Vertiefungsmodule - Exam.pdf

Aufgabe 1)

Betrachte die Gruppe G mit der Verknüpfung \(\cdot\). Diese Gruppe erfüllt die folgenden Eigenschaften:

• Assoziativität: \( (a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c) \)
• Existenz eines neutralen Elements: \( e \in G \), so dass \( a \cdot e = e \cdot a = a \) für alle \( a \in G \)
• Existenz eines inversen Elements: Für jedes \( a \in G \) existiert \( a^{-1} \in G \), so dass \( a \cdot a^{-1} = a^{-1} \cdot a = e \)

b)

Sei \( \varphi: G \to H \) ein Gruppenhomomorphismus. Beweise die folgenden Eigenschaften des Homomorphismus:

• \( \varphi(e) = e_H \), wobei \( e_H \) das neutrale Element in \( H \) ist.
• \( \varphi(a^{-1}) = (\varphi(a))^{-1} \) für alle \( a \in G \).
• Wenn \( \varphi \) injektiv ist, dann gilt \( |G| \le |H| \).

Lösung:

Um die Eigenschaften des Gruppenhomomorphismus \(\varphi: G \to H\) zu beweisen, werden wir jede Behauptung nacheinander zeigen.

• Beweis, dass \( \varphi(e) = e_H\ ) gilt, wobei \(e_H\) das neutrale Element in \(H\) ist:
• Ein Gruppenhomomorphismus \( \varphi\ ) erfüllt die Bedingung, dass für alle \(a, b \in \ G \) gilt: \( \varphi(a \cdot b) = \varphi(a) \cdot \varphi(b) \ ).
• Da \( e \) das neutrale Element in \( G \) ist, gilt für alle \( a \) in \( G \), dass \( a \cdot e = a \).
• Einsetzen ergibt: \( \varphi(a \cdot e) = \varphi(a) \cdot \varphi(e) \ ).
• Da \(e\) neutral ist, folgt daraus: \( \varphi(a) = \varphi(a) \cdot \varphi(e) \ ).
• Multipliziert man beide Seiten dieser Gleichung mit dem inversen Element von \(\varphi(a)\) (nämlich \ (\varphi(a)^{-1}\)), erhält man: \( e_H = \varphi(e) \ ), wobei \(e_H\) das neutrale Element in \(H\) ist.
• Daher ist gezeigt, dass \( \varphi(e) = e_H\ ).
• Beweis, dass \( \varphi(a^{-1}) = (\varphi(a))^{-1} \ ) für alle \( a \in G \ ) gilt:
• Da \( \varphi \ ) ein Homomorphismus ist, gilt: \( \varphi(a \cdot a^{-1}) = \varphi(a) \cdot \varphi(a^{-1}) \ ).
• Da \( a \cdot a^{-1} = e \), haben wir: \( \varphi(e) = \varphi(a) \cdot \varphi(a^{-1}) \ ).
• Aus dem vorherigen Schritt wissen wir, dass \( \varphi(e) = e_H \ ). Somit ergibt sich:
• \( e_H = \varphi(a) \cdot \varphi(a^{-1}) \ ).
• Da \( e_H \) das neutrale Element in \( H \) ist, folgt daraus dass \( \varphi(a^{-1}) \) das Inverse von \(\varphi(a)\) ist: \( \varphi(a^{-1}) = (\varphi(a))^{-1} \ ).
• Beweis, dass wenn \( \varphi \ ) injektiv ist, dann gilt \( |G| \le |H| \ ) :
• Ein Homomorphismus \(\varphi\) ist injektiv, wenn \( \varphi(a) = \varphi(b) \) nur dann gilt, wenn \( a = b \ ) in \( G \ ) ist.
• Das bedeutet, dass keine zwei unterschiedlichen Elemente von \(G\) auf dasselbe Element in \( H \) abgebildet werden.
• Da jedes Element in \(G\) eindeutig auf ein Element in \( H \) abgebildet wird, folgt daraus, dass die Anzahl der Elemente in \( G \) (\(|G|\)) kleiner oder gleich der Anzahl der Elemente in \( H \) (\(|H|\)) ist.
• Daher gilt \( |G| \le |H| \ ).

c)

Berechne die Ordnung der Gruppe \( \mathbb{Z}_n \) und zeige, dass \( \mathbb{Z}_n \) eine abelsche Gruppe ist. Sei \( \mathbb{Z}_n \) die Menge der ganzen Zahlen modulo \( n \) mit der Addition als Gruppenoperation.

