Überfachliche Grundlagen - Exam.pdf

Aufgabe 1)

Gegeben sei ein Vektorraum \(V\) über dem Körper \(\mathbb{R}\) mit der Menge von Vektoren \(\{(1,2),(3,4),(5,6),(7,8)\}\). Untersuche die Eigenschaften eines möglichen Unterraums in diesem Vektorraum.

a)

Zeige, dass die Menge \(U = \{ (0,0), (6,8), (-3,-4) \}\) ein Unterraum des Vektorraums \(V\) ist. Überprüfe alle erforderlichen Eigenschaften eines Unterraums und verwende dabei die gegebenen Definitionen und Gesetze.

Lösung:

Um zu zeigen, dass die Menge \(U = \{ (0,0), (6,8), (-3,-4) \}\) ein Unterraum des Vektorraums \(V\) ist, müssen wir die folgenden Bedingungen überprüfen:

• Nullvektor: Der Nullvektor muss in \(U\) enthalten sein.
• Abgeschlossenheit unter Addition: Für alle \(u_1, u_2 \in U\) muss \(u_1 + u_2 \in U\) sein.
• Abgeschlossenheit unter Skalarmultiplikation: Für jeden \(u \in U\) und jeden Skalar \(\alpha \in \mathbb{R}\) muss \(\alpha u \in U\) sein.

Überprüfen wir diese Bedingungen nacheinander:

1. Nullvektor

Der Nullvektor ist \((0,0)\). Da dieser in der Menge \(U\) enthalten ist, ist die erste Bedingung erfüllt.

2. Abgeschlossenheit unter Addition

Überprüfen wir die Addition von zwei beliebigen Vektoren aus \(U\):

• \((0,0) + (6,8) = (6,8) \in U\)
• \((0,0) + (-3,-4) = (-3,-4) \in U\)
• \((6,8) + (-3,-4) = (3,4)\)

Da \((3,4)\) nicht in \(U\) enthalten ist, ist die Abgeschlossenheit unter Addition nicht erfüllt.

3. Abgeschlossenheit unter Skalarmultiplikation

Überprüfen wir die Skalarmultiplikation für jeden Vektor in \(U\) und jedes \(\alpha \in \mathbb{R}\):

• \(\alpha (0,0) = (0,0) \in U\) für jedes \(\alpha \in \mathbb{R}\)
• \(\alpha (6,8) = (6\alpha, 8\alpha)\)
• \(\alpha (-3,-4) = (-3\alpha, -4\alpha)\)

Da \(\alpha\) jeder beliebige reelle Wert sein kann, sind \((6\alpha, 8\alpha)\) und \((-3\alpha, -4\alpha)\) im Allgemeinen nicht in \(U\) enthalten. Daher ist die Abgeschlossenheit unter Skalarmultiplikation ebenfalls nicht erfüllt.

Zusammenfassend können wir sagen, dass die Menge \(U = \{ (0,0), (6,8), (-3,-4) \}\) weder unter Addition noch unter Skalarmultiplikation abgeschlossen ist. Daher ist \(U\) kein Unterraum des Vektorraums \(V\).

b)

Finde eine Basis für den Unterraum \(U\). Zeige, dass die Vektoren dieser Basis linear unabhängig sind und den Raum aufspannen. Gib die Dimension des Unterraums \(U\) an.

Lösung:

Um eine Basis für den Unterraum \(U\) zu finden, müssen wir Vektoren in \(U\) bestimmen, die linear unabhängig sind und den Raum aufspannen. Betrachten wir zunächst die Menge \(U = \{ (0,0), (6,8), (-3,-4) \}\).

Wir stellen fest, dass der Nullvektor \((0,0)\) keine Rolle bei der Bestimmung der Basis spielt, da er keine zusätzlichen Informationen zur Spannweite des Raums hinzufügt. Daher betrachten wir nur die Vektoren \((6,8)\) und \((-3,-4)\).

