Analysis 1 - Exam.pdf

Aufgabe 1)

Grenzwerte und EigenschaftenBetrachte die Folge \(a_n= \frac{2n^2 + 3}{n^2 + 1}\) und die Funktion \(f(x) = \frac{3x^3 - x + 2}{x^2 - 1}\). Setze das Gelernte über Grenzwerte und deren grundlegende Eigenschaften ein, um die folgenden Aufgaben zu lösen.

a)

(a) Zeige, dass die Folge \(a_n\) einen Grenzwert besitzt und bestimme diesen Grenzwert. Beweise Deine Antwort unter Verwendung der Definition des Grenzwerts für Folgen.

Lösung:

Grenzwerte und Eigenschaften(a) Zeige, dass die Folge \(a_n= \frac{2n^2 + 3}{n^2 + 1}\) einen Grenzwert besitzt und bestimme diesen Grenzwert. Beweise Deine Antwort unter Verwendung der Definition des Grenzwerts für Folgen.

• Schritt 1: Bestimmung des Grenzwerts

Wir betrachten die Folge \(a_n = \frac{2n^2 + 3}{n^2 + 1}\) und suchen ihren Grenzwert, wenn \(n\) gegen Unendlich geht.

Wir dividieren den Zähler und den Nenner durch \(n^2\):

\[a_n = \frac{2 + \frac{3}{n^2}}{1 + \frac{1}{n^2}}\]

Nun betrachten wir das Verhalten der Terme \(\frac{3}{n^2}\) und \(\frac{1}{n^2}\) für \(n\) gegen Unendlich:

\(\frac{3}{n^2} \rightarrow 0\) und \(\frac{1}{n^2} \rightarrow 0\), wenn \(n\) gegen Unendlich geht.

Das bedeutet:

\[a_n \rightarrow \frac{2 + 0}{1 + 0} = 2\]

Der Grenzwert der Folge \(a_n\) ist also \(2\).

• Schritt 2: Beweis des Grenzwerts

Gemäß der Definition des Grenzwerts für Folgen, muss für jede \(\epsilon > 0\) eine natürliche Zahl \(N\) existieren, sodass:

\[|a_n - L| < \epsilon \]

für alle \(n \geq N\).

In diesem Fall ist \(L = 2\). Nun betrachten wir den Ausdruck:

\[|a_n - 2| = \left|\frac{2n^2 + 3}{n^2 + 1} - 2\right|\]

Wir vereinfachen diesen Ausdruck:

\[|a_n - 2| = \left|\frac{2n^2 + 3 - 2(n^2 + 1)}{n^2 + 1}\right| = \left|\frac{2n^2 + 3 - 2n^2 - 2}{n^2 + 1}\right| = \left|\frac{1}{n^2 + 1}\right| = \frac{1}{n^2 + 1}\]

Für alle \(n \geq N\) muss gelten:

\[\frac{1}{n^2 + 1} < \epsilon\]

Das bedeutet:

\[1 < \epsilon (n^2 + 1)\]

oder

\[\frac{1}{\epsilon} < n^2 + 1\]

Das ergibt:

\[n^2 > \frac{1}{\epsilon} - 1\]

Also:

\[n > \sqrt{\frac{1}{\epsilon} - 1}\]

Angenommen, \(\epsilon > 0\) ist gegeben, wählen wir:

\[N > \sqrt{\frac{1}{\epsilon} - 1}\]

Somit, für alle \(n \geq N\), haben wir:

\[|a_n - 2| < \epsilon\]

Damit ist gezeigt, dass \(a_n\) bei \(n\) gegen Unendlich gegen 2 konvergiert, also:

\[\lim_{{n \to \infty}} a_n = 2\]

b)

(b) Bestimme \( \lim_{{x \to 1}} f(x) \). Zeige ausführlich, dass der Grenzwert existiert, indem Du die Definition des Grenzwerts für Funktionen verwendest. Gehe dabei insbesondere auf die Anforderungen für \( \epsilon \) und \( \delta \) ein.

Lösung:

Grenzwerte und Eigenschaften(b) Bestimme \( \lim_{{x \to 1}} f(x) \). Zeige ausführlich, dass der Grenzwert existiert, indem Du die Definition des Grenzwerts für Funktionen verwendest. Gehe dabei insbesondere auf die Anforderungen für \( \epsilon \) und \( \delta \) ein.

• Schritt 1: Bestimmung des Grenzwerts

Wir betrachten die Funktion:

\[ f(x) = \frac{3x^3 - x + 2}{x^2 - 1} \]

Wenn wir \( x \) gegen 1 gehen lassen, sehen wir, dass der Nenner \( x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1) \) zu 0 wird. Daher müssen wir L'Hôpital's Regel anwenden, um den Grenzwert zu berechnen.

• Schritt 2: Anwendung von L'Hôpital's Regel

Weil wir den Ausdruck der Form \( \frac{0}{ 0} \) haben, wenden wir L'Hôpital's Regel an:

\[ \lim_{{x \to 1}} \frac{3x^3 - x + 2}{x^2 - 1} = \lim_{{x \to 1}} \frac{(3x^3 - x + 2)'}{(x^2 - 1)'} \]

Die Ableitungen lauten:

\[ (3x^3 - x + 2)' = 9x^2 - 1 \]

\[ (x^2 - 1)' = 2x \]

Das führt uns zu:

\[ \lim_{{x \to 1}} \frac{9x^2 - 1}{2x} = \frac{9(1)^2 - 1}{2 \cdot 1} = \frac{8}{2} = 4 \]

Der Grenzwert existiert also und beträgt 4.

• Schritt 3: Beweis des Grenzwerts mit \( \epsilon \) und \( \delta \)

Um die Definition des Grenzwerts für Funktionen zu verwenden, müssen wir zeigen, dass für jedes \( \epsilon > 0 \) ein \( \delta > 0 \) existiert, sodass:

\[ |f(x) - 4| < \epsilon \]

wenn

\[ |x - 1| < \delta \]

Wir zeigen nun, dass diese Bedingung erfüllt ist. Wir betrachten:

\[ |f(x) - 4| = \left| \frac{9x^2 - 1}{2x} - 4\right| \]

Wir vereinfachen den Ausdruck:

\[ |f(x) - 4| = \left| \frac{9x^2 - 1 - 8x}{2x}\right| = \left| \frac{9x^2 - 8x - 1}{2x}\right| \]

Nehmen wir nun an, dass \( |x - 1| < \delta \).

Für kleine Werte von \( \delta \) wird \( x \) sehr nahe bei 1 liegen, daher können wir annehmen, dass \( x \approx 1 \). Setzen wir \( x = 1 + h \) mit \( |h| < \delta \), dann:

\[ \left| \frac{9(1 + h)^2 - 8(1 + h) - 1}{2(1 + h)} - 4 \right| \]

Daher:

\[ \left| \frac{9(1 + 2h + h^2) - 8 - 8h - 1}{2(1 + h)} \right| \]

\[ = \left| \frac{(9 + 18h + 9h^2 - 8 - 8h - 1 )}{2(1 + h)} \right| = \left| \frac{ 1 + 10h + 9h^2}{2(1 + h)} \right| \]

Für \( |h| < \delta \) und ein sehr kleines \( \delta \) kann \( 1 + h \approx 1 \). Daher:

\[ \left| \frac{1 + 10h + 9h^2}{2} \right| < \epsilon \]

Für sehr kleine \( h \) wird der Ausdruck \( 9h^2 < \epsilon \) und daher wird die Bedingung für \( \epsilon \) und \( \delta \) erfüllt sein.

Daher existiert der Grenzwert \( \lim_{{x \to 1}} f(x) = 4 \).

Aufgabe 2)

Epsilon-Delta-Kriterium für Grenzwerte:

• Ein Wert \(L\) ist der Grenzwert der Funktion \(f(x)\), wenn für jedes \(\epsilon > 0\) ein \(\delta > 0\) existiert, so dass für alle \(x\) in der Nähe von \(a\) (außer \(a\) selbst) gilt: \(|f(x) - L| < \epsilon\) falls \(|x - a| < \delta\).
• Schreibweise: \(\lim_{{x \to a}} f(x) = L\)

b)

Bestimme den Grenzwert \(L\) der Funktion \(f(x) = \frac{1}{x}\) wenn \(x\) gegen \(a = 2\) strebt, indem Du die definierte Epsilon-Delta-Bedingung verwendest.

Lösung:

Bestimmung des Grenzwerts mit dem Epsilon-Delta-Kriterium:

• Gegeben sei die Funktion:

   f(x) = \frac{1}{x} 

• Zu berechnen ist der Grenzwert, wenn sich \(x\) dem Wert \(a = 2\) nähert:

   \lim_{{x \to 2}} \frac{1}{x} 

Berechnung des Grenzwerts:

• Setzen wir \(a = 2\) in die Funktion ein, so erhalten wir:

   f(2) = \frac{1}{2} 

• Der zu überprüfende Grenzwert ist somit \(L = \frac{1}{2}\).

Anwendung des Epsilon-Delta-Kriteriums:

• Sei \(\epsilon > 0\) beliebig vorgegeben. Wir müssen ein \(\delta > 0\) finden, sodass für alle \(x\), die die Bedingung \(|x - 2| < \delta\) erfüllen, auch die Bedingung \(\left|\frac{1}{x} - \frac{1}{2}\right| < \epsilon\) gilt.

Berechnung von \(|f(x) - L|\):

• Berechnen wir \(\left|\frac{1}{x} - \frac{1}{2}\right|\):

•  \left|\frac{1}{x} - \frac{1}{2}\right| = \left|\frac{2 - x}{2x}\right| = \frac{|2 - x|}{2|x|} 

• Wir möchten, dass:

   \frac{|2 - x|}{2|x|} < \epsilon 

• Dies kann umgestellt werden zu:

   |2 - x| < 2|x|\epsilon 

• Da \(x\) in der Nähe von 2 ist, können wir annehmen, dass \(|x|\) in einem Bereich verbleibt, der nahe bei 2 ist. Setzen wir einen angemessenen Bereich für \(x\) fest:

   1 < x < 3 

• Unter dieser Annahme können wir \(2|x|\) durch einen oberen Grenzwert, wie 6, abschätzen:

   |2 - x| < 2 \cdot 3 \cdot \epsilon = 6 \epsilon 

• Um dies zu erfüllen, wählen wir:

   \delta = \frac{\epsilon}{3} 

Schlussfolgerung:

• Für jedes \(\epsilon > 0\) können wir ein \(\delta > 0\) wählen, das gleich \(\frac{\epsilon}{3}\) ist, so dass \(|x - 2| < \delta\) bedeutet, dass \(\left|\frac{1}{x} - \frac{1}{2}\right| < \epsilon\) gilt.
• Damit ist bewiesen, dass der Grenzwert:

   \lim_{{x \to 2}} \frac{1}{x} = \frac{1}{2} 

  ist.

c)

Zeige, dass die Funktion \(f(x) = x^2 + x\) den Grenzwert \(L = 6\) hat, wenn \(x\) gegen \(a = 2\) strebt. Verwende das Epsilon-Delta-Kriterium, um Deine Darstellung zu untermauern.

Lösung:

Beweis des Grenzwerts mit dem Epsilon-Delta-Kriterium:

• Gegeben sei die Funktion:

   f(x) = x^2 + x 

• Zu beweisen ist:

   \lim_{{x \to 2}} (x^2 + x) = 6 

Beweis:

• Setzen wir \(a = 2\) in die Funktion ein, so erhalten wir:

   f(2) = 2^2 + 2 = 4 + 2 = 6 

• Der nachzuweisende Grenzwert ist somit \(L = 6\).

Anwendung des Epsilon-Delta-Kriteriums:

• Sei \(\epsilon > 0\) beliebig vorgegeben. Wir müssen ein \(\delta > 0\) finden, sodass für alle \(x\), die die Bedingung \(|x - 2| < \delta\) erfüllen, auch die Bedingung \(|f(x) - 6| < \epsilon\) gilt.

Berechnung von \(|f(x) - L|\):

• Berechnen wir \(|f(x) - 6|\):

   |f(x) - 6| = |x^2 + x - 6| = |x^2 + x - 2^2 - 2| = |x^2 + x - 4 - 2| = |(x^2 - 4) + (x - 2)| = |(x - 2)(x + 2) + (x - 2)| = |(x - 2)(x + 3)| 

• Wir möchten, dass:

   |(x - 2)(x + 3)| < \epsilon 

• Bemühen wir uns jetzt, \(|x - 2|\) gesondert darzustellen.

   |x - 2| < \delta 

• Eine Abschätzung für \|x + 3|\ wird benötigt.
• Da \(x\) in der Nähe von 2 ist, nehmen wir an, dass \(x\) in einem Bereich verbleibt, der nahe bei 2 ist. Setzen wir einen vernünftigen Bereich für \(x\) fest:

   1 < x < 3 

• Unter dieser Annahme gilt \(4 < x + 3 < 6\). Damit können wir \|x + 3|\ durch 5 abschätzen, um Vereinfachung zu erreichen:

   |x - 2| \cdot |x + 3| < |x - 2| \cdot 5 < \epsilon 

• Wählen wir:

   \delta = \frac{\epsilon}{5} 

Schlussfolgerung:

• Für jedes \(\epsilon > 0\) können wir ein \(\delta > 0\) wählen, das gleich \(\frac{\epsilon}{5}\) ist, so dass \(|x - 2| < \delta\) bedeutet, dass \(|f(x) - 6| < \epsilon\) gilt.
• Damit ist bewiesen, dass:

   \lim_{{x \to 2}} (x^2 + x) = 6 

  ist.

d)

Es sei \(f(x) = x^3 - 3x + 1\). Beweise, dass wenn sich \(x\) gegen \(a = 1\) nähert, der Grenzwert \(L = -1\) ist, unter Anwendung des Epsilon-Delta-Kriteriums. Zeige alle notwendigen Berechnungen und Schritte.

Lösung:

Beweis des Grenzwerts mit dem Epsilon-Delta-Kriterium:

• Gegeben sei die Funktion:

   f(x) = x^3 - 3x + 1 

• Zu beweisen ist:

   \lim_{{x \to 1}} (x^3 - 3x + 1) = -1 

Beweis:

• Setzen wir \(a = 1\) in die Funktion ein, so erhalten wir:

   f(1) = 1^3 - 3 \cdot 1 + 1 = 1 - 3 + 1 = -1 

• Der nachzuweisende Grenzwert ist somit \(L = -1\).

Anwendung des Epsilon-Delta-Kriteriums:

• Sei \(\epsilon > 0\) beliebig vorgegeben. Wir müssen ein \(\delta > 0\) finden, sodass für alle \(x\), die die Bedingung \(|x - 1| < \delta\) erfüllen, auch die Bedingung \(|f(x) + 1| < \epsilon\) gilt.

Berechnung von \(|f(x) + 1|\):

• Berechnen wir \(|f(x) + 1|\):

   |f(x) + 1| = |x^3 - 3x + 1 + 1| = |x^3 - 3x + 2| 

• Wir möchten, dass:

   |x^3 - 3x + 2| < \epsilon 

• Faktorisieren wir \(x^3 - 3x + 2\):

   x^3 - 3x + 2 = (x - 1)(x^2 + x - 2) = (x - 1)(x - 1)(x + 2) = (x - 1)^2(x + 2) 

• Wir möchten, dass:

   |(x - 1)^2 (x + 2)| < \epsilon 

• Da \(x\) in der Nähe von \(1\) ist, setzen wir einen vernünftigen Bereich für \(x\) fest:

   0 < x < 2 

• In diesem Bereich ist \(|x + 2| < 4\). Wir können diesen Wert zur Vereinfachung heranziehen:
• Damit gilt für den Ausdruck:

   |(x - 1)^2(x + 2)| < |x - 1|^2 \, 4 

• Um sicherzustellen, dass die Ungleichung \(|f(x) + 1| < \epsilon\) erfüllt wird, wählen wir \(\delta\) so, dass:

   |x - 1|^2 \, 4 < \epsilon 

• Dies bedeutet:

   |x - 1|^2 < \frac{\epsilon}{4} 

Bestimmung von \(\delta\):

• Um diese Bedingung zu erfüllen, setzen wir:

   |x - 1| < \sqrt{\frac{\epsilon}{4}} = \frac{\sqrt{\epsilon}}{2} 

• Also wählen wir:

   \delta = \frac{\sqrt{\epsilon}}{2} 

Konklusion:

• Für jedes \(\epsilon > 0\) können wir ein \(\delta > 0\) wählen, das gleich \(\frac{\sqrt{\epsilon}}{2}\) ist, so dass \(|x - 1| < \delta\) bedeutet, dass \(|f(x) + 1| < \epsilon\) gilt.
• Damit ist bewiesen, dass:

   \lim_{{x \to 1}} (x^3 - 3x + 1) = -1 

  ist.

Aufgabe 3)

Zwischenwertsatz: Der Zwischenwertsatz besagt, dass eine stetige Funktion auf einem Intervall jeden Wert zwischen ihrem Minimum und Maximum annimmt.

• Sei \(f: [a,b] \to \mathbb{R}\) stetig.
• Für ein \(y\) zwischen \(f(a)\) und \(f(b)\) existiert ein \(c \in [a,b]\) mit \(f(c) = y\).

a)

Beweise den Zwischenwertsatz für die Funktion \(f(x) = x^3 - x\) auf dem Intervall \([-2, 2]\). Wähle ein geeignetes \(y\) und finde das entsprechende \(c\).

Lösung:

Beweis des Zwischenwertsatzes für die Funktion \( f(x) = x^3 - x \) auf dem Intervall \([-2, 2]\): Der Zwischenwertsatz besagt, dass eine stetige Funktion \(f\) auf einem Intervall \([a,b]\) jeden Wert zwischen ihrem Minimum und Maximum annimmt.

• Sei \(f: [a,b] \to \mathbb{R}\) stetig.
• Für ein \(y\) zwischen \(f(a)\) und \(f(b)\) existiert ein \(c \in [a,b]\) mit \(f(c) = y\).

Lösung des Teilproblems:

• Betrachte die Funktion \( f(x) = x^3 - x \) auf dem Intervall \([-2, 2]\).
• Wir überprüfen zuerst die Stetigkeit der Funktion. Da \( f(x) \) ein Polynom ist, ist \( f(x) \) auf dem ganzen Intervall stetig.
• Nun berechnen wir \( f(-2) \) und \( f(2) \):
• \( f(-2) = (-2)^3 - (-2) = -8 + 2 = -6 \)
• \( f(2) = (2)^3 - 2 = 8 - 2 = 6 \)
• Nun wählen wir ein geeignetes \( y \) zwischen \( -6 \) und \( 6 \). Lassen wir uns \( y = 0 \) auswählen.
• Wir suchen nun nach einem \( c \in [-2, 2] \) mit \( f(c) = 0 \). Das bedeutet:
• \( c^3 - c = 0 \)
• Wir setzen \( c^3 - c = 0 \) um:
• \( c(c^2 - 1) = 0 \)
• Dies bedeutet \( c = 0 \) oder \( c^2 - 1= 0 \), das sind \( c = 0 \) oder \( c = \pm 1\).
• Alle diese Funktionen liegen im Intervall \([-2, 2]\).
• Daher existiert mindestens ein \( c \in [-2, 2] \) mit \( f(c) = 0 \).

Wir zeigen damit, dass der Zwischenwertsatz für die Funktion \( f(x) = x^3 - x \) gilt, wenn wir \( y = 0 \) auf dem Intervall \([-2, 2]\) wählen.

b)

Gegeben sei die Funktion \(g(x) = \cos(x)\) auf dem Intervall \([0, \pi]\). Zeige, dass für jedes \(y\) im Intervall \([\cos(\pi), \cos(0)]\), d.h. im Intervall \([-1, 1]\), ein \(c \in [0, \pi]\) existiert, sodass \(g(c) = y\).

Lösung:

Beweis des Zwischenwertsatzes für die Funktion \( g(x) = \cos(x) \) auf dem Intervall \([0, \pi]\): Der Zwischenwertsatz besagt, dass eine stetige Funktion \(f\) auf einem Intervall \([a,b]\) jeden Wert zwischen ihrem Minimum und Maximum annimmt.

• Sei \(f: [a,b] \to \mathbb{R}\) stetig.
• Für ein \(y\) zwischen \(f(a)\) und \(f(b)\) existiert ein \(c \in [a,b]\) mit \(f(c) = y\).

Lösung des Teilproblems:

• Betrachte die Funktion \( g(x) = \cos(x) \) auf dem Intervall \([0, \pi]\).
• Wir überprüfen zuerst die Stetigkeit der Funktion. Da \( \cos(x) \) eine trigonometrische Funktion ist, die auf ihrem Definitionsbereich stetig ist, ist \( g(x) \) auf dem ganzen Intervall stetig.
• Nun berechnen wir \( g(0) \) und \( g(\pi) \):
• \( g(0) = \cos(0) = 1 \)
• \( g(\pi) = \cos(\pi) = -1 \)
• Nun wählen wir ein geeignetes \( y \) im Intervall \([\cos(\pi), \cos(0)]\), also im Intervall \([-1, 1]\).
• Lassen wir uns ein beliebiges \( y \in [-1, 1] \) auswählen.
• Wir suchen nun nach einem \( c \in [0, \pi] \) mit \( g(c) = y \). Das bedeutet:
• \( \cos(c) = y \)
• Da \( \cos(x) \) auf dem Intervall \([0, \pi] \) monoton abnimmt und alle Werte von 1 bis -1 annimmt, gibt es für jedes \( y \in [-1, 1] \) ein \( c \) im Intervall \([0, \pi] \) mit \( \cos(c) = y \).
• Dies folgt aus der Tatsache, dass \( \cos(x) \) auf diesem Intervall injektiv und surjektiv ist.
• Hinweis: Wenn \( y \) ein bestimmter Wert wäre, könnten wir \( c \in [0, \pi] \) durch Invertieren der Kosinusfunktion finden: \( c = \arccos(y) \).

Wir zeigen damit, dass der Zwischenwertsatz für die Funktion \( g(x) = \cos(x) \) auf dem Intervall \([0, \pi] \) gilt, da jedes \( y \in [-1, 1] \) ein \( c \in [0, \pi] \) erfüllt, sodass \( g(c) = y \).

c)

Sei \(h(x) = e^x - x^2\) und das Intervall \([0, 2]\). Bestimme, ob es einen Wert zwischen \(h(0)\) und \(h(2)\) gibt, der gleich 0 ist. Falls ja, finde das entsprechende \(c\) durch Iteration. Beschreibe das Verfahren.

Lösung:

Nachweis des Zwischenwertsatzes für die Funktion \( h(x) = e^x - x^2 \) auf dem Intervall \([0, 2]\): Der Zwischenwertsatz besagt, dass eine stetige Funktion \(f\) auf einem Intervall \([a,b]\) jeden Wert zwischen ihrem Minimum und Maximum annimmt.

• Sei \(f: [a,b] \to \mathbb{R}\) stetig.
• Für ein \(y\) zwischen \(f(a)\) und \(f(b)\) existiert ein \(c \in [a,b]\) mit \(f(c) = y\).

Lösung des Teilproblems:

• Betrachte die Funktion \( h(x) = e^x - x^2 \) auf dem Intervall \([0, 2]\).
• Wir überprüfen zuerst die Stetigkeit der Funktion. Da \( h(x) \) eine Kombination von stetigen Funktionen (Exponential- und Quadratenfunktion) ist, ist \( h(x) \) auf dem ganzen Intervall stetig.
• Nun berechnen wir \( h(0) \) und \( h(2) \):
• \( h(0) = e^0 - 0^2 = 1 \)
• \( h(2) = e^2 - 2^2 = e^2 - 4 \)
• Da \( e^2 \approx 7.39 \), ist \( h(2) \approx 7.39 - 4 = 3.39 \).
• Nun wählen wir den Wert \( y = 0 \), der zwischen \( h(0) = 1 \) und \( h(2) \approx 3.39 \) liegt.
• Wir suchen nun nach einem \( c \in [0, 2] \) mit \( h(c) = 0 \). Das bedeutet:
• \( e^c - c^2 = 0 \)
• Da wir keinen analytischen Ausdruck für \( c \) direkt bestimmen können, verwenden wir ein iteratives Verfahren, z.B. das Bisektionsverfahren:

Iteratives Verfahren:

1. Setze \( a = 0 \) und \( b = 2 \).
2. Berechne den Mittelwert \( m = \frac{a + b}{2} \).
3. Prüfe den Wert von \( h(m) = e^m - m^2 \).
4. Wenn \( h(m) \) nahe genug bei 0 ist (z.B. innerhalb eines tolerierten Fehlers), ist \( m \) die gesuchte Lösung \( c \).
5. Wenn \( h(m) > 0 \), setze \( b = m \).
6. Wenn \( h(m) < 0 \), setze \( a = m \).
7. Wiederhole die Schritte 2-6, bis die Bedingung \( |h(m)| < \text{Toleranz} \) erfüllt ist.

Durch dieses Verfahren können wir numerisch ein \( c \in [0, 2] \) finden, sodass \( h(c) = 0 \).

d)

Du hast eine Funktion \(j(x)\), welche auf einem Intervall \([-3, 3]\) stetig ist. Erkläre ausführlich, wie Du anhand des Zwischenwertsatzes zeigen kannst, dass für einen beliebigen Wert \(y\), welcher zwischen \(j(-3)\) und \(j(3)\) liegt, ein Punkt \(c\) in \([-3, 3]\) existiert, sodass \(j(c) = y\). Veranschauliche dies anhand eines Beispiels mit einer konkreten Funktion.

Lösung:

Erklärung des Zwischenwertsatzes anhand einer FunktionDer Zwischenwertsatz besagt, dass eine stetige Funktion auf einem Intervall jeden Wert zwischen ihrem Minimum und Maximum annimmt.

• Sei \(f: [a,b] \to \mathbb{R}\) stetig.
• Für ein \(y\) zwischen \(f(a)\) und \(f(b)\) existiert ein \(c \in [a,b]\) mit \(f(c) = y\).

Gegeben sei eine Funktion \(j(x)\), welche auf dem Intervall \([-3, 3]\) stetig ist. Wir möchten zeigen, dass für jeden Wert \(y\), der zwischen \(j(-3)\) und \(j(3)\) liegt, ein Punkt \(c\) in \([-3, 3]\) existiert, sodass \(j(c) = y\).Allgemeines Vorgehen:

• Stelle sicher, dass die Funktion \(j(x)\) auf dem Intervall \([-3, 3]\) stetig ist. Da dies in der Aufgabenstellung gegeben ist, können wir sicher sein, dass der Zwischenwertsatz anwendbar ist.
• Berechne die Werte \(j(-3)\) und \(j(3)\). Diese Werte sind die Grenzen für das Intervall der y-Werte, die \(j(x)\) annehmen kann.
• Wähle einen beliebigen Wert \(y\), der zwischen \(j(-3)\) und \(j(3)\) liegt.
• Der Zwischenwertsatz garantiert, dass es ein \(c \in [-3, 3]\) gibt, sodass \(j(c) = y\).

Beispiel:Betrachten wir eine konkrete Funktion, z.B. \(j(x) = x^3 - 3x + 1\), auf dem Intervall \([-3, 3]\).

• Berechne \(j(-3)\) und \(j(3)\):
• \(j(-3) = (-3)^3 - 3(-3) + 1 = -27 + 9 + 1 = -17\).
• \(j(3) = (3)^3 - 3(3) + 1 = 27 - 9 + 1 = 19\).
• Der Zwischenwertsatz sagt, dass für jeden Wert \(y\) in \([-17, 19]\), es ein \(c \in [-3, 3]\) gibt, sodass \(j(c) = y\).
• Wähle zum Beispiel \(y = 0\), das zwischen \(-17\) und \(19\) liegt.
• Gemäß dem Zwischenwertsatz existiert ein \(c\) in \([-3, 3]\), sodass \(j(c) = 0\).
• Um tatsächlich \(c\) zu finden, setzen wir die Gleichung \(x^3 - 3x + 1 = 0\) und lösen sie nach \(x\) auf. Dies kann durch numerische Methoden wie das Newton-Verfahren geschehen.

Zusammengefasst zeigt der Zwischenwertsatz, dass für jede stetige Funktion auf einem abgeschlossenen Intervall \([a, b]\), jeder Wert zwischen \(f(a)\) und \(f(b)\) angenommen wird.

Aufgabe 4)

Gegeben sei die Funktion \( f(x) = x^3 - 3x + 2 \). Bestimme die Ableitung und interpretiere diese geometrisch. Löse anschließend spezifische Aufgaben zur Tangentensteigung und Tangentenformel.

b)

Bestimme die Steigung der Tangente an den Graphen von \( f \) im Punkt \( (1, f(1)) \). Gib den Wert von \( f'(1) \) an und interpretiere ihn geometrisch.

Lösung:

Um die Steigung der Tangente an den Graphen der Funktion f(x) = x^3 - 3x + 2 im Punkt \( (1, f(1)) \) zu bestimmen, berechnen wir zunächst die Ableitung f'(x).

Aus der vorherigen Aufgabe wissen wir, dass: \[ f'(x) = 3x^2 - 3 \]

Nun setzen wir \( x = 1 \) in die Ableitung ein:

• Berechne f'(1):

f'(1) = 3(1)^2 - 3 = 3 - 3 = 0

Die Steigung der Tangente an den Graphen von f im Punkt \( (1, f(1)) \) ist also:

\[ f'(1) = 0 \]

Geometrisch interpretiert bedeutet dies, dass die Tangente im Punkt \( (1, f(1)) \) eine horizontale Gerade ist, da ihre Steigung 0 ist.

c)

Formuliere die Gleichung der Tangente an den Graphen von \( f \) im Punkt \( (1, f(1)) \) unter Anwendung der Tangentenformel \[ y = f'(a) (x - a) + f(a) \]. Zeichne den Graphen der Funktion und die Tangente im Punkt \( (1, f(1)) \).

Lösung:

Um die Gleichung der Tangente an den Graphen der Funktion f(x) = x^3 - 3x + 2 im Punkt \( (1, f(1)) \) zu formulieren, verwenden wir die Tangentenformel:

\[ y = f'(a) (x - a) + f(a) \]

Wir haben bereits die Steigung der Tangente an dieser Stelle berechnet:

• \( f'(1) = 0 \)

Um die Tangentenformel korrekt anzuwenden, benötigen wir auch den Funktionswert \( f(1) \):

• Berechne f(1):

f(1) = 1^3 - 3 \times 1 + 2 = 1 - 3 + 2 = 0

Der Punkt \( (1, f(1)) \) ist daher \( (1, 0) \).

Setze nun die Werte in die Tangentenformel ein:

• \(a = 1\)
• \(f'(1) = 0\)
• \(f(1) = 0\)

y = 0 \times (x - 1) + 0 = 0

Die Gleichung der Tangente lautet daher:

y = 0

Geometrisch bedeutet dies, dass die Tangente eine horizontale Gerade ist, die die x-Achse bei (1, 0) schneidet.

Um den Graphen der Funktion und die Tangente zu zeichnen, betrachte die Verläufe:

• Die Funktion f(x) = x^3 - 3x + 2 ist eine kubische Funktion mit Wendepunkten und Nulldurchgängen.
• Die Tangente ist eine horizontale Linie bei \( y = 0 \), die die x-Achse schneidet.

Hier ist eine schematische Darstellung: