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LU-Zerlegung für lineare Gleichungssysteme

Definition:

LU-Zerlegung: A in L (untere Dreiecksmatrix) und U (obere Dreiecksmatrix) zerlegen. Lösung von Ax=b durch vorwärts und rückwärts Substitution.

Details:

• A = LU, wobei L eine untere Dreiecksmatrix und U eine obere Dreiecksmatrix ist.
• Erlaubt effiziente Lösung von Ax = b via Ly = b (Vorwärtssubstitution) und Ux = y (Rückwärtssubstitution).
• Verwendung: Direkte Verfahren zum Lösen linearer Gleichungssysteme.
• Voraussetzung: A ist eine quadratische und nicht-singuläre Matrix.
• Pivotisierung kann notwendig sein, um numerische Stabilität zu gewährleisten.

Newton-Raphson-Verfahren für nichtlineare Gleichungen

Definition:

Numerisches Verfahren zur Lösung nichtlinearer Gleichungen

Details:

• Startwert: \(x_0\)
• Iterative Formel: \[x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}\]
• Erfordert Ableitung der Funktion \(f'(x)\)
• Schnelle Konvergenz, wenn nahe am tatsächlichen Nullpunkt
• Kann bei lokaler Divergenz oder unterbrochener Monotonie scheitern

Gauss-Quadratur für numerische Integration

Definition:

Gauss-Quadratur ist eine Methode zur numerischen Integration, die besonders effizient ist, wenn das Integrationsgebiet und die Anzahl der zu berechnenden Funktionswerte begrenzt sind.

Details:

• Verwendet spezielle Stützstellen und Gewichte zur Approximation von Integralen.
• Effektiv für Polynome hohen Grades.
• Gewichte und Stützstellen aus Nullstellen von orthogonalen Polynomen wie den Legendre-Polynomen.
• Formel:
• Gewichte:

Finite-Differenzen-Methode für partielle Differentialgleichungen

Definition:

Numerische Methode zur näherungsweisen Lösung von partiellen Differentialgleichungen (PDG) durch Diskretisierung der Domäne und Ersetzung der Ableitungen durch Differenzenquotienten

Details:

• Diskretisierung der Raum- und Zeitdomäne
• Ersetzung der partiellen Ableitungen durch Differenzenquotienten
• Beispiel für zentrale Differenzapproximation der ersten Ableitung: \( f'(x) \approx \frac{f(x+h) - f(x-h)}{2h} \)
• Stabilitäts- und Konvergenzanalyse notwendig
• Wichtige Anwendungsgebiete: Wärmeleitungsgleichung, Wellengleichung, Laplace-Gleichung

Fehlerfortpflanzung in numerischen Verfahren

Definition:

Untersuchung, wie sich Rundungsfehler und andere numerische Fehler bei der Ausführung von Algorithmen fortpflanzen und verstärken.

Details:

• Fehlerquellen: Eingabefehler, Rundungsfehler, Trunkierungsfehler.
• Absolute Fehler: \(|e| = |x - \tilde{x}|\).
• Relative Fehler: \(\frac{|e|}{|x|}\).
• Fehlerfortpflanzungskoeffizient: \(\kappa = \left| \frac{f'(x)}{f(x)} \right|\).
• Stabilität: Ein Verfahren ist stabil, wenn kleine Änderungen in den Eingabedaten nur kleine Änderungen der Ausgabe bewirken.
• Kondition einer Funktion: Maß für die Empfindlichkeit der Lösung bezüglich kleiner Änderungen in den Eingabedaten.
• Vorwärtfehler: \(|x - \tilde{x}|\), Rückwärtfehler: \(|f^{-1}(y) - f^{-1}(\tilde{y})|\).
• Beispiel für Fehlerfortpflanzung: Lösung von linearen Gleichungssystemen mit \(\mathbf{A} \mathbf{x} = \mathbf{b}\). Fehler in \(\mathbf{A}\) oder \(\mathbf{b}\) wirken sich auf \(\mathbf{x}\) aus.

Spline-Interpolation

Definition:

Spline-Interpolation: Berechnung einer glatten Kurve, die durch eine Menge von Stützpunkten (Knoten) verläuft.

Details:

• Einzelsplines: Polynome niedrigen Grades zwischen den Knoten.
• Kontinuität in Stützpunkten: bis zur zweiten Ableitung.
• Beliebte Wahl: kubische Splines.
• Randbedingungen: natürliche Splines (\

  Least Squares Approximation

  Definition:

  Least Squares Approximation minimiert die Summe der Quadrate der Abweichungen zwischen den beobachteten und den geschätzten Werten. Verwendet, um eine Funktion so zu approximieren, dass die Quadratsumme der Differenzen minimal ist.

  Details:

  • Zielfunktion: \[ S(\boldsymbol{\beta}) = \frac{1}{2} \boldsymbol{r}(\boldsymbol{\beta})^T\boldsymbol{r}(\boldsymbol{\beta}) \]
  • Normalengleichungen für lineare Modelle: \[ \boldsymbol{X}^T \boldsymbol{X} \boldsymbol{\beta} = \boldsymbol{X}^T \boldsymbol{y} \]
  • Alternativ Lösen via SVD oder QR-Zerlegung.
  • Anwendung in Regressionsanalyse, Datenanpassung.