1. Lineare Unabhängigkeit

Um zu überprüfen, ob die Vektoren \((6,8)\) und \((-3,-4)\) linear unabhängig sind, setzen wir an, dass es reelle Zahlen \(a\) und \(b\) gibt, so dass:

\[a(6,8) + b(-3,-4) = (0,0)\]

Dies ergibt das Gleichungssystem:

• \[6a - 3b = 0\]
• \[8a - 4b = 0\]

Um dieses Gleichungssystem zu lösen, bemerken wir, dass die zweite Gleichung eine Skalierung der ersten ist. Das bedeutet, dass beide Gleichungen im Wesentlichen dieselbe Information liefern. Tatsächlich ist der einzige Weg, diese Gleichungen zu erfüllen, wenn:

• \[a = 0\]
• \[b = 0\]

Da die einzige triviale Lösung existiert, sind die Vektoren \((6,8)\) und \((-3,-4)\) linear unabhängig.

2. Aufspannen des Raumes

Um zu zeigen, dass die Vektoren \((6,8)\) und \((-3,-4)\) den Raum \(U\) aufspannen, müssen wir überprüfen, ob sie jede Linearkombination in \(U\) darstellen können. Da \((6,8)\) und \((-3,-4)\) die einzigen relevanten Vektoren in \(U\) sind (der Nullvektor ausgenommen), folgt, dass jede Kombination dieser beiden Vektoren immer noch in \(U\) liegt.

Dimension des Unterraums

Da wir zwei linear unabhängige Vektoren gefunden haben, die den Raum aufspannen, ist die Dimension des Unterraums \(U\) 2.

Zusammenfassend: Eine mögliche Basis für den Unterraum \(U\) ist \(\{(6,8), (-3,-4)\}\). Diese Vektoren sind linear unabhängig und spannen den Raum \(U\) auf. Die Dimension des Unterraums \(U\) ist 2.

Aufgabe 2)

Gegeben sei die Matrix \[ A = \begin{pmatrix} 4 & 1 \ 2 & 3 \end{pmatrix} \] Bestimme die Eigenwerte und Eigenvektoren für diese Matrix und beurteile, ob sie diagonalisierbar ist.

a)

Teilaufgabe 1: Bestimme die Eigenwerte der Matrix \( A \), indem Du die charakteristische Gleichung \( \det(A - \lambda I) = 0 \) löst.

Lösung:

Teilaufgabe 1: Bestimme die Eigenwerte der Matrix \[ A = \begin{pmatrix} 4 & 1 \ 2 & 3 \end{pmatrix} \]indem Du die charakteristische Gleichung \( \det(A - \lambda I) = 0 \) löst.

• Zuerst bestimmen wir die Matrix \( A - \lambda I \), wobei \( I \) die Einheitsmatrix ist:

\[ A - \lambda I = \begin{pmatrix} 4 & 1 \ 2 & 3 \end{pmatrix} - \lambda \begin{pmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 - \lambda & 1 \ 2 & 3 - \lambda \end{pmatrix} \]

• Um die charakteristische Gleichung zu finden, berechnen wir die Determinante der Matrix \( A - \lambda I \):

\[ \det(A - \lambda I) = \left| \begin{array}{cc} 4 - \lambda & 1 \ 2 & 3 - \lambda \end{array} \right| \]

• Wir verwenden die Formel für die Determinante einer 2x2-Matrix: \( \det\begin{pmatrix} a & b \ c & d \end{pmatrix} = ad - bc \)

\[ \det(A - \lambda I) = (4 - \lambda)(3 - \lambda) - (1 \cdot 2) \]

• Wir multiplizieren die Terme aus:

\[ (4 - \lambda)(3 - \lambda) - 2 = 12 - 4\lambda - 3\lambda + \lambda^2 - 2 \]

• Vereinfachen der Gleichung ergibt:

\[ \lambda^2 - 7\lambda + 10 = 0 \]

• Nun lösen wir die quadratische Gleichung \( \lambda^2 - 7\lambda + 10 = 0 \), um die Eigenwerte zu finden. Wir verwenden die Mitternachtsformel (Lösungsformel für quadratische Gleichungen):

\[ \lambda_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

• In unserem Fall ist \( a = 1 \), \( b = -7 \), und \( c = 10 \):

\[ \lambda = \frac{7 \pm \sqrt{(-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10}}{2 \cdot 1} = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 40}}{2} = \frac{7 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{7 \pm 3}{2} \]

