Mathematisches Studieren - Exam.pdf

Aufgabe 1)

Betrachte die Grundlagen der Prinzipien und Methoden der Vermittlung von Mathematik. Folgende Punkte wurden behandelt:

• Kognitive und emotionale Zugänge zur Mathematik
• Didaktische Reduktion und Modellierung
• Unterrichtsmethoden und -strategien
• Rolle der Sprachentwicklung im Mathematikunterricht
• Diagnose und Förderung mathematischer Kompetenzen
• Bewertung und Rückmeldung

a)

Erläutere, wie die kognitiven und emotionalen Zugänge zur Mathematik das Verständnis der Schüler beeinflussen können. Bringe Beispiele für beide Zugänge und ihre Anwendung im Unterricht ein.

Lösung:

Kognitive und emotionale Zugänge zur Mathematik:

Die kognitiven und emotionalen Zugänge zur Mathematik sind entscheidend für das Verständnis und die Einstellung der Schüler gegenüber dem Fach. Beide Zugänge spielen zusammen eine wichtige Rolle dabei, wie effektiv Schüler mathematische Konzepte verstehen und anwenden können.

Kognitive Zugänge:

• Kognitiver Zugang: Dieser umfasst die mentalen Prozesse, die beim Lernen und Verstehen von Mathematik beteiligt sind. Hierzu gehören zum Beispiel:
• Problemlösungsstrategien: Die Fähigkeit, mathematische Probleme systematisch anzugehen und zu lösen. Ein Lehrer kann dies fördern, indem er Schülern verschiedene Lösungsmethoden zeigt und sie ermutigt, eigene Ansätze zu entwickeln.
• Abstraktes Denken: Die Fähigkeit, abstrakte mathematische Konzepte zu verstehen und zu verallgemeinern ist wichtig. Dies kann durch Visualisierungen und grafische Darstellungen unterstützt werden, z.B. das Darstellen von Gleichungen auf einer Zahlengeraden oder durch geometrische Formen.
• Metakognition: Schüler sollten lernen, über ihr eigenes Denken nachzudenken. Dies bedeutet, dass sie sich ihrer eigenen Lernstrategien bewusst werden und kritisch darüber reflektieren, wie sie diese verbessern können.

Beispiel:

Ein Lehrer, der kognitive Zugänge fördert, könnte eine Unterrichtseinheit zu mathematischen Funktionen einführen, indem er die Schüler zunächst einfache Aufgaben mit konkreten Zahlen lösen lässt und dann schrittweise zu abstrakteren Funktionen übergeht. Durch den Einsatz von Diagrammen und Tabellen kann das Verständnis vertieft werden.

Emotionale Zugänge:

• Emotionale Zugang: Dieser bezieht sich auf die Gefühle und Emotionen, die Schüler im Zusammenhang mit Mathematik haben. Positive Emotionen können die Lernmotivation erhöhen, während negative Emotionen das Lernen behindern können.
• Mathematikangst: Viele Schüler haben Angst vor Mathematik, was ihr Lernen erheblich beeinflussen kann. Ein Lehrer kann dem entgegenwirken, indem er ein unterstützendes und ermutigendes Lernumfeld schafft.
• Interesse und Neugier: Wenn Schüler ein echtes Interesse an Mathematik entwickeln, sind sie eher geneigt, sich aktiv mit dem Fach auseinanderzusetzen. Dies kann durch die Anwendung von Mathematik auf realitätsnahe Probleme und Projekte gefördert werden.
• Selbstwirksamkeit: Das Vertrauen der Schüler in ihre eigenen mathematischen Fähigkeiten ist entscheidend. Lehrer sollten darauf achten, den Schülern Erfolgserlebnisse zu ermöglichen und ihr Vertrauen in ihre eigenen Fähigkeiten zu stärken.

Beispiel:

Ein Lehrer könnte eine Unterrichtsstunde über Geometrie gestalten, indem er praktische Anwendungen zeigt, wie z.B. das Bauen von Modellen oder die Anwendung geometrischer Konzepte in der Architektur. Dadurch werden die Schüler eher interessiert und motiviert, da sie einen direkten Bezug zur realen Welt herstellen können.

Zusammenfassend lässt sich sagen, dass sowohl kognitive als auch emotionale Zugänge wesentlich sind, um das mathematische Verständnis der Schüler zu fördern. Während kognitive Zugänge die Struktur und Organisation des mathematischen Denkens fördern, schaffen emotionale Zugänge ein positives Lernumfeld, das die Motivation und das Interesse der Schüler stärkt.

