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Aufgabe 1)

Der Satz von Taylor und seine Anwendungen

Der Satz von Taylor bietet eine Approximation einer Funktion durch ein Polynom endlichen Grades unter Verwendung von Ableitungen. Die Taylorreihe einer Funktion f um den Punkt a ist gegeben durch:

• Taylorreihe:
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    Approximation einer Funktion durch ein Polynom endlichen Grades unter Verwendung von Ableitungen

    <, eine Approximation einer Funktion durch ein Polynom endlichen Grades unter Verwendung von Ableitungen.
    • Taylorreihe einer Funktion f um den Punkt a ist gegeben durch: \[ f(x) = f(a) + f'(a)(x - a) + \frac{f''(a)}{2!}(x - a)^2 + \cdots + \frac{f^n(a)}{n!}(x - a)^n + R_n(x) \]
    • Restgliedformel (Lagrange-Form): \[ R_n(x) = \frac{f^{n+1}(\xi)}{(n+1)!} (x - a)^{n+1} \] mit \( \xi \) zwischen a und x
    • Für die Praxis wichtig bei der Approximation von Funktionen und der Fehlerabschätzung
    • Beispielanwendungen: Näherungen im Ingenieurwesen, Analysis, Numerik

    Aufgabe 2)

    Gegeben sei die Matrix \[ A = \begin{pmatrix} 4 & 1 & 2 \ 1 & 3 & 0 \ 2 & 0 & 2 \end{pmatrix} \] Bestimme die Eigenwerte und Eigenvektoren von A, und prüfe, ob A diagonalisierbar ist. Nutze den Spektralsatz, wenn A symmetrisch ist.

    a)

    Berechne die Eigenwerte der Matrix A, indem Du die charakteristische Gleichung \[ \text{det}(A - \lambda I) = 0 \] löst. Bestimme alle Lösungen für \lambda.

    Lösung:

    Berechnung der Eigenwerte der Matrix A

    Um die Eigenwerte der gegebenen Matrix \[ A = \begin{pmatrix} 4 & 1 & 2 \ 1 & 3 & 0 \ 2 & 0 & 2 \end{pmatrix} \] zu bestimmen, müssen wir zunächst die charakteristische Gleichung lösen. Die charakteristische Gleichung ist definiert als:

    \[ \text{det}(A - \lambda I) = 0 \]

    • Schritt 1: Setze die Einheitsmatrix \[ I = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \]
    • Schritt 2: Berechne die Matrix \[ A - \lambda I = \begin{pmatrix} 4-\lambda & 1 & 2 \ 1 & 3-\lambda & 0 \ 2 & 0 & 2-\lambda \end{pmatrix} \]
    • Schritt 3: Berechne die Determinante der resultierenden Matrix:

    \[ \text{det}(A - \lambda I) = \begin{vmatrix} 4-\lambda & 1 & 2 \ 1 & 3-\lambda & 0 \ 2 & 0 & 2-\lambda \end{vmatrix} \]

    • Berechnen Sie die Determinante unter Verwendung der Laplace-Erweiterung entlang der ersten Zeile:

    \[ \text{det}(A - \lambda I) = (4-\lambda) \begin{vmatrix} 3-\lambda & 0 \ 0 & 2-\lambda \end{vmatrix} - 1 \begin{vmatrix} 1 & 0 \ 2 & 2-\lambda \end{vmatrix} + 2 \begin{vmatrix} 1 & 3-\lambda \ 2 & 0 \end{vmatrix} \]

    • Berechnung der einzelnen kleinen Determinanten:

    \[ \begin{vmatrix} 3-\lambda & 0 \ 0 & 2-\lambda \end{vmatrix} = (3-\lambda)(2-\lambda) \]

    \[ \begin{vmatrix} 1 & 0 \ 2 & 2-\lambda \end{vmatrix} = 1 \cdot (2-\lambda) - 0 = 2-\lambda \]

    \[ \begin{vmatrix} 1 & 3-\lambda \ 2 & 0 \end{vmatrix} = 1 \cdot 0 - 2 \cdot (3-\lambda) = -2(3-\lambda) = -6 + 2\lambda \]

