Lineare Algebra 2 - Cheatsheet.pdf

Definition und Eigenschaften von Vektorräumen

Definition:

Ein Vektorraum (oder linearer Raum) ist eine algebraische Struktur, bestehend aus einer Menge von Vektoren, auf denen die Operationen Vektoraddition und Skalarmultiplikation definiert sind, die bestimmten Axiomen genügen.

Details:

• Ein Vektorraum V über einem Körper K besitzt zwei Operationen: Vektoraddition (+) und Skalarmultiplikation (\times).
• Axiome:
• Assoziativgesetz der Addition: Für alle u, v, w aus V, gilt (u + v) + w = u + (v + w)
• Kommutativgesetz der Addition: Für alle u, v aus V, gilt u + v = v + u
• Neutrales Element der Addition: Es gibt ein Element 0 in V, sodass für alle v in V gilt v + 0 = v
• Additives Inverses: Für jedes v in V gibt es ein -v in V, sodass v + (-v) = 0
• Assoziativgesetz der Skalarmultiplikation: Für alle a, b aus K und v aus V gilt a(bv) = (ab)v
• Distributivgesetz der Skalarmultiplikation bezüglich der Vektoraddition: Für alle a aus K und u, v aus V gilt a(u + v) = au + av
• Distributivgesetz der Skalarmultiplikation bezüglich der Körperaddition: Für alle a, b aus K und v aus V gilt (a + b)v = av + bv
• Neutrales Element der Skalarmultiplikation: Für alle v in V gilt 1v = v, wobei 1 das neutrale Element von K ist.

Matrixdarstellung und Matrizenoperationen

Definition:

Matrixdarstellung: Darstellen von linearen Abbildungen durch Matrizen.Matrizenoperationen: Rechenoperationen mit Matrizen, wie Addition, Multiplikation und Inversion.

Details:

• Matrixdarstellung: Eine lineare Abbildung \( f: V \to W \) wird durch eine Matrix \( A \) bezüglich Basen von \( V \) und \( W \) beschrieben.
• Matrixaddition: \( A + B \), wobei \( A \) und \( B \) gleiche Dimensionen haben.
• Matrixmultiplikation: \( (AB)_{ij} = \sum_{k} a_{ik} b_{kj} \) für Matrizen \( A \text{ und } B \).
• Skalarmultiplikation: \( cA = \left(c a_{ij}\right) \).
• Transponierte Matrix: \( A^T = \left(a_{ji}\right) \).
• Inverse Matrix: \( A^{-1}A = I \text{ und } AA^{-1} = I \), falls \( A \) invertierbar.
• Determinante: \( \text{det}(A) = \sum (-1)^{i+j}a_{ij} \text{det}(A_{ij}) \) für \( n \times n \)-Matrix \( A \).

Diagonalisierung von Matrizen

Definition:

Umwandlung einer Matrix in eine Diagonalmatrix durch Ähnlichkeitstransformation, wenn eine Basis aus eigenen Vektoren existiert.

Details:

• Matrix A ist diagonalisierbar, wenn \(A = P D P^{-1}\), wobei D eine Diagonalmatrix und P die Matrix der Eigenvektoren ist.
• Finde Eigenwerte \(\lambda\) über die Charakteristische Gleichung \(\det(A - \lambda I) = 0\)
• Berechne zugehörige Eigenvektoren für jeden Eigenwert über \((A - \lambda I)v = 0\)
• Diagonalmatrix D hat Eigenwerte auf der Hauptdiagonalen.
• Falls A nicht diagonalisierbar: Jordan-Normalform verwenden.

Gramm-Schmidt-Verfahren

Definition:

Verfahren zur Orthonormalisierung eines gegebenen Systems linear unabhängiger Vektoren in einem euklidischen Raum.

Details:

• Eingabe: Linear unabhängige Vektoren \( v_1, v_2, ..., v_n \)
• Ausgabe: Orthonormalbasis \( (u_1, u_2, ..., u_n) \)
• Berechnung:
  • Setze \( u_1 = \frac{v_1}{\| v_1 \|} \)
  • Für \( k = 2 \text{ bis } n \):
    • Berechne \( w_k = v_k - \sum_{j=1}^{k-1} \text{proj}_{u_j}(v_k) \)
    • Setze \( u_k = \frac{w_k}{\| w_k \|} \)
• Projektion: \( \text{proj}_{u_j}(v_k) = \frac{\langle v_k, u_j \rangle}{\langle u_j, u_j \rangle} u_j \)

LU-Zerlegung

Definition:

Zerlegung einer Matrix A in das Produkt einer unteren Dreiecksmatrix L und einer oberen Dreiecksmatrix U. Erleichtert die Lösung linearer Gleichungssysteme.

Details:

• A = LU
• Voraussetzung: A ist eine quadratische Matrix.
• Existenz und Eindeutigkeit: Wenn A regulär ist.
• L: untere Dreiecksmatrix mit Diagonaleinträgen 1 (falls LU-Zerlegung ohne Pivotisierung)
• U: obere Dreiecksmatrix
• Anwendung: Lösung von Ax = b durch LUx = b, erst Ly = b (vorwärts) und dann Ux = y (rückwärts).

Jordan-Normalform

Definition:

Dient zur Vereinfachung von Matrizen zur leichteren Analyse linearer Transformationen.

Details:

• Jede quadratische Matrix lässt sich zu einer Jordan-Normalform (JNF) transformieren.
• Für eine Matrix A existiert eine invertierbare Matrix P, sodass A = PJP^{-1} wobei J die Jordan-Normalform ist.
• J ist eine Blockdiagonalmatrix mit Jordan-Blöcken auf der Diagonalen.
• In einem Jordan-Block stehen der Eigenwert λ auf der Diagonalen und Einsen auf der oberen Nebendiagonalen.
• Jede Nilpotenzmatrix in JNF ist strikte obere Dreiecksmatrix.

Spektralsatz

Definition:

Der Spektralsatz besagt, dass jede selbstadjungierte (Hermitesche) Matrix diagonalisierbar ist und ihre Eigenwerte reell sind.

Details:

• Sei \( A \in \mathbb{C}^{n \times n} \) selbstadjungiert, dann existiert eine unitäre Matrix \( U \) und eine reelle Diagonalmatrix \( \Lambda \) mit \( A = U \Lambda U^* \).
• Eigenwerte von \( A \) sind auf der Diagonalen von \( \Lambda \).
• Eigenvektoren von \( A \) bilden eine orthonormale Basis von \( \mathbb{C}^n \).

Singulärwertzerlegung

Definition:

Zerlegung einer Matrix in ein Produkt aus drei Matrizen: orthogonale Matrizen und Diagonalmatrix.

Details:

• Jede Matrix \(A\in\mathbb{R}^{m\times n}\) kann als \(A = U\Sigma V^T\) geschrieben werden, wobei \(U\in\mathbb{R}^{m\times m}\) und \(V\in\mathbb{R}^{n\times n}\) orthogonal sind, und \(\Sigma\) eine \(m\times n\) Diagonalmatrix ist.
• Die Diagonaleinträge von \(\Sigma\) sind die Singulärwerte von \(A\), geordnet in absteigender Reihenfolge.
• Spalten von \(U\) sind die linken Singulärvektoren, Spalten von \(V\) die rechten Singulärvektoren.
• Anwendung: Datenreduktion, Lösung überbestimmter Gleichungssysteme, Pseudoinverse.