• Finde das neutrale Element und die inversen Elemente in \( \mathbb{Z}_n \).
• Zeige, dass die Gruppenoperation assoziativ und kommutativ ist.
• Berechne die Ordnung eines beliebigen Elements \( k \in \mathbb{Z}_n \).

Lösung:

Um die Eigenschaften der Gruppe \( \mathbb{Z}_n \) zu untersuchen, beginnen wir mit den geforderten Aufgaben:

• Finde das neutrale Element und die inversen Elemente in \(\mathbb{Z}_n\):
  • Das neutrale Element in \(\mathbb{Z}_n\) ist das Element, das zu jedem anderen Element addiert 0 ergibt. In diesem Fall ist das neutrale Element 0, weil \(a + 0 = a = 0 + a\) für jedes \(a \in \mathbb{Z}_n\).
  • Für ein beliebiges Element \(a \in \mathbb{Z}_n\), ist das inverse Element das Element, das zu \(a\) addiert 0 ergibt. Also suchen wir ein \(b\) in \( \mathbb{Z}_n \), so dass \(a + b \equiv 0 \ (\text{mod} \ n)\). Daraus folgt \(b = n - a\), da \(a + (n - a) = n \equiv 0 \ (\text{mod} \ n)\).
• Zeige, dass die Gruppenoperation assoziativ und kommutativ ist:
  • Assoziativität: Für alle \(a, b, c \in \mathbb{Z}_n\) betrachten wir \((a + b) + c\) und\(a + (b + c)\). Da Addition auf ganzen Zahlen assoziativ ist, gilt:
  • \( (a + b) + c = a + (b + c)\).
  • Kommutativität: Für alle \(a, b \in \mathbb{Z}_n\) gilt \(a + b = b + a\), weil Addition auf ganzen Zahlen kommutativ ist.
• Berechne die Ordnung eines beliebigen Elements \(k \in \mathbb{Z}_n\):
  • Die Ordnung eines Elements \(k \in \mathbb{Z}_n\) ist die kleinste natürliche Zahl \(m\), so dass \(mk \equiv 0 \ (\text{mod} \ n)\).
  • Sei \(d\) der größte gemeinsame Teiler von \(k\) und \(n\). Dann ist \(\frac{n}{d}\) die Ordnung von \(k\).

Zusammengefasst:- Das neutrale Element in \(\mathbb{Z}_n\) ist 0.- Das inverse Element zu \(a \in \mathbb{Z}_n\) ist \(n - a\).- Die Gruppenoperation in \(\mathbb{Z}_n\) ist sowohl assoziativ als auch kommutativ.- Die Ordnung eines Elements \(k\) in \(\mathbb{Z}_n\) ist \(\frac{n}{gcd(k, n)}\), wobei \(gcd\) der größte gemeinsame Teiler ist.

Aufgabe 2)

Betrachte die Körpererweiterung \( \textbf{C}/\textbf{R} \) und die Begriffe, die in der Körper- und Galois-Theorie eine Rolle spielen:

a)

(a) Zeige, dass \( \textbf{C}/\textbf{R} \) eine normale und separable Körpererweiterung ist. Erläutere, was dies bedeutet, und warum dies notwendig ist, um die Galois-Gruppe zu definieren.

Lösung:

Um zu zeigen, dass die Körpererweiterung \(\textbf{C}/\textbf{R}\) eine normale und separable Körpererweiterung ist, schauen wir uns die Definitionen und Eigenschaften dieser Begriffe an.

• Normale Körpererweiterung: Eine Erweiterung \(L/K\) ist normal, wenn sie der Zerfällungskörper eines Polynoms aus \(K[x]\) ist. Das bedeutet, alle Nullstellen dieses Polynoms liegen in \(L\). Im Fall von \(\textbf{C}/\textbf{R}\):
  • Betrachten wir das Polynom \(x^2 + 1\) in \(\textbf{R}[x]\). Es hat die Nullstellen \(i\) und \(-i\) (wobei \(i\) die imaginäre Einheit ist).
  • Da \(i\) und \(-i\) in \(\textbf{C}\) liegen, bedeutet dies, dass \(\textbf{C}\) der Zerfällungskörper dieses Polynoms über \(\textbf{R}\) ist. Daraus folgt, dass \(\textbf{C}/\textbf{R}\) eine normale Körpererweiterung ist.
• Separable Körpererweiterung: Eine Erweiterung \(L/K\) ist separabel, wenn das Minimalpolynom jedes Elements in \(L\) über \(K\) keine mehrfachen Nullstellen hat. Im Fall von \(\textbf{C}/\textbf{R}\):
  • Im Allgemeinen sind alle Polynome über einem Körper der Charakteristik 0 (wie \(\textbf{R}\)) separabel, da die Ableitungen dieser Polynome nicht verschwinden.
  • Da \(\textbf{R}\) die Charakteristik 0 hat, gilt dies auch für seine Erweiterung \(\textbf{C}\). Jede algebraische Erweiterung eines Körpers der Charakteristik 0 ist separabel.
  Aus diesen Gründen ist \(\textbf{C}/\textbf{R}\) eine separable Körpererweiterung.

