Nebenfach - Exam.pdf

Aufgabe 1)

Grenzwerte und Stetigkeit

• Grenzwert: \( \lim_{{x \to a}} f(x) = L \) -> Existenz eines Grenzwertes L an der Stelle a
• Stetigkeit: Funktion f stetig an a, wenn \( \lim_{{x \to a}} f(x) = f(a) \)
• Unstetigkeit: wenn \( \lim_{{x \to a}} f(x) \) nicht existiert oder \( f(a) \) ungleich dem Grenzwert ist
• Links- und Rechtsseitiger Grenzwert: \( \lim_{{x \to a^-}} f(x) \) und \( \lim_{{x \to a^+}} f(x) \)
• Eigenschaften: Algebraische Operationen mit Grenzwerten (Summe, Produkt, Quotient)

a)

a) Bestimme den Grenzwert der Funktion \( f(x) = \frac{2x^2 - 3x + 1}{x - 1} \) für \( x \to 1 \). Untersuche, ob die Funktion an dieser Stelle stetig ist.

Lösung:

Grenzwerte und Stetigkeit

• Grenzwert: \( \lim_{{x \to a}} f(x) = L \) -> Existenz eines Grenzwertes L an der Stelle a
• Stetigkeit: Funktion f stetig an a, wenn \( \lim_{{x \to a}} f(x) = f(a) \)
• Unstetigkeit: wenn \( \lim_{{x \to a}} f(x) \) nicht existiert oder \( f(a) \) ungleich dem Grenzwert ist
• Links- und Rechtsseitiger Grenzwert: \( \lim_{{x \to a^-}} f(x) \) und \( \lim_{{x \to a^+}} f(x) \)
• Eigenschaften: Algebraische Operationen mit Grenzwerten (Summe, Produkt, Quotient)

a) Bestimme den Grenzwert der Funktion \( f(x) = \frac{2x^2 - 3x + 1}{x - 1}\) für \( x \to 1\). Untersuche, ob die Funktion an dieser Stelle stetig ist. Schritt-für-Schritt-Lösung: Schritt 1: Zähler des Bruchs untersuchen Betrachten wir den Zähler \( 2x^2 - 3x + 1 \), um ihn zu faktorisieren:\( 2x^2 - 3x + 1 = (2x - 1)(x - 1) \) Das ergibt: \( f(x) = \frac{(2x - 1)(x - 1)}{x - 1} \) Schritt 2: Bruch vereinfachen Solange \( x eq 1 \), können wir den Ausdruck vereinfachen:\( f(x) = 2x - 1 \) Schritt 3: Grenzwert auswerten Der Grenzwert für \( x \to 1 \) ist dann:\( \lim_{{x \to 1}} (2x - 1) = 2(1) - 1 = 1 \) Also, \( \lim_{{x \to 1}} \frac{2x^2 - 3x + 1}{x - 1} = 1 \). Schritt 4: Stetigkeit überprüfen Die Funktion ist an der Stelle \( x = 1 \) definiert, wenn \( f(1) \) existiert. Prüfen wir:\( f(1) = \frac{2(1)^2 - 3(1) + 1}{1 - 1} \)Dieser Ausdruck ist undefiniert, da wir eine Division durch Null haben. Somit ist \( f(x) \) an der Stelle \( x = 1 \) nicht definiert. Fazit:

• Der Grenzwert der Funktion \( f(x) = \frac{2x^2 - 3x + 1}{x - 1}\) für \( x \to 1 \) ist 1.
• Die Funktion ist jedoch an \( x = 1 \) nicht stetig, da \( f(1) \) undefiniert ist.

b)

b) Sei die Funktion \( g(x) = \begin{cases} 2x + 3 & \text{wenn} \ x < 1 \ -5x + 4 & \text{wenn} \ x \geq 1 \end{cases} \). Bestimme \( \lim_{{x \to 1^-}} g(x) \) und \( \lim_{{x \to 1^+}} g(x) \). Ist die Funktion an \( x = 1 \) stetig oder gibt es eine Unstetigkeit? Begründe deine Antwort.

