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Satz von Taylor und Anwendungen

Definition:

Der Satz von Taylor bietet eine Approximation einer Funktion durch ein Polynom endlichen Grades unter Verwendung von Ableitungen.

Details:

• Taylorreihe einer Funktion f um den Punkt a ist gegeben durch: \[ f(x) = f(a) + f'(a)(x - a) + \frac{f''(a)}{2!}(x - a)^2 + \cdots + \frac{f^n(a)}{n!}(x - a)^n + R_n(x) \]
• Restgliedformel (Lagrange-Form): \[ R_n(x) = \frac{f^{n+1}(\xi)}{(n+1)!} (x - a)^{n+1} \] mit \( \xi \) zwischen a und x
• Für die Praxis wichtig bei der Approximation von Funktionen und der Fehlerabschätzung
• Beispielanwendungen: Näherungen im Ingenieurwesen, Analysis, Numerik

Eigenwerte und Eigenvektoren

Definition:

Eigenwert \( \lambda \) und Eigenvektor \(\mathbf{v}\) einer Matrix \(A\) erfüllen die Gleichung \(A\mathbf{v} = \lambda \mathbf{v}\).

Details:

• Berechnung der Eigenwerte: Lösen der charakteristischen Gleichung \(\det(A - \lambda I) = 0\).
• Eigenvektoren: Nicht-triviale Lösungen von \( (A - \lambda I) \mathbf{v} = 0\).
• Diagonalisation: Matrix \(A\) ist diagonalisierbar, wenn sie \(n\) linear unabhängige Eigenvektoren besitzt.
• Spektralsatz: Für symmetrische Matrizen \(A\) existiert eine orthogonale Matrix \(Q\) und eine Diagonalmatrix \(D\) mit \(A = Q D Q^T\).

Regression und Korrelation

Definition:

Statistische Methoden zur Untersuchung des Zusammenhangs und der Vorhersage zwischen Variablen.

Details:

• Regression: Modellierung des Zusammenhangs zwischen abhängigen und unabhängigen Variablen.
• Korrelation: Maß für die Stärke und Richtung einer linearen Beziehung zwischen zwei Variablen.
• Korrelationskoeffizient: \( -1 \leq r \leq 1 \).
• Lineare Regression: \( y = \beta_0 + \beta_1 x + \epsilon \).
• Korrelation impliziert keine Kausalität.

Fehlerschätzung und Stabilität von Algorithmen

Definition:

Abschätzung der Fehler, die bei numerischen Berechnungen auftreten, und Bewertung der Stabilität des Algorithmus gegenüber Fehlern und Störungen.

Details:

• Fehlerschätzung: Analyse der Rundungsfehler und Abschätzung der Gesamtabweichung im Resultat, z.B. durch Vorwärts- oder Rückwärtsanalyse.
• Zentrale Formel für den relativen Fehler: \[ E_{rel} = \frac{|x - \hat{x}|}{|x|} \]
• Stabilität: Ein Algorithmus ist stabil, wenn kleine Änderungen in den Eingabedaten oder Zwischenwerten nur kleine Änderungen im Endergebnis bewirken.
• Vorwärtsstabilität: Der berechnete Wert ist nahe am exakten Wert bei kleinen Eingangsfehlern.
• Rückwärtsstabilität: Bei geringfügigen Änderungen der Eingangsfehler wird das Problem so transformiert, dass das Ergebnis nahe dem exakten Ergebnis liegt.
• Konditionszahl: Maß für die Empfindlichkeit der Lösung eines Problems gegenüber Änderungen in den Eingabedaten, definiert als \[ \text{cond}(A) = \|A\| \|A^{-1}\| \] für eine Matrix A.

Unvollständigkeitssätze von Gödel

Definition:

Gödel's Unvollständigkeitssätze zeigen grundlegende Grenzen formaler Systeme. Sie betreffen die Vollständigkeit und Widerspruchsfreiheit von formalen arithmetischen Systemen.

Details:

• Erster Unvollständigkeitssatz: In jedem hinreichend mächtigen, widerspruchsfreien formalen System gibt es wahre Aussagen, die in diesem System nicht bewiesen werden können.
• Zweiter Unvollständigkeitssatz: Kein widerspruchsfreies System kann seine eigene Widerspruchsfreiheit beweisen.
• Formale Definition: Ein formales System ist \textit{hinreichend mächtig}, wenn es zumindest die Peano-Arithmetik umfasst.
• Implikation: Es gibt immer Grenzen der mathematischen Beweisbarkeit innerhalb eines Systems.

Integrationstechniken und Anwendungsbeispiele

Definition:

Techniken zur Berechnung von Integralen und deren Anwendung in verschiedenen mathematischen Problemen.

Details:

• Bestimmtes und unbestimmtes Integral
• Substitution: \( \int f(g(x))g'(x) \, dx = \int f(u)\,du \)
• Partielle Integration: \( \int u \, dv = uv - \int v \, du \)
• Trigonometrische Substitution: z.B. \( x = a \sin\theta \)
• Partialbruchzerlegung: \( \int \frac{P(x)}{Q(x)} \, dx \)
• Numerische Integration: Trapezregel, Simpsonsregel
• Anwendungsbeispiele: Flächenberechnung, Volumenberechnung durch Rotation (z.B. Rotationskörper), Arclängen, physikalische Anwendungen (Arbeit, Energie)

Ringe und Körper

Definition:

Ringe und Körper sind algebraische Strukturen, die in der Algebra untersucht werden.

Details:

• Ein Ring ist eine Menge mit zwei Verknüpfungen: Addition (+) und Multiplikation (⋅), die bestimmten Axiomen genügen.
• Ein Körper ist ein Ring, bei dem jedes Element außer der Null ein multiplikatives Inverses hat.
• Für einen Ring \( R \) gelten: assoziativ, distributiv, existieren additives Inverses und neutrales Element.
• Beispiele für Körper: \( \mathbb{Q}\, \mathbb{R}\, \mathbb{C} \)
• In einem Körper gelten zusätzlich: Kommutativität der Multiplikation und Existenz des multiplikativen Inversen für jedes nicht-null Element.

Erwartungswerte und Varianz

Definition:

Erwartungswert ist der Durchschnittswert einer Zufallsvariablen; Varianz misst die Streuung der Werte um den Erwartungswert

Details:

• Erwartungswert (E(X)) einer Zufallsvariablen X:\[ E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i \, P(X = x_i) \]
• Varianz (Var(X)) einer Zufallsvariablen X:\[ Var(X) = E((X - E(X))^2) = E(X^2) - (E(X))^2 \]
• Für stetige Zufallsvariablen X und Dichtefunktion f(x): \[ E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x \, f(x) \, dx \]
• \[ Var(X) = \int_{-\infty}^{\infty} (x - E(X))^2 \, f(x) \, dx \]