Zusammenfassung:

• Da \(\textbf{C}/\textbf{R}\) sowohl eine normale als auch eine separable Körpererweiterung ist, ist es eine Galois-Erweiterung.
• Eine normale und separable Erweiterung ist erforderlich, damit die Galois-Gruppe definiert werden kann. Die Galois-Gruppe einer Erweiterung beschreibt die Symmetrien dieser Erweiterung in Bezug auf die Automorphismen, die den Grundkörper festhalten. Dies ist unter anderem wichtig für das Verständnis der Lösbarkeit von Gleichungen durch Radikale.

b)

(b) Bestimme die Automorphismusgruppe \( \text{Aut}(\textbf{C}/\textbf{R}) \). Wie viele Elemente hat diese Gruppe und wie wirken die Automorphismen auf \( \textbf{C} \) ?

Lösung:

Um die Automorphismusgruppe \( \text{Aut}(\textbf{C}/\textbf{R}) \) zu bestimmen, müssen wir die Automorphismen von \( \textbf{C} \) über \( \textbf{R} \) betrachten, d.h., die \( \textbf{R} \)-linearen Isomorphismen von \( \textbf{C} \), die \( \textbf{R} \) festhalten.

• Sei \( \tau \in \text{Aut}(\textbf{C}/\textbf{R}) \). Dann muss \( \tau \) in der Form \( \tau(z) = az \) für ein \( a \in \textbf{C} \) sein.
• Da \( \tau \) \( \textbf{R} \) festhält, gilt \( \tau(r) = r \) für alle \( r \in \textbf{R} \). Der einzige nicht-triviale Automorphismus von \( \textbf{C} \) auf \( \textbf{R} \) ist die komplexe Konjugation.

Bestimmung der Elemente:

• Die Identität: \( \text{id}(z) = z \) für alle \( z \in \textbf{C} \)
• Komplexe Konjugation: \( \tau(z) = \bar{z} \) für alle \( z \in \textbf{C} \), wobei \( \bar{z} \) die konjugierte komplexe Zahl von \( z \) ist.

Anzahl der Elemente: Die Automorphismusgruppe \( \text{Aut}(\textbf{C}/\textbf{R}) \) hat genau 2 Elemente: \( \text{id} \) und die komplexe Konjugation \( \tau \).

Wirkung der Automorphismen auf \( \textbf{C} \):

• \( \text{id}(z) = z \): Die Identität wirkt trivial auf alle Elemente von \( \textbf{C} \). Das bedeutet, dass jedes Element \( z \in \textbf{C} \) auf sich selbst abgebildet wird.
• \( \tau(z) = \bar{z} \): Die komplexe Konjugation vertauscht das Vorzeichen des Imaginärteils eines komplexen Elements. Beispielsweise wird \( z = a + bi \) zu \( \bar{z} = a - bi \) konjugiert, wobei \( a, b \in \textbf{R} \).

c)

(c) Sei \( f(x) \) ein Polynom über \( \textbf{R} \), das in \( \textbf{C} \) vollständig zerlegt. Zeige, dass die Galois-Gruppe von \( f(x) \) isomorph zu einer Untergruppe von \( \text{Aut}(\textbf{C}/\textbf{R}) \) ist. Verwende dafür den Fundamentalsatz der Galois-Theorie und erläutere die entsprechenden Zuordnungen zwischen Untergruppen und Zwischenkörpern.

Lösung:

Um zu zeigen, dass die Galois-Gruppe eines Polynoms \( f(x) \) über \( \textbf{R} \), das in \( \textbf{C} \) vollständig zerlegt ist, isomorph zu einer Untergruppe von \( \text{Aut}(\textbf{C}/\textbf{R}) \) ist, müssen wir den Fundamentalsatz der Galois-Theorie verwenden. Lassen Sie uns die Schritte nacheinander durchgehen.

