Lineare Algebra 2 - Exam.pdf

Lineare Algebra 2 - Exam

Aufgabe 4) Gegeben sei ein dreidimensionaler Vektorraum mit der euklidischen Norm. Du erhältst folgende Vektoren: \( v_1 = \begin{pmatrix} 1 \ 1 \ 0 \end{pmatrix} \) \( v_2 = \begin{pmatrix} 1 \ 0 \ 1 \end{pmatrix} \) \( v_3 = \begin{pmatrix} 0 \ 1 \ 1 \end{pmatrix} \) Wende das Gramm-Schmidt Verfahren an, um eine Orthonormalbasis aus diesen Vektoren zu erzeugen. a) Bestimme den ersten orthonormal...

Aufgabe 4)

Gegeben sei ein dreidimensionaler Vektorraum mit der euklidischen Norm. Du erhältst folgende Vektoren:

\( v_1 = \begin{pmatrix} 1 \ 1 \ 0 \end{pmatrix} \)
\( v_2 = \begin{pmatrix} 1 \ 0 \ 1 \end{pmatrix} \)
\( v_3 = \begin{pmatrix} 0 \ 1 \ 1 \end{pmatrix} \)

Wende das Gramm-Schmidt Verfahren an, um eine Orthonormalbasis aus diesen Vektoren zu erzeugen.

a)

Bestimme den ersten orthonormalisierten Vektor \( u_1 \). Berechne die Länge von \( v_1 \) und bestimme \( u_1 \) durch Normierung von \( v_1 \).

Berechnung:

Länge von \( v_1 \): \( \| v_1 \| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{2} \)
\( u_1 = \frac{v_1}{\| v_1 \|} = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \ 1 \ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \ \frac{1}{\sqrt{2}} \ 0 \end{pmatrix} \)

Lösung:

Gegeben sei ein dreidimensionaler Vektorraum mit der euklidischen Norm. Du erhältst folgende Vektoren:

\( v_1 = \begin{pmatrix} 1 \ 1 \ 0 \end{pmatrix} \)
\( v_2 = \begin{pmatrix} 1 \ 0 \ 1 \end{pmatrix} \)
\( v_3 = \begin{pmatrix} 0 \ 1 \ 1 \end{pmatrix} \)

Wende das Gramm-Schmidt-Verfahren an, um eine Orthonormalbasis aus diesen Vektoren zu erzeugen.Solve the following subexercise:

Bestimme den ersten orthonormalisierten Vektor \( u_1 \). Berechne die Länge von \( v_1 \) und bestimme \( u_1 \) durch Normierung von \( v_1 \).

Berechnung:

Länge von \( v_1 \): \( \| v_1 \| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{2} \)
\( u_1 = \frac{v_1}{\| v_1 \|} = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \ 1 \ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \ \frac{1}{\sqrt{2}} \ 0 \end{pmatrix} \)

Lineare Algebra 2 - Exam.pdf

Aufgabe 4)

a)

Unternehmen

Produkt

Hilfe

Lineare Algebra 2 - Exam.pdf

Aufgabe 4)

a)

Melde dich kostenlos an, um Zugriff auf das vollständige Dokument zu erhalten