Anwendung im Unterricht:

• Verwende vielfältige Lehrmethoden, die sowohl kognitive als auch emotionale Aspekte ansprechen.
• Schaffe ein unterstützendes und respektvolles Lernumfeld.
• Fördere eigenständiges Denken und Problemlösungsfähigkeiten.
• Integriere reale Anwendungsbeispiele, um das Interesse der Schüler zu wecken.
• Ermögliche Erfolgserlebnisse und positive Rückmeldungen.

b)

Beschreibe das Konzept der didaktischen Reduktion und Modellierung. Wähle ein komplexes mathematisches Thema und zeige auf, wie dieses Thema didaktisch reduziert und modelliert werden kann, um es den Schülern verständlicher zu machen.

Lösung:

Das Konzept der didaktischen Reduktion und Modellierung:

Die didaktische Reduktion und Modellierung sind wesentliche Konzepte in der Vermittlung von Mathematik. Sie helfen dabei, komplexe mathematische Themen für Schüler verständlicher und zugänglicher zu machen.

Didaktische Reduktion: Dies bedeutet, dass ein komplexes Thema auf seine wesentlichen Elemente heruntergebrochen wird. Dadurch wird der Lerninhalt vereinfacht, ohne dass die Grundprinzipien verloren gehen. Ziel ist es, den Schülern eine grundlegende Einsicht zu ermöglichen, bevor sie sich mit den komplexeren Aspekten eines Themas auseinandersetzen.

Modellierung: Dies bezieht sich auf die Verwendung von Modellen, die mathematische Konzepte in einer anschaulichen und erleichternden Weise darstellen. Modelle können visuell, physisch oder symbolisch sein und unterstützen das Verständnis abstrakter Ideen.

Beispiel für die didaktische Reduktion und Modellierung:

Das gewählte komplexe mathematische Thema ist die Integralrechnung.

• Schritt 1: Einführung in die Thematik

Zunächst sollten die Schüler die grundlegende Idee eines Integrals verstehen, nämlich die Vorstellung, die Fläche unter einer Kurve zu berechnen.

• Schritt 2: Didaktische Reduktion
• Verbindung zu bereits bekanntem Wissen: Bevor man Integrale einführt, sollten die Schüler vertraut mit der Idee des Summierens sein. Man könnte zum Beispiel die Berechnung der Fläche von Rechtecken heranziehen, was den Schülern meist schon aus früheren Klassen bekannt ist.
• Einfache Beispiele: Beginne mit einfachen Funktionen, wie z.B. linearen Funktionen oder konstanten Funktionen. Zeige, wie man die Fläche unter einer konstanten Funktion berechnet (ein einfaches Rechteck).
• Grenzwerte einführen: Erkläre, wie die Summe der Rechtecke die Fläche unter einer Kurve approximiert und wie diese Approximation besser wird, je mehr (und kleinere) Rechtecke verwendet werden.

• Schritt 3: Modellierung
• Visuelle Modelle: Nutze Diagramme und Graphen, um die Idee zu veranschaulichen. Zeige, wie Rechtecke unter einer Kurve platziert werden und wie diese flächentreu summiert werden.
• Physische Modelle: Verwende physische Objekte, wie z.B. Legosteine oder rechteckige Papierstreifen, um die Approximation der Fläche zu demonstrieren.
• Symbolische Modelle: Führe die Summenformel für die Rechtecksummen ein. Zeige dann die Übergangswelt, wie dies zu einem Integral führt, wenn die Breite der Rechtecke gegen null geht.

Zusammengefasst:

Durch die didaktische Reduktion wird die Integralrechnung schrittweise von grundlegenden Ideen bis hin zu komplexeren Konzepten verständlicher gemacht. Die Modellierung unterstützt das Verständnis durch die Nutzung visueller und physischer Hilfsmittel, die abstrakte Ideen greifbar machen.

Durch den Einsatz dieser Methoden können Schüler die Prinzipien der Integralrechnung zuerst auf einfachem Niveau begreifen und dann schrittweise tiefere Einsichten gewinnen.

c)

Diskutiere die Rolle der Sprachentwicklung im Mathematikunterricht. Wie können Sprachschwierigkeiten die mathematische Kompetenz beeinträchtigen und welche Strategien zur Förderung der Sprachentwicklung im Mathematikunterricht würdest Du vorschlagen?