Lösung:

Grenzwerte und Stetigkeit

• Grenzwert: \( \lim_{{x \to a}} f(x) = L \) -> Existenz eines Grenzwertes L an der Stelle a
• Stetigkeit: Funktion f stetig an a, wenn \( \lim_{{x \to a}} f(x) = f(a) \)
• Unstetigkeit: wenn \( \lim_{{x \to a}} f(x) \) nicht existiert oder \( f(a) \) ungleich dem Grenzwert ist
• Links- und Rechtsseitiger Grenzwert: \( \lim_{{x \to a^-}} f(x) \) und \( \lim_{{x \to a^+}} f(x) \)
• Eigenschaften: Algebraische Operationen mit Grenzwerten (Summe, Produkt, Quotient)

b) Sei die Funktion \( g(x) = \begin{cases} 2x + 3 & \text{wenn} \ x < 1 \ -5x + 4 & \text{wenn} \ x \geq 1 \end{cases} \). Bestimme \( \lim_{{x \to 1^-}} g(x) \) und \( \lim_{{x \to 1^+}} g(x) \). Ist die Funktion an \( x = 1 \) stetig oder gibt es eine Unstetigkeit? Begründe deine Antwort. Schritt-für-Schritt-Lösung: Schritt 1: Linksseitiger Grenzwert \( \lim_{{x \to 1^-}} g(x) \) Für \( x < 1 \) gilt \( g(x) = 2x + 3 \). Berechne den Grenzwert, wenn \( x \) sich \( 1 \) von links nähert: \( \lim_{{x \to 1^-}} g(x) = \lim_{{x \to 1^-}} (2x + 3) = 2(1) + 3 = 5 \) Schritt 2: Rechtsseitiger Grenzwert \( \lim_{{x \to 1^+}} g(x) \) Für \( x \geq 1 \) gilt \( g(x) = -5x + 4 \). Berechne den Grenzwert, wenn \( x \) sich \( 1 \) von rechts nähert: \( \lim_{{x \to 1^+}} g(x) = \lim_{{x \to 1^+}} (-5x + 4) = -5(1) + 4 = -1 \) Schritt 3: Stetigkeit an \( x = 1 \) prüfen Eine Funktion ist an der Stelle \( x = 1 \) stetig, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind:

• \( \lim_{{x \to 1^-}} g(x) \) existiert.
• \( \lim_{{x \to 1^+}} g(x) \) existiert.
• \( \lim_{{x \to 1^-}} g(x) = \lim_{{x \to 1^+}} g(x) \).
• \( g(1) \) ist definiert und gleich dem gemeinsamen Grenzwert.

In diesem Fall haben wir:

• \( \lim_{{x \to 1^-}} g(x) = 5 \)
• \( \lim_{{x \to 1^+}} g(x) = -1 \)

Da \( \lim_{{x \to 1^-}} \) nicht gleich \( \lim_{{x \to 1^+}} \) ist, existiert der Grenzwert \( \lim_{{x \to 1}} g(x) \) nicht. Folglich ist die Funktion bei \( x = 1 \) unstetig. Fazit:

• \( \lim_{{x \to 1^-}} g(x) = 5 \)
• \( \lim_{{x \to 1^+}} g(x) = -1 \)
• Die Funktion \( g(x) \) ist bei \( x = 1 \) unstetig, da die links- und rechtsseitigen Grenzwerte nicht übereinstimmen.

c)

c) Beweise, dass die Funktion \( h(x) = x^3 - 3x^2 + 2 \), für alle \( x \in \mathbb{R} \) stetig ist. Nutze dabei die Definition der Stetigkeit und mögliche algebraische Eigenschaften von Grenzwerten.

