Überfachliche Grundlagen - Cheatsheet.pdf

Vektorräume und Unterräume

Definition:

Vektorräume sind algebraische Strukturen, die aus Mengen von Vektoren bestehen, die unter Vektoraddition und Skalarmultiplikation abgeschlossen sind. Ein Unterraum ist ein Teilraum eines Vektorraums, der selbst ein Vektorraum ist.

Details:

• Ein Vektorraum über einem Körper \( K \) ist eine Menge \( V \) mit zwei Operationen: Vektoraddition und Skalarmultiplikation
• Vektoraddition: \( + : V \times V \rightarrow V \)
• Skalarmultiplikation: \( \cdot : K \times V \rightarrow V \)
• Eigenschaften: Assoziativität, Kommutativität der Addition, Existenz des Nullvektors und des inversen Elements, Distributivgesetze
• Ein Unterraum \( U \) eines Vektorraums \( V \) erfüllt: \( U \subseteq V \), für alle \( u_1, u_2 \in U \) ist auch \( u_1 + u_2 \in U \), und für alle \( u \in U \) und \( \alpha \in K \) ist \( \alpha u \in U \)

Eigenwerte und Eigenvektoren

Definition:

Eigenwerte und Eigenvektoren charakterisieren, wie Matrizen auf Vektoren wirken und sind entscheidend für die Diagonalisierung.

Details:

• Eigenwert \( \lambda \) und Eigenvektor \( \mathbf{v} \): \( A \mathbf{v} = \lambda \mathbf{v} \)
• Bestimmung mittels \( \det(A - \lambda I) = 0 \)
• Normierte Eigenvektoren: \( \Vert \mathbf{v} \Vert = 1 \)
• Diagonalisation: \( A = PDP^{-1} \) bei diagonalisierbaren Matrizen

Kontinuität und Differenzierbarkeit von Funktionen

Definition:

Für eine Funktion f(x) sind folgende Eigenschaften zentral: Kontinuität bedeutet, dass f(x) keine Sprünge aufweist. Differenzierbarkeit bedeutet, dass die Ableitung f'(x) existiert.

Details:

• Kontinuität: Eine Funktion f(x) ist stetig an der Stelle x=a, wenn \(\lim_{x \to a} f(x) = f(a)\).
• Äquivalenz: Jede differenzierbare Funktion ist stetig, aber nicht jede stetige Funktion ist differenzierbar.
• Differenzierbarkeit: f(x) ist differenzierbar an der Stelle x=a, wenn der Grenzwert des Differenzenquotienten existiert: \(\lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}\) = f'(a).
• Höhere Ableitungen: Wenn f'(x) differenzierbar ist, existiert die zweite Ableitung f''(x).

Integrationsmethoden

Definition:

Techniken zur Berechnung von Integralen

Details:

• Substitutionsregel: \( \int f(g(x)) \cdot g'(x) \, dx = \int f(u) \, du \)
• Partielle Integration: \( \int u \, dv = uv - \int v \, du \)
• Partielle Bruchzerlegung: Aufteilung in Partialbrüche \( \frac{P(x)}{Q(x)} = \frac{A}{x-a} + \frac{Bx+C}{(x^2+bx+c)} \, ... \)

Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung

Definition:

Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung: Bereich der Mathematik, der sich mit der Analyse zufälliger Ereignisse und deren Wahrscheinlichkeiten beschäftigt.

Details:

• Wahrscheinlichkeit: Maß für die Unsicherheit eines Ereignisses, notiert als \(P(A)\).
• Zufallsvariablen: Variable, die den Ausgang eines Zufallsexperiments beschreibt.
• Erwartungswert: Durchschnittswert einer Zufallsvariablen, \(E(X)\).
• Varianz: Maß für die Streuung der Wahrscheinlichkeitsverteilung, \(Var(X) = E((X - E(X))^2)\).
• Standardabweichung: Quadratwurzel der Varianz, \(\sigma = \sqrt{Var(X)}\).
• Diskrete Verteilungen: Liste der Wahrscheinlichkeiten einzelner Ergebnisse.
• Stetige Verteilungen: Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen (PDFs).

Gesetze der großen Zahlen und zentrale Grenzwertsätze

Definition:

Gesetze der großen Zahlen (GdZ) und zentrale Grenzwertsätze (ZGS) beschreiben das Verhalten von Stichprobenmitteln bei zunehmender Stichprobengröße. GdZ garantiert Konvergenz gegen den Erwartungswert, ZGS beschreibt die Form der Verteilung.

Details:

• Gesetze der großen Zahlen (GdZ):
  • Starkes GdZ: \(\frac{1}{n}\textstyle\sum_{i=1}^{n}X_i \rightarrow \mu \ (fast sicher)\)
  • Schwaches GdZ: \(\frac{1}{n}\textstyle\sum_{i=1}^{n}X_i \rightarrow \mu \ (in Wahrscheinlichkeit)\)
• Zentraler Grenzwertsatz (ZGS):
  • Standard: \(\frac{1}{\sigma \sqrt{n}} \left( \textstyle\sum_{i=1}^{n}X_i - n\mu \right) \xrightarrow{d} N(0,1)\)

Aussagenlogik und Beweisstrategien

Definition:

Untersucht die Struktur und Interpretation von aussagenlogischen Ausdrücken und deren Beweise.

Details:

• Aussagenlogik: Verbindet Aussagen mit logischen Operatoren (und, oder, nicht, wenn...dann, genau dann wenn)
• Formale Sprachen: Syntax (wohlgeformte Formeln) und Semantik (Wahrheitswerte)
• Wahrheitstabellen: Dienen zur Überprüfung der Gültigkeit von Aussagen
• Normalformen: KNF und DNF zur Vereinfachung von Aussagen
• Beweisstrategien: Direkter Beweis, indirekter Beweis (Widerspruchsbeweis), vollständige Induktion
• Wichtige Regeln: Modus Ponens, Modus Tollens, Kettenschluss, Reductio ad Absurdum

Gödel'sche Unvollständigkeitssätze

Definition:

Gödel'sche Unvollständigkeitssätze besagen, dass in jedem widerspruchsfreien formalen System, das die Axiome der Peano-Arithmetik umfasst, wahre Aussagen existieren, die weder beweisbar noch widerlegbar sind.

Details:

• 1. Satz: In jedem konsistenten formalen System, das genügend mächtig ist, um die Arithmetik der natürlichen Zahlen zu beschreiben, gibt es wahre Aussagen, die innerhalb des Systems nicht beweisbar sind.
• 2. Satz: Kein solches System kann seine eigene Widerspruchsfreiheit beweisen.
• Formale Systeme und Konsistenz: \