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Analysis 3 - Cheatsheet

Fourier-Reihen und ihre Konvergenz Definition: Analyse periodischer Funktionen mittels Summe von Sinus- und Kosinusfunktionen. Details: Fourier-Reihe:

f (x) = a_{0} + \frac{1}{2} (\sum_{n = 1}^{\infty} (a_{n} \cos (n x) + b_{n} \sin (n x)))

Koeffizienten:

a_{0} = \frac{1}{T} \int_{- T / 2}^{T / 2} f (x) d x

a_{n} = \frac{2}{T} \int_{- T / 2}^{T / 2} f (x) \cos (n x) d x

\[ b_n = \frac{2}{T} \...

Fourier-Reihen und ihre Konvergenz

Definition:

Analyse periodischer Funktionen mittels Summe von Sinus- und Kosinusfunktionen.

Details:

Fourier-Reihe: $f (x) = a_{0} + \frac{1}{2} (\sum_{n = 1}^{\infty} (a_{n} \cos (n x) + b_{n} \sin (n x)))$
Koeffizienten: $a_{0} = \frac{1}{T} \int_{- T / 2}^{T / 2} f (x) d x$ $a_{n} = \frac{2}{T} \int_{- T / 2}^{T / 2} f (x) \cos (n x) d x$ $b_{n} = \frac{2}{T} \int_{- T / 2}^{T / 2} f (x) \sin (n x) d x$
Konvergenz: Punktweise vs. gleichmäßig
Dirichlet-Kriterium
Gibbssches Phänomen bei Unstetigkeiten

Fourier-Transformationen und ihre Anwendungen

Definition:

Die Fourier-Transformation zerlegt eine Funktion in ihre Frequenzkomponenten.

Details:

Definition der Fourier-Transformation für eine Funktion f(x): $\hat{f} (ξ) = \int_{- \infty}^{\infty} f (x) e^{- 2 π i x ξ} d x$
Inverse Fourier-Transformation: $f (x) = \int_{- \infty}^{\infty} \hat{f} (ξ) e^{2 π i x ξ} d ξ$
Eigenschaften: Linearität, Verschiebung, Skalierung, Faltungstheorem, Parseval'sche Gleichung
Anwendungen: Signalverarbeitung, Lösung von Differentialgleichungen, Bildverarbeitung

Lösungstechniken für gewöhnliche Differentialgleichungen (ODEs)

Definition:

Lösungstechniken für gewöhnliche Differentialgleichungen (ODEs) beinhalten analytische und numerische Methoden zur Bestimmung von Lösungen.

Details:

Separation der Variablen: Trennung von Variablen und Integration beider Seiten.
Lineare ODEs: Verwendung von Integrationsfaktoren oder Charakteristiken.
Homogene lineare ODEs: Ansatz durch charakteristisches Polynom.
Inhomogene lineare ODEs: Variation der Konstanten, Methode der unbestimmten Koeffizienten.
Laplace-Transformation: Umwandlung der ODE in eine einfachere algebraische Gleichung.
Numerische Methoden: Euler-Verfahren, Runge-Kutta-Verfahren.

Partielle Differentialgleichungen (PDEs) und ihre Klassifizierung

Definition:

Partielle Differentialgleichungen (PDGs) beschreiben Systeme mit mehreren unabhängigen Variablen, bei denen die Ableitungen einer oder mehrerer abhängiger Variablen vorkommen.

Details:

Allgemeine Form: $F (x_{1}, x_{2}, . . ., x_{n}, u, \frac{\partial u}{\partial x_{1}}, \frac{\partial u}{\partial x_{2}}, . . ., \frac{\partial^{2} u}{\partial x_{1}^{2}}, . . .) = 0$
Klassifizierung basierend auf der höchsten Ableitung:
Elliptisch: keine Real-Charakteristiken z.B. $Δ u = 0$
Parabolisch: besitzt eine Charakteristik, z.B. Wärmeleitungsgleichung $u_{t} = α Δ u$
Hyperbolisch: zwei reelle Charakteristiken, z.B. Wellengleichung $u_{t t} = c^{2} Δ u$

Potenzreihen und ihre Konvergenzbereiche

Definition:

Potenzreihen (unendliche Summen von Termen der Form $a_{n} (z - z_{0})^{n}$ ) und ihre Konvergenzbereiche sind sowohl in der reellen als auch in der komplexen Analysis relevante Konzepte.

Details:

Potenzreihe: $\sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} (z - z_{0})^{n}$
Konvergenzradius $R$ : definiert als $R = \frac{1}{\underset{n \to \infty}{lim sup} | a_{n} |^{1 / n}}$ (Cauchy-Hadamard-Theorem)
Konvergenzbereich: $| z - z_{0} | < R$
Absolute Konvergenz innerhalb des Konvergenzbereiches
Randpunkte müssen separat untersucht werden

Taylor- und Maclaurin-Reihen

Definition:

Taylor- und Maclaurin-Reihen sind Methoden zur Darstellung von Funktionen als unendliche Summen von Potenzreihen um einen Punkt.

Details:

Taylor-Reihe einer Funktion f um den Punkt a: f(x) =
- Formel: f(x) =
- Voraussetzung: f(x)
Maclaurin-Reihe ist Spezialfall der Taylor-Reihe um a=0:

Normierte Räume und Banachräume

Definition:

Normierter Raum ist ein Vektorraum mit einer Norm. Banachraum ist ein vollständiger normierter Raum.

Details:

Norm: $‖ x ‖$
Vollständig: jede Cauchy-Folge konvergiert
Banachraum: $(X, ‖ \cdot ‖)$ ist vollständig, falls jede Cauchy-Folge in \ X \ konvergiert
Wichtige Beispiele: $R^{n}$ , $l^{p}$ -Räume, $C ([a, b])$
Verwendung: Lösen von Differentialgleichungen, Optimierung
Cauchy-Folge: $\forall ϵ > 0 \exists N \forall m, n \geq N ‖ x_{m} - x_{n} ‖ < ϵ$

Hilberträume und ihre Eigenschaften

Definition:

Kompletter normierter Raum mit Skalarprodukt; Verallgemeinerung euklidischer Räume für unendlichdimensionale Vektorräume.

Details:

Skalarprodukt $⟨ x, y ⟩$ mit Linearität, Symmetrie und Positivität.
Norm: $‖ x ‖ = \sqrt{⟨ x, x ⟩}$ .
Vollständigkeit: Jede Cauchy-Folge konvergiert.
Orthogonalität: $⟨ x, y ⟩ = 0$ bedeutet, x und y sind orthogonal.
Kosestetz: Ergänzung orthogonal unabhängiger Vektoren zu Orthonormalbasis möglich.

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Fourier-Reihen und ihre Konvergenz

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Taylor- und Maclaurin-Reihen

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