Lösung:

Rolle der Sprachentwicklung im Mathematikunterricht:

Die Sprachentwicklung spielt eine zentrale Rolle im Mathematikunterricht, da mathematische Konzepte und Probleme häufig durch Sprache vermittelt werden. Sprachliche Fähigkeiten sind notwendig, um mathematische Aufgaben zu verstehen, zu formulieren und zu lösen. Hier sind einige der Hauptaspekte, wie Sprachentwicklungsprobleme die mathematische Kompetenz beeinflussen können:

• Verständnis mathematischer Begriffe: Mathematische Begriffe und Vokabeln sind oft abstrakt und können für Schüler schwer zu verstehen sein. Begriffe wie „Summe“, „Produkt“, „Differenz“ oder „Quotient“ müssen klar definiert und verinnerlicht werden.
• Lesen und Verstehen von Textaufgaben: Textaufgaben stellen eine besondere Herausforderung dar, da Schüler die sprachlichen Elemente der Aufgabe verstehen und in mathematische Operationen übersetzen müssen. Schwierigkeiten im Lesen oder Textverständnis können zu Missverständnissen und Fehlern führen.
• Kommunikation mathematischer Ideen: Schüler müssen in der Lage sein, ihre mathematischen Überlegungen klar und präzise zu artikulieren. Dies umfasst das Erklären von Lösungen, das Beschreiben von Vorgehensweisen und das Argumentieren in mathematischen Diskussionen.

Strategien zur Förderung der Sprachentwicklung im Mathematikunterricht:

• Explizite Einführung mathematischer Begriffe: Lehre mathematische Vokabeln direkt und explizit. Verwende Definitionen, Beispiele und Gegenbeispiele, um das Verständnis zu festigen. Führe regelmäßige Wiederholungen und Übungen ein, um die Begriffe zu verankern.
• Förderung des Lesens mathematischer Texte: Integriere das Lesen mathematischer Texte in den Unterricht. Nutze altersgerechte Materialien, die sowohl textliche als auch mathematische Elemente enthalten. Lehre Schüler Strategien zur Bearbeitung von Textaufgaben, wie das Identifizieren von Schlüsselwörtern und das Zerlegen der Aufgabe in Teilschritte.
• Förderung der mündlichen Kommunikation: Biete Gelegenheiten für Diskussionen und Präsentationen im Mathematikunterricht. Lasse Schüler ihre Lösungswege und Überlegungen vor der Klasse präsentieren oder in kleinen Gruppen besprechen. Fördere eine Kultur des Zuhörens und Nachfragens, um das Verständnis zu vertiefen.
• Verwendung von Visualisierungen und Modellen: Nutze visuelle Hilfsmittel, wie Diagramme, Grafiken und Manipulative, um die sprachlichen Informationen zu ergänzen. Visuelle Darstellungen können helfen, abstrakte Konzepte greifbar und verständlicher zu machen.
• Unterstützung durch schriftliche Ausdrucksmittel: Fördere das Schreiben im Mathematikunterricht, z.B. durch das Führen von Mathematik-Tagebüchern oder das Schreiben von Erklärungen zu Lösungen. Schriftliche Übungen können helfen, klare und präzise Formulierungen zu entwickeln.
• Interdisziplinäre Ansätze: Arbeite eng mit Sprachlehrern zusammen, um sprachliche und mathematische Kompetenzen integriert zu fördern. Gemeinsame Projekte und Themen können die Verbindung zwischen Sprache und Mathematik stärken.

Zusammenfassend lässt sich sagen, dass die Sprachentwicklung ein integraler Bestandteil des Mathematikunterrichts ist. Durch gezielte Strategien und Maßnahmen können Sprachschwierigkeiten gemindert und das Verständnis mathematischer Konzepte verbessert werden.

Aufgabe 3)

Betrachte die Menge der Permutationen der Elemente \(\textbf{A} = \{1, 2, 3\}\), die mit der Komposition von Funktionen als Verknüpfung eine Gruppe bildet. Erinnere Dich daran, dass jede Permutation eine bijektive Funktion ist.

a)

a) Zeige, dass die Menge der Permutationen \(\textbf{A}\) mit der Komposition von Funktionen eine Gruppe bildet. Verifiziere explizit die Gruppeneigenschaften Abschluss, Assoziativität, und die Existenz eines neutralen Elements sowie inverser Elemente.

Lösung:

Aufgabe a): Zeige, dass die Menge der Permutationen \(\textbf{A} = \{1, 2, 3\}\) mit der Komposition von Funktionen eine Gruppe bildet. Verifiziere explizit die Gruppeneigenschaften Abschluss, Assoziativität, und die Existenz eines neutralen Elements sowie inverser Elemente.