Lösung:

Grenzwerte und Stetigkeit

• Grenzwert: \( \lim_{{x \to a}} f(x) = L \) -> Existenz eines Grenzwertes L an der Stelle a
• Stetigkeit: Funktion f stetig an a, wenn \( \lim_{{x \to a}} f(x) = f(a) \)
• Unstetigkeit: wenn \( \lim_{{x \to a}} f(x) \) nicht existiert oder \( f(a) \) ungleich dem Grenzwert ist
• Links- und Rechtsseitiger Grenzwert: \( \lim_{{x \to a^-}} f(x) \) und \( \lim_{{x \to a^+}} f(x) \)
• Eigenschaften: Algebraische Operationen mit Grenzwerten (Summe, Produkt, Quotient)

c) Beweise, dass die Funktion \( h(x) = x^3 - 3x^2 + 2 \), für alle \( x \in \mathbb{R} \) stetig ist. Nutze dabei die Definition der Stetigkeit und mögliche algebraische Eigenschaften von Grenzwerten. Schritt-für-Schritt-Beweis der Stetigkeit Schritt 1: Definition der Stetigkeit verwenden

• Eine Funktion \( f \) ist an einer Stelle \( a \) stetig, wenn \( \lim_{{x \to a}} f(x) = f(a) \).

Schritt 2: Funktion zerlegen

• Die gegebene Funktion ist \( h(x) = x^3 - 3x^2 + 2 \).
• Betrachte die einzelnen Komponenten der Funktion: \( x^3 \), \( -3x^2 \) und \( 2 \).

Schritt 3: Grenzwerte der Komponenten betrachten

• Polynomfunktionen sind für alle \( x \) stetig. Das bedeutet, dass \( x^3 \) und \( -3x^2 \) stetige Funktionen sind.
• Eine Konstante (wie 2) ist ebenfalls stetig.

Schritt 4: Eigenschaft der Grenzwerte verwenden

• Die Summe und Differenz stetiger Funktionen ist ebenfalls stetig. Das heißt, wenn \( f(x) \) und \( g(x) \) stetige Funktionen sind, dann ist \( f(x) + g(x) \) und \( f(x) - g(x) \) ebenfalls stetig.

Schritt 5: Schlussfolgerung ziehen

• Da \( x^3 \), \( -3x^2 \) und \( 2 \) alle stetig sind und die Summe und Differenz dieser Funktionen ebenfalls stetig ist, folgt daraus, dass die Funktion \( h(x) = x^3 - 3x^2 + 2 \) für alle \( x \in \mathbb{R} \) stetig ist.

Zusammenfassung:

• Nach der Definition der Stetigkeit und unter Anwendung der algebraischen Eigenschaften der Grenzwerte haben wir bewiesen, dass die Funktion \( h(x) = x^3 - 3x^2 + 2 \) für alle \( x \in \mathbb{R} \) stetig ist.

Aufgabe 2)

Kontext: Angenommen, Du sollst den Parameter \theta eines normalverteilten Merkmals X basierend auf einer Stichprobe \boldsymbol{X} = \left(X_1, X_2, \ldots, X_n\right)\text{ mit dem unbekannten Mittelwert } \mu = \theta und der bekannten Varianz \sigma^2 schätzen. Die Stichprobe \boldsymbol{X} folgt der Verteilung \mathcal{N}(\theta, \sigma^2). Weiterhin sollst Du einen Hypothesentest durchführen, um zu prüfen, ob der wahre Mittelwert \theta gleich einem bestimmten Wert \theta_0 ist.

a)

a) Bestimme einen erwartungstreuen Schätzer \hat{\theta} für den Parameter \theta. Zeige, dass dieser Schätzer erwartungstreu ist, indem Du die Erwartung \mathbb{E}[\hat{\theta}] berechnest.

Lösung:

• Lösung:

• Um einen erwartungstreuen Schätzer \(\hat{\theta}\) für den Parameter \(\theta\) zu bestimmen, verwenden wir den Stichprobenmittelwert, da er ein bekannter erwartungstreuer Schätzer für den Mittelwert der Grundgesamtheit ist.