• Das ergibt:

\[ \lambda_1 = \frac{7 + 3}{2} = 5 \] \[ \lambda_2 = \frac{7 - 3}{2} = 2 \]

• Somit sind die Eigenwerte der Matrix \( A \):

• Eigenwerte: \( \lambda_1 = 5, \lambda_2 = 2 \)

b)

Teilaufgabe 2: Finde die Eigenvektoren, die zu den in Teilaufgabe 1 bestimmten Eigenwerten gehören. Berechne gegebenenfalls normierte Eigenvektoren.

Lösung:

Teilaufgabe 2: Finde die Eigenvektoren, die zu den in Teilaufgabe 1 bestimmten Eigenwerten gehören. Berechne gegebenenfalls normierte Eigenvektoren.

• Die Eigenwerte der Matrix \( A \) wurden in Teilaufgabe 1 bereits berechnet und sind \( \lambda_1 = 5 \) und \( \lambda_2 = 2 \).

• Für jeden Eigenwert \( \lambda \) berechnen wir die zugehörigen Eigenvektoren durch Lösen des Gleichungssystems \( (A - \lambda I) \mathbf{v} = 0 \).

• Berechnung des Eigenvektors für \( \lambda_1 = 5 \).

• Wir bilden zuerst die Matrix \( A - 5I \).

\[ A - 5I = \begin{pmatrix} 4 & 1 \ 2 & 3 \end{pmatrix} - 5\begin{pmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 - 5 & 1 \ 2 & 3 - 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 1 \ 2 & -2 \end{pmatrix} \]

• Nun lösen wir das Gleichungssystem \( (A - 5I) \mathbf{v} = 0 \).

• Dieses führt auf das Gleichungssystem:

\[ \begin{pmatrix} -1 & 1 \ 2 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} v_1 \ v_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \ 0 \end{pmatrix} \]

• Die erste Gleichung liefert die Bedingung: \( -v_1 + v_2 = 0 \) oder \( v_2 = v_1 \).

• Der zugehörige (Eigen-)Vektor kann daher als \( \mathbf{v}_1 = k \begin{pmatrix} 1 \ 1 \end{pmatrix} \) für eine beliebige Konstante \( k \) geschrieben werden.

• Um den normierten Eigenvektor zu finden, setzen wir \( k = \frac{1}{\sqrt{2}} \), sodass \( \mathbf{v}_1 \) normiert ist:

\[ \mathbf{v}_1 = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \ 1 \end{pmatrix} \]

• Berechnung des Eigenvektors für \( \lambda_2 = 2 \).

• Wir bilden zuerst die Matrix \( A - 2I \).

\[ A - 2I = \begin{pmatrix} 4 & 1 \ 2 & 3 \end{pmatrix} - 2\begin{pmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 - 2 & 1 \ 2 & 3 - 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \ 2 & 1 \end{pmatrix} \]

• Nun lösen wir das Gleichungssystem \( (A - 2I) \mathbf{v} = 0 \).

• Dieses führt auf das Gleichungssystem:

\[ \begin{pmatrix} 2 & 1 \ 2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} v_1 \ v_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \ 0 \end{pmatrix} \]

• Die erste Gleichung liefert die Bedingung: \( 2v_1 + v_2 = 0 \) oder \( v_2 = -2v_1 \).

• Der zugehörige (Eigen-)Vektor kann daher als \( \mathbf{v}_2 = k \begin{pmatrix} 1 \ -2 \end{pmatrix} \) für eine beliebige Konstante \( k \) geschrieben werden.

