Mathematische Grundlagen - Exam.pdf

Aufgabe 1)

Grenzwerte und KonvergenzEine Folge oder Funktion nähert sich einem Grenzwert an, wenn das Argument gegen einen bestimmten Wert strebt. Die Konvergenz beschreibt dabei die Eigenschaft, dass eine Folge oder Funktion sich einem Grenzwert nähert.

• Eine Folge \(a_n\) konvergiert gegen den Grenzwert \(L\), falls für jedes \(\epsilon > 0\) ein \(N \, \in \, \mathbb{N}\) existiert, sodass \(|a_n - L| < \epsilon\) für alle \(n > N\) gilt.
• Schreibweise: \( \lim_{{n \to \infty}} a_n = L \)
• Der Grenzwert einer Funktion \( f(x) \), wenn \(x \) gegen \(c\) strebt, wird durch \( \lim_{{x \to c}} f(x) = L \) notiert.
• Eigenschaften von Grenzwerten umfassen Eindeutigkeit, Beschränktheit und Rechenregeln.

a)

Zeige, dass die Folge \(a_n = \frac{1}{n}\) gegen den Grenzwert 0 konvergiert. Führe den Beweis durch, indem Du die Definition der Konvergenz für Folgen anwendest. Gebe für ein beliebiges \(\epsilon > 0\) ein \(N \, \in \, \mathbb{N}\) an, sodass \(|a_n - 0| < \epsilon\) für alle \(n > N\) gilt.

Lösung:

Grenzwerte und Konvergenz:Eine Folge oder Funktion nähert sich einem Grenzwert an, wenn das Argument gegen einen bestimmten Wert strebt. Die Konvergenz beschreibt dabei die Eigenschaft, dass eine Folge oder Funktion sich einem Grenzwert nähert.

• Eine Folge \(a_n\) konvergiert gegen den Grenzwert \(L\), falls für jedes \(\epsilon > 0\) ein \(N \, \in \, \mathbb{N}\) existiert, sodass \(|a_n - L| < \epsilon\) für alle \(n > N\) gilt.
• Schreibweise: \( \lim_{{n \to \infty}} a_n = L \)
• Der Grenzwert einer Funktion \( f(x) \), wenn \(x \) gegen \(c\) strebt, wird durch \( \lim_{{x \to c}} f(x) = L \) notiert.
• Eigenschaften von Grenzwerten umfassen Eindeutigkeit, Beschränktheit und Rechenregeln.

Zeige, dass die Folge \(a_n = \frac{1}{n}\) gegen den Grenzwert 0 konvergiert:Wir müssen zeigen, dass die Folge \(a_n = \frac{1}{n}\) gegen den Grenzwert 0 konvergiert, indem wir die Definition der Konvergenz für Folgen anwenden. Beweis:

• Sei \(\epsilon > 0\) gegeben. Wir müssen ein \(N \, \in \, \mathbb{N}\) angeben, sodass \(|a_n - 0| < \epsilon\) für alle \(n > N\) gilt.
• Wir haben \(a_n = \frac{1}{n}\), daher ist \(|a_n - 0| = \left| \frac{1}{n} \right| = \frac{1}{n} \).
• Wir wollen also zeigen, dass \( \frac{1}{n} < \epsilon \) für alle \(n > N\).
• Durch Umformung erhalten wir: \( n > \frac{1}{\epsilon} \).
• Setzen wir nun \( N = \left\lceil \frac{1}{\epsilon} \right\rceil \) (die kleinste ganze Zahl, die größer oder gleich \( \frac{1}{\epsilon} \) ist), dann haben wir \( n > N \Rightarrow n \geq N \geq \frac{1}{\epsilon} \).
• Also gilt für alle \(n > N\), dass \( \frac{1}{n} < \epsilon \).

Somit haben wir gezeigt, dass für jedes \(\epsilon > 0\) ein entsprechendes \(N \, \in \, \mathbb{N}\) existiert, sodass \(|a_n - 0| < \epsilon\) für alle \(n > N\) gilt. Daher konvergiert die Folge \(a_n = \frac{1}{n}\) gegen den Grenzwert 0.

b)

Bestimme den Grenzwert der Funktion \(f(x) = 2x^2 - 3x + 1\), wenn \(x\) gegen 2 strebt. Verwende dabei die Grenzwertgesetze und zeige alle Rechenschritte auf.

Lösung:

Grenzwerte und Konvergenz:Eine Folge oder Funktion nähert sich einem Grenzwert an, wenn das Argument gegen einen bestimmten Wert strebt. Die Konvergenz beschreibt dabei die Eigenschaft, dass eine Folge oder Funktion sich einem Grenzwert nähert.

