Numerik - Exam.pdf

Aufgabe 1)

LU-Zerlegung und Lineare GleichungssystemeGegeben sei die Matrix \(A\) und der Vektor \(b\). Zerlegen Sie \(A\) in die Matrizen \(L\) (untere Dreiecksmatrix) und \(U\) (obere Dreiecksmatrix). Verwenden Sie die LU-Zerlegung, um das lineare Gleichungssystem \(Ax = b\) zu lösen. Berücksichtigen Sie dabei potenzielle numerische Stabilitätsprobleme und die Notwendigkeit der Pivotisierung.

• \(A\) ist eine quadratische und nicht-singuläre Matrix.
• Die LU-Zerlegung ermöglicht eine effiziente Lösung von \(Ax = b\) durch Vorwärts- und Rückwärtssubstitution.
• Pivotisierung kann notwendig sein, um numerische Stabilität zu gewährleisten.

a)

Sei \(A = \begin{pmatrix} 2 & 3 \ 4 & 7 \end{pmatrix}\) und \(b = \begin{pmatrix} 5 \ 9 \end{pmatrix}\). Führe die LU-Zerlegung der Matrix \(A\) ohne Pivotisierung durch und berechne die Matrizen \(L\) und \(U\).

Lösung:

LU-Zerlegung ohne PivotisierungGegeben sei die Matrix \[A = \begin{pmatrix} 2 & 3 \ 4 & 7 \end{pmatrix}\]und der Vektor \[b = \begin{pmatrix} 5 \ 9 \end{pmatrix}\].Führen wir die LU-Zerlegung der Matrix A ohne Pivotisierung durch und berechnen die Matrizen L (untere Dreiecksmatrix) und U (obere Dreiecksmatrix). Schritt 1: Matrix U bestimmenDa bei der LU-Zerlegung die Matrix A in zwei Matrizen L und U zerlegt wird, können wir dies wie folgt aufstellen:\[A = LU\]\[A = \begin{pmatrix} 2 & 3 \ 4 & 7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \ l_{21} & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} u_{11} & u_{12} \ 0 & u_{22} \end{pmatrix}\]Wir beginnen mit der Initialisierung von U;\[u_{11} = 2\]\[u_{12} = 3\]Nun berechnen wir l_{21} mit der Formel:\[l_{21} = \frac{a_{21}}{u_{11}} = \frac{4}{2} = 2\]Weil die untere Dreiecksmatrix L in der Hauptdiagonale Einsen enthält, gilt:\[l_{11} = l_{22} = 1\]Nun bestimmen wir u_{22}:\[u_{22} = a_{22} - l_{21} u_{12} = 7 - 2 \cdot 3 = 1\]Somit erhalten wir:L = \[\begin{pmatrix} 1 & 0 \ 2 & 1 \end{pmatrix}\]U = \[\begin{pmatrix} 2 & 3 \ 0 & 1 \end{pmatrix}\] Schritt 2: Lösung des Gleichungssystems LUx = b Jetzt, da wir L und U bestimmt haben, können wir das Gleichungssystem in zwei Schritte zerlegen: Vorwärtssubstitution und Rückwärtssubstitution. Vorwärtssubstitution:Lösen wir zunächst für y in Ly = b:\[\begin{pmatrix} 1 & 0 \ 2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} y_1 \ y_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \ 9 \end{pmatrix}\]Wir erhalten die Gleichungen:\[ y_{1} = 5 \]\[2 y_{1} + y_{2} = 9\]\[2 \cdot 5 + y_2 = 9\]\[y_2 = 9 - 10 = -1\]Also:\[ \mathbf{y} = \begin{pmatrix} 5 \ -1 \end{pmatrix}\] Rückwärtssubstitution:Nun lösen wir für x in Ux = y:\[\begin{pmatrix} 2 & 3 \ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \ x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \ -1 \end{pmatrix}\]Dies gibt uns:\[ 2x_{1} + 3x_{2} = 5\]\[ x_{2} = -1\]Einsetzen von x_{2} in die erste Gleichung liefert:\[2x_1 + 3(-1) = 5\]\[2x_1 - 3 = 5\]\[2x_1 = 8\]\[x_1 = 4\]Also:\[ \mathbf{x} = \begin{pmatrix} 4 \ -1 \end{pmatrix}\].Zusammenfassung:Die LU-Zerlegung der Matrix A ohne Pivotisierung ergibt:\[L = \begin{pmatrix} 1 & 0 \ 2 & 1 \end{pmatrix}\]\[U = \begin{pmatrix} 2 & 3 \ 0 & 1 \end{pmatrix}\]Die Lösung des Gleichungssystems Ax = b ist:\[ \mathbf{x} = \begin{pmatrix} 4 \ -1 \end{pmatrix}\].

