Analysis 1 - Cheatsheet.pdf

Definition und grundlegende Eigenschaften von Grenzwerten

Definition:

Grenzwert (Limit) beschreibt das Verhalten einer Funktion oder Folge, wenn sich die Eingabegrößen einem bestimmten Wert nähern

Details:

• Sei \((a_n) \) eine Folge und L ein reeller Wert, dann ist L der Grenzwert von \((a_n) \), wenn für jedes \(\epsilon > 0\) ein \(N \in \mathbb{N}\) existiert, sodass für alle \(n > N\) gilt: \(|a_n - L| < \epsilon\).
• Schreibweise: \(\lim_{n \to \infty} a_n = L\) oder \(a_n \to L\) für \(n \to \infty\).
• Für Funktionen: \(\lim_{x \to x_0} f(x) = L\), wenn für jedes \(\epsilon > 0\) ein \(\delta > 0\) existiert, sodass für alle \(0 < |x - x_0| < \delta\) gilt: \(|f(x) - L| < \epsilon\).
• Arten von Grenzwerten: rechtsseitiger Grenzwert, linksseitiger Grenzwert, unendliche Grenzwerte
• Eigenschaften: Eindeutigkeit, Linearität, Stetigkeit

Epsilon-Delta-Kriterium für Grenzwerte

Definition:

Formales Kriterium zur Definition von Grenzwerten in der Analysis.

Details:

• Ein Wert \(L\) ist der Grenzwert der Funktion \(f(x)\), wenn für jedes \(\epsilon > 0\) ein \( \delta > 0\) existiert, so dass für alle \(x\) in der Nähe von \(a\) (außer \(a\) selbst) gilt: \(|f(x) - L| < \epsilon\) falls \(|x - a| < \delta\).
• Schreibweise: \(\lim_{{x \to a}} f(x) = L\)

Zwischenwertsatz

Definition:

Der Zwischenwertsatz besagt, dass eine stetige Funktion auf einem Intervall jeden Wert zwischen ihrem Minimum und Maximum annimmt.

Details:

• Sei \(f: [a,b] \to \mathbb{R}\) stetig.
• Für ein \(y\) zwischen \(f(a)\) und \(f(b)\) existiert ein \(c \in [a,b]\) mit \(f(c) = y\).

Geometrische Interpretation der Ableitung

Definition:

Veranschaulicht die Steigung der Tangente an den Graphen einer Funktion in einem Punkt.

Details:

• Gegebene Funktion: \( f(x) \)
• Ableitung: \( f'(x) = \lim_{{h \to 0}} \frac{{f(x+h) - f(x)}}{h} \)
• Steigung der Tangente an den Punkt \( (a, f(a)) \): \( m = f'(a) \)
• Tangentenformel: \( y = f'(a) (x - a) + f(a) \)
• Graphisch: Steigung der Sekanten im Grenzfall \( h \to 0 \)

Fundamentalsatz der Analysis

Definition:

Fundamentalsatz der Analysis: Verbindet Differenzialrechnung und Integralrechnung.

Details:

• Teil 1: Jede stetige Funktion f mit einer Stammfunktion F hat das Integral \( \int_{a}^{b} f(x) \, dx = F(b) - F(a) \).
• Teil 2: Wenn F eine Stammfunktion von f ist, dann gilt: \( F'(x) = f(x) \).

Techniken der Integration: Partielle Integration, Substitutionsregel

Definition:

Integrationstechniken zur Vereinfachung von Integralen: Partielle Integration nutzt die Produktregel der Differentiation, Substitutionsregel verwendet Substitution, um das Integral zu vereinfachen.

Details:

• Partielle Integration: \(\int u \, \mathrm{d}v = uv - \int v \, \mathrm{d}u\)
• Wähle \(u\) und \(dv\) geschickt, damit \(\int v \, du\) einfacher ist.
• Substitutionsregel: \(\int f(g(x))g'(x) \, \mathrm{d}x = \int f(u) \, \mathrm{d}u\), mit \(u=g(x)\)
• Verwende Substitution \(u = g(x)\) und ersetze \(dx\) durch \(\frac{du}{g'(x)}\).

Konvergenzkriterien für Reihen

Definition:

Kriterien zur Bestimmung der Konvergenz unendlicher Reihen.

Details:

• Majorantenkriterium: Wenn \(|a_k| \leq b_k\) und \(\sum b_k\) konvergiert, dann konvergiert auch \(\sum a_k\).
• Minorantenkriterium: Wenn \(|a_k| \geq b_k\) und \(\sum b_k\) divergiert, dann divergiert auch \(\sum a_k\).
• Leibniz-Kriterium: Für alternierende Reihen: \(a_1 - a_2 + a_3 - a_4 + \cdots\) konvergiert, wenn \(a_k \geq 0\) und \(a_{k+1} \leq a_k\) mit \(a_k \to 0\).
• Quotientenkriterium: Wenn \(|a_{k+1}/a_k| \to q < 1\), dann konvergiert \(\sum a_k\). Ist \(q > 1\), divergiert \(\sum a_k\).
• Wurzelkriterium: Wenn \(\sqrt[k]{|a_k|} \to q < 1\), dann konvergiert \(\sum a_k\). Ist \(q > 1\), divergiert \(\sum a_k\).

Untersuchung von Diskontinuitäten

Definition:

Details:

• Diskontinuitäten an einem Punkt: keine Existenz vom Grenzwert der Funktion in der Nähe des Punktes.
• Arten: Sprungstellen, Unstetigkeiten erster und zweiter Art.
• Untersuchen mittels Grenzwerten: \( \text{lim}_{x \to a^-} f(x) \) und \( \text{lim}_{x \to a^+} f(x) \)
• Stetigkeit und Lücken: \( f \) stetig an \( x=a \) falls \( \text{lim}_{x \to a} f(x) = f(a) \)
• Lückentypen klassifizieren anhand links- und rechtsseitiger Grenzwerte.