Analysis 1 - Exam.pdf

Aufgabe 1)

Grenzwerte und EigenschaftenBetrachte die Folge $a_n=\frac{2n^2+3}{n^2+1}$ und die Funktion $f(x)=\frac{3x^3-x+2}{x^2-1}$. Setze das Gelernte über Grenzwerte und deren grundlegende Eigenschaften ein, um die folgenden Aufgaben zu lösen.

a)

(a) Zeige, dass die Folge $a_n$ einen Grenzwert besitzt und bestimme diesen Grenzwert. Beweise Deine Antwort unter Verwendung der Definition des Grenzwerts für Folgen.

Lösung:

Grenzwerte und Eigenschaften(a) Zeige, dass die Folge $a_n=\frac{2n^2+3}{n^2+1}$ einen Grenzwert besitzt und bestimme diesen Grenzwert. Beweise Deine Antwort unter Verwendung der Definition des Grenzwerts für Folgen.

• Schritt 1: Bestimmung des Grenzwerts

Wir betrachten die Folge $a_n=\frac{2n^2+3}{n^2+1}$ und suchen ihren Grenzwert, wenn $n$ gegen Unendlich geht.

Wir dividieren den Zähler und den Nenner durch $n^2$:

$$a_n=\frac{2+\frac{3}{n^2}}{1+\frac{1}{n^2}}$$

Nun betrachten wir das Verhalten der Terme $\frac{3}{n^2}$ und $\frac{1}{n^2}$ für $n$ gegen Unendlich:

$\frac{3}{n^2}\to 0$ und $\frac{1}{n^2}\to 0$, wenn $n$ gegen Unendlich geht.

Das bedeutet:

$$a_n\to \frac{2+0}{1+0}=2$$

Der Grenzwert der Folge $a_n$ ist also $2$.

• Schritt 2: Beweis des Grenzwerts

Gemäß der Definition des Grenzwerts für Folgen, muss für jede $ϵ>0$ eine natürliche Zahl $N$ existieren, sodass:

$$|a_n-L|<ϵ$$

für alle $n\ge N$.

In diesem Fall ist $L=2$. Nun betrachten wir den Ausdruck:

$$|a_n-2|=|\frac{2n^2+3}{n^2+1}-2|$$

Wir vereinfachen diesen Ausdruck:

$$|a_n-2|=\left|\frac{2n^2+3-2(n^2+1)}{n^2+1}\right|=\left|\frac{2n^2+3-2n^2-2}{n^2+1}\right|=\left|\frac{1}{n^2+1}\right|=\frac{1}{n^2+1}$$

Für alle $n\ge N$ muss gelten:

$$\frac{1}{n^2+1}<ϵ$$

Das bedeutet:

$$1<ϵ(n^2+1)$$

oder

$$\frac{1}{ϵ}<n^2+1$$

Das ergibt:

$$n^2>\frac{1}{ϵ}-1$$

Also:

$$n>\sqrt{\frac{1}{ϵ}-1}$$

Angenommen, $ϵ>0$ ist gegeben, wählen wir:

$$N>\sqrt{\frac{1}{ϵ}-1}$$

Somit, für alle $n\ge N$, haben wir:

$$|a_n-2|<ϵ$$

Damit ist gezeigt, dass $a_n$ bei $n$ gegen Unendlich gegen 2 konvergiert, also:

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=2$$

b)

(b) Bestimme $\underset{x\to 1}{lim}f(x)$. Zeige ausführlich, dass der Grenzwert existiert, indem Du die Definition des Grenzwerts für Funktionen verwendest. Gehe dabei insbesondere auf die Anforderungen für $ϵ$ und $\delta$ ein.

Lösung:

Grenzwerte und Eigenschaften(b) Bestimme $\underset{x\to 1}{lim}f(x)$. Zeige ausführlich, dass der Grenzwert existiert, indem Du die Definition des Grenzwerts für Funktionen verwendest. Gehe dabei insbesondere auf die Anforderungen für $ϵ$ und $\delta$ ein.

• Schritt 1: Bestimmung des Grenzwerts

Wir betrachten die Funktion:

$$f(x)=\frac{3x^3-x+2}{x^2-1}$$

Wenn wir $x$ gegen 1 gehen lassen, sehen wir, dass der Nenner $x^2-1=(x-1)(x+1)$ zu 0 wird. Daher müssen wir L'Hôpital's Regel anwenden, um den Grenzwert zu berechnen.

