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Grenzwerte und Stetigkeit

Definition:

Grenzwerte und Stetigkeit behandeln das Verhalten von Funktionen, wenn die Eingabewerte gegen einen bestimmten Punkt streben.

Details:

• Grenzwert: \( \lim_{{x \to a}} f(x) = L \) -> Existenz eines Grenzwertes L an der Stelle a
• Stetigkeit: Funktion f stetig an a, wenn \( \lim_{{x \to a}} f(x) = f(a) \)
• Unstetigkeit: wenn \( \lim_{{x \to a}} f(x) \) nicht existiert oder \( f(a) \) ungleich dem Grenzwert ist
• Links- und Rechtsseitiger Grenzwert: \( \lim_{{x \to a^-}} f(x) \) und \( \lim_{{x \to a^+}} f(x) \)
• Eigenschaften: Algebraische Operationen mit Grenzwerten (Summe, Produkt, Quotient)

Schätz- und Testtheorie

Definition:

Schätz- und Testtheorie befasst sich mit der Schätzung von Parametern und der Testung von Hypothesen in der Statistik.

Details:

• Schätzung: Berechnung von Parametern \(\theta\) anhand von Stichproben \(X_1, X_2, ..., X_n\)
• Schätzer: Funktion \(\hat{\theta}(X_1, X_2, ..., X_n)\), die Schätzung liefert
• Erwartungstreue: \(E(\hat{\theta}) = \theta\)
• Verzerrung: \(Bias(\hat{\theta}) = E(\hat{\theta}) - \theta\)
• Varianz: \(Var(\hat{\theta})\)
• MSE (Mean Squared Error): \(MSE(\hat{\theta}) = Var(\hat{\theta}) + Bias(\hat{\theta})^2\)
• Hypothesentests: Nullhypothese (\(H_0\)) vs. Alternativhypothese (\(H_1\))
• Teststatistik: Messgröße, die zur Entscheidungsfindung genutzt wird
• Signifikanzniveau \(\alpha\): Wahrscheinlichkeit, nullhypothese fälschlich abzulehnen
• p-Wert: Wahrscheinlichkeit, unter der Nullhypothese einen Testwert zu finden, der mindestens so extrem ist wie der beobachtete Wert
• Fehler 1. Art \(\alpha\): \( P(\text{Ablehnung von } H_0 | H_0 \text{ wahr}) \)
• Fehler 2. Art \(\beta\): \( P(\text{Beibehaltung von } H_0 | H_1 \text{ wahr}) \)

Numerische Methoden der Linearen Algebra

Definition:

Numerische Techniken zur Lösung von großen linearen Gleichungssystemen und Eigenwertproblemen.

Details:

• Matrix-Dekompositionen: LU, QR, SVD
• Verfahren zur Lösung linearer Gleichungssysteme: Gauss, Cholesky
• Iterative Methoden: Conjugate Gradient, GMRES
• Eigenwertprobleme lösen: Potenzmethode, QR-Algorithmus
• Fehleranalyse und Konditionierung: Stabilität, Sensitivität
• Numerische Implementierung: Effizienz, Speicherbedarf
• Parallelisierung: verteiltes Rechnen, GPUs

Differentialgeometrie

Definition:

Differentialgeometrie beschäftigt sich mit differenzierbaren Mannigfaltigkeiten und deren geometrischen Eigenschaften.

Details:

• Mannigfaltigkeiten: Lokale Karten, Atlas, Übergangsfunktionen
• Tangentialräume: Definition, Basisvektoren
• Vektor- und Tensorfelder: Definition, Ableitungen
• Differentialformen und äußere Ableitung
• Riemannsche Geometrie: Metrik, Levi-Civita-Zusammenhang, Krümmungstensor
• Geodäten: Definition, geodätische Gleichung
• Hauptsätze: Satz von Gauss-Bonnet, Sätze von Stokes

Partielle Differenzialgleichungen

Definition:

Gleichungen, die partielle Ableitungen einer unbekannten Funktion enthalten. Zentral in mathematischen Modellen physikalischer Phänomene.

Details:

• Form: i. A. \[ F\left(x_1, x_2, \, \ldots, x_n, u, \frac{\partial u}{\partial x_1}, \frac{\partial u}{\partial x_2}, \, \ldots, \frac{\partial^2 u}{\partial x_1 \partial x_2}, \, \ldots\right) = 0 \]
• Elliptisch, parabolisch und hyperbolisch als wichtige Klassifizierungen.
• Methoden: Trennung der Variablen, Fourier-Transformation, Greensche Funktionen.

Gruppen- und Ringtheorie

Definition:

Untersucht algebraische Strukturen: Gruppen und Ringe. Gruppen: Mengen mit einer Verknüpfung, die assoziativ, ein neutrales Element hat und zu jedem Element ein inverses Element enthält. Ringe: Mengen mit zwei Verknüpfungen, Addition (bildet Abel'sche Gruppe) und Multiplikation (assoziativ).

Details:

• Gruppe: Set: \(G\); Operation: \(\cdot\)
  • Abgeschlossenheit: \(a, b \in G \Rightarrow a \cdot b \in G\)
  • Assoziativität: \((a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)\)
  • Neutrales Element: \(e \in G, e \cdot a = a \cdot e = a\)
  • Inverses Element: \(\forall a \in G, \exists a^{-1} \in G: a \cdot a^{-1} = a^{-1} \cdot a = e\)
• Ring: Set: \(R\); Operationen: \(+\), \(\cdot\)
  • Addition: \( (R, +) \) ist eine abelsche Gruppe
  • Multiplikation: \( (R, \cdot) \) ist assoziativ
  • Distributivgesetze: \( a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c \) und \( (a + b) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c \)

Zentraler Grenzwertsatz

Definition:

Der zentrale Grenzwertsatz (ZGS) besagt, dass die Summe einer großen Anzahl unabhängiger, identisch verteilter Zufallsvariablen näherungsweise normalverteilt ist, unabhängig von der ursprünglichen Verteilung.

Details:

• Formel: Wenn X_1, X_2, ..., X_n unabhängige, identisch verteilte Zufallsvariablen mit dem Erwartungswert \( \, \mu \, \) und der Varianz \( \, \sigma^2 \, \) sind, dann nähert sich die Verteilung der standardisierten Summe \[ Z_n = \frac{(X_1 + X_2 + ... + X_n) - n\mu}{\sqrt{n}\sigma} \] für hinreichend großes n einer Standardnormalverteilung \( \, N(0,1) \, \).
• Gilt auch für verschieden verteilte Zufallsvariablen, vorausgesetzt sie sind unabhängig und haben denselben Erwartungswert und Varianz.
• Wichtig für die Statistik, da sie das Fundament für viele inferenzstatistische Methoden bildet.