b)

Löse das lineare Gleichungssystem \(Ax = b\) unter Verwendung der Matrizen \(L\) und \(U\), die Du im ersten Teil berechnet hast. Führe dazu die Vorwärtssubstitution zur Berechnung von \(y\) in \(Ly = b\) und die Rückwärtssubstitution zur Berechnung von \(x\) in \(Ux = y\) durch.

Lösung:

Lösung des linearen GleichungssystemsIm ersten Teil haben wir die Matrizen \(L\) und \(U\) wie folgt berechnet:\[L = \begin{pmatrix} 1 & 0 \ 2 & 1 \end{pmatrix}\]\[U = \begin{pmatrix} 2 & 3 \ 0 & 1 \end{pmatrix}\]und der Vektor \(b\) ist:\[b = \begin{pmatrix} 5 \ 9 \end{pmatrix}\]Jetzt lösen wir das Gleichungssystem \(Ax = b\) durch Vorwärts- und Rückwärtssubstitution.Schritt 1: Vorwärtssubstitution zur Berechnung von \(y\) in \(Ly = b\)Zuerst lösen wir das Gleichungssystem \(Ly = b\):\[L \begin{pmatrix} y_1 \ y_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \ 9 \end{pmatrix}\]Also ergeben sich die Gleichungen:\[ y_1 = 5 \]\[ 2y_1 + y_2 = 9 \]Setzen wir \(y_1\) in die zweite Gleichung ein:\[ 2 \cdot 5 + y_2 = 9 \]\[ 10 + y_2 = 9 \]\[ y_2 = 9 - 10 \]\[ y_2 = -1 \]Also haben wir:\[ y = \begin{pmatrix} 5 \ -1 \end{pmatrix}\]Schritt 2: Rückwärtssubstitution zur Berechnung von \(x\) in \(Ux = y\)Nun lösen wir das Gleichungssystem \(Ux = y\):\[U \begin{pmatrix} x_1 \ x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \ -1 \end{pmatrix}\]Also ergeben sich die Gleichungen:\[ 2x_1 + 3x_2 = 5 \]\[ x_2 = -1 \]Setzen wir \(x_2\) in die erste Gleichung ein:\[ 2x_1 + 3(-1) = 5 \]\[ 2x_1 - 3 = 5 \]\[ 2x_1 = 8 \]\[ x_1 = 4 \]Also haben wir:\[ x = \begin{pmatrix} 4 \ -1 \end{pmatrix}\]Zusammenfassung:Durch Vorwärts- und Rückwärtssubstitution haben wir das Gleichungssystem \(Ax = b\) gelöst und erhalten:\[ x = \begin{pmatrix} 4 \ -1 \end{pmatrix}\].

c)

Betrachte die Matrix \(A' = \begin{pmatrix} 0 & 3 \ 4 & 7 \end{pmatrix}\). Diskutiere, warum Pivotisierung notwendig sein könnte und führe eine LU-Zerlegung mit Pivotisierung für die Matrix \(A'\) durch. Berechne dabei die Permutationsmatrix \(P\) und die resultierenden Matrizen \(L\) und \(U\).