• Schritt 2: Anwendung von L'Hôpital's Regel

Weil wir den Ausdruck der Form $\frac{0}{0}$ haben, wenden wir L'Hôpital's Regel an:

$$\underset{x\to 1}{lim}\frac{3x^3-x+2}{x^2-1}=\underset{x\to 1}{lim}\frac{(3x^3-x+2{)}^{\prime }}{(x^2-1{)}^{\prime }}$$

Die Ableitungen lauten:

$$(3x^3-x+2{)}^{\prime }=9x^2-1$$

$$(x^2-1{)}^{\prime }=2x$$

Das führt uns zu:

$$\underset{x\to 1}{lim}\frac{9x^2-1}{2x}=\frac{9(1{)}^2-1}{2\cdot 1}=\frac{8}{2}=4$$

Der Grenzwert existiert also und beträgt 4.

• Schritt 3: Beweis des Grenzwerts mit $ϵ$ und $\delta$

Um die Definition des Grenzwerts für Funktionen zu verwenden, müssen wir zeigen, dass für jedes $ϵ>0$ ein $\delta >0$ existiert, sodass:

$$|f(x)-4|<ϵ$$

wenn

$$|x-1|<\delta$$

Wir zeigen nun, dass diese Bedingung erfüllt ist. Wir betrachten:

$$|f(x)-4|=|\frac{9x^2-1}{2x}-4|$$

Wir vereinfachen den Ausdruck:

$$|f(x)-4|=\left|\frac{9x^2-1-8x}{2x}\right|=\left|\frac{9x^2-8x-1}{2x}\right|$$

Nehmen wir nun an, dass $|x-1|<\delta$.

Für kleine Werte von $\delta$ wird $x$ sehr nahe bei 1 liegen, daher können wir annehmen, dass $x\approx 1$. Setzen wir $x=1+h$ mit $|h|<\delta$, dann:

$$|\frac{9(1+h{)}^2-8(1+h)-1}{2(1+h)}-4|$$

Daher:

$$\left|\frac{9(1+2h+h^2)-8-8h-1}{2(1+h)}\right|$$

$$=\left|\frac{(9+18h+9h^2-8-8h-1)}{2(1+h)}\right|=\left|\frac{1+10h+9h^2}{2(1+h)}\right|$$

Für $|h|<\delta$ und ein sehr kleines $\delta$ kann $1+h\approx 1$. Daher:

$$\left|\frac{1+10h+9h^2}{2}\right|<ϵ$$

Für sehr kleine $h$ wird der Ausdruck $9h^2<ϵ$ und daher wird die Bedingung für $ϵ$ und $\delta$ erfüllt sein.

Daher existiert der Grenzwert $\underset{x\to 1}{lim}f(x)=4$.

Aufgabe 2)

Epsilon-Delta-Kriterium für Grenzwerte:

• Ein Wert $L$ ist der Grenzwert der Funktion $f(x)$, wenn für jedes $ϵ>0$ ein $\delta >0$ existiert, so dass für alle $x$ in der Nähe von $a$ (außer $a$ selbst) gilt: $|f(x)-L|<ϵ$ falls $|x-a|<\delta$.
• Schreibweise: $\underset{x\to a}{lim}f(x)=L$

b)

Bestimme den Grenzwert $L$ der Funktion $f(x)=\frac{1}{x}$ wenn $x$ gegen $a=2$ strebt, indem Du die definierte Epsilon-Delta-Bedingung verwendest.

Lösung:

Bestimmung des Grenzwerts mit dem Epsilon-Delta-Kriterium:

• Gegeben sei die Funktion:

   f(x) = \frac{1}{x} 

• Zu berechnen ist der Grenzwert, wenn sich $x$ dem Wert $a=2$ nähert:

   \lim_{{x \to 2}} \frac{1}{x} 

Berechnung des Grenzwerts:

• Setzen wir $a=2$ in die Funktion ein, so erhalten wir:

   f(2) = \frac{1}{2} 

• Der zu überprüfende Grenzwert ist somit $L=\frac{1}{2}$.

Anwendung des Epsilon-Delta-Kriteriums:

• Sei $ϵ>0$ beliebig vorgegeben. Wir müssen ein $\delta >0$ finden, sodass für alle $x$, die die Bedingung $|x-2|<\delta$ erfüllen, auch die Bedingung $|\frac{1}{x}-\frac{1}{2}|<ϵ$ gilt.

