Vertiefungsmodule - Cheatsheet.pdf

Einführung in die Gruppentheorie

Definition:

Einführung in mathematische Strukturen, die aus einer Menge und einer Verknüpfung bestehen, die bestimmte Axiome erfüllen.

Details:

• Gruppe: Menge G mit Verknüpfung \(\cdot\)
• Gruppeneigenschaften: Assoziativität \((a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)\); Existenz eines neutralen Elements \(e \in G\) mit \(a \cdot e = e \cdot a = a\); Existenz eines inversen Elements \(a^{-1} \in G\) mit \(a \cdot a^{-1} = a^{-1} \cdot a = e\)
• Abelsche Gruppe: \(a \cdot b = b \cdot a\)
• Untergruppe: Teilmenge H von G, die selbst eine Gruppe ist
• Homomorphismus: Abbildung \(\varphi: G \to H\) mit \(\varphi(a \cdot b) = \varphi(a) \cdot \varphi(b)\)
• Gruppenordnung: Anzahl der Elemente in G, notiert \(|G|\)

Körpertheorie und Galois-Theorie

Definition:

Theorie der Körper und ihrer Erweiterungen; Galois-Theorie verknüpft die Wurzeln von Polynomen mit Gruppenstrukturen

Details:

• Körper: Mengen mit Addition, Multiplikation, und deren Inversen, z.B. \(\textbf{Q}, \textbf{R}, \textbf{C} \)
• Körpererweiterung: Erweiterung \(F \) eines Körpers \(E \) (\(F/E\)), z.B. \(\textbf{C}/\textbf{R} \)
• Automorphismusgruppe: Gruppe der Automorphismen einer Erweiterung, die fix \(E\)-werte lässt
• Galois-Gruppe: Automorphismusgruppe einer normalen und separablen Körpererweiterung
• Fundamentalsatz der Galois-Theorie: Entsprechung zwischen Zwischenkörpern und Untergruppen der Galois-Gruppe
• Polynome: Zusammenhang zwischen Nullstellen und Galois-Gruppen

Maß- und Integrationstheorie

Definition:

Teil der Mathematik, der sich mit der Theorie der Maße und der Integration von Funktionen beschäftigt.

Details:

• Maß: Funktion \( \mu \), die Mengen aus einer σ-Algebra \( \mathcal{F} \) auf \( [0, \infty] \) abbildet.
• σ-Algebra: Menge \( \mathcal{F} \) von Teilmengen von \( X \), abgeschlossen unter Komplementen und abzählbaren Vereinigungen.
• Lebesgue-Maß: Standardmaß auf \( \mathbb{R}^n \), das Länge, Fläche, Volumen misst.
• Integrierbarkeit: Eine Funktion \( f \) ist integrierbar, wenn das Integral \( \int |f| \) endlich ist.
• Lebesgue-Integral: Verallgemeinerung des Riemann-Integrals; \( \int f d\mu \) mit Maß \( \mu \).

Verteilungstheorie und stochastische Prozesse

Definition:

Verteilungstheorie untersucht Eigenschaften und Verhalten von Zufallsvariablen und Verteilungen; stochastische Prozesse beschreiben zeitabhängige Zufallsvorgänge.

Details:

• Zufallsvariable: Funktion, die Ergebnis eines Zufallsexperiments auf reelle Zahlen abbildet
• Verteilungsfunktion: \( F_X(x) = P(X \leq x) \)
• Dichtefunktion: \( f_X(x) = \frac{d}{dx}F_X(x) \)
• Stochastischer Prozess: Familie von Zufallsvariablen \( \{X(t), t \in T \} \)
• Wichtige Prozesse: Wiener-Prozess, Poisson-Prozess

Numerische Lösungsverfahren für lineare Gleichungssysteme

Definition:

Numerische Lösungsverfahren dienen zur Lösung von Gleichungssystemen der Form \ AX = B, wobei numerische Methoden verwendet werden, um Genauigkeit und Effizienz zu maximieren.

Details:

• Direkte Verfahren: Finden exakte Lösungen in endlicher Zeit.
• Gauss-Elimination: Elimination von Unbekannten durch Zeilenoperationen.
• LU-Zerlegung: Zerlegung der Matrix A in eine untere (L) und obere (U) Dreiecksmatrix.
• Cholesky-Zerlegung: Spezialfall der LU-Zerlegung für symmetrische, positiv-definite Matrizen.
• Indirekte (iterative) Verfahren: Annäherung der Lösung durch schrittweise Iteration.
• Jacobi-Verfahren: Lösen von Gleichungen auf Basis einer Diagonalmatrix.
• Gauss-Seidel-Verfahren: Verbesserung des Jacobi-Verfahrens durch sofortiges Verwenden der neuesten Werte.
• Conjugate Gradient (CG): Effizient für große, dünnbesetzte Matrizen; verwendet orthogonale Suchrichtungen.

Interpolation und Approximation von Funktionen

Definition:

Interpolation: Funktion durch eine begrenzte Anzahl von Punkten so definieren, dass sie diese Punkte exakt trifft. Approximation: Annäherung einer Funktion durch einfachere Funktionen für eine gute Näherung.

Details:

• Klassische Interpolationsmethoden: Polynominterpolation, Splines
• Polynominterpolation: Lagrange-Formel, Newton-Formel
• Spline-Interpolation: natürliches Spline, kubisches Spline
• Näherung: Methode der kleinsten Quadrate, Fourier-Approximation
• Polynominterpolation: Gefahr von Runge-Phänomen bei hohen Graden
• Spline-Interpolation: Glattere Näherung mit niedrigeren Graden
• Kleinste Quadrate: Minimierung der Summe der quadrierten Abweichungen
• Fourier-Approximation: Zerlegung in trigonometrische Funktionen
• Intervall-Aufteilung: Treffe Zwischenwerte genau bei Interpolation, Annähern bei Approximation

Numerische Methoden für Differentialgleichungen

Definition:

Methoden zur numerischen Lösung von gewöhnlichen und partiellen Differentialgleichungen (ODEs und PDEs).

Details:

• Eulersches Verfahren
• Runge-Kutta-Verfahren
• Mehrschrittverfahren
• Finite-Differenzen-Methode
• Finite-Elemente-Methode
• Stabilität und Konvergenz