Um zu zeigen, dass die Menge der Permutationen von \(\textbf{A}\) mit der Komposition eine Gruppe bildet, müssen wir die vier Gruppeneigenschaften überprüfen: Abschluss, Assoziativität, Existenz eines neutralen Elements und Existenz inverser Elemente.

• Abschluss: Die Komposition zweier Permutationen ist wieder eine Permutation. Nehmen wir zwei Permutationen \(f\) und \(g\) von \(\textbf{A} = \{1, 2, 3\}\). Ihre Komposition \(f \circ g\) ist ebenfalls eine Permutation, da die Komposition bijektiver Funktionen wieder eine bijektive Funktion ist. Beispiel:

  \text{Seien } f(1) = 2, f(2) = 3, f(3) = 1 \text{ und } g(1) = 3, g(2) = 1, g(3) = 2

  \text{Dann ist } f \circ g(1) = f(g(1)) = f(3) = 1, f \circ g(2) = f(g(2)) = f(1) = 2, f \circ g(3) = f(g(3)) = f(2) = 3

  \text{Die Komposition f \circ g ist } (1, 2, 3) \rightarrow (1, 2, 3) 

• Assoziativität: Die Komposition von Funktionen ist immer assoziativ. Das bedeutet, dass für alle Permutationen \(f, g, h\) in \(\textbf{Sym(A)}\) gilt:

  (f \circ g) \circ h = f \circ (g \circ h)

• Existenz eines neutralen Elements: Das neutrale Element bezüglich der Komposition von Permutationen ist die Identitätspermutation \(\text{id}\), die jedes Element auf sich selbst abbildet:

  \text{id}(x) = x 

  Für jede Permutation \(f\) in \(\textbf{Sym(A)}\) gilt dann:

  f \circ \text{id} = \text{id} \circ f = f

• Existenz eines Inversen: Jede Permutation \(f\) hat genau eine inverse Permutation \(f^{-1}\), die die ursprüngliche Permutation rückgängig macht. Das bedeutet, dass:

  f \circ f^{-1} = f^{-1} \circ f = \text{id} 

  Beispiel:

  Sei \(f(1) = 2, f(2) = 1, f(3) = 3 \text{ und } f^{-1}(1) = 2, f^{-1}(2) = 1, f^{-1}(3) = 3

  Dann ist f \circ f^{-1}(x) = x 

  und f^{-1} \circ f(x) = x, 

  somit existiert ein inverses Element.

Folglich zeigt die Überprüfung dieser vier Eigenschaften, dass die Menge der Permutationen von \textbf{A} mit der Komposition von Funktionen eine Gruppe bildet. Diese Gruppe wird oft als die symmetrische Gruppe auf \(\textbf{A}\) bezeichnet und mit \(\textbf{S}_3\) benannt.

b)

b) Bestimme die Ordnung der Gruppe der Permutationen der Menge \(\textbf{A}\) und zähle alle möglichen Permutationen auf. Erkläre, warum dies ein Beispiel für eine Symmetrische Gruppe ist und notiere den Namen der speziellen Symmetrischen Gruppe, die hier vorliegt.

Lösung:

Aufgabe b): Bestimme die Ordnung der Gruppe der Permutationen der Menge \(\textbf{A} = \{1, 2, 3\}\) und zähle alle möglichen Permutationen auf. Erkläre, warum dies ein Beispiel für eine Symmetrische Gruppe ist und notiere den Namen der speziellen Symmetrischen Gruppe, die hier vorliegt.

Um die Ordnung der Gruppe der Permutationen der Menge \(\textbf{A} = \{1, 2, 3\}\) zu bestimmen, müssen wir herausfinden, wie viele verschiedene Permutationen es von drei Elementen gibt. Dies lässt sich durch die Fakultät von 3 berechnen:

Ordnung:

• Die Anzahl der Permutationen von 3 Elementen ist \(3!\), also:
• \[ 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6 \]

Die Ordnung der Gruppe der Permutationen der Menge \(\textbf{A}\) ist also 6.

Auflistung aller möglichen Permutationen:

• Die 6 Permutationen von \(\textbf{A}\) sind:
• \(\text{id} : (1, 2, 3) \rightarrow (1, 2, 3)\)
• \(\sigma_1 : (1, 2, 3) \rightarrow (1, 3, 2)\)
• \(\sigma_2 : (1, 2, 3) \rightarrow (2, 1, 3)\)
• \(\sigma_3 : (1, 2, 3) \rightarrow (2, 3, 1)\)
• \(\sigma_4 : (1, 2, 3) \rightarrow (3, 1, 2)\)
• \(\sigma_5 : (1, 2, 3) \rightarrow (3, 2, 1)\)

Jede dieser Permutationen ist eine bijektive Funktion auf der Menge \(\{1, 2, 3\}\).

Erklärung zur Symmetrischen Gruppe:

• Die Menge aller Permutationen einer endlichen Menge von \(n\) Elementen bildet eine Gruppe, die als Symmetrische Gruppe bezeichnet wird. Sie wird mit \(\textbf{S}_n\) bezeichnet.
• In diesem Fall haben wir 3 Elemente, also handelt es sich um die Symmetrische Gruppe \(\textbf{S}_3\).
• Dies ist ein Beispiel für eine Symmetrische Gruppe, weil jede Permutation eine bijektive Funktion ist und die Menge der Permutationen die Gruppeneigenschaften (Abschluss, Assoziativität, Existenz eines neutralen Elements und Existenz inverser Elemente) erfüllt.
• Zusammenfassung: Die spezielle Symmetrische Gruppe, die hier vorliegt, ist \(\textbf{S}_3\), die Symmetrische Gruppe auf drei Elementen, und ihre Ordnung ist 6.

c)

c) Zeige anhand eines Beispiels, wie die Gruppe der Permutationen verwendet werden kann, um eine algebraische Gleichung zu lösen. Wähle eine einfache algebraische Gleichung und beschreibe, wie Permutationen dabei helfen können, die Symmetrien der Lösung aufzuzeigen.

Lösung:

Aufgabe c): Zeige anhand eines Beispiels, wie die Gruppe der Permutationen verwendet werden kann, um eine algebraische Gleichung zu lösen. Wähle eine einfache algebraische Gleichung und beschreibe, wie Permutationen dabei helfen können, die Symmetrien der Lösung aufzuzeigen.

Um zu demonstrieren, wie die Gruppe der Permutationen verwendet werden kann, um Symmetrien in einer algebraischen Gleichung zu untersuchen, betrachten wir die kubische Gleichung:

\[ x^3 - 3x + 2 = 0 \]

Diese Gleichung hat die drei Lösungen:

• \[ x_1 = 1 \]
• \[ x_2 = -1 \]
• \[ x_3 = 2 \]

Nun analysieren wir die Symmetrie der Lösungen mit den Permutationen der Symmetrischen Gruppe \(\textbf{S}_3\). Die Gruppe \(\textbf{S}_3\) besteht aus allen möglichen Permutationen der drei Elemente \(\{x_1, x_2, x_3\}\). Es gibt 3! = 6 mögliche Permutationen:

• \(\text{id} = (x_1\ x_2\ x_3) \rightarrow (x_1\ x_2\ x_3)\)
• \(\sigma_1 = (x_1\ x_2\ x_3) \rightarrow (x_1\ x_3\ x_2)\)
• \(\sigma_2 = (x_1\ x_2\ x_3) \rightarrow (x_2\ x_1\ x_3)\)
• \(\sigma_3 = (x_1\ x_2\ x_3) \rightarrow (x_2\ x_3\ x_1)\)
• \(\sigma_4 = (x_1\ x_2\ x_3) \rightarrow (x_3\ x_1\ x_2)\)
• \(\sigma_5 = (x_1\ x_2\ x_3) \rightarrow (x_3\ x_2\ x_1)\)

Diese Permutationen zeigen, wie die Lösungen der Gleichung miteinander vertauscht werden können.

Verwendung der Permutationen zum Lösen der Gleichung:

• Betrachten wir eine bestimmte Symmetrische Gruppe \(\textbf{S}_3\).
• Die Permutationen \(\sigma_1\ bis \sigma_5\) zeigen, wie die Lösungen \(x_1, x_2, x_3\) der Gleichung symmetrisch angeordnet und miteinander vertauscht werden können.

Durch die Betrachtung dieser Symmetrie können wir erkennen, dass die Lösungen der Gleichung gleichwertig sind und dass keine Lösung bevorzugt ist. Die Symmetrische Gruppe hilft dabei, diese grundlegende Eigenschaft der Gleichungen aufzuzeigen.

Zusammenfassung:

• Die Symmetrische Gruppe \(\textbf{S}_3\) mit ihren 6 Permutationen zeigt, wie die Lösungen einer kubischen Gleichung miteinander vertauscht werden können, ohne die Struktur der Gleichung zu verändern.
• Diese Symmetrien in den Lösungen können tiefergehende Eigenschaften der Gleichung und ihrer Lösungen aufzeigen.
• Ein grundlegendes Verständnis der Permutationen und ihrer Rolle in der Symmetrischen Gruppe hilft, die Lösungen und die Struktur von algebraischen Gleichungen besser zu verstehen.

d)

d) Erkläre, wie Konzepte aus der Gruppentheorie in der Kryptographie angewandt werden, insbesondere im RSA-Verschlüsselungsverfahren. Betrachte die Rolle von Permutationsgruppen und diskuter die Relevanz der speziellen Gruppeneigenschaften in diesem Kontext.

Lösung:

Aufgabe d): Erkläre, wie Konzepte aus der Gruppentheorie in der Kryptographie angewandt werden, insbesondere im RSA-Verschlüsselungsverfahren. Betrachte die Rolle von Permutationsgruppen und diskutiere die Relevanz der speziellen Gruppeneigenschaften in diesem Kontext.

Gruppentheorie ist ein fundamentales Konzept in der Kryptographie, da es die mathematischen Strukturen bereitstellt, die zur Verschlüsselung und Entschlüsselung genutzt werden. Ein besonders prominentes Beispiel für die Anwendung der Gruppentheorie in der Kryptographie ist das RSA-Verschlüsselungsverfahren.

RSA-Verschlüsselungsverfahren:

Das RSA-Verschlüsselungsverfahren, benannt nach seinen Erfindern Ron Rivest, Adi Shamir und Leonard Adleman, beruht auf den Konzepten der Gruppentheorie und der Zahlentheorie, insbesondere der Eigenschaften von Primzahlen und der modularen Arithmetik.

Das RSA-Verfahren basiert auf folgenden Schritten:

• Schlüsselerzeugung:
• 1. Wähle zwei große Primzahlen \(p\) und \(q\).
• 2. Berechne \(n = pq\), das Produkt der beiden Primzahlen. \(n\) bildet den Modul für die Schlüssel.
• 3. Berechne die Eulersche Phi-Funktion \(\phi(n) = (p-1)(q-1)\).
• 4. Wähle eine Zufallszahl \(e\) (den öffentlichen Exponenten) so, dass \(1 < e < \phi(n)\) und \(\text{ggT}(e, \phi(n)) = 1\).
• 5. Berechne \(d\) (den privaten Exponenten) als multiplikativ inverses von \(e \pmod{\phi(n)}\), d.h. \(de \equiv 1 \pmod{\phi(n)}\).
• 6. Der öffentliche Schlüssel ist \((e, n)\), der private Schlüssel ist \((d, n)\).
• Verschlüsselung:
• 1. Der Klartext \(M\) wird in eine Zahl \(m\) umgewandelt, so dass \(0 \le m < n\).
• 2. Die verschlüsselte Nachricht \(c\) wird durch \(c \equiv m^e \pmod{n}\) erzeugt.
• Entschlüsselung:
• 1. Der Empfänger erhält die verschlüsselte Nachricht \(c\).
• 2. Die Nachricht wird wieder in den Klartext \(m\) umgewandelt: \(m \equiv c^d \pmod{n}\).

Relevanz der Gruppeneigenschaften:

Die Sicherheit des RSA-Verfahrens basiert auf der Schwierigkeit, große Zahlen in ihre Primfaktoren zu zerlegen, was als Faktorisierungsproblem bekannt ist. Hierbei sind folgende gruppentheoretischen Konzepte besonders relevant:

• Die multiplikative Gruppe der Einheiten \((\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^*\) spielt eine zentrale Rolle, da die Verschlüsselung und Entschlüsselung auf der Exponentiation in dieser Gruppe beruhen.
• Die Eulersche Phi-Funktion \(\phi(n)\) und die Eigenschaft, dass \(e\) und \(d\) zueinander multiplikative Inverse modulo \(\phi(n)\) sind, garantieren die Korrektheit des Entschlüsselungsprozesses.
• Die Existenz von inversen Elementen in der multiplikativen Gruppe ermöglicht die Entschlüsselung der Nachricht.
• Abschluss und Assoziativität sind grundlegend für die Modulararithmetik, die bei der Verschlüsselung und Entschlüsselung verwendet wird.

Im Kontext der Permutationsgruppen selbst spielt die RSA-Verschlüsselung direkt keine Rolle, aber die Konzepte von Symmetrie und Inversen aus der Gruppentheorie sind entscheidend für das Verständnis und die Anwendung des Verfahrens.

Aufgabe 4)

In einer zweidimensionalen Riemannschen Mannigfaltigkeit wird die Geometrie durch die Fundamentalform und die Christoffelsymbole beschrieben. Beachte, dass die Fundamentalform in lokalen Koordinaten als \emph{Erste Fundamentalform} oder auch \emph{Euklidische Metrik} gegeben ist: \[\text{I} = E \, du^2 + 2F \, du \, dv + G \, dv^2\]. Aus der Fundamentalform lassen sich die Christoffelsymbole der ersten Art berechnen, die für die Bestimmung der Geodäten essentiell sind. Diese Symbole werden wie folgt definiert: \[\begin{cases} \Gamma^k_{ij} = \frac{1}{2} g^{kl} ( \partial_j g_{il} + \partial_i g_{jl} - \partial_l g_{ij} ) \end{cases}\].

a)

a) Gegeben sei eine zweidimensionale Fläche mit der Fundamentalform: \[\text{I} = (1+u^2) \, du^2 + 4 \, du \, dv + (1+v^2) \, dv^2\]. Berechne die Christoffelsymbole der ersten Art \(\begin{cases} \Gamma^u_{uv}, \Gamma^v_{uu}, \Gamma^v_{vv} \end{cases}\) in dieser Metrik.

Lösung:

Um die Christoffelsymbole erster Art \(\begin{cases} \Gamma^u_{uv}, \Gamma^v_{uu}, \Gamma^v_{vv} \end{cases}\) für die gegebene Fundamentalform \[\text{I} = (1+u^2) \ du^2 + 4 \ du \ dv + (1+v^2) \ dv^2\] zu berechnen, sind folgende Schritte nötig:

• Step 1: Bestimmen der metrischen Koeffizienten:
  • \(E = 1 + u^2\)
  • \(F = 4\)
  • \(G = 1 + v^2\)

• Step 2: Konstruktion der Metrikmatrix \(g_{ij}\) und deren Inverse \(g^{ij}\):
  • \[g_{ij} = \begin{pmatrix} 1 + u^2 & 4 4 & 1 + v^2 \end{pmatrix}\]
  • Um die Inverse zu berechnen, nutzen wir die Formel für 2x2 Matrizen: \[ g^{ij} = \frac{1}{\text{det}(g)} \begin{pmatrix} g_{22} & -g_{12} -g_{21} & g_{11} \end{pmatrix} \] wobei \[\det(g) = (1 + u^2)(1 + v^2) - 16\]
  • Das gibt uns: \[ g^{ij} = \frac{1}{(1 + u^2)(1 + v^2) - 16} \begin{pmatrix} 1 + v^2 & -4 -4 & 1 + u^2 \end{pmatrix} \]

• Step 3: Berechnung der Ableitungen der Metrikkomponenten:
  • \(\partial_u g_{11} = 2u\)
  • \(\partial_u g_{12} = \partial_u g_{21} = 0\)
  • \(\partial_u g_{22} = 0\)
  • \(\partial_v g_{11} = 0\)
  • \(\partial_v g_{12} = \partial_v g_{21} = 0\)
  • \(\partial_v g_{22} = 2v\)

• Step 4: Anwenden der Formel der Christoffelsymbole:
  • \( \Gamma^u_{uv} = \frac{1}{2} g^{ul} (\partial_v g_{ul} + \partial_u g_{vl} - \partial_l g_{uv})\) Da die meisten Ableitungen null sind, erhalten wir: \( \Gamma^u_{uv} = \frac{1}{2} g^{uu} (0 + 0 - 0) + g^{uv} (0 + 0 - 0) = 0 \)
  • \( \Gamma^v_{uu} = \frac{1}{2} g^{vl} (\partial_u g_{ul} + \partial_u g_{ul} - \partial_l g_{uu})\) Da die meisten Ableitungen null sind, erhalten wir: \( \Gamma^v_{uu} = \frac{1}{2} g^{vu} (2u) = \frac{1}{2} (-4) (2u) = -4u/(\text{det})\)
  • \( \Gamma^v_{vv} = \frac{1}{2} g^{vl} (\partial_v g_{vl} + \partial_v g_{vl} - \partial_l g_{vv})\) Da die meisten Ableitungen null sind, erhalten wir: \( \Gamma^v_{vv} = \frac{1}{2} g^{vv} (0 + 2v - 0) = \frac{v}{(1 + u^2)(1 + v^2) - 16} (2v) = v/\text{det}\)

