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Algebra - Cheatsheet

Primfaktorzerlegung in den ganzen Zahlen Definition: Zerlegung einer ganzen Zahl in ein Produkt aus Primzahlen. Details: Jede ganze Zahl größer als 1 hat eine eindeutige Primfaktorzerlegung. Sei n eine ganze Zahl, dann gibt es Primzahlen p1, p2, ..., pk und positive ganze Zahlen α1, α2, ..., αk, sodass gilt: Beispiel: 60 = 2^2 * 3 * 5 Die Eindeutigkeit der Zerlegung folgt aus dem Fundamentalsatz d...

Primfaktorzerlegung in den ganzen Zahlen

Definition:

Zerlegung einer ganzen Zahl in ein Produkt aus Primzahlen.

Details:

Jede ganze Zahl größer als 1 hat eine eindeutige Primfaktorzerlegung.
Sei n eine ganze Zahl, dann gibt es Primzahlen p1, p2, ..., pk und positive ganze Zahlen α1, α2, ..., αk, sodass gilt:
Beispiel: 60 = 2^2 * 3 * 5
Die Eindeutigkeit der Zerlegung folgt aus dem Fundamentalsatz der Arithmetik.

Homomorphismen und Isomorphismen

Definition:

Homomorphismus: Struktur erhaltende Abbildung zwischen zwei algebraischen Strukturen; Isomorphismus: Bijektiver Homomorphismus.

Details:

Homomorphismus: Abbildung $f : (G, ∙) \to (H, ∙)$ mit $f (a ∙ b) = f (a) ∙ f (b)$ für alle $a, b \in G$ .
Isomorphismus: Bijektiver Homomorphismus, d.h., es existiert eine Umkehrabbildung $f^{- 1}$ , die ebenfalls ein Homomorphismus ist.
Beispiel: Gruppen, Ringe, Körper.
Eigenschaften: Strukturtreue Abbildungen bewahren Operationen und Identitäten.

Gaußscher Eliminationsalgorithmus

Definition:

Vereinfachung von linearen Gleichungssystemen durch Umformung zur Stufenform zur späteren Rücksubstitution.

Details:

Ergebnis: Dreiecksform der Matrix.
Schritte: Vorwärtselimination, Rücksubstitution.
Vorwärtselimination: Führende Nullen unterhalb der Pivot-Elemente erzeugen.
Rücksubstitution: Von unten nach oben lösen.
Matrixdarstellung: Ausgangs- und Zielmatrizen in Zeilenstufenform.

Inverse Matrizen

Definition:

Matrix A ist eine invertierbare (nichtsinguläre) Matrix, wenn es eine Matrix B gibt, sodass AB = BA = I (Einheitsmatrix).

Details:

Nur quadratische Matrizen haben Inverse.
Eine Matrix A ist invertierbar, wenn Det(A) ≠ 0.
Die Inverse A^-1 kann durch Gauß-Jordan-Elimination bestimmt werden.
(A^-1)^-1 = A
(AB)^-1 = B^-1A^-1

Fundamentalsatz der Algebra

Definition:

Fundamentalsatz der Algebra: Jede nicht-konstante polynomialische Gleichung mit komplexen Koeffizienten hat mindestens eine komplexe Lösung.

Details:

Polynom:
Form:
Jede Nullstelle

Eigenwerte und Eigenvektoren

Definition:

Eigenschaften von Matrizen, bei denen ein Vektor nur um einen Skalar skaliert wird.

Details:

Eigensystem: Ax = λx, wobei A eine Matrix, x ein Eigenvektor und λ ein Eigenwert ist.
Eigenwerte: Lösungen der Charakteristischen Gleichung det(A - λI) = 0
Eigenvektoren: Lösungen des Gleichungssystems (A - λI)x = 0
Jede Matrix hat bis zu n Eigenwerte, wobei n die Dimension der Matrix ist.

Lineare Unabhängigkeit

Definition:

Ein Vektorsystem ist linear unabhängig, wenn keine Vektoren als Linearkombination der anderen dargestellt werden können.

Details:

Gegeben sei ein Vektorraum V mit Vektoren $v_{1}, v_{2}, v_{3}, . . ., v_{n}$ .
Die Vektoren $v_{1}, v_{2}, v_{3}, . . ., v_{n}$ sind linear unabhängig, wenn die Gleichung $0 = c_{1} v_{1} + c_{2} v_{2} + . . . + c_{n} v_{n}$ nur die triviale Lösung $c_{1} = c_{2} = . . . = c_{n} = 0$ hat.
Linear abhängige Vektoren erfüllen obige Gleichung auch für $c_{1}, c_{2}, . . ., c_{n}$ , die nicht alle null sind.

Lineare Abbildungen und deren Matrizen

Definition:

Lineare Abbildungen: Abbildungen zwischen Vektorräumen, die Addition und Skalarenmultiplikation respektieren. Matrizen: Repräsentation linearer Abbildungen.

Details:

Definition: Eine Abbildung $f : V \to W$ ist linear, wenn $f (u + v) = f (u) + f (v)$ und $f (λ v) = λ f (v)$ für alle $u, v \in V$ und $λ \in K$ .
Matrixdarstellung: Jeder linearen Abbildung $f : K^{n} \to K^{m}$ entspricht eine eindeutige Matrix $A \in K^{m \times n}$ .
Matrix-Vektor-Multiplikation: $f (v) = A \cdot v$ für $v \in K^{n}$ .
Darstellung: Wahl von Basis $B_{V}$ für $V$ und $B_{W}$ für $W$ liefert Matrixdarstellung $A$ über $(B_{V}, B_{W})$ .
Komposition: Matrixdarstellung von $g \circ f$ ist $B \cdot A$ , wobei $A$ und $B$ die Matrixdarstellungen von $f$ und $g$ sind.

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