Satz von Taylor und Anwendungen
Definition:
Der Satz von Taylor bietet eine Approximation einer Funktion durch ein Polynom endlichen Grades unter Verwendung von Ableitungen.
Details:
- Taylorreihe einer Funktion f um den Punkt a ist gegeben durch: \[ f(x) = f(a) + f'(a)(x - a) + \frac{f''(a)}{2!}(x - a)^2 + \cdots + \frac{f^n(a)}{n!}(x - a)^n + R_n(x) \]
- Restgliedformel (Lagrange-Form): \[ R_n(x) = \frac{f^{n+1}(\xi)}{(n+1)!} (x - a)^{n+1} \] mit \( \xi \) zwischen a und x
- Für die Praxis wichtig bei der Approximation von Funktionen und der Fehlerabschätzung
- Beispielanwendungen: Näherungen im Ingenieurwesen, Analysis, Numerik
Eigenwerte und Eigenvektoren
Definition:
Eigenwert \( \lambda \) und Eigenvektor \(\mathbf{v}\) einer Matrix \(A\) erfüllen die Gleichung \(A\mathbf{v} = \lambda \mathbf{v}\).
Details:
- Berechnung der Eigenwerte: Lösen der charakteristischen Gleichung \(\det(A - \lambda I) = 0\).
- Eigenvektoren: Nicht-triviale Lösungen von \( (A - \lambda I) \mathbf{v} = 0\).
- Diagonalisation: Matrix \(A\) ist diagonalisierbar, wenn sie \(n\) linear unabhängige Eigenvektoren besitzt.
- Spektralsatz: Für symmetrische Matrizen \(A\) existiert eine orthogonale Matrix \(Q\) und eine Diagonalmatrix \(D\) mit \(A = Q D Q^T\).
Regression und Korrelation
Definition:
Statistische Methoden zur Untersuchung des Zusammenhangs und der Vorhersage zwischen Variablen.
Details:
- Regression: Modellierung des Zusammenhangs zwischen abhängigen und unabhängigen Variablen.
- Korrelation: Maß für die Stärke und Richtung einer linearen Beziehung zwischen zwei Variablen.
- Korrelationskoeffizient: \( -1 \leq r \leq 1 \).
- Lineare Regression: \( y = \beta_0 + \beta_1 x + \epsilon \).
- Korrelation impliziert keine Kausalität.
Fehlerschätzung und Stabilität von Algorithmen
Definition:
Abschätzung der Fehler, die bei numerischen Berechnungen auftreten, und Bewertung der Stabilität des Algorithmus gegenüber Fehlern und Störungen.
Details:
- Fehlerschätzung: Analyse der Rundungsfehler und Abschätzung der Gesamtabweichung im Resultat, z.B. durch Vorwärts- oder Rückwärtsanalyse.
- Zentrale Formel für den relativen Fehler: \[ E_{rel} = \frac{|x - \hat{x}|}{|x|} \]
- Stabilität: Ein Algorithmus ist stabil, wenn kleine Änderungen in den Eingabedaten oder Zwischenwerten nur kleine Änderungen im Endergebnis bewirken.
- Vorwärtsstabilität: Der berechnete Wert ist nahe am exakten Wert bei kleinen Eingangsfehlern.
- Rückwärtsstabilität: Bei geringfügigen Änderungen der Eingangsfehler wird das Problem so transformiert, dass das Ergebnis nahe dem exakten Ergebnis liegt.
- Konditionszahl: Maß für die Empfindlichkeit der Lösung eines Problems gegenüber Änderungen in den Eingabedaten, definiert als \[ \text{cond}(A) = \|A\| \|A^{-1}\| \] für eine Matrix A.
Unvollständigkeitssätze von Gödel
Definition:
Gödel's Unvollständigkeitssätze zeigen grundlegende Grenzen formaler Systeme. Sie betreffen die Vollständigkeit und Widerspruchsfreiheit von formalen arithmetischen Systemen.
Details:
- Erster Unvollständigkeitssatz: In jedem hinreichend mächtigen, widerspruchsfreien formalen System gibt es wahre Aussagen, die in diesem System nicht bewiesen werden können.
- Zweiter Unvollständigkeitssatz: Kein widerspruchsfreies System kann seine eigene Widerspruchsfreiheit beweisen.
- Formale Definition: Ein formales System ist \textit{hinreichend mächtig}, wenn es zumindest die Peano-Arithmetik umfasst.
- Implikation: Es gibt immer Grenzen der mathematischen Beweisbarkeit innerhalb eines Systems.
Integrationstechniken und Anwendungsbeispiele
Definition:
Techniken zur Berechnung von Integralen und deren Anwendung in verschiedenen mathematischen Problemen.
Details:
- Bestimmtes und unbestimmtes Integral
- Substitution: \( \int f(g(x))g'(x) \, dx = \int f(u)\,du \)
- Partielle Integration: \( \int u \, dv = uv - \int v \, du \)
- Trigonometrische Substitution: z.B. \( x = a \sin\theta \)
- Partialbruchzerlegung: \( \int \frac{P(x)}{Q(x)} \, dx \)
- Numerische Integration: Trapezregel, Simpsonsregel
- Anwendungsbeispiele: Flächenberechnung, Volumenberechnung durch Rotation (z.B. Rotationskörper), Arclängen, physikalische Anwendungen (Arbeit, Energie)
Ringe und Körper
Definition:
Ringe und Körper sind algebraische Strukturen, die in der Algebra untersucht werden.
Details:
- Ein Ring ist eine Menge mit zwei Verknüpfungen: Addition (+) und Multiplikation (⋅), die bestimmten Axiomen genügen.
- Ein Körper ist ein Ring, bei dem jedes Element außer der Null ein multiplikatives Inverses hat.
- Für einen Ring \( R \) gelten: assoziativ, distributiv, existieren additives Inverses und neutrales Element.
- Beispiele für Körper: \( \mathbb{Q}\, \mathbb{R}\, \mathbb{C} \)
- In einem Körper gelten zusätzlich: Kommutativität der Multiplikation und Existenz des multiplikativen Inversen für jedes nicht-null Element.
Erwartungswerte und Varianz
Definition:
Erwartungswert ist der Durchschnittswert einer Zufallsvariablen; Varianz misst die Streuung der Werte um den Erwartungswert
Details:
- Erwartungswert (E(X)) einer Zufallsvariablen X:\[ E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i \, P(X = x_i) \]
- Varianz (Var(X)) einer Zufallsvariablen X:\[ Var(X) = E((X - E(X))^2) = E(X^2) - (E(X))^2 \]
- Für stetige Zufallsvariablen X und Dichtefunktion f(x): \[ E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x \, f(x) \, dx \]
- \[ Var(X) = \int_{-\infty}^{\infty} (x - E(X))^2 \, f(x) \, dx \]