Berechnung von $|f(x)-L|$:

• Berechnen wir $|\frac{1}{x}-\frac{1}{2}|$:

•  \left|\frac{1}{x} - \frac{1}{2}\right| = \left|\frac{2 - x}{2x}\right| = \frac{|2 - x|}{2|x|} 

• Wir möchten, dass:

   \frac{|2 - x|}{2|x|} < \epsilon 

• Dies kann umgestellt werden zu:

   |2 - x| < 2|x|\epsilon 

• Da $x$ in der Nähe von 2 ist, können wir annehmen, dass $|x|$ in einem Bereich verbleibt, der nahe bei 2 ist. Setzen wir einen angemessenen Bereich für $x$ fest:

   1 < x < 3 

• Unter dieser Annahme können wir $2|x|$ durch einen oberen Grenzwert, wie 6, abschätzen:

   |2 - x| < 2 \cdot 3 \cdot \epsilon = 6 \epsilon 

• Um dies zu erfüllen, wählen wir:

   \delta = \frac{\epsilon}{3} 

Schlussfolgerung:

• Für jedes $ϵ>0$ können wir ein $\delta >0$ wählen, das gleich $\frac{ϵ}{3}$ ist, so dass $|x-2|<\delta$ bedeutet, dass $|\frac{1}{x}-\frac{1}{2}|<ϵ$ gilt.
• Damit ist bewiesen, dass der Grenzwert:

   \lim_{{x \to 2}} \frac{1}{x} = \frac{1}{2} 

  ist.

c)

Zeige, dass die Funktion $f(x)=x^2+x$ den Grenzwert $L=6$ hat, wenn $x$ gegen $a=2$ strebt. Verwende das Epsilon-Delta-Kriterium, um Deine Darstellung zu untermauern.

Lösung:

Beweis des Grenzwerts mit dem Epsilon-Delta-Kriterium:

• Gegeben sei die Funktion:

   f(x) = x^2 + x 

• Zu beweisen ist:

   \lim_{{x \to 2}} (x^2 + x) = 6 

Beweis:

• Setzen wir $a=2$ in die Funktion ein, so erhalten wir:

   f(2) = 2^2 + 2 = 4 + 2 = 6 

• Der nachzuweisende Grenzwert ist somit $L=6$.

Anwendung des Epsilon-Delta-Kriteriums:

• Sei $ϵ>0$ beliebig vorgegeben. Wir müssen ein $\delta >0$ finden, sodass für alle $x$, die die Bedingung $|x-2|<\delta$ erfüllen, auch die Bedingung $|f(x)-6|<ϵ$ gilt.

Berechnung von $|f(x)-L|$:

• Berechnen wir $|f(x)-6|$:

   |f(x) - 6| = |x^2 + x - 6| = |x^2 + x - 2^2 - 2| = |x^2 + x - 4 - 2| = |(x^2 - 4) + (x - 2)| = |(x - 2)(x + 2) + (x - 2)| = |(x - 2)(x + 3)| 

• Wir möchten, dass:

   |(x - 2)(x + 3)| < \epsilon 

• Bemühen wir uns jetzt, $|x-2|$ gesondert darzustellen.

   |x - 2| < \delta 

• Eine Abschätzung für \|x + 3|\ wird benötigt.
• Da $x$ in der Nähe von 2 ist, nehmen wir an, dass $x$ in einem Bereich verbleibt, der nahe bei 2 ist. Setzen wir einen vernünftigen Bereich für $x$ fest:

   1 < x < 3 

• Unter dieser Annahme gilt $4<x+3<6$. Damit können wir \|x + 3|\ durch 5 abschätzen, um Vereinfachung zu erreichen:

   |x - 2| \cdot |x + 3| < |x - 2| \cdot 5 < \epsilon 

• Wählen wir:

   \delta = \frac{\epsilon}{5} 

Schlussfolgerung:

• Für jedes $ϵ>0$ können wir ein $\delta >0$ wählen, das gleich $\frac{ϵ}{5}$ ist, so dass $|x-2|<\delta$ bedeutet, dass $|f(x)-6|<ϵ$ gilt.
• Damit ist bewiesen, dass:

   \lim_{{x \to 2}} (x^2 + x) = 6 

  ist.

d)

Es sei $f(x)=x^3-3x+1$. Beweise, dass wenn sich $x$ gegen $a=1$ nähert, der Grenzwert $L=-1$ ist, unter Anwendung des Epsilon-Delta-Kriteriums. Zeige alle notwendigen Berechnungen und Schritte.

