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Grenzwerte und Stetigkeit Definition: Grenzwerte und Stetigkeit behandeln das Verhalten von Funktionen, wenn die Eingabewerte gegen einen bestimmten Punkt streben. Details: Grenzwert:

lim_{x \to a} f (x) = L

-> Existenz eines Grenzwertes L an der Stelle a Stetigkeit: Funktion f stetig an a, wenn

lim_{x \to a} f (x) = f (a)

Unstetigkeit: wenn

lim_{x \to a} f (x)

nicht existi...

Grenzwerte und Stetigkeit

Definition:

Grenzwerte und Stetigkeit behandeln das Verhalten von Funktionen, wenn die Eingabewerte gegen einen bestimmten Punkt streben.

Details:

Grenzwert: $lim_{x \to a} f (x) = L$ -> Existenz eines Grenzwertes L an der Stelle a
Stetigkeit: Funktion f stetig an a, wenn $lim_{x \to a} f (x) = f (a)$
Unstetigkeit: wenn $lim_{x \to a} f (x)$ nicht existiert oder $f (a)$ ungleich dem Grenzwert ist
Links- und Rechtsseitiger Grenzwert: $lim_{x \to a^{-}} f (x)$ und $lim_{x \to a^{+}} f (x)$
Eigenschaften: Algebraische Operationen mit Grenzwerten (Summe, Produkt, Quotient)

Schätz- und Testtheorie

Definition:

Schätz- und Testtheorie befasst sich mit der Schätzung von Parametern und der Testung von Hypothesen in der Statistik.

Details:

Schätzung: Berechnung von Parametern $θ$ anhand von Stichproben $X_{1}, X_{2}, . . ., X_{n}$
Schätzer: Funktion $\hat{θ} (X_{1}, X_{2}, . . ., X_{n})$ , die Schätzung liefert
Erwartungstreue: $E (\hat{θ}) = θ$
Verzerrung: $B i a s (\hat{θ}) = E (\hat{θ}) - θ$
Varianz: $V a r (\hat{θ})$
MSE (Mean Squared Error): $M S E (\hat{θ}) = V a r (\hat{θ}) + B i a s (\hat{θ})^{2}$
Hypothesentests: Nullhypothese ( $H_{0}$ ) vs. Alternativhypothese ( $H_{1}$ )
Teststatistik: Messgröße, die zur Entscheidungsfindung genutzt wird
Signifikanzniveau $α$ : Wahrscheinlichkeit, nullhypothese fälschlich abzulehnen
p-Wert: Wahrscheinlichkeit, unter der Nullhypothese einen Testwert zu finden, der mindestens so extrem ist wie der beobachtete Wert
Fehler 1. Art $α$ : $P (Ablehnung von H_{0} | H_{0} wahr)$
Fehler 2. Art $β$ : $P (Beibehaltung von H_{0} | H_{1} wahr)$

Numerische Methoden der Linearen Algebra

Definition:

Numerische Techniken zur Lösung von großen linearen Gleichungssystemen und Eigenwertproblemen.

Details:

Matrix-Dekompositionen: LU, QR, SVD
Verfahren zur Lösung linearer Gleichungssysteme: Gauss, Cholesky
Iterative Methoden: Conjugate Gradient, GMRES
Eigenwertprobleme lösen: Potenzmethode, QR-Algorithmus
Fehleranalyse und Konditionierung: Stabilität, Sensitivität
Numerische Implementierung: Effizienz, Speicherbedarf
Parallelisierung: verteiltes Rechnen, GPUs

Differentialgeometrie

Definition:

Differentialgeometrie beschäftigt sich mit differenzierbaren Mannigfaltigkeiten und deren geometrischen Eigenschaften.

Details:

Mannigfaltigkeiten: Lokale Karten, Atlas, Übergangsfunktionen
Tangentialräume: Definition, Basisvektoren
Vektor- und Tensorfelder: Definition, Ableitungen
Differentialformen und äußere Ableitung
Riemannsche Geometrie: Metrik, Levi-Civita-Zusammenhang, Krümmungstensor
Geodäten: Definition, geodätische Gleichung
Hauptsätze: Satz von Gauss-Bonnet, Sätze von Stokes

Partielle Differenzialgleichungen

Definition:

Gleichungen, die partielle Ableitungen einer unbekannten Funktion enthalten. Zentral in mathematischen Modellen physikalischer Phänomene.

Details:

Form: i. A. $F (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}, u, \frac{\partial u}{\partial x_{1}}, \frac{\partial u}{\partial x_{2}}, \dots, \frac{\partial^{2} u}{\partial x_{1} \partial x_{2}}, \dots) = 0$
Elliptisch, parabolisch und hyperbolisch als wichtige Klassifizierungen.
Methoden: Trennung der Variablen, Fourier-Transformation, Greensche Funktionen.

Gruppen- und Ringtheorie

Definition:

Untersucht algebraische Strukturen: Gruppen und Ringe. Gruppen: Mengen mit einer Verknüpfung, die assoziativ, ein neutrales Element hat und zu jedem Element ein inverses Element enthält. Ringe: Mengen mit zwei Verknüpfungen, Addition (bildet Abel'sche Gruppe) und Multiplikation (assoziativ).

Details:

Gruppe: Set: $G$ ; Operation: $\cdot$
- Abgeschlossenheit: $a, b \in G \Rightarrow a \cdot b \in G$
- Assoziativität: $(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$
- Neutrales Element: $e \in G, e \cdot a = a \cdot e = a$
- Inverses Element: $\forall a \in G, \exists a^{- 1} \in G : a \cdot a^{- 1} = a^{- 1} \cdot a = e$
Ring: Set: $R$ ; Operationen: $+$ , $\cdot$
- Addition: $(R, +)$ ist eine abelsche Gruppe
- Multiplikation: $(R, \cdot)$ ist assoziativ
- Distributivgesetze: $a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$ und $(a + b) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c$

Zentraler Grenzwertsatz

Definition:

Der zentrale Grenzwertsatz (ZGS) besagt, dass die Summe einer großen Anzahl unabhängiger, identisch verteilter Zufallsvariablen näherungsweise normalverteilt ist, unabhängig von der ursprünglichen Verteilung.

Details:

Formel: Wenn X_1, X_2, ..., X_n unabhängige, identisch verteilte Zufallsvariablen mit dem Erwartungswert $μ$ und der Varianz $σ^{2}$ sind, dann nähert sich die Verteilung der standardisierten Summe $Z_{n} = \frac{(X_{1} + X_{2} + . . . + X_{n}) - n μ}{\sqrt{n} σ}$ für hinreichend großes n einer Standardnormalverteilung $N (0, 1)$ .
Gilt auch für verschieden verteilte Zufallsvariablen, vorausgesetzt sie sind unabhängig und haben denselben Erwartungswert und Varianz.
Wichtig für die Statistik, da sie das Fundament für viele inferenzstatistische Methoden bildet.

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