Mathematische Grundlagen - Cheatsheet.pdf

Grenzwerte und Konvergenz

Definition:

Grenzwert: Verhalten einer Folge oder Funktion, wenn das Argument gegen einen bestimmten Wert strebt. Konvergenz: Folge oder Funktion nähert sich einem Grenzwert an.

Details:

• Folge \(a_n\) konvergiert gegen Grenzwert \(L\), falls für jedes \(\epsilon > 0\) ein \(N \in \mathbb{N}\) existiert, sodass \(|a_n - L| < \epsilon\) für alle \(n > N\) gilt.
• Schreibweise: \[ \lim_{{n \to \infty}} a_n = L \]
• Grenzwert einer Funktion \( f(x) \), wenn \(x \) gegen \(c\) strebt: \[ \lim_{{x \to c}} f(x) = L \]
• Eigenschaften: Eindeutigkeit, Beschränkheit, Rechenregeln

Differentialrechnung: Ableitungen und Anwendung

Definition:

Differentialrechnung befasst sich mit der Untersuchung von Änderungsraten von Funktionen mittels Ableitungen, um das Verhalten von Funktionen in Bezug auf ihre Variablen zu verstehen.

Details:

• Ableitung einer Funktion: \( f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} \)
• Hoch- und Tiefpunkte: Fund durch Setzen der ersten Ableitung gleich null, d.h., \( f'(x) = 0 \)
• Wendepunkte: Fund durch Setzen der zweiten Ableitung gleich null und Analyse des Vorzeichenwechsels, d.h., \( f''(x) = 0 \)
• Kettenregel: \( (f(g(x)))' = f'(g(x)) \, g'(x) \)
• Produktregel: \( (u \, v)' = u' \, v + u \, v' \)
• Quotientenregel: \( \left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u' v - u \, v'}{v^2} \)

Lineare Abbildungen und Matrizen

Definition:

Lineare Abbildungen beschreiben die Beziehung zwischen zwei Vektorräumen, wobei Matrizen als Darstellungswerkzeug dienen.

Details:

• Eine lineare Abbildung ist eine Funktion zwischen zwei Vektorräumen, die additiv und homogen ist: \(T(av + bw) = aT(v) + bT(w)\).
• Matrizen dienen zur Darstellung von linearen Abbildungen: Jeder linearen Abbildung \(T: V \to W\) entspricht genau eine Matrix \(A\), sodass \(T(v) = Av\).
• Für die Matrixdarstellung einer linearen Abbildung benötigt man eine Basis des Vektorraums.
• Komposition linearer Abbildungen entspricht der Matrizenmultiplikation.
• Die Inverse einer linearen Abbildung (wenn sie existiert) entspricht der inversen Matrix.
• Die Determinante gibt Auskunft über Invertierbarkeit der Matrix.
• Eigenwerte und Eigenvektoren eigenentsprechender Gleichungen \(Av = \lambda v\).

Eigenwerte und Eigenvektoren

Definition:

Eigenwerte und Eigenvektoren sind grundlegende Konzepte der linearen Algebra und treten bei der Lösung von Gleichungssystemen sowie in der Matrixanalyse auf.

Details:

• Sei \(A\) eine \(n \times n\) Matrix, \(v\) ein Vektor und \(\lambda\) ein Skalar.
• \(v\) ist ein Eigenvektor von \(A\) und \(\lambda\) ist der entsprechende Eigenwert, wenn \(A v = \lambda v\).
• Eigenwertgleichung: \(\det(A - \lambda I) = 0\) führt zu den Eigenwerten \(\lambda\).
• Für jeden Eigenwert \(\lambda\) kann der entsprechende Eigenvektor \(v\) gefunden werden, indem man \((A - \lambda I)v = 0\) löst.
• Die Eigenvektoren bilden eine Basis des entsprechenden Eigenraums.
• Anwendungen: Diagonalisierung, Stabilitätsanalyse, Hauptachsentransformation.

Gewöhnliche Differentialgleichungen (ODEs)

Definition:

Eine gewöhnliche Differentialgleichung (ODE) ist eine Gleichung, die eine unbekannte Funktion und ihre Ableitungen verknüpft.

Details:

• Form: \( F(x, y, y', y'', ..., y^{(n)}) = 0 \)
• Ordnung: Höchste Ableitung in der Gleichung
• Lösungsmethoden: Trennung der Variablen, Lineare ODEs, Variation der Konstanten
• Anfangswertproblem: \( y(x_0) = y_0 \)
• Besondere Lösungen: Partikuläre Lösung, Allgemeine Lösung

Fourier- und Laplacetransformation

Definition:

Transformationen zur Analyse von Signalen und Systemen im Frequenzbereich

Details:

• Fouriertransformation (FT): Wandelt eine Funktion von der Zeit- in die Frequenzdomäne um.
• Formel (kontinuierlich): \( \hat{f}(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-i\omega t} \, dt \)
• Inverse Transformation: \( f(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} \hat{f}(\omega) e^{i\omega t} \, d\omega \)
• Laplacetransformation (LT): Allgemeine Methode zur Lösung von Differentialgleichungen, spezielle Form der Fouriertransformation.
• Formel: \( F(s) = \int_{0}^{\infty} f(t) e^{-st} \, dt \)
• Inverse Transformation: \( f(t) = \frac{1}{2\pi i} \int_{\sigma - i\infty}^{\sigma + i\infty} F(s) e^{st} \, ds \)
• Relation zur Fouriertransformation: \( s = i\omega \)
• Eigenschaften von FT und LT:
• Linearität
• Skalierung
• Verschiebung
• Faltung
• Anwendungen:
• Signalverarbeitung
• Systemanalyse
• Modellierung von dynamischen Systemen

Mehrfachintegrale und deren Anwendungen

Definition:

Bestimmung des Volumens und der Flächenbereiche durch Iteration von Integralen über mehrere Variablen.

Details:

• Allgemeines Mehrfachintegral: \[\int_{a}^{b} \int_{c}^{d} f(x,y) \,dy \,dx\]
• Polar-, Zylinder- und Kugelkoordinaten für spezielle Bereiche verwenden.
• Anwendungen: Volumenberechnung, Massenträgheitsmomente, und physikalische Verteilungen.

Modellierung von physikalischen Systemen

Definition:

Mathematische Beschreibung und Analyse physikalischer Prozesse und Systeme mithilfe von Differentialgleichungen, Funktionen und anderen mathematischen Methoden.

Details:

• Grundlagen: Mechanik, Thermodynamik, Elektromagnetismus
• Mathematische Werkzeuge: Differentialgleichungen, Lineare Algebra, Numerische Methoden
• Ziel: Vorhersage des Verhaltens von Systemen unter verschiedenen Bedingungen
• Beispiele: Harmonischer Oszillator, Wärmeleitung, Schwingkreise
• Verwendung von Modellen zur Simulation und Analyse