Lösung:

Beweis des Grenzwerts mit dem Epsilon-Delta-Kriterium:

• Gegeben sei die Funktion:

   f(x) = x^3 - 3x + 1 

• Zu beweisen ist:

   \lim_{{x \to 1}} (x^3 - 3x + 1) = -1 

Beweis:

• Setzen wir $a=1$ in die Funktion ein, so erhalten wir:

   f(1) = 1^3 - 3 \cdot 1 + 1 = 1 - 3 + 1 = -1 

• Der nachzuweisende Grenzwert ist somit $L=-1$.

Anwendung des Epsilon-Delta-Kriteriums:

• Sei $ϵ>0$ beliebig vorgegeben. Wir müssen ein $\delta >0$ finden, sodass für alle $x$, die die Bedingung $|x-1|<\delta$ erfüllen, auch die Bedingung $|f(x)+1|<ϵ$ gilt.

Berechnung von $|f(x)+1|$:

• Berechnen wir $|f(x)+1|$:

   |f(x) + 1| = |x^3 - 3x + 1 + 1| = |x^3 - 3x + 2| 

• Wir möchten, dass:

   |x^3 - 3x + 2| < \epsilon 

• Faktorisieren wir $x^3-3x+2$:

   x^3 - 3x + 2 = (x - 1)(x^2 + x - 2) = (x - 1)(x - 1)(x + 2) = (x - 1)^2(x + 2) 

• Wir möchten, dass:

   |(x - 1)^2 (x + 2)| < \epsilon 

• Da $x$ in der Nähe von $1$ ist, setzen wir einen vernünftigen Bereich für $x$ fest:

   0 < x < 2 

• In diesem Bereich ist $|x+2|<4$. Wir können diesen Wert zur Vereinfachung heranziehen:
• Damit gilt für den Ausdruck:

   |(x - 1)^2(x + 2)| < |x - 1|^2 \, 4 

• Um sicherzustellen, dass die Ungleichung $|f(x)+1|<ϵ$ erfüllt wird, wählen wir $\delta$ so, dass:

   |x - 1|^2 \, 4 < \epsilon 

• Dies bedeutet:

   |x - 1|^2 < \frac{\epsilon}{4} 

Bestimmung von $\delta$:

• Um diese Bedingung zu erfüllen, setzen wir:

   |x - 1| < \sqrt{\frac{\epsilon}{4}} = \frac{\sqrt{\epsilon}}{2} 

• Also wählen wir:

   \delta = \frac{\sqrt{\epsilon}}{2} 

Konklusion:

• Für jedes $ϵ>0$ können wir ein $\delta >0$ wählen, das gleich $\frac{\sqrt{ϵ}}{2}$ ist, so dass $|x-1|<\delta$ bedeutet, dass $|f(x)+1|<ϵ$ gilt.
• Damit ist bewiesen, dass:

   \lim_{{x \to 1}} (x^3 - 3x + 1) = -1 

  ist.

Aufgabe 3)

Zwischenwertsatz: Der Zwischenwertsatz besagt, dass eine stetige Funktion auf einem Intervall jeden Wert zwischen ihrem Minimum und Maximum annimmt.

• Sei $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ stetig.
• Für ein $y$ zwischen $f(a)$ und $f(b)$ existiert ein $c\in [a,b]$ mit $f(c)=y$.

a)

Beweise den Zwischenwertsatz für die Funktion $f(x)=x^3-x$ auf dem Intervall $[-2,2]$. Wähle ein geeignetes $y$ und finde das entsprechende $c$.

Lösung:

Beweis des Zwischenwertsatzes für die Funktion $f(x)=x^3-x$ auf dem Intervall $[-2,2]$: Der Zwischenwertsatz besagt, dass eine stetige Funktion $f$ auf einem Intervall $[a,b]$ jeden Wert zwischen ihrem Minimum und Maximum annimmt.

• Sei $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ stetig.
• Für ein $y$ zwischen $f(a)$ und $f(b)$ existiert ein $c\in [a,b]$ mit $f(c)=y$.

Lösung des Teilproblems:

• Betrachte die Funktion $f(x)=x^3-x$ auf dem Intervall $[-2,2]$.
• Wir überprüfen zuerst die Stetigkeit der Funktion. Da $f(x)$ ein Polynom ist, ist $f(x)$ auf dem ganzen Intervall stetig.
• Nun berechnen wir $f(-2)$ und $f(2)$:
• $f(-2)=(-2{)}^3-(-2)=-8+2=-6$
• $f(2)=(2{)}^3-2=8-2=6$
• Nun wählen wir ein geeignetes $y$ zwischen $-6$ und $6$. Lassen wir uns $y=0$ auswählen.
• Wir suchen nun nach einem $c\in [-2,2]$ mit $f(c)=0$. Das bedeutet:
• $c^3-c=0$
• Wir setzen $c^3-c=0$ um:
• $c(c^2-1)=0$
• Dies bedeutet $c=0$ oder $c^2-1=0$, das sind $c=0$ oder $c=\pm 1$.
• Alle diese Funktionen liegen im Intervall $[-2,2]$.
• Daher existiert mindestens ein $c\in [-2,2]$ mit $f(c)=0$.

Wir zeigen damit, dass der Zwischenwertsatz für die Funktion $f(x)=x^3-x$ gilt, wenn wir $y=0$ auf dem Intervall $[-2,2]$ wählen.

b)

Gegeben sei die Funktion $g(x)=\cos (x)$ auf dem Intervall $[0,\pi ]$. Zeige, dass für jedes $y$ im Intervall $[\cos (\pi ),\cos (0)]$, d.h. im Intervall $[-1,1]$, ein $c\in [0,\pi ]$ existiert, sodass $g(c)=y$.

Lösung:

Beweis des Zwischenwertsatzes für die Funktion $g(x)=\cos (x)$ auf dem Intervall $[0,\pi ]$: Der Zwischenwertsatz besagt, dass eine stetige Funktion $f$ auf einem Intervall $[a,b]$ jeden Wert zwischen ihrem Minimum und Maximum annimmt.

• Sei $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ stetig.
• Für ein $y$ zwischen $f(a)$ und $f(b)$ existiert ein $c\in [a,b]$ mit $f(c)=y$.

Lösung des Teilproblems:

• Betrachte die Funktion $g(x)=\cos (x)$ auf dem Intervall $[0,\pi ]$.
• Wir überprüfen zuerst die Stetigkeit der Funktion. Da $\cos (x)$ eine trigonometrische Funktion ist, die auf ihrem Definitionsbereich stetig ist, ist $g(x)$ auf dem ganzen Intervall stetig.
• Nun berechnen wir $g(0)$ und $g(\pi )$:
• $g(0)=\cos (0)=1$
• $g(\pi )=\cos (\pi )=-1$
• Nun wählen wir ein geeignetes $y$ im Intervall $[\cos (\pi ),\cos (0)]$, also im Intervall $[-1,1]$.
• Lassen wir uns ein beliebiges $y\in [-1,1]$ auswählen.
• Wir suchen nun nach einem $c\in [0,\pi ]$ mit $g(c)=y$. Das bedeutet:
• $\cos (c)=y$
• Da $\cos (x)$ auf dem Intervall $[0,\pi ]$ monoton abnimmt und alle Werte von 1 bis -1 annimmt, gibt es für jedes $y\in [-1,1]$ ein $c$ im Intervall $[0,\pi ]$ mit $\cos (c)=y$.
• Dies folgt aus der Tatsache, dass $\cos (x)$ auf diesem Intervall injektiv und surjektiv ist.
• Hinweis: Wenn $y$ ein bestimmter Wert wäre, könnten wir $c\in [0,\pi ]$ durch Invertieren der Kosinusfunktion finden: $c=\arccos (y)$.

Wir zeigen damit, dass der Zwischenwertsatz für die Funktion $g(x)=\cos (x)$ auf dem Intervall $[0,\pi ]$ gilt, da jedes $y\in [-1,1]$ ein $c\in [0,\pi ]$ erfüllt, sodass $g(c)=y$.

c)

Sei $h(x)=e^x-x^2$ und das Intervall $[0,2]$. Bestimme, ob es einen Wert zwischen $h(0)$ und $h(2)$ gibt, der gleich 0 ist. Falls ja, finde das entsprechende $c$ durch Iteration. Beschreibe das Verfahren.

Lösung:

Nachweis des Zwischenwertsatzes für die Funktion $h(x)=e^x-x^2$ auf dem Intervall $[0,2]$: Der Zwischenwertsatz besagt, dass eine stetige Funktion $f$ auf einem Intervall $[a,b]$ jeden Wert zwischen ihrem Minimum und Maximum annimmt.

• Sei $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ stetig.
• Für ein $y$ zwischen $f(a)$ und $f(b)$ existiert ein $c\in [a,b]$ mit $f(c)=y$.

Lösung des Teilproblems:

• Betrachte die Funktion $h(x)=e^x-x^2$ auf dem Intervall $[0,2]$.
• Wir überprüfen zuerst die Stetigkeit der Funktion. Da $h(x)$ eine Kombination von stetigen Funktionen (Exponential- und Quadratenfunktion) ist, ist $h(x)$ auf dem ganzen Intervall stetig.
• Nun berechnen wir $h(0)$ und $h(2)$:
• $h(0)=e^0-0^2=1$
• $h(2)=e^2-2^2=e^2-4$
• Da $e^2\approx 7.39$, ist $h(2)\approx 7.39-4=3.39$.
• Nun wählen wir den Wert $y=0$, der zwischen $h(0)=1$ und $h(2)\approx 3.39$ liegt.
• Wir suchen nun nach einem $c\in [0,2]$ mit $h(c)=0$. Das bedeutet:
• $e^c-c^2=0$
• Da wir keinen analytischen Ausdruck für $c$ direkt bestimmen können, verwenden wir ein iteratives Verfahren, z.B. das Bisektionsverfahren:

Iteratives Verfahren:

1. Setze $a=0$ und $b=2$.
2. Berechne den Mittelwert $m=\frac{a+b}{2}$.
3. Prüfe den Wert von $h(m)=e^m-m^2$.
4. Wenn $h(m)$ nahe genug bei 0 ist (z.B. innerhalb eines tolerierten Fehlers), ist $m$ die gesuchte Lösung $c$.
5. Wenn $h(m)>0$, setze $b=m$.
6. Wenn $h(m)<0$, setze $a=m$.
7. Wiederhole die Schritte 2-6, bis die Bedingung $|h(m)|<\text{Toleranz}$ erfüllt ist.

Durch dieses Verfahren können wir numerisch ein $c\in [0,2]$ finden, sodass $h(c)=0$.

d)

Du hast eine Funktion $j(x)$, welche auf einem Intervall $[-3,3]$ stetig ist. Erkläre ausführlich, wie Du anhand des Zwischenwertsatzes zeigen kannst, dass für einen beliebigen Wert $y$, welcher zwischen $j(-3)$ und $j(3)$ liegt, ein Punkt $c$ in $[-3,3]$ existiert, sodass $j(c)=y$. Veranschauliche dies anhand eines Beispiels mit einer konkreten Funktion.

Lösung:

Erklärung des Zwischenwertsatzes anhand einer FunktionDer Zwischenwertsatz besagt, dass eine stetige Funktion auf einem Intervall jeden Wert zwischen ihrem Minimum und Maximum annimmt.

• Sei $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ stetig.
• Für ein $y$ zwischen $f(a)$ und $f(b)$ existiert ein $c\in [a,b]$ mit $f(c)=y$.

Gegeben sei eine Funktion $j(x)$, welche auf dem Intervall $[-3,3]$ stetig ist. Wir möchten zeigen, dass für jeden Wert $y$, der zwischen $j(-3)$ und $j(3)$ liegt, ein Punkt $c$ in $[-3,3]$ existiert, sodass $j(c)=y$.Allgemeines Vorgehen:

• Stelle sicher, dass die Funktion $j(x)$ auf dem Intervall $[-3,3]$ stetig ist. Da dies in der Aufgabenstellung gegeben ist, können wir sicher sein, dass der Zwischenwertsatz anwendbar ist.
• Berechne die Werte $j(-3)$ und $j(3)$. Diese Werte sind die Grenzen für das Intervall der y-Werte, die $j(x)$ annehmen kann.
• Wähle einen beliebigen Wert $y$, der zwischen $j(-3)$ und $j(3)$ liegt.
• Der Zwischenwertsatz garantiert, dass es ein $c\in [-3,3]$ gibt, sodass $j(c)=y$.

Beispiel:Betrachten wir eine konkrete Funktion, z.B. $j(x)=x^3-3x+1$, auf dem Intervall $[-3,3]$.

• Berechne $j(-3)$ und $j(3)$:
• $j(-3)=(-3{)}^3-3(-3)+1=-27+9+1=-17$.
• $j(3)=(3{)}^3-3(3)+1=27-9+1=19$.
• Der Zwischenwertsatz sagt, dass für jeden Wert $y$ in $[-17,19]$, es ein $c\in [-3,3]$ gibt, sodass $j(c)=y$.
• Wähle zum Beispiel $y=0$, das zwischen $-17$ und $19$ liegt.
• Gemäß dem Zwischenwertsatz existiert ein $c$ in $[-3,3]$, sodass $j(c)=0$.
• Um tatsächlich $c$ zu finden, setzen wir die Gleichung $x^3-3x+1=0$ und lösen sie nach $x$ auf. Dies kann durch numerische Methoden wie das Newton-Verfahren geschehen.

Zusammengefasst zeigt der Zwischenwertsatz, dass für jede stetige Funktion auf einem abgeschlossenen Intervall $[a,b]$, jeder Wert zwischen $f(a)$ und $f(b)$ angenommen wird.

Aufgabe 4)

Gegeben sei die Funktion $f(x)=x^3-3x+2$. Bestimme die Ableitung und interpretiere diese geometrisch. Löse anschließend spezifische Aufgaben zur Tangentensteigung und Tangentenformel.

b)

Bestimme die Steigung der Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $(1,f(1))$. Gib den Wert von $f^{\prime }(1)$ an und interpretiere ihn geometrisch.

Lösung:

Um die Steigung der Tangente an den Graphen der Funktion f(x) = x^3 - 3x + 2 im Punkt $(1,f(1))$ zu bestimmen, berechnen wir zunächst die Ableitung f'(x).

Aus der vorherigen Aufgabe wissen wir, dass: $$f^{\prime }(x)=3x^2-3$$

Nun setzen wir $x=1$ in die Ableitung ein:

• Berechne f'(1):

f'(1) = 3(1)^2 - 3 = 3 - 3 = 0

Die Steigung der Tangente an den Graphen von f im Punkt $(1,f(1))$ ist also:

$$f^{\prime }(1)=0$$

Geometrisch interpretiert bedeutet dies, dass die Tangente im Punkt $(1,f(1))$ eine horizontale Gerade ist, da ihre Steigung 0 ist.

c)

Formuliere die Gleichung der Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $(1,f(1))$ unter Anwendung der Tangentenformel $$y=f^{\prime }(a)(x-a)+f(a)$$. Zeichne den Graphen der Funktion und die Tangente im Punkt $(1,f(1))$.

Lösung:

Um die Gleichung der Tangente an den Graphen der Funktion f(x) = x^3 - 3x + 2 im Punkt $(1,f(1))$ zu formulieren, verwenden wir die Tangentenformel:

$$y=f^{\prime }(a)(x-a)+f(a)$$

Wir haben bereits die Steigung der Tangente an dieser Stelle berechnet:

• $f^{\prime }(1)=0$

Um die Tangentenformel korrekt anzuwenden, benötigen wir auch den Funktionswert $f(1)$:

• Berechne f(1):

f(1) = 1^3 - 3 \times 1 + 2 = 1 - 3 + 2 = 0

Der Punkt $(1,f(1))$ ist daher $(1,0)$.

Setze nun die Werte in die Tangentenformel ein:

• $a=1$
• $f^{\prime }(1)=0$
• $f(1)=0$

y = 0 \times (x - 1) + 0 = 0

Die Gleichung der Tangente lautet daher:

y = 0

Geometrisch bedeutet dies, dass die Tangente eine horizontale Gerade ist, die die x-Achse bei (1, 0) schneidet.

Um den Graphen der Funktion und die Tangente zu zeichnen, betrachte die Verläufe:

• Die Funktion f(x) = x^3 - 3x + 2 ist eine kubische Funktion mit Wendepunkten und Nulldurchgängen.
• Die Tangente ist eine horizontale Linie bei $y=0$, die die x-Achse schneidet.

Hier ist eine schematische Darstellung: