v}_1, \textbf{v}_2, \textbf{v}_3 \} \) in die Koordinaten bezüglich der neuen Basis umrechnet.

Lösung:

• Basiswechsel:
• Finde eine neue Basis für den Unterraum von \( \textbf{V} \), der von \( \textbf{w}_1 \) und \( \textbf{w}_2 \) aufgespannt wird.
• Gib die Transformationsmatrix an, die die Koordinaten eines Vektors bezüglich der Basis \( \{ \textbf{v}_1, \textbf{v}_2, \textbf{v}_3 \} \) in die Koordinaten bezüglich der neuen Basis umrechnet.

• Die gegebenen Vektoren sind:
• \( \textbf{w}_1 = (1, 1, 1) \)
• \( \textbf{w}_2 = (1, 2, 3) \)
• Diese Vektoren sind linear unabhängig (was durch die Rangsüberprüfung sichergestellt wurde). Daher können wir sie als Basis für den von ihnen aufgespannten Unterraum verwenden:
• Neue Basis für den Unterraum: \( \{ \textbf{w}_1, \textbf{w}_2 \} \)
• Um die Transformationsmatrix zu finden, die die Koordinaten eines Vektors von der Basis \( \{ \textbf{v}_1, \textbf{v}_2, \textbf{v}_3 \} \) in die Koordinaten hinsichtlich der neuen Basis \( \{ \textbf{w}_1, \textbf{w}_2 \} \) umrechnet, betrachten wir einen allgemeinen Vektor \( \textbf{x} \) in \( \textbf{V} \):
• Sei \( \textbf{x} = a \cdot \textbf{v}_1 + b \cdot \textbf{v}_2 + c \cdot \textbf{v}_3 \)
• Wir wollen \( \textbf{x} \) als \( \textbf{x} = e \cdot \textbf{w}_1 + f \cdot \textbf{w}_2 \) schreiben.
• Stellen wir das Gleichungssystem auf, um \( e \) und \( f \) zu finden:
• \( \textbf{x} = e \cdot (1, 1, 1) + f \cdot (1, 2, 3) \)
• \( a \cdot (1, 0, 0) + b \cdot (0, 1, 0) + c \cdot (0, 0, 1) = e \cdot (1, 1, 1) + f \cdot (1, 2, 3) \)
• Daraus folgt das lineare Gleichungssystem:
• \[ \begin{pmatrix} 1 & 1 \ 1 & 2 \ 1 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} e \ f \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a \ b \ c \end{pmatrix} \]
• Nun lösen wir dieses Gleichungssystem, um die Transformationsmatrix \( T \) zu finden:
• Matrix \( W \):
• \[ W = \begin{pmatrix} 1 & 1 \ 1 & 2 \ 1 & 3 \end{pmatrix} \]
• Bestimmen wir die Inverse von \( W \).
• Da der Rang von \( W \) 2 ist, verwenden wir die Pseudoinverse.
• Pseudoinverse von \( W \):
• \[ W^+ = \begin{pmatrix} 1 & 0 \ -0.5 & 0.5 \end{pmatrix} \]
• Die Transformationsmatrix \( T \) ist daher:
• \[ T = W^+ = \begin{pmatrix} 1 & 0 \ -0.5 & 0.5 \end{pmatrix} \]
• Diese Matrix \( T \) wandelt die Koordinaten eines Vektors von der Basis \( \{ \textbf{v}_1, \textbf{v}_2, \textbf{v}_3 \} \) in die Koordinaten der neuen Basis \( \{ \textbf{w}_1, \textbf{w}_2 \} \) um.

Aufgabe 3)

Betrachte die lineare Abbildung \(T: \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^2\), die durch \(T(v) = Av\) mit der Matrix \(A\) gegeben ist. Die Matrix \(A\) sei definiert als: \[A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \ 0 & -1 & 3 \end{pmatrix}\]Es seien Basen für die Räume \(\mathbb{R}^3\) und \(\mathbb{R}^2\) gewählt: \(B_{\mathbb{R}^3} = \{ e_1, e_2, e_3 \}\) und \(B_{\mathbb{R}^2} = \{ f_1, f_2 \}\), wobei \(e_i\) die Standardbasisvektoren in \(\mathbb{R}^3\) und \(f_j\) die Standardbasisvektoren in \(\mathbb{R}^2\) sind. Führe die folgenden Schritte durch, um die lineare Abbildung zu analysieren und darzustellen.

Aufgabe 4)

Gegeben sei die quadratische Matrix

\[ A = \begin{pmatrix} 2 & 4 & -2 \ -2 & -3 & 1 \ 4 & 7 & -3 \end{pmatrix} \]

Untersuche die Eigenschaften dieser Matrix bezüglich ihrer Inversion und ihres Ranges.

a)

(a) Bestimme den Rang der Matrix \(A\) mittels der Gaußschen Eliminationsmethode. Zeige dabei alle Zwischenschritte und benutze die Ergebnismatrix, um den Rang zu bestimmen.

Lösung:

(a) Um den Rang der Matrix A mittels der Gaußschen Eliminationsmethode zu bestimmen, gehen wir folgendermaßen vor:

Gegeben sei die Matrix:

\[ A = \begin{pmatrix} 2 & 4 & -2 \ -2 & -3 & 1 \ 4 & 7 & -3 \end{pmatrix} \]

Wir müssen die Matrix in eine obere Dreiecksmatrix (Row Echelon Form) umwandeln, indem wir elementare Zeilenoperationen durchführen:

• Schritt 1: Wähle das Pivot-Element in der ersten Zeile und ersten Spalte (hier ist es 2). Teile die erste Zeile durch 2, um eine 1 im Pivot zu bekommen:

\[ \begin{pmatrix} 2 & 4 & -2 \ -2 & -3 & 1 \ 4 & 7 & -3 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \ -2 & -3 & 1 \ 4 & 7 & -3 \end{pmatrix} \]

• Schritt 2: Eliminiere die Elemente unterhalb des Pivot-Elements in der ersten Spalte:

Füge 2-mal die erste Zeile zur zweiten Zeile hinzu (um -2 im Pivot-Element der zweiten Zeile zu eliminieren):

\[ \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \ -2 & -3 & 1 \ 4 & 7 & -3 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \ 0 & 1 & -1 \ 4 & 7 & -3 \end{pmatrix} \]

Subtrahiere 4-mal die erste Zeile von der dritten Zeile (um 4 im Pivot-Element der dritten Zeile zu eliminieren):

\[ \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \ 0 & 1 & -1 \ 4 & 7 & -3 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \ 0 & 1 & -1 \ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix} \]

• Schritt 3: Eliminiere die Elemente unterhalb des Pivot-Elements der zweiten Zeile in der zweiten Spalte:

Füge die zweite Zeile zur dritten Zeile hinzu (um -1 im Pivot-Element der dritten Zeile zu eliminieren):

\[ \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \ 0 & 1 & -1 \ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \ 0 & 1 & -1 \ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \]

Die resultierende Matrix ist nun in der oberen Dreiecksform:

\[ \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \ 0 & 1 & -1 \ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \]

Um den Rang der Matrix zu bestimmen, zählen wir die Anzahl der nicht-trivialen Zeilen (Zeilen, die nicht ausschließlich aus Nullen bestehen): - Erste Zeile: \(1, 2, -1\) (nicht-triviale Zeile) - Zweite Zeile: \(0, 1, -1\) (nicht-triviale Zeile) - Dritte Zeile: \(0, 0, 0\) (triviale Zeile)

Wir finden, dass es zwei nicht-triviale Zeilen gibt. Daher ist der Rang der Matrix:

Rang(A) = 2

b)

(b) Überprüfe, ob die Matrix \(A\) invertierbar ist. Falls sie invertierbar ist, berechne die Inverse \(A^{-1}\). Falls sie nicht invertierbar ist, erläutere, warum dies der Fall ist.

Lösung:

(b) Um zu überprüfen, ob die Matrix A invertierbar ist, können wir verschiedene Eigenschaften einer invertierbaren Matrix untersuchen. Eine wichtige Eigenschaft ist, dass eine Matrix genau dann invertierbar ist, wenn ihr Determinant ungleich null ist.

Gegeben sei die Matrix:

\[ A = \begin{pmatrix} 2 & 4 & -2 \ -2 & -3 & 1 \ 4 & 7 & -3 \end{pmatrix} \]

Wir berechnen die Determinante von \(A\):

\[\text{det}(A) = \begin{vmatrix} 2 & 4 & -2 \ -2 & -3 & 1 \ 4 & 7 & -3 \end{vmatrix} \]

Die Determinante einer 3x3-Matrix kann durch die Regel von Sarrus berechnet werden:

\[\text{det}(A) = 2 \cdot (-3 \cdot -3 - 1 \cdot 7) - 4 \cdot (-2 \cdot -3 - 1 \cdot 4) + (-2) \cdot (-2 \cdot 7 - (-3) \cdot 4) \]

Berechnen wir die einzelnen Terme:

• Erster Term: \(2 \cdot (9 - 7) = 2 \cdot 2 = 4\)
• Zweiter Term: \(4 \cdot (6 - 4) = 4 \cdot 2 = 8\)
• Dritter Term: \(-2 \cdot (-14 + 12) = -2 \cdot -2 = 4\)

Setzen wir alles zusammen:

\[\text{det}(A) = 4 - 8 + 4 = 0 \]

Da die Determinante von \(A\) null ist, kann die Matrix nicht invertiert werden.

Zusammenfassend:

Die Matrix \(A\) ist nicht invertierbar, da ihre Determinante null ist.

c)

(c) Falls die Matrix invertierbar ist, überprüfe das Ergebnis, indem Du zeigst, dass \(A \times A^{-1} = I\). Wenn die Matrix nicht invertierbar ist, bespreche mögliche Wege, wie man die Invertierbarkeit einer Matrix verbessern kann.

Lösung:

(c) Da wir bereits festgestellt haben, dass die Matrix A nicht invertierbar ist, können wir nicht überprüfen, dass A \times A^-1 = I (die Identitätsmatrix).

Jedoch können wir über einige Wege sprechen, wie man die Invertierbarkeit einer Matrix möglicherweise verbessern könnte:

• Pivot-Elemente modifizieren: Eine Möglichkeit könnte darin bestehen, die Elemente der Matrix so zu modifizieren, dass der Rang erhöht wird. Zum Beispiel könnten einzelne Einträge so verändert werden, dass die Determinante ungleich null wird.
• Anwendung von regulierenden Methoden: In der numerischen Mathematik kann man reguläre Verfahren wie die Hinzufügung kleiner positiver Werte zu den Diagonalelementen (Tikhonov-Regularisierung) anwenden, um die Matrix invertierbar zu machen.
• Austausch von Zeilen/Spalten: Manchmal kann die Änderung der Reihenfolge (Umsortierung) von Zeilen oder Spalten zu einer Matrix führen, die invertierbar ist.
• Störungsmatrix hinzufügen: Manchmal kann das Hinzufügen einer kleinen Störungsmatrix dazu führen, dass die Matrix invertierbar wird.
• Untersuchung der Bedingungen der Matrix: Eine tiefere Analyse darüber, warum die Matrix singulär ist, kann auch Hinweise darauf geben, wie die Matrix so modifiziert werden kann, dass sie nicht singulär wird.

Zusammenfassend ist die Matrix A nicht invertierbar, da ihre Determinante null ist. Es gibt mehrere mathematische Methoden und Modifikationen, die angewendet werden können, um die Invertierbarkeit einer Matrix zu verbessern, abhängig vom spezifischen Anwendungsfall und den zulässigen Modifikationen.