Fundamentalsatz der Galois-Theorie: Wenn \( K \subseteq L \) eine Galois-Erweiterung ist, dann gibt es eine Bijektion zwischen den Zwischenkörpern von \( L/K \) und den Untergruppen der Galois-Gruppe \( \text{Gal}(L/K) \). Diese Bijektion ordnet jedem Zwischenkörper \( E \) die Gruppe der Automorphismen zu, die Elemente von \( E \) fixieren.

Anwendung auf das gegebene Problem:

• Sei \( f(x) \) ein Polynom in \( \textbf{R}[x] \), das in \( \textbf{C} \) vollständig zerlegt, d.h. alle Nullstellen von \( f(x) \) liegen in \( \textbf{C} \). Sei \( E \) der Zerfällungskörper von \( f(x) \) über \( \textbf{R} \). Da \( \textbf{C} \) algebraisch abgeschlossen ist, enthält \( \textbf{C} \) alle Nullstellen von \( f(x) \), und somit gilt \( E \subseteq \textbf{C} \).
• Die Galois-Gruppe von \( f(x) \) über \( \textbf{R} \) ist \( \text{Gal}(E/\textbf{R}) \). Diese Gruppe besteht aus den Automorphismen von \( E \), die \( \textbf{R} \) fixieren.
• Da \( E \subseteq \textbf{C} \), sind die Elemente von \( \text{Gal}(E/\textbf{R}) \) auch Automorphismen von \( \textbf{C} \), die \( \textbf{R} \) fixieren. Das bedeutet, dass \( \text{Gal}(E/\textbf{R}) \) eine Untergruppe von \( \text{Aut}(\textbf{C}/\textbf{R}) \) ist.

Zuordnung zwischen Untergruppen und Zwischenkörpern:

• Zwischenkörper \( E \), die durch die Galois-Gruppe \( \text{Gal}(E/\textbf{R}) \) fixiert werden, entsprechen den Untergruppen der Galois-Gruppe. Angenommen, \( E \) ist ein Zwischenkörper zwischen \( \textbf{R} \) und \( \textbf{C} \), d.h., \( \textbf{R} \subseteq E \subseteq \textbf{C} \).
• Jede Zwischenkörper \( E \) kann dabei als Fixkörper der entsprechenden Untergruppe \( H \subseteq \text{Aut}(\textbf{C}/\textbf{R}) \) betrachtet werden: \( E = \{ x \in \textbf{C} \mid \sigma(x) = x \text{ für alle } \sigma \in H \} \).
• Somit gibt es eine Bijektion zwischen den Untergruppen von \( \text{Aut}(\textbf{C}/\textbf{R}) \) und den möglichen Zwischenkörpern \( E \), die \( \text{Gal}(E/\textbf{R}) \) bilden.

Zusammenfassend zeigt dies, dass die Galois-Gruppe von \( f(x) \) über \( \textbf{R} \), die die Symmetrien der Nullstellen von \( f(x) \) beschreibt, isomorph zu einer Untergruppe von \( \text{Aut}(\textbf{C}/\textbf{R}) \) ist.

Aufgabe 3)

Maß- und Integrationstheorie:Die Maß- und Integrationstheorie ist ein Teilgebiet der Mathematik, das sich mit der Theorie der Maße und der Integration von Funktionen beschäftigt. Die Grundkonzepte umfassen das Maß, das Lebesgue-Maß und das Lebesgue-Integral. Ein Maß ist eine Funktion, \(\mu\), die Mengen aus einer σ-Algebra \(\mathcal{F}\) auf \([0, \infty]\) abbildet. Eine σ-Algebra \(\mathcal{F}\) ist eine Menge von Teilmengen von \(X\), die abgeschlossen unter Komplementen und abzählbaren Vereinigungen ist. Das Lebesgue-Maß ist das Standardmaß auf \(\mathbb{R}^n\), das Länge, Fläche und Volumen misst. Eine Funktion \(f\) ist integrierbar, wenn das Integral \(\int |f|\) endlich ist. Das Lebesgue-Integral \(\int f d\mu\) mit Maß \(\mu\) verallgemeinert das Riemann-Integral.Basierend auf diesen Konzepten sind folgende Aufgaben zu lösen.

a)

• Sei \(X = [0, 1]\) und \( \mathcal{F} \) die σ-Algebra der Lebesgue-messbaren Mengen auf \( X \). Zeige, dass das Lebesgue-Maß \( \mu \) auf \( X \) definiert ist, indem Du nachweist, dass es die Bedingungen eines Maßes erfüllt.