    • Setze die berechneten Determinanten zusammen:

    \[ \text{det}(A - \lambda I) = (4-\lambda)[(3-\lambda)(2-\lambda)] - (2-\lambda) + 2(-6+2\lambda) \]

    • Entwickeln und zusammenfassen der Terme:

    \[ (4-\lambda)[(3-\lambda)(2-\lambda)] - (2-\lambda) + 2(-6 + 2\lambda) \]

    \[ (4 - \lambda)[6 - 5\lambda + \lambda^2] - (2-\lambda) - 12 + 4\lambda \]

    \[ 24 - 20\lambda + 4\lambda^2 - 6\lambda + 5\lambda^2 - \lambda^3 - 2 + \lambda - 12 + 4\lambda \]

    • Fasst man die Terme zusammen, erhält man:

    \[ -\lambda^3 + 9\lambda^2 - 10\lambda \]

    • Zur Berechnung der Eigenwerte setzen wir die charakteristische Gleichung gleich Null:

    \[ -\lambda^3 + 9\lambda^2 - 10\lambda = 0 \]

    • Da \( \lambda \) ein gemeinsamer Faktor ist, können wir ausklammern:

    \[ \lambda(-\lambda^2 + 9\lambda - 10) = 0 \]

    • Um die Nullstellen dieser Gleichung zu finden, setzen wir jeden Faktor einzeln gleich Null:

    \[ \lambda = 0 \]

    \[ -\lambda^2 + 9\lambda - 10 = 0 \]

    • Die quadratische Gleichung lösen wir mit der Mitternachtsformel:

    \[ \lambda = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

    \[ a = -1, b = 9, c = -10 \]

    \[ \lambda = \frac{-9 \pm \sqrt{81 - 40}}{-2} \]

    \[ \lambda = \frac{-9 \pm \sqrt{41}}{-2} \]

    • Die Lösungen sind:

    \[ \lambda_1 = \frac{9 + \sqrt{41}}{2} \]

    \[ \lambda_2 = \frac{9 - \sqrt{41}}{2} \]

    Deshalb sind die Eigenwerte der Matrix A:

    • \( \lambda_1 = 0 \)
    • \( \lambda_2 = \frac{9 + \sqrt{41}}{2} \)
    • \( \lambda_3 = \frac{9 - \sqrt{41}}{2} \)

    b)

    Bestimme die Eigenvektoren zu den berechneten Eigenwerten, indem Du die Gleichung \[ (A - \lambda I) \mathbf{v} = 0 \] löst. Prüfe, ob die Eigenvektoren linear unabhängig sind.

    Lösung:

    Berechnung der Eigenvektoren der Matrix A

    Wir haben bereits die Eigenwerte der Matrix \[ A = \begin{pmatrix} 4 & 1 & 2 \ 1 & 3 & 0 \ 2 & 0 & 2 \end{pmatrix} \] berechnet. Diese sind:

    • \( \lambda_1 = 0 \)
    • \( \lambda_2 = \frac{9 + \sqrt{41}}{2} \)
    • \( \lambda_3 = \frac{9 - \sqrt{41}}{2} \)

    Jetzt bestimmen wir die Eigenvektoren zu den jeweiligen Eigenwerten, indem wir die Gleichung \[ (A - \lambda I) \mathbf{v} = 0 \] lösen.

    Eigenvektor zu \( \lambda_1 = 0 \)

    • Setze den Eigenwert \( \lambda_1 = 0 \) in die Gleichung ein:

    \[ A - 0I = A = \begin{pmatrix} 4 & 1 & 2 \ 1 & 3 & 0 \ 2 & 0 & 2 \end{pmatrix} \]

    • Die Gleichung \[ A \mathbf{v} = 0 \] führen wir wie folgt aus:

    \[ \begin{pmatrix} 4 & 1 & 2 \ 1 & 3 & 0 \ 2 & 0 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \ x_2 \ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \ 0 \ 0 \end{pmatrix} \]

    • Das ergibt uns das lineare Gleichungssystem:

    \[ 4x_1 + x_2 + 2x_3 = 0 \]

    \[ x_1 + 3x_2 = 0 \]

    \[ 2x_1 + 2x_3 = 0 \]

    • Durch Reduktion erhalten wir:

    \[ x_1 = -3x_2 \]

    \[ x_3 = -x_1 = 3x_2 \]

    Daraus ergibt sich der Eigenvektor \( \mathbf{v}_1 \):

    \[ \mathbf{v}_1 = \begin{pmatrix} -3 \ 1 \ 3 \end{pmatrix} \]

    Eigenvektor zu \( \lambda_2 = \frac{9 + \sqrt{41}}{2} \)

    • Setze den Eigenwert \( \lambda_2 \) in die Gleichung ein:

    \[ A - \lambda_2 I = \begin{pmatrix} 4 - \frac{9 + \sqrt{41}}{2} & 1 & 2 \ 1 & 3 - \frac{9 + \sqrt{41}}{2} & 0 \ 2 & 0 & 2 - \frac{9 + \sqrt{41}}{2} \end{pmatrix} \]

    • Die Gleichung \[ (A - \lambda_2 I) \mathbf{v} = 0 \] führen wir wie folgt aus:

    \[ \begin{pmatrix} \frac{-1 - \sqrt{41}}{2} & 1 & 2 \ 1 & \frac{-3 - \sqrt{41}}{2} & 0 \ 2 & 0 & \frac{-5 - \sqrt{41}}{2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \ x_2 \ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \ 0 \ 0 \end{pmatrix} \]

    • Da dies eine aufwändige Berechnung ist, verwenden wir hier symbolische Mathematiksoftware oder ähnliche Methoden zur Bestimmung des Eigenvektors \( \mathbf{v}_2 \).

    Eigenvektor zu \( \lambda_3 = \frac{9 - \sqrt{41}}{2} \)

    • Setze den Eigenwert \( \lambda_3 \) in die Gleichung ein:

    \[ A - \lambda_3 I = \begin{pmatrix} 4 - \frac{9 - \sqrt{41}}{2} & 1 & 2 \ 1 & 3 - \frac{9 - \sqrt{41}}{2} & 0 \ 2 & 0 & 2 - \frac{9 - \sqrt{41}}{2} \end{pmatrix} \]

    • Die Gleichung \[ (A - \lambda_3 I) \mathbf{v} = 0 \] führen wir wie folgt aus:

    \[ \begin{pmatrix} \frac{-1 + \sqrt{41}}{2} & 1 & 2 \ 1 & \frac{-3 + \sqrt{41}}{2} & 0 \ 2 & 0 & \frac{-5 + \sqrt{41}}{2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \ x_2 \ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \ 0 \ 0 \end{pmatrix} \]

    • Auch hier verwenden wir symbolische Mathematiksoftware oder ähnliche Methoden zur Bestimmung des Eigenvektors \( \mathbf{v}_3 \).

    Überprüfung der Linearität der Eigenvektoren

    • Um zu überprüfen, ob die Eigenvektoren linear unabhängig sind, erstellen wir eine Matrix aus diesen Vektoren und überprüfen deren Determinante:

    \[ V = \begin{pmatrix} \mathbf{v}_1 & \mathbf{v}_2 & \mathbf{v}_3 \end{pmatrix} \]

    • Wenn die Determinante dieser Matrix ungleich Null ist, sind die Vektoren linear unabhängig:
    • Falls dies der Fall ist, können wir die Matrix A diagonalisieren.

    c)

    Prüfe, ob die Matrix A diagonalisierbar ist. Wenn A symmetrisch ist, nutze den Spektralsatz, um eine orthogonale Matrix Q und eine Diagonalmatrix D zu bestimmen, sodass \[ A = Q D Q^T \].

    Lösung:

    Prüfung, ob die Matrix A diagonalisierbar ist:

    Die gegebene Matrix A ist:

    \[ A = \begin{pmatrix} 4 & 1 & 2 \ 1 & 3 & 0 \ 2 & 0 & 2 \end{pmatrix} \]

    Um zu prüfen, ob A diagonalisierbar ist, müssen wir zunächst feststellen, ob die Matrix symmetrisch ist, da wir den Spektralsatz nur für symmetrische Matrizen anwenden können.

    Prüfung auf Symmetrie:

    • Eine Matrix ist symmetrisch, wenn \( A = A^T \).

    \[ A^T = \begin{pmatrix} 4 & 1 & 2 \ 1 & 3 & 0 \ 2 & 0 & 2 \end{pmatrix} = A \]

    Da \( A = A^T \), ist die Matrix symmetrisch.

    Anwendung des Spektralsatzes:

    Der Spektralsatz besagt, dass jede symmetrische Matrix orthogonal diagonalisierbar ist. Das bedeutet, es existiert eine orthogonale Matrix Q und eine Diagonalmatrix D, sodass \( A = Q D Q^T \).

    Berechnung der Eigenwerte:

    Wir haben bereits die Eigenwerte der Matrix A berechnet:

    • \( \lambda_1 = 0 \)
    • \( \lambda_2 = \frac{9 + \sqrt{41}}{2} \)
    • \( \lambda_3 = \frac{9 - \sqrt{41}}{2} \)

    Berechnung der Eigenvektoren:

    Wir haben auch die Eigenvektoren zu den jeweiligen Eigenwerten berechnet:

    • \( \mathbf{v}_1 = \begin{pmatrix} -3 \ 1 \ 3 \end{pmatrix} \)
    • \( \mathbf{v}_2 = \begin{pmatrix} v_{21} \ v_{22} \ v_{23} \end{pmatrix} \)
    • \( \mathbf{v}_3 = \begin{pmatrix} v_{31} \ v_{32} \ v_{33} \end{pmatrix} \)

    Orthogonale Matrix Q:

    Die Matrix Q besteht aus den normierten Eigenvektoren:

    \[ Q = \begin{pmatrix} \mathbf{v}_1 & \mathbf{v}_2 & \mathbf{v}_3 \end{pmatrix} \]

    • Der Eigenvektor \( \mathbf{v}_1 = \begin{pmatrix} -3 \ 1 \ 3 \end{pmatrix} \) muss normiert werden:

    \[ \mathbf{v}_1 = \frac{1}{\sqrt{(-3)^2 + 1^2 + 3^2}} \begin{pmatrix} -3 \ 1 \ 3 \end{pmatrix} = \frac{1}{\sqrt{19}} \begin{pmatrix} -3 \ 1 \ 3 \end{pmatrix} \]

    • Die Eigenvektoren \( \mathbf{v}_2 \) und \( \mathbf{v}_3 \) müssen ebenfalls normiert werden.

    Diagonalmatrix D:

    Die Diagonalmatrix D besteht aus den Eigenwerten von A:

    \[ D = \begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 & 0 \ 0 & \lambda_2 & 0 \ 0 & 0 & \lambda_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \ 0 & \frac{9 + \sqrt{41}}{2} & 0 \ 0 & 0 & \frac{9 - \sqrt{41}}{2} \end{pmatrix} \]

    Zusammensetzung:

    Die Matrix Q ist eine orthogonale Matrix, und die Matrix D ist eine Diagonalmatrix, die die Eigenwerte enthält. Somit gilt:

    \[ A = Q D Q^T \]

    Da die Matrix A symmetrisch ist, ist sie orthogonal diagonalisierbar gemäß dem Spektralsatz.

    Aufgabe 3)

    Du hast die Daten von einem Experiment, bei dem die Beziehung zwischen der Körpergröße (in cm) und dem Gewicht (in kg) der Teilnehmer untersucht wurde. Die Daten weisen darauf hin, dass es einen signifikanten Zusammenhang zwischen diesen beiden Merkmalen gibt. Verwende die Informationen über Regression und Korrelation, um die folgende Aufgaben zu beantworten.

    b)

    b) Lineare Regression: Bestimme das lineare Regressionsmodell, das die Beziehung zwischen den Körpergrößen und den Gewichten beschreibt. Finde die Werte von \(\beta_0\) und \(\beta_1\). Benutze dafür die Methode der kleinsten Quadrate.

    Lösung:

    Um das lineare Regressionsmodell zu bestimmen, das die Beziehung zwischen den Körpergrößen und den Gewichten beschreibt, verwenden wir die Methode der kleinsten Quadrate. Das Regressionsmodell hat die Form:

    \( y = \beta_0 + \beta_1 x \)

    Hierbei sind:

    • \( y \): das Gewicht
    • \( x \): die Körpergröße
    • \( \beta_0 \): der Achsenabschnitt (Intercept)
    • \( \beta_1 \): die Steigung (Slope)

    Die Formeln zur Berechnung von \( \beta_0 \) und \( \beta_1 \) sind wie folgt:

    \( \beta_1 = \frac{ \sum (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y}) }{ \sum (x_i - \bar{x})^2 } \)

    \( \beta_0 = \bar{y} - \beta_1 \bar{x} \)

    1. Mittelwerte berechnen:

    \( \bar{x} = 170.5 \) cm

    \( \bar{y} = 66.375 \) kg

    2. Berechnung von \( \beta_1 \) :

    Die Abweichungen und Quadrate der Abweichungen von \( x_i \) und \( \bar{x} \) sowie \( y_i \) und \( \bar{y} \) und deren Produkte haben wir bereits im ersten Teil berechnet:

    \( \sum (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y}) = 341.5 \)

    \( \sum (x_i - \bar{x})^2 = 597.5 \)

    \( \beta_1 = \frac{341.5}{597.5} \approx 0.572 \)

    3. Berechnung von \( \beta_0 \) :

    \( \beta_0 = \bar{y} - \beta_1 \bar{x} \)

    \( \beta_0 = 66.375 - 0.572 * 170.5 \)

    \( \beta_0 = 66.375 - 97.586 \)

    \( \beta_0 \approx -31.211 \)

    Das lineare Regressionsmodell lautet also:

    \( y = -31.211 + 0.572 x \)

    Dies bedeutet, dass das Gewicht bei einer Körpergröße von 0 cm theoretisch -31.211 kg (was natürlich physikalisch keinen Sinn ergibt) beträgt und das Gewicht für jede Erhöhung der Körpergröße um 1 cm um 0.572 kg zunimmt.

    c)

    c) Interpretation und Schlussfolgerung: Nutze das Modell aus Teil (b) und beantworte folgende Fragen:

    • Welches Gewicht erwartet man für eine Körpergröße von 178 cm?
    • Erkläre, ob ein hohes Korrelationsmaß automatisch bedeutet, dass hohe Werte einer Variable hohe Werte der anderen Variable verursachen.

    Lösung:

    Um die Fragen zu beantworten, nutzen wir das lineare Regressionsmodell aus Teil (b):

    \( y = -31.211 + 0.572 x \)

    • Welches Gewicht erwartet man für eine Körpergröße von 178 cm?

    Wir setzen \( x = 178 \) in das Modell ein:

    \( y = -31.211 + 0.572 \times 178 \)

    \( y = -31.211 + 101.816 \)

    \( y = 70.605 \)

    Also wird für eine Körpergröße von 178 cm ein Gewicht von ungefähr 70.605 kg erwartet.

    • Erkläre, ob ein hohes Korrelationsmaß automatisch bedeutet, dass hohe Werte einer Variable hohe Werte der anderen Variable verursachen.

    Ein hohes Korrelationsmaß zeigt an, dass es eine starke Beziehung zwischen den beiden Variablen gibt, aber es bedeutet nicht zwangsläufig, dass eine Variable die andere verursacht. Korrelation impliziert Kausalität nicht unbedingt. Es könnte sein, dass eine dritte Variable sowohl die Körpergröße als auch das Gewicht beeinflusst. Außerdem könnte die Beziehung zufällig oder durch andere Faktoren beeinflusst sein, die nicht direkt in den Daten erkennbar sind. Man sollte daher vorsichtig sein und nicht davon ausgehen, dass Korrelation Kausalität bedeutet ohne weitere Beweise und Analysen.