Analysis 3 - Cheatsheet.pdf

Fourier-Reihen und ihre Konvergenz

Definition:

Analyse periodischer Funktionen mittels Summe von Sinus- und Kosinusfunktionen.

Details:

• Fourier-Reihe: \[ f(x) = a_0 + \frac{1}{2} \bigg( \sum_{n=1}^{\infty} ( a_n \cos(nx) + b_n \sin(nx) ) \bigg) \]
• Koeffizienten: \[ a_0 = \frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2} f(x) \, dx \] \[ a_n = \frac{2}{T} \int_{-T/2}^{T/2} f(x) \cos(nx) \, dx \] \[ b_n = \frac{2}{T} \int_{-T/2}^{T/2} f(x) \sin(nx) \, dx \]
• Konvergenz: Punktweise vs. gleichmäßig
• Dirichlet-Kriterium
• Gibbssches Phänomen bei Unstetigkeiten

Fourier-Transformationen und ihre Anwendungen

Definition:

Die Fourier-Transformation zerlegt eine Funktion in ihre Frequenzkomponenten.

Details:

• Definition der Fourier-Transformation für eine Funktion f(x): \[\hat{f}(\xi) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x) e^{-2\pi i x \xi} dx\]
• Inverse Fourier-Transformation: \[f(x) = \int_{-\infty}^{\infty} \hat{f}(\xi) e^{2\pi i x \xi} d\xi\]
• Eigenschaften: Linearität, Verschiebung, Skalierung, Faltungstheorem, Parseval'sche Gleichung
• Anwendungen: Signalverarbeitung, Lösung von Differentialgleichungen, Bildverarbeitung

Lösungstechniken für gewöhnliche Differentialgleichungen (ODEs)

Definition:

Lösungstechniken für gewöhnliche Differentialgleichungen (ODEs) beinhalten analytische und numerische Methoden zur Bestimmung von Lösungen.

Details:

• Separation der Variablen: Trennung von Variablen und Integration beider Seiten.
• Lineare ODEs: Verwendung von Integrationsfaktoren oder Charakteristiken.
• Homogene lineare ODEs: Ansatz durch charakteristisches Polynom.
• Inhomogene lineare ODEs: Variation der Konstanten, Methode der unbestimmten Koeffizienten.
• Laplace-Transformation: Umwandlung der ODE in eine einfachere algebraische Gleichung.
• Numerische Methoden: Euler-Verfahren, Runge-Kutta-Verfahren.

Partielle Differentialgleichungen (PDEs) und ihre Klassifizierung

Definition:

Partielle Differentialgleichungen (PDGs) beschreiben Systeme mit mehreren unabhängigen Variablen, bei denen die Ableitungen einer oder mehrerer abhängiger Variablen vorkommen.

Details:

• Allgemeine Form: \(F(x_1, x_2, ..., x_n, u, \frac{\partial u}{\partial x_1}, \frac{\partial u}{\partial x_2}, ..., \frac{\partial^2 u}{\partial x_1^2}, ...) = 0\)
• Klassifizierung basierend auf der höchsten Ableitung:
• Elliptisch: keine Real-Charakteristiken z.B. \(\Delta u = 0\)
• Parabolisch: besitzt eine Charakteristik, z.B. Wärmeleitungsgleichung \(u_t = \alpha \Delta u\)
• Hyperbolisch: zwei reelle Charakteristiken, z.B. Wellengleichung \(u_{tt} = c^2 \Delta u\)

Potenzreihen und ihre Konvergenzbereiche

Definition:

Potenzreihen (unendliche Summen von Termen der Form \(a_n (z - z_0)^n\)) und ihre Konvergenzbereiche sind sowohl in der reellen als auch in der komplexen Analysis relevante Konzepte.

Details:

• Potenzreihe: \( \sum_{n=0}^{\infty} a_n (z - z_0)^n \)
• Konvergenzradius \(R\): definiert als \( R = \frac{1}{\limsup_{n \to \infty} |a_n|^{1/n}} \) (Cauchy-Hadamard-Theorem)
• Konvergenzbereich: \( |z - z_0| < R \)
• Absolute Konvergenz innerhalb des Konvergenzbereiches
• Randpunkte müssen separat untersucht werden

Taylor- und Maclaurin-Reihen

Definition:

Taylor- und Maclaurin-Reihen sind Methoden zur Darstellung von Funktionen als unendliche Summen von Potenzreihen um einen Punkt.

Details:

• Taylor-Reihe einer Funktion f um den Punkt a: f(x) =
  • Formel: f(x) =
  • Voraussetzung: f(x)
• Maclaurin-Reihe ist Spezialfall der Taylor-Reihe um a=0:

Normierte Räume und Banachräume

Definition:

Normierter Raum ist ein Vektorraum mit einer Norm. Banachraum ist ein vollständiger normierter Raum.

Details:

• Norm: \( \| x \| \)
• Vollständig: jede Cauchy-Folge konvergiert
• Banachraum: \( (X, \| \cdot \|) \) ist vollständig, falls jede Cauchy-Folge in \ X \ konvergiert
• Wichtige Beispiele: \( \mathbb{R}^n \), \( l^p \)-Räume, \( C([a,b]) \)
• Verwendung: Lösen von Differentialgleichungen, Optimierung
• Cauchy-Folge: \( \forall \epsilon > 0 \, \exists N \, \forall m,n \geq N \, \| x_m - x_n \| < \epsilon \)

Hilberträume und ihre Eigenschaften

Definition:

Kompletter normierter Raum mit Skalarprodukt; Verallgemeinerung euklidischer Räume für unendlichdimensionale Vektorräume.

Details:

• Skalarprodukt \( \langle x, y \rangle \) mit Linearität, Symmetrie und Positivität.
• Norm: \( \| x \| = \sqrt{\langle x, x \rangle} \).
• Vollständigkeit: Jede Cauchy-Folge konvergiert.
• Orthogonalität: \( \langle x, y \rangle = 0 \) bedeutet, x und y sind orthogonal.
• Kosestetz: Ergänzung orthogonal unabhängiger Vektoren zu Orthonormalbasis möglich.