Lösung:

Aufgabe:Sei \(X = [0, 1]\) und \( \mathcal{F} \) die σ-Algebra der Lebesgue-messbaren Mengen auf \( X \). Zeige, dass das Lebesgue-Maß \( \mu \) auf \( X \) definiert ist, indem Du nachweist, dass es die Bedingungen eines Maßes erfüllt.Lösung:

• Als Erstes müssen wir klären, was die Bedingungen eines Maßes sind. Ein Maß \( \mu \) auf einer σ-Algebra \( \mathcal{F} \) über einer Menge \( X \) ist eine Funktion \( \mu : \mathcal{F} \to [0, \infty] \), die folgende Eigenschaften erfüllt:

• 1. \( \mu(\emptyset) = 0 \) (Das Maß der leeren Menge ist Null.)

• 2. \( \mu \) ist σ-additiv, das heißt für jede abzählbare Familie \( \{A_i\}_{i \in \mathbb{N}} \) von paarweise disjunkten Mengen aus \( \mathcal{F} \) gilt:\[ \mu\left( \bigcup_{i=1}^{\infty} A_i \right) = \sum_{i=1}^{\infty} \mu(A_i) \]

• Wir zeigen nun, dass das Lebesgue-Maß diese beiden Bedingungen auf \(X = [0, 1]\) erfüllt.

• 1. Eigenschaft: \( \mu(\emptyset) = 0 \)

• Die leere Menge hat per Definition das Maß Null. Das heißt, \( \mu(\emptyset) = 0 \).

• 2. Eigenschaft: σ-Additivität

• Sei \(\{A_i\}_{i \in \mathbb{N}}\) eine abzählbare Familie von paarweise disjunkten Mengen in \(X = [0, 1]\) und \(\bigcup_{i=1}^{\infty} A_i\) die Vereinigung dieser Mengen. Wir müssen zeigen, dass:

• \[ \mu\left( \bigcup_{i=1}^{\infty} A_i \right) = \sum_{i=1}^{\infty} \mu(A_i) \]

• Da das Lebesgue-Maß auf \([0, 1]\) definiert ist und σ-additiv ist, gilt per Definition des Lebesgue-Maßes:

• \[ \mu\left( \bigcup_{i=1}^{\infty} A_i \right) = \sum_{i=1}^{\infty} \mu(A_i) \]

• Dies zeigt, dass das Lebesgue-Maß \(\mu\) auf \(X = [0, 1]\) die Eigenschaft der σ-Additivität erfüllt.

• Da beide Bedingungen erfüllt sind, ist das Lebesgue-Maß \(\mu\) auf \(X = [0, 1]\) tatsächlich ein Maß.

b)

• Sei \( f: \mathbb{R} \to [0, \infty]\) eine Lebesgue-integrierbare Funktion. Zeige, dass \( f \) integrierbar ist, indem Du beweist, dass das Integral \( \int |f| d\mu \ \lt \infty\).

Lösung:

Aufgabe:Sei \( f: \mathbb{R} \to [0, \infty] \) eine Lebesgue-integrierbare Funktion. Zeige, dass \( f \) integrierbar ist, indem Du beweist, dass das Integral \( \int |f| d\mu \lt \infty \).Lösung:

• Um zu zeigen, dass eine Funktion \( f \) Lebesgue-integrierbar ist, müssen wir beweisen, dass das Integral \( \int |f| d\mu \) endlich ist. Dazu gehen wir Schritt für Schritt vor:

• 1. Definition der integrierbaren Funktion:

• Eine Funktion \( f: \mathbb{R} \to [0, \infty] \) ist Lebesgue-integrierbar, wenn das Integral \( \int |f| d\mu \) endlich ist, das heißt:

• \[ \int_{\mathbb{R}} |f(x)| d\mu(x) < \infty \]

• 2. Voraussetzung: Lebesgue-Integrierbarkeit

• Es ist gegeben, dass \( f \) Lebesgue-integrierbar ist. Dies bedeutet per Definition, dass:

• \[ \int |f| d\mu < \infty \]

• 3. Schlussfolgerung:

• Da die Funktion \( f \) Lebesgue-integrierbar ist und wir die Definition der Lebesgue-Integrierbarkeit bereits erfüllt haben, ist \( \int |f| d\mu \) endlich.
• Zusammenfassend bedeutet dies, dass wir lediglich die Definition der integrierbaren Funktion verwendet haben. Da \( f \) Lebesgue-integrierbar ist, ist \( \int |f| d\mu \) per Definition endlich:
• \[ \int_{\mathbb{R}} |f(x)| d\mu(x) < \infty \]

c)

• Betrachte die Funktion \( f(x) = x^2\) auf dem Intervall \( [0, 1]\). Berechne das Lebesgue-Integral \( \int_{0}^{1} x^2 dx \). Vergleiche das Ergebnis mit dem entsprechenden Riemann-Integral, und erläutere eventuelle Unterschiede.

Lösung:

Aufgabe:Betrachte die Funktion \( f(x) = x^2\) auf dem Intervall \( [0, 1]\). Berechne das Lebesgue-Integral \( \int_{0}^{1} x^2 dx \). Vergleiche das Ergebnis mit dem entsprechenden Riemann-Integral, und erläutere eventuelle Unterschiede.Lösung:

• Das Lebesgue-Integral und das Riemann-Integral ergeben für bestimmte Funktionen auf bestimmten Intervallen dasselbe Ergebnis. Für die Funktion \( f(x) = x^2 \) auf dem Intervall \( [0, 1] \) ist dies der Fall.
• Berechnung des Integrals:
• Wir beginnen mit der Berechnung des Lebesgue-Integrals \( \int_{0}^{1} x^2 d\mu(x) \). Da es sich bei der betrachteten Funktion \( f(x) = x^2 \) um eine stetige Funktion handelt, die auf einem endlichen Intervall integriert wird, können wir die gleichen Schritte wie bei der Berechnung des Riemann-Integrals anwenden.
• Schritt 1: Berechnung des Riemann-Integrals
• Um das Riemann-Integral zu berechnen, bestimmen wir die Stammfunktion von \( x^2 \):
• \[ \int x^2 dx = \frac{x^3}{3} + C \]
• Nun setzen wir die Intervallgrenzen ein:
• \[ \left. \frac{x^3}{3} \right|_{0}^{1} = \frac{1^3}{3} - \frac{0^3}{3} = \frac{1}{3} \]
• Daher ist das Riemann-Integral:
• \[ \int_{0}^{1} x^2 dx = \frac{1}{3} \]
• Schritt 2: Vergleich mit dem Lebesgue-Integral
• Da die Funktion \( x^2 \) auf dem Intervall \( [0, 1] \) Lebesgue-integrierbar ist und das Riemann-Integral dieses Intervalls existiert, ist das Lebesgue-Integral identisch mit dem Riemann-Integral. Somit ist das Ergebnis:
• \[ \int_{0}^{1} x^2 d\mu(x) = \int_{0}^{1} x^2 dx = \frac{1}{3} \]
• Unterschiede:
• Im vorliegenden Fall gibt es keinen Unterschied zwischen dem Lebesgue-Integral und dem Riemann-Integral, da beide Integrationstechniken für die gegebenen Funktion und Intervall dasselbe Ergebnis liefern. Allgemein kann es jedoch Unterschiede geben, insbesondere wenn die Funktion stark oszilliert oder Diskontinuitäten aufweist, da das Lebesgue-Integral flexibler im Umgang mit solchen Funktionen ist.

Aufgabe 4)

Du untersuchst einen stochastischen Prozess, der durch eine Familie von Zufallsvariablen \ ( { X(t), \, t \in \mathbb{R} \} \ ) beschrieben wird. Die Zufallsvariable steht im Kontext der Verteilungstheorie, zur Beschreibung ihrer Eigenschaften stehen Dir Mittel wie die Verteilungsfunktion und die Dichtefunktion zur Verfügung. Ein besonderer Fall dieses Prozesses ist der Wiener-Prozess (oder Brownsche Bewegung), der einen wichtigen stochastischen Prozess darstellt und der in der Physik und Finanzmathematik eine große Rolle spielt.

a)

Zeige, dass für eine Zufallsvariable X die Verteilungsfunktion \( F_X(x) \) die Eigenschaften

• \( \lim_{x \to -\infty} F_X(x) = 0 \)
• \( \lim_{x \to \infty} F_X(x) = 1 \)
• \( F_X \) ist monoton wachsend
• \( F_X \) ist rechtsseitig stetig
besitzt.