• Eine Folge \(a_n\) konvergiert gegen den Grenzwert \(L\), falls für jedes \(\epsilon > 0\) ein \(N \, \in \, \mathbb{N}\) existiert, sodass \(|a_n - L| < \epsilon\) für alle \(n > N\) gilt.
• Schreibweise: \( \lim_{{n \to \infty}} a_n = L \)
• Der Grenzwert einer Funktion \( f(x) \), wenn \(x \) gegen \(c\) strebt, wird durch \( \lim_{{x \to c}} f(x) = L \) notiert.
• Eigenschaften von Grenzwerten umfassen Eindeutigkeit, Beschränktheit und Rechenregeln.

Bestimme den Grenzwert der Funktion \(f(x) = 2x^2 - 3x + 1\), wenn \(x\) gegen 2 strebt: Beweis: Wir möchten den Grenzwert der Funktion \(f(x) = 2x^2 - 3x + 1\) bestimmen, wenn \(x\) gegen 2 strebt. Wir verwenden dazu die Grenzwertgesetze.

• Zuerst setzen wir einfach \(x = 2\) in die Funktion ein, um den Grenzwert zu bestimmen.
• \(f(x) = 2x^2 - 3x + 1\) wird zu:
• \(f(2) = 2(2)^2 - 3(2) + 1\)
• \(= 2 \times 4 - 3 \times 2 + 1\)
• \(= 8 - 6 + 1\)
• \(= 3\)

Der Grenzwert der Funktion \(f(x) = 2x^2 - 3x + 1\), wenn \(x\) gegen 2 strebt, ist also \(3\). Verwende Grenzwertgesetze:

• \( \lim_{{x \to 2}} [2x^2 - 3x + 1] \)
• Aufteilen in einzelne Grenzwerte:
• \( = 2 \lim_{{x \to 2}} x^2 - 3 \lim_{{x \to 2}} x + \lim_{{x \to 2}} 1 \)
• Da \( \lim_{{x \to 2}} x^2 = ( \lim_{{x \to 2}} x )^2 = 2^2 = 4\), \( \lim_{{x \to 2}} x = 2\), und \( \lim_{{x \to 2}} 1 = 1\), erhalten wir:
• \( = 2 \times 4 - 3 \times 2 + 1\)
• \( = 8 - 6 + 1\)
• \( = 3\)

Auch durch die Anwendung der Grenzwertgesetze ergibt sich das gleiche Ergebnis: der Grenzwert der Funktion \(f(x) = 2x^2 - 3x + 1\), wenn \(x\) gegen 2 strebt, ist \(3\).

c)

Sei \(g(x) = \frac{3x - 2}{2x + 1}\). Berechne \(\lim_{{x \to \infty}} g(x)\) und erläutere, warum der Grenzwert existiert oder nicht existiert. Verifiziere deine Berechnung durch eine passende Äquivalenzumformung oder Division durch die höchste Potenz von \(x\).

Lösung:

Grenzwerte und Konvergenz:Eine Folge oder Funktion nähert sich einem Grenzwert an, wenn das Argument gegen einen bestimmten Wert strebt. Die Konvergenz beschreibt dabei die Eigenschaft, dass eine Folge oder Funktion sich einem Grenzwert nähert.

• Eine Folge \(a_n\) konvergiert gegen den Grenzwert \(L\), falls für jedes \(\epsilon > 0\) ein \(N \, \in \, \mathbb{N}\) existiert, sodass \(|a_n - L| < \epsilon\) für alle \(n > N\) gilt.
• Schreibweise: \( \lim_{{n \to \infty}} a_n = L \)
• Der Grenzwert einer Funktion \( f(x) \), wenn \(x \) gegen \(c\) strebt, wird durch \( \lim_{{x \to c}} f(x) = L \) notiert.
• Eigenschaften von Grenzwerten umfassen Eindeutigkeit, Beschränktheit und Rechenregeln.

Sei \(g(x) = \frac{3x - 2}{2x + 1}\). Berechne \(\lim_{{x \, \to \infty}} g(x)\) und erläutere, warum der Grenzwert existiert oder nicht existiert:Berechnung:

• Um den Grenzwert \(\lim_{{x \, \to \infty}} \frac{3x - 2}{2x + 1}\) zu berechnen, teilen wir sowohl den Zähler als auch den Nenner durch die höchste Potenz von \(x\), die in diesem Fall \(x\) ist.

Schritte:

• \( \lim_{{x \to \infty}} \frac{3x - 2}{2x + 1} \)

• = \( \lim_{{x \to \infty}} \frac{\frac{3x}{x} - \frac{2}{x}}{\frac{2x}{x} + \frac{1}{x}} \)

• = \( \lim_{{x \to \infty}} \frac{3 - \frac{2}{x}}{2 + \frac{1}{x}} \)

• Wenn \(x\) gegen unendlich strebt, dann streben \(\frac{2}{x}\) und \(\frac{1}{x}\) gegen 0. Daher haben wir:

• = \( \frac{3 - 0}{2 + 0} \)

• = \( \frac{3}{2} \)

Warum der Grenzwert existiert:

• Der Grenzwert existiert, weil sowohl der Zähler als auch der Nenner Polynomfunktionen sind. In diesen Fällen bestimmt das Verhältnis der führenden Koeffizienten den Grenzwert, wenn \(x\) gegen unendlich strebt.
• Hier sind die führenden Koeffizienten 3 (im Zähler) und 2 (im Nenner), was den Grenzwert \( \frac{3}{2} \) ergibt.