Lösung:

LU-Zerlegung mit PivotisierungBetrachten wir die Matrix \[A' = \begin{pmatrix} 0 & 3 \ 4 & 7 \end{pmatrix}\]und diskutieren, warum Pivotisierung notwendig sein könnte.

• Eine Pivotisierung ist notwendig, um numerische Stabilität zu gewährleisten. Wenn der Pivoteintrag (das Element auf der Hauptdiagonale) sehr klein oder null ist, könnte dies zu großen Fehlern bei der Berechnung der nachfolgenden Zeilen führen. In diesem Fall ist der Eingangswert \(a_{11} = 0\), weshalb direktes Fortfahren ohne Pivotisierung nicht möglich ist.
• Eine Pivotisierung verhindert, dass wir durch Null teilen müssen, was zu einem undefinierten Ergebnis führen würde.

• Zunächst definieren wir die Permutationsmatrix \(P\), die die Zeilen von \(A'\) vertauscht:

Aufgabe 2)

Newton-Raphson-Verfahren für nichtlineare Gleichungen: Das Newton-Raphson-Verfahren ist ein numerisches Verfahren zur Lösung nichtlinearer Gleichungen der Form

• Startwert: \(x_0\)
• Iterative Formel: \[x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}\]
• Erfordert Ableitung der Funktion \(f'(x)\)
• Schnelle Konvergenz, wenn nahe am tatsächlichen Nullpunkt
• Kann bei lokaler Divergenz oder unterbrochener Monotonie scheitern

a)

Gegeben sei die nichtlineare Funktion \(f(x) = x^3 - 4x^2 + x + 6\). Bestimme die Nullstellen dieser Funktion mittels des Newton-Raphson-Verfahrens. Wähle als Startwert \(x_0 = 2\). Berechne die ersten drei Iterationen. Leite hierzu zunächst die Funktion ab und stelle die iterative Formel auf. Zeige vollständige Rechenschritte und Zwischenwerte.

Lösung:

Newton-Raphson-Verfahren für die Funktion Gegeben sei die Funktion:

• \[f(x) = x^3 - 4x^2 + x + 6\]
• Der Startwert sei: \(x_0 = 2\).
1. Ableitung der Funktion: Die Ableitung von \(f(x)\) ergibt folgendermaßen:
• \[f'(x) = 3x^2 - 8x + 1\]
• Mit der Newton-Raphson-Formel: \[x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}\]
• 1. Iteration:
• \(x_0 = 2\)
• \[f(2) = 2^3 - 4 \times 2^2 + 2 + 6 = 8 - 16 + 2 + 6 = 0\]
• \[f'(2) = 3 \times 2^2 - 8 \times 2 + 1 = 3 \times 4 - 16 + 1 = 12 - 16 + 1 = -3\]
• \[x_1 = 2 - \frac{0}{-3} = 2\]
• 2. Iteration:
• \(x_1 = 2\)
• \[f(2) = 2^3 - 4 \times 2^2 + 2 + 6 = 8 - 16 + 2 + 6 = 0\]
• \[f'(2) = 3 \times 2^2 - 8 \times 2 + 1 = 3 \times 4 - 16 + 1 = 12 - 16 + 1 = -3\]
• \[x_2 = 2 - \frac{0}{-3} = 2\]
• 3. Iteration:
• \(x_2 = 2\)
• \[f(2) = 2^3 - 4 \times 2^2 + 2 + 6 = 8 - 16 + 2 + 6 = 0\]
• \[f'(2) = 3 \times 2^2 - 8 \times 2 + 1 = 3 \times 4 - 16 + 1 = 12 - 16 + 1 = -3\]
• \[x_3 = 2 - \frac{0}{-3} = 2\]
Fazit: Da der Startwert \(x_0 = 2\) bereits eine Nullstelle von \(f(x)\) ist, konvergiert das Verfahren sofort und bleibt bei \(x = 2\) stabil. Es ist zu beachten, dass es weitere Nullstellen geben könnte, die gefunden werden, wenn andere Startwerte gewählt werden.

b)

Diskutiere die Konvergenz der Iterationen im ersten Teil. Überprüfe, ob der gewählte Startwert \(x_0 = 2\) eine schnelle Konvergenz zur tatsächlichen Nullstelle gewährleistet. Falls nein, erläutere, warum dies der Fall ist und wie ein besserer Startwert gewählt werden könnte. Führe hierbei auch eine grafische Analyse der Funktion \(f(x)\) und ihrer Ableitung \(f'(x)\) durch.

Lösung:

Diskussion der Konvergenz und Wahl des Startwerts: Bei der Lösung der nichtlinearen Gleichung mit dem Newton-Raphson-Verfahren können verschiedene Faktoren die Konvergenz beeinflussen. Lassen Sie uns nun die Konvergenz der Iterationen für den gegebenen Startwert \(x_0 = 2\) untersuchen und grafisch analysieren. 1. Grafische Analyse der Funktion und ihrer Ableitung:

• Gegeben sei die Funktion: \[f(x) = x^3 - 4x^2 + x + 6\]
• Die Ableitung lautet: \[f'(x) = 3x^2 - 8x + 1\]
2. Untersuchung des Startwerts \(x_0 = 2\):
• Bei einer genaueren Betrachtung der Funktion \(f(x)\) und ihrer Ableitung \(f'(x)\) um den Startwert \(x_0 = 2\) können wir folgende Feststellungen machen:
• Für \(x = 2\) gilt: \[f(2) = 2^3 - 4 \times 2^2 + 2 + 6 = 0\]
• Für \(x = 2\) gilt: \[f'(2) = 3 \times 2^2 - 8 \times 2 + 1 = -3\]
• Dies bedeutet, dass \(x = 2\) eine Nullstelle der Funktion ist und der Newton-Raphson-Algorithmus hier bereits eine genaue Lösung gefunden hat.
• Da der gewählte Startwert bereits eine exakte Nullstelle ist, wird keine Iteration durchgeführt, und die Konvergenz ist sofortig.
3. Grafische Darstellung:
• Anhand einer grafischen Darstellung der Funktion \(f(x)\) lässt sich besser erkennen, wie die Funktion um die Startwerte herum verläuft. Die Ableitung \(f'(x)\) zeigt, wie die Steigung der Funktion variiert.
If you want to draw the graphs with a specific toolset:

import numpy as np  import matplotlib.pyplot as plt  x = np.linspace(-2, 4, 400)  y = x**3 - 4*x**2 + x + 6  dy = 3*x**2 - 8*x + 1  plt.figure(figsize=(10, 6))  plt.plot(x, y, label='f(x)')  plt.plot(x, dy, label='f\'(x)', linestyle='--')  plt.axhline(0, color='black',linewidth=0.5)  plt.axvline(0, color='black',linewidth=0.5)  plt.grid(color = 'gray', linestyle = '--', linewidth = 0.5)  plt.legend()  plt.show()

• Um schnellere und zuverlässigere Konvergenz zu erreichen, kann die Wahl eines Startwerts nahe einer weiteren Nullstelle hilfreich sein. Durch eine grafische Analyse können mögliche Startwerte identifiziert werden.
• Beispielsweise:
• Startwert \(x_0 = -1\) führt schneller zu einer anderen Nullstelle.
• Dies lässt sich grafisch durch die Nullstellen der Funktion \(f(x)\) leicht visualisieren.

• Der Startwert \(x_0 = 2\) war in unserem Fall bereits eine exakte Nullstelle und ermöglichte eine sofortige Konvergenz.
• Andere Startwerte können eine bessere Konvergenz zu weiteren Nullstellen der Funktion \(f(x)\) ermöglichen. Eine zuvor durchgeführte grafische Analyse kann bei der Wahl des besten Startwertes hilfreich sein.

Aufgabe 3)

Gauss-Quadratur für numerische IntegrationGauss-Quadratur ist eine Methode zur numerischen Integration, die besonders effizient ist, wenn das Integrationsgebiet und die Anzahl der zu berechnenden Funktionswerte begrenzt sind.

• Verwendet spezielle Stützstellen und Gewichte zur Approximation von Integralen.
• Effektiv für Polynome hohen Grades.
• Gewichte und Stützstellen aus Nullstellen von orthogonalen Polynomen wie den Legendre-Polynomen.

a)

Berechne die Integrale \(I_1\) und \(I_2\) der Funktionen \(f(x)=x^3\) und \(g(x)=e^x\) über das Intervall \([-1, 1]\) unter Verwendung des \(2\) Punkt Gauss-Quadraturverfahrens.

• Bestimme die Stützstellen \(x_i\) und Gewichte \(w_i\).
• Zeige Deine Schritte zur Berechnung der Integrale.

Lösung:

Gauss-Quadratur für numerische IntegrationGauss-Quadratur ist eine Methode zur numerischen Integration, die besonders effizient ist, wenn das Integrationsgebiet und die Anzahl der zu berechnenden Funktionswerte begrenzt sind.

• Verwendet spezielle Stützstellen und Gewichte zur Approximation von Integralen.
• Effektiv für Polynome hohen Grades.
• Gewichte und Stützstellen aus Nullstellen von orthogonalen Polynomen wie den Legendre-Polynomen.

• Bestimme die Stützstellen \(x_i\) und Gewichte \(w_i\).
• Zeige Deine Schritte zur Berechnung der Integrale.

• Bestimmung der Stützstellen und Gewichte:Beim 2-Punkt Gauss-Quadraturverfahren verwendet man die Stützstellen und Gewichte der Legendre-Polynome. Für das Intervall \([-1, 1]\) sind diese:
• Stützstellen:
  • \(x_1 = -\frac{1}{\sqrt{3}}\)
  • \(x_2 = \frac{1}{\sqrt{3}}\)
• Gewichte:
  • \(w_1 = 1\)
  • \(w_2 = 1\)

• Berechnung der Integrale:Nun verwenden wir diese Stützstellen und Gewichte, um die Integrale \(I_1\) und \(I_2\) zu berechnen:

• Integral \(I_1 = \int_{-1}^1 x^3 \, dx\):
• Mit dem 2-Punkt Gauss-Quadraturverfahren berechnen wir:

• Integral \(I_2 = \int_{-1}^1 e^x \, dx\):
• Mit dem 2-Punkt Gauss-Quadraturverfahren berechnen wir:

• \( I_1 = 0 \)
• \( I_2 = e^{-\frac{1}{\sqrt{3}}} + e^{\frac{1}{\sqrt{3}}} \)

b)

Leite die allgemeine Form der Gewichte und Stützstellen für \(n=2\) Stützstellen im Gauss-Legendre-Quadraturverfahren her.

• Nutze die Legendre-Polynome \(P_2(x)\).
• Finde die Nullstellen von \(P_2(x)\).
• Berechne die entsprechenden Gewichte \(w_i\).

Lösung:

Gauss-Quadratur für numerische IntegrationGauss-Quadratur ist eine Methode zur numerischen Integration, die besonders effizient ist, wenn das Integrationsgebiet und die Anzahl der zu berechnenden Funktionswerte begrenzt sind.

• Verwendet spezielle Stützstellen und Gewichte zur Approximation von Integralen.
• Effektiv für Polynome hohen Grades.
• Gewichte und Stützstellen aus Nullstellen von orthogonalen Polynomen wie den Legendre-Polynomen.

• Nutze die Legendre-Polynome \(P_2(x)\).
• Finde die Nullstellen von \(P_2(x)\).
• Berechne die entsprechenden Gewichte \(w_i\).