• Um den normierten Eigenvektor zu finden, setzen wir \( k = \frac{1}{\sqrt{5}} \), sodass \( \mathbf{v}_2 \) normiert ist:

\[ \mathbf{v}_2 = \frac{1}{\sqrt{5}} \begin{pmatrix} 1 \ -2 \end{pmatrix} \]

• Die Eigenvektoren der Matrix \( A \) sind also:

• Eigenvektoren:

• Für \( \lambda_1 = 5 \): \( \mathbf{v}_1 = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \ 1 \end{pmatrix} \)

• Für \( \lambda_2 = 2 \): \( \mathbf{v}_2 = \frac{1}{\sqrt{5}} \begin{pmatrix} 1 \ -2 \end{pmatrix} \)

d)

Teilaufgabe 4: Überprüfe Deine Resultate aus Teilaufgabe 3, indem Du nachweist, dass \( A = PDP^{-1} \).

Lösung:

Teilaufgabe 4: Überprüfe Deine Resultate aus Teilaufgabe 3, indem Du nachweist, dass \( A = P D P^{-1} \).

• In Teilaufgabe 3 haben wir die Diagonalmatrix \( D \) und die Transformationsmatrix \( P \) gefunden:

• \( D = \begin{pmatrix} 5 & 0 \ 0 & 2 \end{pmatrix} \)

• \( P = \begin{pmatrix} 1 & 1 \ 1 & -2 \end{pmatrix} \)

• Um zu überprüfen, ob \( A = P D P^{-1} \) gilt, müssen wir zunächst die Inverse von \( P \) berechnen.

• Zuerst die Determinante von \( P \):

\[ \det(P) = \left| \begin{matrix} 1 & 1 \ 1 & -2 \end{matrix} \right| = (1 \cdot (-2)) - (1 \cdot 1) = -2 - 1 = -3 \]

• Da die Determinante von \( P \) ungleich null ist, ist \( P \) invertierbar. Die Inverse von \( P \) berechnet sich wie folgt:

\[ P^{-1} = \frac{1}{\det(P)} \begin{pmatrix} -2 & -1 \ -1 & 1 \end{pmatrix} = \frac{1}{-3} \begin{pmatrix} -2 & -1 \ -1 & 1 \end{pmatrix} \]

• Somit ist

\[ P^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{2}{3} & \frac{1}{3} \ \frac{1}{3} & -\frac{1}{3} \end{pmatrix} \]

• Nun berechnen wir \( PDP^{-1} \):

\[ PDP^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \ 1 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 5 & 0 \ 0 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{2}{3} & \frac{1}{3} \ \frac{1}{3} & -\frac{1}{3} \end{pmatrix} \]

• Berechnen wir zuerst das Produkt \( P D \):

\[ P D = \begin{pmatrix} 1 & 1 \ 1 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 5 & 0 \ 0 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \cdot 5 + 1 \cdot 0 & 1 \cdot 0 + 1 \cdot 2 \ \ 1 \cdot 5 + (-2) \cdot 0 & 1 \cdot 0 + (-2) \cdot 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & 2 \ 5 & -4 \end{pmatrix} \]

• Dann berechnen wir \( (P D)P^{-1} \):

\[ (P D)P^{-1} = \begin{pmatrix} 5 & 2 \ 5 & -4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{2}{3} & \frac{1}{3} \ \frac{1}{3} & -\frac{1}{3} \end{pmatrix} \]

• Multiplizieren wir die beiden Matrizen:

\[ = \begin{pmatrix} 5 \cdot \frac{2}{3} + 2 \cdot \frac{1}{3} & 5 \cdot \frac{1}{3} + 2 \cdot (-\frac{1}{3}) \ \ 5 \cdot \frac{2}{3} + (-4) \cdot \frac{1}{3} & 5 \cdot \frac{1}{3} + (-4) \cdot (-\frac{1}{3}) \end{pmatrix} \]

• Berechnen der einzelnen Elemente:

\[ = \begin{pmatrix} \frac{10}{3} + \frac{2}{3} & \frac{5}{3} - \frac{2}{3} \ \ \frac{10}{3} - \frac{4}{3} & \frac{5}{3} + \frac{4}{3} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{12}{3} & \frac{3}{3} \ \ \frac{6}{3} & \frac{9}{3} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 1 \ 2 & 3 \end{pmatrix} = A \]

• Somit haben wir gezeigt:

\[ A = P D P^{-1} \]

• Das bedeutet, dass unsere Ergebnisse aus Teilaufgabe 3 korrekt sind.

Aufgabe 4)

In einem Versuch, Dreifachintegrale in der Praxis anzuwenden, werden die Studenten gebeten, das Volumen eines Körpers zu berechnen, der durch die Gleichungen \(z = x^2 + y^2\) und \(z = 4\) begrenzt wird. Sie sollen verschiedene Integrationsmethoden verwenden, um das Volumen korrekt zu bestimmen.

a)

Bestimme das Volumen des Körpers, der durch die Flächen \(z = x^2 + y^2\) und \(z = 4\) begrenzt ist. Verwende dazu die geeignete Integrationsmethode in Zylinderkoordinaten.

Lösung:

Berechnung des Volumens eines Körpers in Zylinderkoordinaten

Um das Volumen des Körpers zu berechnen, der durch die Gleichungen z = x^2 + y^2 und z = 4 begrenzt wird, verwenden wir Zylinderkoordinaten. Zylinderkoordinaten (\r, \theta, z) sind besonders geeignet für diese Aufgabe, da die Grenzen durch Rotationsparabel und Ebenen beschrieben werden.

Die Umrechnungsformeln zu Zylinderkoordinaten lauten:

• x = r * cos(θ)
• y = r * sin(θ)
• z = z

Die Grenzen für z, r und θ sind durch die Gleichungen des Körpers vorgegeben:

• Die untere Grenze für z ist z = x^2 + y^2 = r^2
• Die obere Grenze für z ist z = 4
• Der Radius r geht von 0 bis zur Schnittstelle der beiden Flächen, also r = 2 (da 4 = r^2)
• Der Winkel θ reicht von 0 bis 2π

Das Volumenintegral in Zylinderkoordinaten lautet:

\[ V = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{2} \int_{r^2}^{4} r \, dz \, dr \, d\theta \]

Erinnerung: Das zusätzliche r in der Integrationsgrenze berücksichtigt den Jacobian der Transformation in Zylinderkoordinaten.

Wir integrieren zuerst über z:

 \[ \int_{r^2}^{4} dz = [z]^{4}_{r^2} = 4 - r^2 \]

Nun fügen wir diese Grenze in das nächste Integral ein und integrieren über r:

\[ \int_{0}^{2} r (4 - r^2) \, dr = 4 \int_{0}^{2} r \, dr - \int_{0}^{2} r^3 \, dr \]

Für das erste Integral: \[ 4\int_{0}^{2} r \, dr = 4[ \frac{r^2}{2}]_{0}^{2} = 4 * 2 = 8\]

Für das zweite Integral: \[ \int_{0}^{2} r^3 \, dr = [ \frac{r^4}{4}]_{0}^{2} = \frac{16}{4} = 4 \]

Ergebnis für die Integration über r: \[ 8 - 4 = 4\]

Nun bleibt noch die Integration über den Winkel θ:

\[ \int_{0}^{2\pi} 4 \, d\theta = 4 * [\theta]_{0}^{2\pi} = 4 * 2\pi= 8 \pi \]

Daher ist das Volumen des Körpers: \[8\pi \]

Zusammenfassung:

Das Volumen des Körpers, der durch die Flächen \(z = x^2 + y^2\) und \(z = 4\) begrenzt wird, beträgt 8π Einheiten.

b)

Zum Lösen des obigen Problems kannst Du in Zylinderkoordinaten umformen. Ersetze dabei zunächst die Funktionen in den Zylinderkoordinaten. Was ergibt sich für die Grenzen des Integrals?