• Der Grenzwert \( \lim_{{x \to \infty}} \frac{3x - 2}{2x + 1} = \frac{3}{2} \) existiert, weil wir durch Division durch die höchste Potenz von \(x\) und Anwendung der Grenzwertgesetze denselben Grenzwert erhalten.

Aufgabe 2)

• Ableitung einer Funktion: \( f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} \)
• Hoch- und Tiefpunkte: Fund durch Setzen der ersten Ableitung gleich null, d.h., \( f'(x) = 0 \)
• Wendepunkte: Fund durch Setzen der zweiten Ableitung gleich null und Analyse des Vorzeichenwechsels, d.h., \( f''(x) = 0 \)
• Kettenregel: \( (f(g(x)))' = f'(g(x)) \ g'(x) \)
• Produktregel: \( (u \ v)' = u' \ v + u \ v' \)
• Quotientenregel: \( \left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u' v - u \ v'}{v^2} \)

a)

Gegeben ist die Funktion \( f(x) = x^3 - 3x^2 + 2 \).

• Berechne die erste Ableitung \( f'(x) \) der Funktion \( f(x) \).
• Finde die kritischen Punkte und bestimme, ob es sich um Hoch- oder Tiefpunkte handelt.
• Berechne die Wendepunkte der Funktion \( f(x) \).

Lösung:

• Gegebene Funktion: Die Funktion lautet: \( f(x) = x^3 - 3x^2 + 2 \)
• Erste Ableitung \( f'(x) \) berechnen:Die Potenzregel anwenden: \( f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3) - \frac{d}{dx}(3x^2) + \frac{d}{dx}(2) \)Dies ergibt: \( f'(x) = 3x^2 - 6x \)
• Kritische Punkte finden:Setze die erste Ableitung gleich null: \( 3x^2 - 6x = 0 \)Faktorisiere die Gleichung: \( 3x(x - 2) = 0 \)Die Lösungen sind: \( x_1 = 0 \)\( x_2 = 2 \)Um zu bestimmen, ob dies Hoch- oder Tiefpunkte sind, verwenden wir die zweite Ableitung.
• Zweite Ableitung berechnen:\( f''(x) = \frac{d}{dx}(3x^2 - 6x) = 6x - 6 \)
• Analyse der kritischen Punkte:Für \( x_1 = 0 \): \( f''(0) = 6(0) - 6 = -6 \) (negativ, also Hochpunkt)Für \( x_2 = 2 \): \( f''(2) = 6(2) - 6 = 6 \) (positiv, also Tiefpunkt)Daher ist \( x_1 = 0 \) ein Hochpunkt und \( x_2 = 2 \) ein Tiefpunkt.
• Wendepunkte finden:Setze die zweite Ableitung gleich null: \( 6x - 6 = 0 \)Löse nach \( x \) auf: \( x = 1 \)Überprüfung des Vorzeichenwechsels um den Punkt \( x = 1 \) zeigt, dass dies tatsächlich ein Wendepunkt ist.

Zusammenfassung:

• Erste Ableitung: \( f'(x) = 3x^2 - 6x \)
• Kritische Punkte: \( x_1 = 0 \) (Hochpunkt), \( x_2 = 2 \) (Tiefpunkt)
• Wendepunkt: \( x = 1 \)

c)

Berechne die Ableitung der Funktion \( g(x) = \frac{x^2 + 1}{x - 1} \) unter Verwendung der Quotientenregel.

• Bestimme den Punkt, an dem die Ableitung null ist.
• Diskutiere das Verhalten der Funktion in der Nähe von diesem Punkt.

Lösung:

• Gegebene Funktion: \( g(x) = \frac{x^2 + 1}{x - 1} \)
• Ableitung la Quotientenregel berechnen:Die Quotientenregel lautet: \( \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \)Setzen wir \( u(x) = x^2 + 1 \) und \( v(x) = x - 1 \) ein, so erhalten wir: \( u'(x) = 2x \) und \( v'(x) = 1 \)Dies führt zu: \( g'(x) = \frac{(2x)(x - 1) - (x^2 + 1)(1)}{(x - 1)^2} \)Vereinfachen ergibt: \( g'(x) = \frac{2x^2 - 2x - x^2 - 1}{(x - 1)^2} = \frac{x^2 - 2x - 1}{(x - 1)^2} \)
• Punkte, an denen die Ableitung null ist:Setze die Ableitung gleich null: \( \frac{x^2 - 2x - 1}{(x - 1)^2} = 0 \)Die Ableitung ist gleich null, wenn der Zähler null ist: \( x^2 - 2x - 1 = 0 \)Diese quadratische Gleichung lösen wir mittels der Mitternachtsformel: \( x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \)Setze \( a = 1 \), \( b = -2 \) und \( c = -1 \), dann: \( x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{2}}{2} = 1 \pm \sqrt{2} \)Dies ergibt die Punkte: \( x_1 = 1 + \sqrt{2} \) und \( x_2 = 1 - \sqrt{2} \)
• Verhalten der Funktion in der Nähe von diesen Punkten:Die Funktion \( g(x) \) hat an den Punkten \( x_1 = 1 + \sqrt{2} \) und \( x_2 = 1 - \sqrt{2} \) lokale Extrema. Da \( g(x) \) an der Stelle \( x = 1 \) nicht definiert ist (wegen der Nullstelle im Nenner), betrachten wir das Verhalten der Funktion nur in der Nähe der Punkte \( 1 \pm \sqrt{2} \).\Um zu bestimmen, ob es sich um Hoch- oder Tiefpunkte handelt, analysieren wir das Vorzeichen der ersten und zweiten Ableitung in der Nähe dieser Punkte.