• \(\Gamma^u_{uv} = 0\)
• \(\Gamma^v_{uu} = \frac{-4u}{(1 + u^2)(1 + v^2) - 16}\)
• \(\Gamma^v_{vv} = \frac{v}{(1 + u^2)(1 + v^2) - 16}\)

b)

b) Finde die Gleichung der geodätischen Linie für die gleiche zweidimensionale Fläche, indem Du die gefundenen Christoffelsymbole aus Teil a) nutzt. Löse das Anfangswertproblem für diese Geodätischen mit den Bedingungen \(\begin{cases} u(0) = 1, \ v(0) = 0, \ \frac{du}{ds}|_{s=0} = 0, \ \frac{dv}{ds}|_{s=0} = 1 \end{cases}\).

Lösung:

Um die Gleichung der geodätischen Linie für die gegebene zweidimensionale Fläche zu finden, nutzen wir die in Teil a) gefundenen Christoffelsymbole sowie die geodätischen Gleichungen. Diese Gleichungen werden durch das System zweier Differentialgleichungen zweiter Ordnung beschrieben:

• \(\frac{d^2 u}{ds^2} + \Gamma^u_{ij} \frac{du^i}{ds} \frac{du^j}{ds} = 0\)
• \(\frac{d^2 v}{ds^2} + \Gamma^v_{ij} \frac{du^i}{ds} \frac{du^j}{ds} = 0\)

Die Christoffelsymbole, die wir aus Teil a) haben, sind:

• \(\Gamma^u_{uv} = 0\)
• \(\Gamma^v_{uu} = \frac{-4u}{(1 + u^2)(1 + v^2) - 16}\)
• \(\Gamma^v_{vv} = \frac{v}{(1 + u^2)(1 + v^2) - 16}\)

Mithilfe dieser Symbole ergeben sich folgende geodätischen Gleichungen:

• \(\frac{d^2 u}{ds^2} = 0\)
• \(\frac{d^2 v}{ds^2} + \Gamma^v_{uu} \left(\frac{du}{ds}\right)^2 + \Gamma^v_{vv} \left(\frac{dv}{ds}\right)^2 = 0\)

Step 1: Lösung der geodätischen Gleichung für \(u\)

• \(\frac{d^2 u}{ds^2} = 0\) lässt sich durch zweimaliges Integrieren lösen.
• Die allgemeine Lösung ist \(u(s) = C_1 s + C_0\).
• Die Anfangsbedingungen \(u(0) = 1\) und \(\left.\frac{du}{ds}\right|_{s=0} = 0\) geben uns:
  • \(u(0) = 1 = C_0\)
  • \(\left.\frac{du}{ds}\right|_{s=0} = 0 = C_1\)
  Daher ist die spezifische Lösung für \(u(s)\):
  • \(u(s) = 1\)

Step 2: Lösung der geodätischen Gleichung für \(v\)

• \(\frac{d^2 v}{ds^2} + \Gamma^v_{vv} \left(\frac{dv}{ds}\right)^2 = 0\)
• Da \(u = 1\) konstant ist, vereinfacht sich \(\Gamma^v_{vv}\) zu:
  • \(\Gamma^v_{vv} = \frac{v}{(1 + 1^2)(1 + v^2) - 16} = \frac{v}{(2)(1 + v^2) - 16} = \frac{v}{2 + 2v^2 - 16} = \frac{v}{2v^2 - 14}\) Da \(2v^2 - 14 = 2(v^2 - 7)\), lautet die vereinfachte Formel: \(\Gamma^v_{vv} = \frac{v}{2(v^2 - 7)} = \frac{1}{2} \frac{v}{v^2 - 7}\)
• Einsetzen der Anfangsbedingungen, um die Differentialgleichung zu lösen:
  • \(\frac{d^2 v}{ds^2} + \frac{1}{2} \frac{v}{v^2 - 7} \left(\frac{dv}{ds}\right)^2 = 0\)
  • Das Anfangswertproblem ergibt \(v(0) = 0\) und \(\left.\frac{dv}{ds}\right|_{s=0} = 1\).
• Da \(\Gamma^v_{vv}\) für \(v = 0\) gleich 0 ist, geht die Gleichung \(\frac{d^2 v}{ds^2} = 0\) über.
• Integrieren:
  • Erste Integration: \(\frac{dv}{ds} = 1\)
  • Zweite Integration: \(v(s) = s\)
• Also ist die Lösung für \(v(s)\):
  • \(v(s) = s\)

Schließlich:

• \(u(s) = 1\)
• \(v(s) = s\)