• Der Stichprobenmittelwert ist definiert als:

\[\hat{\theta} = \bar{X} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i\]

• Um die Erwartung dieses Schätzers zu berechnen und zu zeigen, dass er erwartungstreu ist, berechnen wir:

\[\mathbb{E}[\hat{\theta}] = \mathbb{E}\left[ \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i \right]\]

• Da die Erwartung linear ist, können wir die Erwartung auf jedes Element der Summe anwenden:

\[\mathbb{E}[\hat{\theta}] = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \mathbb{E}[X_i]\]

• Da \(X_i\) identisch und unabhängig normalverteilt sind mit Erwartungswert \(\theta\), ist \(\mathbb{E}[X_i] = \theta\) für alle \(i = 1, 2, \,\ldots, n\):

\[\mathbb{E}[\hat{\theta}] = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \theta = \theta\]

• Damit haben wir gezeigt, dass der Schätzer \(\hat{\theta}\) erwartungstreu ist, da:

\[\mathbb{E}[\hat{\theta}] = \theta\]

• Der erwartungstreue Schätzer für den Parameter \(\theta\) ist also der Stichprobenmittelwert \(\hat{\theta} = \bar{X}\).

b)

b) Berechne die Varianz des Schätzers \hat{\theta}. Zeige, dass die Mean Squared Error (MSE) mit dem erwartungstreuen Schätzer gleich der Varianz ist.

Lösung:

• Lösung:

• Um die Varianz des Schätzers \(\hat{\theta}\) zu berechnen, verwenden wir die Definition des Stichprobenmittelwerts:

\[\hat{\theta} = \bar{X} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i\]

• Da \(\hat{\theta}\) eine Linearkombination von normalverteilten Zufallsvariablen ist, können wir die Varianz wie folgt berechnen:

\[\mathrm{Var}(\hat{\theta}) = \mathrm{Var}\left( \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i \right)\]

• Für unabhängige identisch verteilte Zufallsvariablen gilt:

\[\mathrm{Var}\left(\sum_{i=1}^n X_i \right) = \sum_{i=1}^n \mathrm{Var}(X_i)\]

• Da \(X_i\) eine Normalverteilung mit bekannter Varianz \(\sigma^2\) hat:

\[\mathrm{Var}(X_i) = \sigma^2 \]

• Daher ergibt sich:

\[\mathrm{Var}(\hat{\theta}) = \mathrm{Var}\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i \right) = \frac{1}{n^2}\sum_{i=1}^n \mathrm{Var}(X_i) = \frac{1}{n^2} \cdot n \cdot \sigma^2 = \frac{\sigma^2}{n}\]

• Somit ist die Varianz des Schätzers \(\hat{\theta}\) gleich:

\[\mathrm{Var}(\hat{\theta}) = \frac{\sigma^2}{n}\]

• Nun zeigen wir, dass der Mean Squared Error (MSE) mit dem erwartungstreuen Schätzer gleich der Varianz ist. Der MSE ist definiert als:

\[\mathrm{MSE}(\hat{\theta}) = \mathbb{E}[(\hat{\theta} - \theta)^2]\]

• Da \(\hat{\theta}\) ein erwartungstreuer Schätzer ist, gilt \(\mathbb{E}[\hat{\theta}] = \theta\). Daher können wir den MSE wie folgt umformen:

\[\mathrm{MSE}(\hat{\theta}) = \mathrm{Var}(\hat{\theta}) + (\mathbb{E}[\hat{\theta}] - \theta)^2\]

• Da \(\mathbb{E}[\hat{\theta}] = \theta\), fällt der zweite Term weg und wir erhalten:

\[\mathrm{MSE}(\hat{\theta}) = \mathrm{Var}(\hat{\theta})\]

• Wir haben bereits berechnet, dass \(\mathrm{Var}(\hat{\theta}) = \frac{\sigma^2}{n}\).

• Daher gilt:

\[\mathrm{MSE}(\hat{\theta}) = \frac{\sigma^2}{n}\]

• Dies zeigt, dass der Mean Squared Error (MSE) des erwartungstreuen Schätzers \(\hat{\theta}\) gleich der Varianz ist.