Lösung:

Bestimmung der Integrationsgrenzen in Zylinderkoordinaten

Um das Volumen des Körpers zu berechnen, der durch die Flächen z = x^2 + y^2 und z = 4 begrenzt wird, verwenden wir die Zylinderkoordinaten. Zunächst ersetzen wir die Funktionen durch ihre äquivalenten Formen in Zylinderkoordinaten:

• \(x = r \, \text{cos}(\theta)\)
• \(y = r \, \text{sin}(\theta)\)
• \(z = z\)

Durch die Umformung dieser Funktionen ergeben sich:

• Die Unterfläche \(z = x^2 + y^2\) wird zu \(z = r^2\)
• Die Oberfläche \(z = 4\) bleibt unverändert, da sie nur von z abhängt

Bestimmung der Integrationsgrenzen:

• \(z\)-Koordinate:Die \(z\)-Koordinate reicht von der unteren Fläche zur oberen Fläche:
• Untere Grenze: \(z = r^2\)
• Obere Grenze: \(z = 4\)
• \(r\)-Koordinate:Der Radius \(r\) reicht vom Ursprung bis zum Schnittpunkt der beiden Flächen:
• Untere Grenze: \(r = 0\)
• Obere Grenze: \(r = 2\) (da bei \(z = 4\) und \(z = r^2\) ist \(r = \sqrt{4} = 2\))
• \(\theta\)-Koordinate:Der Winkel \(\theta\) reicht einmal um die z-Achse:
• Untere Grenze: \(\theta = 0\)
• Obere Grenze: \(\theta = 2\pi\)

Zusammenfassung der Integrationsgrenzen:

• \(0 \leq r \leq 2\)
• \(0 \leq \theta \leq 2\pi\)
• \(r^2 \leq z \leq 4\)

Das Volumenintegral in Zylinderkoordinaten lautet daher:

\[ V = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{2} \int_{r^2}^{4} r \, dz \, dr \, d\theta \]

Diese Integrationsgrenzen geben an, wie das Triple-Integral über den gegebenen Bereich in Zylinderkoordinaten aufgelöst werden kann.

c)

Berechne das entsprechende dreifache Integral \( \iiint_V dV \) ausdrücklich. Nutze hierfür die Substitutionsregel und vereinfache den Integrand, um das Volumen des Körpers zu finden.

Lösung:

Berechnung des dreifachen Integrals zur Bestimmung des Volumens

Um das Volumen des Körpers, der durch die Flächen z = x^2 + y^2 und z = 4 begrenzt wird, zu berechnen, lösen wir das dreifache Integral \ \ \V d V \ \ \ \ in Zylinderkoordinaten. Zunächst haben wir bereits die Integrationsgrenzen und den Integranden in Zylinderkoordinaten bestimmt:

Integrationsgrenzen in Zylinderkoordinaten:

• \(0 \leq r \leq 2\)
• \(0 \leq \theta \leq 2\pi\)
• \(r^2 \leq z \leq 4\)

Integral in Zylinderkoordinaten:

Der Jacobian-Faktor für die Umwandlung in Zylinderkoordinaten ist \(r\). Daher lautet das Volumenintegral:

\[ V = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{2} \int_{r^2}^{4} r \, dz \, dr \, d\theta \]

Wir lösen das Integral Schritt für Schritt:

• Integration über z:

\[ \int_{r^2}^{4} dz = \, [z]_{r^2}^{4} = 4 - r^2 \]

Jetzt setzen wir dies in das nächste Integral ein:

• Integration über r:

\[ \int_{0}^{2} r (4 - r^2) \, dr \]

Wir trennen dies in zwei separate Integrale:

\[ 4 \int_{0}^{2} r \, dr - \int_{0}^{2} r^3 \, dr \]

Lösen wir diese beiden Integrale:

• Erstes Integral:

\[ 4 \int_{0}^{2} r \, dr = 4 \, [ \frac{r^2}{2}]_{0}^{2} = 4 \, ( \frac{4}{2}) = 4 \, * 2 = 8 \]

• Zweites Integral:

\[ \int_{0}^{2} r^3 \, dr = [ \frac{r^4}{4}]_{0}^{2} = \frac{16}{4} = 4 \]

Ergebnis der Integration über r:

\[ 8 - 4 = 4 \]

• Integration über \(\theta\):

\[ \int_{0}^{2\pi} 4 \, d\theta = 4 \, [\theta]_{0}^{2\pi} = 4 \, * 2\pi = 8\pi \]

Zusammenfassung:

Das Volumen des Körpers, der durch die Flächen \(z = x^2 + y^2\) und \(z = 4\) begrenzt wird, beträgt \(8\pi \) Einheiten.