Lösung:

Um die Eigenschaften der Verteilungsfunktion einer Zufallsvariable zu zeigen, betrachten wir die Definition der Verteilungsfunktion \(F_X(x)\). Diese ist definiert als:

• \(F_X(x) = P(X \leq x)\)

Nun überprüfen wir die gewünschten Eigenschaften:

1. Grenzwerteigenschaft 1: \(\lim_{x \to -\infty} F_X(x) = 0\)

   Wenn \(x\) sehr klein wird (d.h. \(x\) geht gegen \(-\infty\)), dann wird die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable \(X\) kleiner oder gleich \(x\) ist, gegen Null gehen. Formal können wir dies schreiben als:

   • \(\lim_{x \to -\infty} P(X \leq x) = 0\)

   Dies bedeutet, dass die Verteilungsfunktion \(F_X(x)\) gegen 0 konvergiert, wenn \(x\) gegen \(-\infty\) geht.

2. Grenzwerteigenschaft 2: \(\lim_{x \to \infty} F_X(x) = 1\)

   Wenn \(x\) sehr groß wird (d.h. \(x\) geht gegen \(\infty\)), dann wird die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable \(X\) kleiner oder gleich \(x\) ist, gegen 1 gehen. Formal können wir dies schreiben als:

   • \(\lim_{x \to \infty} P(X \leq x) = 1\)

   Dies bedeutet, dass die Verteilungsfunktion \(F_X(x)\) gegen 1 konvergiert, wenn \(x\) gegen \(\infty\) geht.

3. Monotone Eigenschaft:

   Die Verteilungsfunktion \(F_X\) ist immer monoton wachsend. Das bedeutet:

   • Für \(x_1 < x_2\) gilt \(F_X(x_1) \leq F_X(x_2)\)

   Das folgt direkt aus der Definition der Verteilungsfunktion, da die Wahrscheinlichkeit, dass \(X\) kleiner oder gleich einem größeren Wert \(x_2\) ist, niemals kleiner sein kann als die Wahrscheinlichkeit, dass \(X\) kleiner oder gleich einem kleineren Wert \(x_1\) ist.

4. Rechtsseitige Stetigkeit:

   Die Verteilungsfunktion \(F_X\) ist rechtsseitig stetig. Das bedeutet:

   • \(\lim_{{x \to c^+}} F_X(x) = F_X(c)\)

   Diese Eigenschaft sagt aus, dass der Wert der Verteilungsfunktion an einer Stelle \(c\) gleich dem Grenzwert der Funktionswerte rechts von \(c\) ist.

b)

Berechne die Dichtefunktion \( f_X(x) \) einer Zufallsvariable X, deren Verteilungsfunktion gegeben ist durch \( F_X(x) = \begin{cases} 0 & \text{für} \; x < 0 \ 1-x^{-2} & \text{für} \; x \geq 1 \ \end{cases} \) (Hinweis: Beachte die Stetigkeit und Differenzierbarkeit der Funktion)

Lösung:

Um die Dichtefunktion \(f_X(x)\) einer Zufallsvariable \(X\) zu berechnen, deren Verteilungsfunktion \(F_X(x)\) gegeben ist, verwenden wir die Definition der Dichtefunktion als Ableitung der Verteilungsfunktion:

• \(f_X(x) = \frac{d}{dx} F_X(x)\)

Gegeben ist die Verteilungsfunktion:

\(F_X(x) = \begin{cases} 0 & \text{für} \, x < 0\ 1 - x^{-2} & \text{für} \, x \geq 1 \ \end{cases}\)

Wir müssen sicherstellen, dass die Funktion in allen relevanten Bereichen stetig und differenzierbar ist:

1. Für \(x < 0\):\(F_X(x) = 0\), da \(F_X(x)\) eine Konstante ist, ist die Ableitung:
   • \(f_X(x) = \frac{d}{dx} [0] = 0\)
2. Für \(x \, \geq 1\):\(F_X(x) = 1 - x^{-2}\)Die Ableitung dieser Funktion ist:
   • \(f_X(x) = \frac{d}{dx} \left[ 1 - x^{-2} \right] = 0 - \left(-2x^{-3}\right) = 2x^{-3}\)

Für den Bereich \(0 \, \leq \, x \, < \, 1\) ist die Verteilungsfunktion nicht explizit gegeben. Um die Stetigkeit der Funktion zu wahren, müsste \(F_X(x)\) in diesem Übergangsbereich definiert werden.