Aufgabe 3)

Gegeben ist ein großes lineares Gleichungssystem der Form Ax = b, wobei A eine quadratische Matrix der Größe 1000x1000 ist. Du sollst numerische Techniken anwenden, um das Gleichungssystem zu lösen und die Lösung zu validieren.

a)

• (a) Verwandle das gegebene Gleichungssystem unter Verwendung der LU-Dekomposition um. Zeige anhand der Zerlegung die Lösungsschritte und erkläre den Unterschied zur direkten Lösung des Systems. Berechne die L und U Matrizen und überprüfe die Lösung, indem Du A = LU und x rekonstruierst.

Lösung:

Lösung:Um das gegebene lineare Gleichungssystem der Form Ax = b zu lösen, verwenden wir die LU-Dekomposition. Dabei wird die Matrix A in zwei Matrizen L (untere Dreiecksmatrix) und U (obere Dreiecksmatrix) zerlegt, so dass A = LU. Hier sind die Schritte im Detail beschrieben:

• Schritt 1: LU-Dekomposition Die LU-Dekomposition zerlegt die Matrix A in eine untere Dreiecksmatrix L und eine obere Dreiecksmatrix U, so dass: A = LU.Die entscheidende Eigenschaft dieser Dekomposition ist, dass L eine Matrix ist, bei der alle Einträge oberhalb der Diagonalen null sind, und U eine Matrix ist, bei der alle Einträge unterhalb der Diagonalen null sind.

• Schritt 2: Vorwärtseinsetzen Zunächst lösen wir Ly = b durch Vorwärtseinsetzen. Da L eine untere Dreiecksmatrix ist, können wir y schrittweise lösen.

• Schritt 3: Rückwärtseinsetzen Nachdem wir y berechnet haben, lösen wir Ux = y durch Rückwärtseinsetzen. Da U eine obere Dreiecksmatrix ist, können wir x schrittweise lösen.

• Schritt 4: Überprüfen der Lösung Schließlich überprüfen wir die Lösung, indem wir A = LU und x rekonstruieren und sicherstellen, dass Ax = b.

Unterschied zur direkten Lösung des Systems: Bei der direkten Lösung (z.B. durch Gauss'sche Eliminationsmethode) wird das Gleichungssystem direkt durch Umformen gelöst, was in der Regel zu einem höheren Rechenaufwand führt. Die LU-Dekomposition hingegen zerlegt die Matrix einmal und ermöglicht es, danach mehrere Systeme mit derselben Matrix A, aber unterschiedlichen rechten Seiten b, effizienter zu lösen.Berechnung der L und U Matrizen:Die tatsächliche Berechnung der L und U Matrizen ist numerisch aufwendig und wird in der Praxis meist durch Software wie NumPy in Python durchgeführt. Hier ist ein Beispielcode zur Durchführung der LU-Dekomposition in Python:

import numpy as npfrom scipy.linalg import lu# Beispielhafte 1000x1000 Matrix A und Vektor b (Zufallswerte)A = np.random.rand(1000, 1000)b = np.random.rand(1000)# LU-Dekomposition ausführenP, L, U = lu(A)# Lösung des Systems Ax = b mit Vorwärts- und Rückwärtseinsetzen# P ist die PermutationsmatrixPb = np.dot(P, b)y = np.linalg.solve(L, Pb)x = np.linalg.solve(U, y)# Überprüfung der LösungAx = np.dot(A, x)print(np.allclose(Ax, b))  # Soll True ausgeben, wenn die Lösung korrekt ist

Dieser Code verwendet die Bibliothek SciPy für die LU-Dekomposition und NumPy für die numerischen Operationen. Nach der Berechnung der L und U Matrizen wird die Lösung x durch Vorwärts- und Rückwärtseinsetzen berechnet und anschließend überprüft, ob Ax = b erfüllt ist.

b)

• (b) Implementiere das Problem unter Verwendung der Conjugate Gradient Methode und vergleiche die Effizienz und Speicherbedarf mit der in Teil (a) verwendeten direkten Methode. Füge eine Fehleranalyse hinzu, indem Du die Sensitivität des Systems in Bezug auf kleine Änderungen in A und b bewertest. Diskutiere, wann es sinnvoll ist, iterativen Methoden gegenüber direkten Methoden den Vorzug zu geben.