• 1. Bestimmung der Legendre-Polynome:Das Legendre-Polynom zweiter Ordnung lautet:\[ P_2(x) = \frac{1}{2}(3x^2 - 1) \]
• 2. Nullstellen des Legendre-Polynoms finden:Wir setzen \(P_2(x) = 0\) und lösen nach \(x\):\[ \frac{1}{2}(3x^2 - 1) = 0 \]Dies ergibt:\[ 3x^2 - 1 = 0 \]\[ 3x^2 = 1 \]\[ x^2 = \frac{1}{3} \]\[ x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} \]Die Nullstellen sind daher:\[ x_1 = -\frac{1}{\sqrt{3}}, \quad x_2 = \frac{1}{\sqrt{3}} \]
• 3. Berechnung der Gewichte:Die Gewichte \(w_i\) für die Stützstellen \(x_i\) werden mit Hilfe folgender Formel berechnet:\[ w_i = \int_{-1}^1 \prod_{j eq i} \frac{(x - x_j)}{(x_i - x_j)} dx \]
• Da wir hier zwei Stützstellen haben, ergibt sich die Formel für die Gewichte einfacher. Für das Gauss-Legendre-Quadraturverfahren der zweiten Ordnung sind die Gewichte\(w_1\) und \(w_2\) beide gleich und werden folgendermaßen berechnet:\[ w_1 = w_2 = \int_{-1}^1 \prod_{j eq i} \frac{(x - x_j)}{(x_i - x_j)} dx = 1 \]Daher lauten die Gewichte:\[ w_1 = 1, \quad w_2 = 1 \]

• Stützstellen: \(x_1 = -\frac{1}{\sqrt{3}}, \quad x_2 = \frac{1}{\sqrt{3}} \)
• Gewichte: \(w_1 = 1, \quad w_2 = 1 \)

c)

Berechne das Integral der Funktion \(h(x)=\frac{1}{1+x^2}\) über das Intervall \(0, 1\) unter Verwendung des \(3\) Punkt Gauss-Quadraturverfahrens. Nutze die Transformation zur Anpassung ans Standardintervall.

• Bestimme die transformierten Stützstellen und Gewichte.
• Zeige Deine Schritte zur Berechnung des Integrals.

Lösung:

Gauss-Quadratur für numerische IntegrationGauss-Quadratur ist eine Methode zur numerischen Integration, die besonders effizient ist, wenn das Integrationsgebiet und die Anzahl der zu berechnenden Funktionswerte begrenzt sind.

• Verwendet spezielle Stützstellen und Gewichte zur Approximation von Integralen.
• Effektiv für Polynome hohen Grades.
• Gewichte und Stützstellen aus Nullstellen von orthogonalen Polynomen wie den Legendre-Polynomen.

• Bestimme die transformierten Stützstellen und Gewichte.
• Zeige Deine Schritte zur Berechnung des Integrals.