Zusammenfassung:

• Ableitung: \( g'(x) = \frac{x^2 - 2x - 1}{(x - 1)^2} \)
• Punkte, an denen die Ableitung null ist: \( x_1 = 1 + \sqrt{2} \) und \( x_2 = 1 - \sqrt{2} \)
• Verhalten der Funktion in der Nähe dieser Punkte: \( g(x) \) hat lokale Extrema an diesen Punkten. Eine genaue Identifikation als Hoch- oder Tiefpunkte erfordert die Analyse der zweiten Ableitung und das Verhalten der ersten Ableitung in der Umgebung dieser Punkte.

Aufgabe 3)

Lineare Abbildungen und Matrizen Lineare Abbildungen beschreiben die Beziehung zwischen zwei Vektorräumen, wobei Matrizen als Darstellungswerkzeug dienen.

• Eine lineare Abbildung ist eine Funktion zwischen zwei Vektorräumen, die additiv und homogen ist: \[T(av + bw) = aT(v) + bT(w)\].
• Matrizen dienen zur Darstellung von linearen Abbildungen: Jeder linearen Abbildung \(T: V \to W\) entspricht genau eine Matrix \(A\), sodass \(T(v) = Av\).
• Für die Matrixdarstellung einer linearen Abbildung benötigt man eine Basis des Vektorraums.
• Komposition linearer Abbildungen entspricht der Matrizenmultiplikation.
• Die Inverse einer linearen Abbildung (wenn sie existiert) entspricht der inversen Matrix.
• Die Determinante gibt Auskunft über Invertierbarkeit der Matrix.
• Eigenwerte und Eigenvektoren entsprechen der Gleichung \(Av = \lambda v\).

a)

Sei \(T: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2\) eine lineare Abbildung, definiert durch \( T \left(\begin{pmatrix} x \ y \end{pmatrix}\right) = \begin{pmatrix} 2x + y \ x - y \end{pmatrix}\). Bestimme die Matrixdarstellung von \(T\) bzgl. der Standardbasis von \(\mathbb{R}^2\).

Lösung:

Lineare Abbildungen und Matrizen Lineare Abbildungen beschreiben die Beziehung zwischen zwei Vektorräumen, wobei Matrizen als Darstellungswerkzeug dienen.

• Eine lineare Abbildung ist eine Funktion zwischen zwei Vektorräumen, die additiv und homogen ist: \[T(av + bw) = aT(v) + bT(w)\].
• Matrizen dienen zur Darstellung von linearen Abbildungen: Jeder linearen Abbildung \(T: V \to W\) entspricht genau eine Matrix \(A\), sodass \(T(v) = Av\).
• Für die Matrixdarstellung einer linearen Abbildung benötigt man eine Basis des Vektorraums.
• Komposition linearer Abbildungen entspricht der Matrizenmultiplikation.
• Die Inverse einer linearen Abbildung (wenn sie existiert) entspricht der inversen Matrix.
• Die Determinante gibt Auskunft über Invertierbarkeit der Matrix.
• Eigenwerte und Eigenvektoren entsprechen der Gleichung \(Av = \lambda v\).

Solve the following subexercise:Sei \(T: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2\) eine lineare Abbildung, definiert durch \( T \left(\begin{pmatrix} x \ y \end{pmatrix}\right) = \begin{pmatrix} 2x + y \ x - y \end{pmatrix}\). Bestimme die Matrixdarstellung von \(T\) bzgl. der Standardbasis von \(\mathbb{R}^2\).Lösungsschritte:

1. Die Standardbasis von \(\mathbb{R}^2\) ist \( \left\{ \begin{pmatrix} 1 \ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \ 1 \end{pmatrix} \right\} \).
2. Wir bestimmen nun das Bild der Basisvektoren unter der Abbildung \(T\).
3. Zuerst bestimmen wir das Bild von \( \begin{pmatrix} 1 \ 0 \end{pmatrix} \):

• \( T \left(\begin{pmatrix} 1 \ 0 \end{pmatrix}\right) = \begin{pmatrix} 2 \cdot 1 + 0 \ 1 - 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \ 1 \end{pmatrix} \)

Nun bestimmen wir das Bild von \( \begin{pmatrix} 0 \ 1 \end{pmatrix} \):

• \( T \left(\begin{pmatrix} 0 \ 1 \end{pmatrix}\right) = \begin{pmatrix} 2 \cdot 0 + 1 \ 0 - 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \ -1 \end{pmatrix} \)

Die Matrixdarstellung von \(T\) bzgl. der Standardbasis erhält man, indem man die Bilder der Basisvektoren als Spaltenvektoren in die Matrix einträgt:

• \( A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \ 1 & -1 \end{pmatrix} \)

Daher ist die Matrixdarstellung von \(T\) bzgl. der Standardbasis von \(\mathbb{R}^2\) gegeben durch: \[A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \ 1 & -1 \end{pmatrix}\]

b)

Berechne die Determinante der aus der obigen linearen Abbildung resultierenden Matrix. Bestimme, ob diese Matrix invertierbar ist, und falls ja, finde ihre Inverse.

Lösung:

Lineare Abbildungen und Matrizen Lineare Abbildungen beschreiben die Beziehung zwischen zwei Vektorräumen, wobei Matrizen als Darstellungswerkzeug dienen.

• Eine lineare Abbildung ist eine Funktion zwischen zwei Vektorräumen, die additiv und homogen ist: \[T(av + bw) = aT(v) + bT(w)\].
• Matrizen dienen zur Darstellung von linearen Abbildungen: Jeder linearen Abbildung \(T: V \to W\) entspricht genau eine Matrix \(A\), sodass \(T(v) = Av\).
• Für die Matrixdarstellung einer linearen Abbildung benötigt man eine Basis des Vektorraums.
• Komposition linearer Abbildungen entspricht der Matrizenmultiplikation.
• Die Inverse einer linearen Abbildung (wenn sie existiert) entspricht der inversen Matrix.
• Die Determinante gibt Auskunft über Invertierbarkeit der Matrix.
• Eigenwerte und Eigenvektoren entsprechen der Gleichung \(Av = \lambda v\).

Berechne die Determinante der aus der obigen linearen Abbildung resultierenden Matrix. Bestimme, ob diese Matrix invertierbar ist, und falls ja, finde ihre Inverse. Lösungsschritte:

1. Erinnern wir uns daran, dass die Matrixdarstellung der linearen Abbildung \(T\) wie folgt war: \[A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \ 1 & -1 \end{pmatrix}\]
2. Die Determinante der Matrix \(A\) ist gegeben durch: \[\text{det}(A) = \begin{vmatrix} 2 & 1 \ 1 & -1 \end{vmatrix} = (2 \cdot -1) - (1 \cdot 1) = -2 - 1 = -3\]
3. Da die Determinante \(\text{det}(A) = -3\) ungleich null ist, ist \(A\) invertierbar.
4. Um die Inverse der Matrix zu berechnen, nutzen wir die Formel für die Inverse einer \(2 \times 2\) Matrix: \[A^{-1} = \frac{1}{\text{det}(A)} \begin{pmatrix} d & -b \ -c & a \end{pmatrix}\] Für unsere Matrix \( A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \ 1 & -1 \end{pmatrix} \) ist: \[A^{-1} = \frac{1}{-3} \begin{pmatrix} -1 & -1 \ -1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{3} & \frac{1}{3} \ \frac{1}{3} & -\frac{2}{3} \end{pmatrix}\]

Daher ist die Determinante der Matrix \(A\) gleich \(-3\), die Matrix \(A\) ist invertierbar, und ihre Inverse ist:

\[A^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{1}{3} & \frac{1}{3} \ \frac{1}{3} & -\frac{2}{3} \end{pmatrix}\]

c)

Finde die Eigenwerte und Eigenvektoren der Matrix aus der ersten sub-exercise. Zeige detailliert, wie die Eigenwerte berechnet werden und wie die zugehörigen Eigenvektoren bestimmt werden.

Lösung:

Lineare Abbildungen und MatrizenLineare Abbildungen beschreiben die Beziehung zwischen zwei Vektorräumen, wobei Matrizen als Darstellungswerkzeug dienen.

• Eine lineare Abbildung ist eine Funktion zwischen zwei Vektorräumen, die additiv und homogen ist:\[T(av + bw) = aT(v) + bT(w)\].
• Matrizen dienen zur Darstellung von linearen Abbildungen: Jeder linearen Abbildung \(T: V \to W\) entspricht genau eine Matrix \(A\), sodass \(T(v) = Av\).
• Für die Matrixdarstellung einer linearen Abbildung benötigt man eine Basis des Vektorraums.
• Komposition linearer Abbildungen entspricht der Matrizenmultiplikation.
• Die Inverse einer linearen Abbildung (wenn sie existiert) entspricht der inversen Matrix.
• Die Determinante gibt Auskunft über Invertierbarkeit der Matrix.
• Eigenwerte und Eigenvektoren entsprechen der Gleichung \(Av = \lambda v\).

Finde die Eigenwerte und Eigenvektoren der Matrix aus der ersten Sub-Exercise. Zeige detailliert, wie die Eigenwerte berechnet werden und wie die zugehörigen Eigenvektoren bestimmt werden. Lösungsschritte:

1. Die Matrixdarstellung der linearen Abbildung \(T\) ist:\[A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \ 1 & -1 \end{pmatrix}\]
2. Um die Eigenwerte zu berechnen, lösen wir die charakteristische Gleichung:\[\text{det}(A - \lambda I) = 0\]
   • Hier ist \(I\) die Einheitsmatrix:\[I = \begin{pmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 \end{pmatrix}\]
   • Berechne \(A - \lambda I\):\[A - \lambda I = \begin{pmatrix} 2 & 1 \ 1 & -1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} \lambda & 0 \ 0 & \lambda \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 - \lambda & 1 \ 1 & -1 - \lambda \end{pmatrix}\]
   • Berechne die Determinante von \(A - \lambda I\):\[\text{det}(A - \lambda I) = \begin{vmatrix} 2 - \lambda & 1 \ 1 & -1 - \lambda \end{vmatrix} = (2 - \lambda)(-1 - \lambda) - (1 \cdot 1)\]
   • Vereinfache den Ausdruck:\[ (2 - \lambda)(-1 - \lambda) - 1 = -2 - 2\lambda + \lambda^2 - \lambda - 1 = \lambda^2 - 3\lambda - 3\]
   • Die charakteristische Gleichung lautet also:\[\lambda^2 - 3\lambda - 3 = 0\]
   • Löse die charakteristische Gleichung mit der Mitternachtsformel (Quadratische Formel):\[\lambda = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\]Hier sind \(a = 1\), \(b = -3\), und \(c = -3\):\[\lambda = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 12}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{21}}{2}\]
   • Die Eigenwerte sind somit:\[\lambda_1 = \frac{3 + \sqrt{21}}{2}\]\[\lambda_2 = \frac{3 - \sqrt{21}}{2}\]
3. Bestimme die Eigenvektoren für jeden Eigenwert:
   • Für \(\lambda_1 = \frac{3 + \sqrt{21}}{2}\), lösen wir:\[\begin{pmatrix} 2 - \lambda_1 & 1 \ 1 & -1 - \lambda_1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \ x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \ 0 \end{pmatrix}\]Einsetzen von \(\lambda_1\):\[(2 - \frac{3 + \sqrt{21}}{2})x_1 + x_2 = 0\]Vereinfache:\[-\frac{1 + \sqrt{21}}{2} x_1 + x_2 = 0\]\[x_2 = \frac{1 + \sqrt{21}}{2} x_1\]
   • Ein möglicher Eigenvektor zu \(\lambda_1\) ist also:\[v_1 = \begin{pmatrix} 1 \ \frac{1 + \sqrt{21}}{2} \end{pmatrix}\]
   • Für \(\lambda_2 = \frac{3 - \sqrt{21}}{2}\), lösen wir analog:\[\begin{pmatrix} 2 - \lambda_2 & 1 \ 1 & -1 - \lambda_2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \ x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \ 0 \end{pmatrix}\]Einsetzen von \(\lambda_2\):\[(2 - \frac{3 - \sqrt{21}}{2}) x_1 + x_2 = 0\]Vereinfache:\[-\frac{1 - \sqrt{21}}{2} x_1 + x_2 = 0\]\[x_2 = \frac{1 - \sqrt{21}}{2} x_1\]
   • Ein möglicher Eigenvektor zu \(\lambda_2\) ist also:\[v_2 = \begin{pmatrix} 1 \ \frac{1 - \sqrt{21}}{2} \end{pmatrix}\]

Daher sind die Eigenwerte der Matrix:\[\lambda_1 = \frac{3 + \sqrt{21}}{2}\]\[\lambda_2 = \frac{3 - \sqrt{21}}{2}\]Und die zugehörigen Eigenvektoren sind:\[v_1 = \begin{pmatrix} 1 \ \frac{1 + \sqrt{21}}{2} \end{pmatrix}\]\[v_2 = \begin{pmatrix} 1 \ \frac{1 - \sqrt{21}}{2} \end{pmatrix}\]

Aufgabe 4)

Eigenwerte und EigenvektorenBetrachten Sie die quadratische Matrix A und die Konzepte der Eigenwerte und Eigenvektoren. Eine Matrix A hat einen Eigenvektor v und einen entsprechenden Eigenwert λ, wenn A * v = λ * v gilt. Die Eigenwertgleichung ist gegeben durch det(A - λI) = 0. Wenn λ bekannt ist, kann der entsprechende Eigenvektor durch Lösen von (A - λI)v = 0 gefunden werden. Eigenvektoren bilden eine Basis des entsprechenden Eigenraums. Anwendungen umfassen unter anderem die Diagonalisierung, Stabilitätsanalyse und Hauptachsentransformation.

b)

Berechnen Sie für jeden Eigenwert die zugehörigen Eigenvektoren der Matrix A.

Lösung:

Eigenwerte und EigenvektorenBetrachten wir die quadratische Matrix A und die Konzepte der Eigenwerte und Eigenvektoren. Eine Matrix A hat einen Eigenvektor v und einen entsprechenden Eigenwert λ, wenn A * v = λ * v gilt. Die Eigenwertgleichung ist gegeben durch det(A - λI) = 0. Wenn λ bekannt ist, kann der entsprechende Eigenvektor durch Lösen von (A - λI)v = 0 gefunden werden. Eigenvektoren bilden eine Basis des entsprechenden Eigenraums. Anwendungen umfassen unter anderem die Diagonalisierung, Stabilitätsanalyse und Hauptachsentransformation.Lösung der Teilaufgabe:Berechnen Sie für jeden Eigenwert die zugehörigen Eigenvektoren der Matrix A.Gegeben sei die Matrix:

A = [1 2]    [2 1]

Aus der vorherigen Berechnung kennen wir die Eigenwerte λ_1 = 3 und λ_2 = -1.

• Für λ_1 = 3:

Setzen wir in die Gleichung (A - λI)v = 0 ein:

• A - 3I = [1-3 2] [2 1-3]

Dies vereinfacht sich zu:

• A - 3I = [-2 2] [2 -2]

Lösen wir das Gleichungssystem

• (-2)x + 2y = 0
• 2x - 2y = 0

Beide Gleichungen sind identisch und lassen sich zu folgender Beziehung vereinfachen:

• x = y

Ein möglicher Eigenvektor ist daher v_1 = [1, 1]^T.

• Für λ_2 = -1:

Setzen wir in die Gleichung (A - λI)v = 0 ein:

• A - (-1)I = [1+1 2] [2 1+1]

Dies vereinfacht sich zu:

• A - (-1)I = [2 2] [2 2]

Lösen wir das Gleichungssystem:

• 2x + 2y = 0
• 2x + 2y = 0

Beide Gleichungen sind identisch und lassen sich zu folgender Beziehung vereinfachen:

• x = - y

Ein möglicher Eigenvektor ist daher v_2 = [1, -1]^T.Fazit:

• Für λ_1 = 3 ist ein zugehöriger Eigenvektor v_1 = [1, 1]^T.
• Für λ_2 = -1 ist ein zugehöriger Eigenvektor v_2 = [1, -1]^T.

c)

Überprüfen Sie, ob die gegebenen Eigenvektoren tatsächlich Eigenvektoren der Matrix A sind. Verifizieren Sie Ihre Ergebnisse durch Einsetzen in die Gleichung A * v = λ * v.

Lösung:

Eigenwerte und EigenvektorenBetrachten wir die quadratische Matrix A und die Konzepte der Eigenwerte und Eigenvektoren. Eine Matrix A hat einen Eigenvektor v und einen entsprechenden Eigenwert λ, wenn A * v = λ * v gilt. Die Eigenwertgleichung ist gegeben durch det(A - λI) = 0. Wenn λ bekannt ist, kann der entsprechende Eigenvektor durch Lösen von (A - λI)v = 0 gefunden werden. Eigenvektoren bilden eine Basis des entsprechenden Eigenraums. Anwendungen umfassen unter anderem die Diagonalisierung, Stabilitätsanalyse und Hauptachsentransformation.Lösung der Teilaufgabe:Überprüfen Sie, ob die gegebenen Eigenvektoren tatsächlich Eigenvektoren der Matrix A sind. Verifizieren Sie Ihre Ergebnisse durch Einsetzen in die Gleichung A * v = λ * v.Gegebene Matrix:

A = [1 2]    [2 1]

Gegebene Eigenwerte und Eigenvektoren:

• λ_1 = 3 mit Eigenvektor v_1 = [1, 1]^T
• λ_2 = -1 mit Eigenvektor v_2 = [1, -1]^T

Überprüfung:

1. Überprüfung für λ_1 = 3 und v_1 = [1, 1]^T:Berechnen wir A * v_1:

   A * v_1 = [1 2] * [1]          [2 1]   [1]

   Das ergibt:

   A * v_1 = [1*1 + 2*1]          [2*1 + 1*1]        = [3]          [3]

   Berechnen wir λ_1 * v_1:

   λ_1 * v_1 = 3 * [1, 1]^T = [3, 3]^T

   Da A * v_1 = λ_1 * v_1, ist v_1 tatsächlich ein Eigenvektor von A für λ_1 = 3.
2. Überprüfung für λ_2 = -1 und v_2 = [1, -1]^T:Berechnen wir A * v_2:

   A * v_2 = [1 2] * [1]          [2 1]   [-1]

   Das ergibt:

   A * v_2 = [1*1 + 2*(-1)]          [2*1 + 1*(-1)]        = [1 - 2]          [2 - 1]        = [-1]           [1]

   Berechnen wir λ_2 * v_2:

   λ_2 * v_2 = -1 * [1, -1]^T = [-1, 1]^T

   Da A * v_2 = λ_2 * v_2, ist v_2 tatsächlich ein Eigenvektor von A für λ_2 = -1.

Fazit:Die gegebenen Eigenvektoren v_1 = [1, 1]^T und v_2 = [1, -1]^T sind tatsächlich Eigenvektoren der Matrix A für die entsprechenden Eigenwerte λ_1 = 3 und λ_2 = -1.

d)

Diskutieren Sie eine mögliche Anwendung der Diagonalisierung dieser Matrix A. Welche Vorteile könnten für ein reales Problem entstehen?

Lösung:

Eigenwerte und EigenvektorenBetrachten wir die quadratische Matrix A und die Konzepte der Eigenwerte und Eigenvektoren. Eine Matrix A hat einen Eigenvektor v und einen entsprechenden Eigenwert λ, wenn A * v = λ * v gilt. Die Eigenwertgleichung ist gegeben durch det(A - λI) = 0. Wenn λ bekannt ist, kann der entsprechende Eigenvektor durch Lösen von (A - λI)v = 0 gefunden werden. Eigenvektoren bilden eine Basis des entsprechenden Eigenraums. Anwendungen umfassen unter anderem die Diagonalisierung, Stabilitätsanalyse und Hauptachsentransformation.Lösung der Teilaufgabe:Diskutieren Sie eine mögliche Anwendung der Diagonalisierung dieser Matrix A. Welche Vorteile könnten für ein reales Problem entstehen?Diagonalisierung der Matrix A:Die Diagonalisierung einer Matrix A bedeutet, dass man sie als A = PDP^{-1} darstellt, wobei P die Matrix der Eigenvektoren und D eine Diagonalmatrix der Eigenwerte ist. Diese Technik bietet zahlreiche Vorteile in realen Anwendungen.Mögliche Anwendung:

• Schwingungsanalyse in der MechanikDie Diagonalisierung wird oft verwendet, um mechanische Systeme zu analysieren, die durch gekoppelte Differentialgleichungen beschrieben werden. Ein Beispiel ist die Untersuchung von Schwingungen in Strukturen und Maschinen. Für eine Matrix A, die das System dynamisch beschreibt, ermöglicht die Diagonalisierung eine Entkopplung der Bewegungsgleichungen, was die Analyse jeder individuellen Frequenz und Modus ermöglicht.Wenn man A diagonalisiert, kann man die Eigenwerte als natürliche Frequenzen und die Eigenvektoren als Modusformen interpretieren. Diese Entkopplung erleichtert die Berechnung des Systemverhaltens und die Implementierung von Steuerungsmechanismen.
• Analyse von NetzwerkenIn der Netzwerktheorie, insbesondere bei der Bewertung von Verbindungen und Flüssen, kann die Diagonalisierung verwendet werden, um wichtige Eigenschaften einer Netzwerkstruktur zu erkennen. Die Eigenvektoren geben Hinweise auf die Hauptausbreitungswege und -kanäle im Netzwerk, während die Eigenwerte die Stärke dieser Verbindungen bewerten.Durch Diagonalisieren der Adjazenzmatrix eines Netzwerks kann man die Stabilität und Robustheit des Netzwerks einschätzen, was in sozialen Netzwerken, Transportnetzwerken und Kommunikationsnetzwerken nützlich ist.
• BildkomprimierungDie Diagonalisierung spielt auch in der Bildverarbeitung eine große Rolle, insbesondere bei der Hauptkomponentenanalyse (PCA) zur Bildkomprimierung. Hierbei wird die Matrix der Bilddaten diagonalisiert, um die signifikantesten Komponenten zu identifizieren und unwesentliche Details zu entfernen. Diese Methode reduziert die Datengröße deutlich, während die bildliche Information weitgehend erhalten bleibt. Besonders bei der Speicherung und Übertragung großer Bilddatensätze ist dies von erheblichem Nutzen.

Vorteile:Die Diagonalisierung bietet zahlreiche Vorteile:

• Reduzierte Rechenkomplexität: Diagonale Matrizen sind einfacher zu handhaben und erfordern weniger Rechenaufwand, was die Effizienz erhöht.
• Klarere Interpretation: Eigenwerte und -vektoren liefern wertvolle Einblicke in die Eigenschaften eines Systems, erleichtern die Stabilitätsanalyse und die Durchführung von Vorhersagen.
• Verbesserte Datenverarbeitung: Die Diagonalisierung hilft, relevante Informationen zu extrahieren und unnötige Daten zu entfernen, was die Effizienz bei der Lösung komplexer Probleme verbessert.

Fazit:Die Diagonalisierung der Matrix A bietet ein mächtiges Werkzeug zur Analyse und Lösung komplexer Probleme in unterschiedlichen Wissenschafts- und Technologiebereichen, indem sie die Systemkomplexität reduziert und wertvolle Einblicke in die Systemdynamik ermöglicht.