Lösung:

Lösung:Um das gegebene lineare Gleichungssystem der Form Ax = b unter Verwendung der Conjugate Gradient (CG) Methode zu lösen und die Effizienz und den Speicherbedarf im Vergleich zur LU-Dekomposition zu bewerten, führen wir die folgenden Schritte durch:

• Schritt 1: Implementierung der Conjugate Gradient MethodeDie Conjugate Gradient Methode ist eine iterative Methode zur Lösung großer, dünn besetzter linearer Gleichungssysteme, insbesondere wenn die Matrix A symmetrisch und positiv definit ist. Hier ist ein Beispielcode in Python:

import numpy as npfrom scipy.sparse.linalg import cg# Beispielhafte 1000x1000 Matrix A und Vektor b (Zufallswerte)A = np.random.rand(1000, 1000)A = np.dot(A, A.T)  # Um sicherzustellen, dass A positiv definit istb = np.random.rand(1000)# Conjugate Gradient Methode anwendenx, info = cg(A, b)if info == 0:    print('Lösung gefunden')elif info > 0:    print('Lösung hat nicht in maximaler Iterationszahl konvergiert')else:    print('Lösung konnte nicht gefunden werden')# Überprüfung der LösungAx = np.dot(A, x)print(np.allclose(Ax, b))  # Soll True ausgeben, wenn die Lösung korrekt ist

• Schritt 2: Vergleich der Effizienz und des Speicherbedarfs

• LU-Dekomposition: - Rechenaufwand: O(n³) für die Dekomposition, danach O(n²) für jedes weitere System. - Speicherbedarf: O(n²) aufgrund der Speicherung von L und U.
• Conjugate Gradient Methode: - Rechenaufwand: O(n²) bis O(n³), abhängig von der Anzahl der Iterationen. - Speicherbedarf: O(n) bis O(n²), hauptsächlich durch die Speicherung der Vektoren x, r, und p.

• Schritt 3: Fehleranalyse und Sensitivität

Zur Fehleranalyse bewerten wir die Sensitivität des Systems in Bezug auf kleine Änderungen in A und b. Dies kann durch Hinzufügen kleiner Störungen erfolgen und das System erneut zu lösen. Hier ist ein Beispielcode:

# Kleine Änderungen an A und bdelta_A = 1e-5 * np.random.rand(1000, 1000)delta_b = 1e-5 * np.random.rand(1000)# Modifizierte Matrizen und VektorenA_prime = A + delta_A b_prime = b + delta_b# Lösung des modifizierten Systems mit Conjugate Gradient Methode x_prime, info_prime = cg(A_prime, b_prime)# Überprüfung der Veränderung der Lösungendelta_x = np.linalg.norm(x_prime - x)/np.linalg.norm(x)print('Relative Änderung in x:', delta_x)

Kleine Änderungen an A und b führen zu Änderungen in x. Durch die Berechnung der relativen Änderung in x können wir die Sensitivität des Systems bewerten.

• Schritt 4: Diskussion der Wahl zwischen iterativen und direkten Methoden

• Direkte Methoden: - Vorteilhaft, wenn exakte Lösungen und Stabilität gefordert sind. - Geeignet für kleine bis mittelgroße Systeme oder wenn A dicht besetzt ist.
• Iterative Methoden (wie Conjugate Gradient): - Vorteilhaft für sehr große und dünn besetzte Matrizen. - Effizienter in Bezug auf Speicherbedarf und Rechenaufwand, besonders bei hinreichender Konvergenz nach wenigen Iterationen. - Geeignet, wenn Näherungslösungen ausreichen und das System gut konditioniert ist.

Insgesamt ist die Wahl zwischen iterativen und direkten Methoden abhängig von der Größe und Beschaffenheit der Matrix A sowie den Anforderungen an die Genauigkeit und die verfügbare Rechenleistung.