• 1. Bestimmung der Stützstellen und Gewichte des 3-Punkt Gauss-Quadraturverfahrens:Für das Gauss-Legendre-Quadraturverfahren mit \(n = 3\) Stützstellen sind die Stützstellen (\(x_i\)) und Gewichte (\(w_i\)) wie folgt:
  • \(x_1 = -\sqrt{\frac{3}{5}}\)
  • \(x_2 = 0\)
  • \(x_3 = \sqrt{\frac{3}{5}}\)
  • \(w_1 = \frac{5}{9}\)
  • \(w_2 = \frac{8}{9}\)
  • \(w_3 = \frac{5}{9}\)
• 2. Transformation des Integrationsintervalls:Da das ursprüngliche Integral über das Intervall \([0, 1]\) geht, müssen wir dieses auf das Standardintervall \([-1, 1]\) transformieren. Das bedeutet, wir setzen \(x = \frac{1}{2}(b-a)t + \frac{1}{2}(b+a)\), wobei \(a = 0\) und \(b = 1\). Dies führt zu:\[ x = \frac{1}{2}t + \frac{1}{2} \]Die Integration in diesem neuen Intervall erfolgt laut Gauss-Quadraturmethode durch Summation:\[ \, dx = \frac{b-a}{2}dt = \frac{1-0}{2}dt = \frac{1}{2}dt \]
• 3. Anwendung der Stützstellen und Gewichte:Transformierte Stützstellen:\[ t_1 = -\sqrt{\frac{3}{5}}\quad \Rightarrow \quad x_1' = \frac{1}{2}(-\sqrt{\frac{3}{5}}) + \frac{1}{2}= \frac{1 - \sqrt{\frac{3}{5}}}{2} \]\[ t_2 = 0\quad \Rightarrow \quad x_2' = \frac{1}{2}(0) + \frac{1}{2}= \frac{1}{2} \]\[ t_3 = \sqrt{\frac{3}{5}}\quad \Rightarrow \quad x_3' = \frac{1}{2}(\sqrt{\frac{3}{5}}) + \frac{1}{2}= \frac{1 + \sqrt{\frac{3}{5}}}{2} \]Und die entsprechenden Gewichte bleiben:\(w_1 = \frac{5}{9}\)\(w_2 = \frac{8}{9}\)\(w_3 = \frac{5}{9}\)
• 4. Berechnung des Integrals:Das approximierte Integral lautet:\[ I \approx \frac{b-a}{2} \sum_{i=1}^{n} w_i \, h(x_i') \]Wenden wir das auf unsere Funktion \(h(x) = \frac{1}{1+x^2}\) an:\[ I \approx \frac{1}{2} \left( \frac{5}{9} \cdot h\left( \frac{1 - \sqrt{\frac{3}{5}}}{2} \right) + \frac{8}{9} \cdot h\left( \frac{1}{2} \right) + \frac{5}{9} \cdot h\left( \frac{1 + \sqrt{\frac{3}{5}}}{2} \right) \right) \]\[ I \approx \frac{1}{2} \left( \frac{5}{9} \cdot \frac{1}{1+\left( \frac{1 - \sqrt{\frac{3}{5}}}{2} \right)^2} + \frac{8}{9} \cdot \frac{1}{1+ \left( \frac{1}{2} \right)^2} + \frac{5}{9} \cdot \frac{1}{1+\left( \frac{1 + \sqrt{\frac{3}{5}}}{2} \right)^2} \right) \]Berechnen wir die einzelnen Ausdrücke:\[ h\left( \frac{1 - \sqrt{\frac{3}{5}}}{2} \right) = \frac{1}{1 + \left( \frac{1 - \sqrt{\frac{3}{5}}}{2} \right)^2} \]\[ h\left( \frac{1}{2} \right) = \frac{1}{1 + \left( \frac{1}{2} \right)^2} = \frac{1}{1 + \frac{1}{4}} = \frac{1}{\frac{5}{4}} = \frac{4}{5} \]\[ h\left( \frac{1 + \sqrt{\frac{3}{5}}}{2} \right) = \frac{1}{1 + \left( \frac{1 + \sqrt{\frac{3}{5}}}{2} \right)^2} \]
• \[ h(x) \cont\]
Setzen wir alles zusammen ein:\[ I \approx \frac{1}{2} \left( \frac{5}{9} \cdot h\left( \frac{1 - \sqrt{\frac{3}{5}}}{2} \right) + \frac{8}{9} \cdot \frac{4}{5} + \frac{5}{9} \cdot h\left( \frac{1 + \sqrt{\frac{3}{5}}}{2} \right) \right) \]\[ I \approx \frac{1}{2} \left( \frac{5}{9} \cdot \frac{\frac{4}{5}}{ \left( \frac{{}}{}}\dot \right \)\gainst \[ \approimate\]

import scipy.integrate as quaddef k(x):    return np.exp(x) / (1 + x**2)exact_value = quad.quad(k, -1, 1)[0]Error_2 = abs(exact_value - I_2)Error_3 = abs(exact_value - I_3)