Für unsere Berechnungen ergeben sich somit:

• Bereich: \( x < 0 \)\(f_X(x) = 0\)
• Bereich: \( x \, \geq 1 \)\(f_X(x) = 2x^{-3}\)

Somit erhältst Du die Dichtefunktion:

• \(f_X(x) = \begin{cases} 0 & \text{für} \, x < 0\ 2x^{-3} & \text{für} \, x \geq 1 \end{cases}\)

c)

Ein Wiener-Prozess \(W(t)\) hat folgende Eigenschaften: W(0)=0, W(t) hat unabhängige Zuwächse, und die Zuwächse sind normalverteilt mit Mittelwert 0 und Varianz t. Begründe, dass für jeden Zeitpunkt t \ \in \ \mathbb{R}_{+},

• der Erwartungswert von W(t) gleich 0 ist.
• die Varianz von W(t) gleich t ist.

Lösung:

Ein Wiener-Prozess (oder Brownsche Bewegung) \(W(t)\) hat die folgenden Eigenschaften:

• \(W(0) = 0\)
• \(W(t)\) hat unabhängige Zuwächse
• Die Zuwächse sind normalverteilt mit Mittelwert 0 und Varianz \(t\)

Um die geforderten Eigenschaften zu begründen, betrachten wir diese Details:

1. Erwartungswert von \(W(t)\):

   Da \(W(t)\) die Zuwächse einer Normalverteilung mit Mittelwert Null und Varianz \(t\) hat, können wir den Erwartungswert direkt aus der Definition des Wiener-Prozesses ableiten:

   • \(E[W(t)] = E[W(t) - W(0)] + E[W(0)]\)
   • Da \(W(t) - W(0)\) die Änderung des Wiener-Prozesses von 0 bis \(t\) ist, und \(W(0) = 0\), folgt:
   • \(E[W(t)] = E[W(t) - 0] + 0\) = E[W(t)]
   • Wegen der unabhängigen Zuwächse und der Normalverteilung mit Mittelwert 0:
   • \(E[W(t)] = 0\)
2. Varianz von \(W(t)\):

   Da \(W(t)\) eine Normalverteilung mit Mittelwert Null und Varianz \(t\) hat, können wir die Varianz wie folgt berechnen:

   • Die Varianz einer normalverteilten Zufallsvariablen \(X\), d.h. Var\([X]\), bei der \(X \,\sim\, N(\mu, \sigma^2)\) ist: \(\sigma^2\)
   • Für \(W(t)\) haben wir \(\mu = 0\) und \(\sigma^2 = t\)
   • Somit gilt: \(\text{Var}[W(t)] = t\)

d)

Betrachte einen Poisson-Prozess \(N(t)\) mit Intensität \( \lambda > 0 \). Zeige, dass die Wahrscheinlichkeit, dass keine Ereignisse im Intervall [0, t] auftreten, durch \( P(N(t) = 0) = e^{-\lambda t} \) gegeben ist.

Lösung:

Ein Poisson-Prozess \(N(t)\) mit Intensität \( \lambda > 0 \) ist ein stochastischer Prozess, der die Anzahl der Ereignisse in einem festen Zeitintervall beschreibt. Für den Poisson-Prozess gilt, dass die Wahrscheinlichkeit, dass keine Ereignisse im Intervall \([0, t]\) auftreten, durch \(P(N(t) = 0)\) gegeben ist. Wir müssen nun zeigen, dass:

• \( P(N(t) = 0) = e^{-\lambda t} \)

Der Poisson-Prozess mit Intensität \(\lambda\) hat die Eigenschaft, dass die Anzahl der Ereignisse in einem Zeitintervall der Länge \(t\) einer Poisson-Verteilung mit dem Parameter \(\lambda t\) folgt. Das bedeutet:

• \( N(t) \sim \text{Poisson}(\lambda t) \)

Für eine Poisson-verteilte Zufallsvariable \(N(t)\) mit Parameter \(\lambda t\) ist die Wahrscheinlichkeit, dass genau \(k\) Ereignisse auftreten, gegeben durch:

• \( P(N(t) = k) = \frac{(\lambda t)^k e^{-\lambda t}}{k!} \)

Wir betrachten den Fall, dass keine Ereignisse im Intervall \([0, t]\) auftreten. Das entspricht \(k = 0\).

• \( P(N(t) = 0) = \frac{(\lambda t)^0 e^{-\lambda t}}{0!} \)

Da \(0! = 1\) und \((\lambda t)^0 = 1\), vereinfacht sich der Ausdruck zu:

• \( P(N(t) = 0) = \frac{1 \cdot e^{-\lambda t}}{1} = e^{-\lambda t} \)

Damit haben wir gezeigt, dass die Wahrscheinlichkeit, dass keine Ereignisse im Intervall \([0, t]\) auftreten, durch

• \( P(N(t) = 0) = e^{-\lambda t} \)

gegeben ist.