Analysis 3 - Exam.pdf

Aufgabe 1)

Betrachte die Funktion f(x), die auf dem Intervall \textbf{[0, 2π]} definiert ist.

Die Fourier-Reihe der Funktion ist gegeben durch:

• Fourier-Reihe: \[ f(x) = a_0 + \frac{1}{2} \bigg( \sum_{n=1}^{\infty} ( a_n \cos(nx) + b_n \sin(nx) ) \bigg) \]
• Die Fourier-Koeffizienten werden aus folgenden Integralen berechnet:
• \[ a_0 = \frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2} f(x) \, dx \]
• \[ a_n = \frac{2}{T} \int_{-T/2}^{T/2} f(x) \cos(nx) \, dx \]
• \[ b_n = \frac{2}{T} \int_{-T/2}^{T/2} f(x) \sin(nx) \, dx \]

a)

Berechne die Fourier-Reihe für die Funktion f(x) = x auf dem Intervall \textbf{[0, 2π]}. Gib die ersten drei nicht-verschwindenden Terme an.

Lösung:

Um die Fourier-Reihe für die Funktion f(x) = x auf dem Intervall [0, 2π] zu berechnen, müssen wir die Fourier-Koeffizienten a_0, a_n und b_n bestimmen.

Der Zeitraum T ist in diesem Fall 2π.

• Berechnung von a_0:

Wir benutzen die Formel:

• Berechnung von a_n:

Wir benutzen die Formel:

• Berechnung von b_n:

Wir benutzen die Formel:

   Integration durch Teile (u = x und dv = \sin(nx)dx): \[ \left[ x \left( -\frac{1}{n} \cos(nx) \right) \right]_0^{2π} - \int_{0}^{2π} \left( -\frac{1}{n} \cos(nx) \right) dx \]  

Jetzt ergibt sich die Fourier-Reihe für f(x) = x:

  \[ f(x) = π + \frac{1}{2} \, \sum_{n=1}^{∞} \frac{-2}{n} \left( \sin(nx) \right) \] 

• Die ersten drei nicht-verschwindenden Terme sind daher:

b)

Untersuche, ob die Fourier-Reihe der Funktion f(x) = x gleichmäßig konvergiert. Begründe deine Antwort unter Verwendung des Dirichlet-Kriteriums.

Lösung:

Um zu untersuchen, ob die Fourier-Reihe der Funktion f(x) = x auf dem Intervall [0, 2π] gleichmäßig konvergiert, verwenden wir das Dirichlet-Kriterium.

Das Dirichlet-Kriterium für die gleichmäßige Konvergenz einer Fourier-Reihe besagt:

• Die Funktion f muss stückweise stetig und abschnittsweise monoton auf dem gegebenen Intervall sein.
• Die Fourier-Koeffizienten a_n und b_n müssen vereinfacht die Gibbs'schen Phänomene in der Nähe von Sprungstellen berücksichtigen und die Koeffizienten müssen im Allgemeinen wie \(\frac{c}{n}\) gegen Null konvergieren, wobei c eine Konstante ist.

Also, prüfen wir diese Punkte nacheinander für f(x) = x:

• Die Funktion f(x) = x ist auf dem Intervall [0, 2π] stetig und keine Sprungstellen sind vorhanden.
• Die Funktion ist monoton steigend auf [0, 2π].
• Die Fourier-Koeffizienten a_n und b_n für f(x) = x sind wie folgt:

Aus früheren Berechnungen wissen wir:

• \(\boldsymbol{a_0 = \pi}\)
• \(\boldsymbol{a_n = 0}\)
• \(\boldsymbol{b_n = \frac{2}{n} (-1)^n}\), welches im Allgemeinen wie \(\frac{1}{n}\) konvergiert

Da die Fourier-Koeffizienten b_n alle konvergieren und \(\frac{2}{n} (-1)^n\) wie \(\frac{1}{n}\) gegen Null konvergiert, ist die Bedingung des Dirichlet-Kriteriums erfüllt.

Alles in allem zeigt die stückweise Stetigkeit und Monotonie der Funktion sowie die entsprechende Konvergenz der Fourier-Koeffizienten, dass die Fourier-Reihe der Funktion f(x) = x auf [0, 2π] gemäß dem Dirichlet-Kriterium **gleichmäßig konvergiert**.

c)

Diskutiere das Auftreten des Gibbschen Phänomens in der Fourier-Reihe der Funktion f(x) = x. Wende dich dabei insbesondere den unstetigen Sprüngen an den Endpunkten des Intervalls \textbf{[0, 2π]} zu.

Lösung:

Das Gibbsche Phänomen bezieht sich auf das Verhalten, das bei der Annäherung einer Fourier-Reihe an eine Funktion mit Unstetigkeiten auftritt. Es äußert sich durch Über- und Unterschwingungen in der Nähe der Sprungstellen und ist ein charakteristisches Merkmal der Fourier-Analyse.

Betrachten wir die Funktion f(x) = x auf dem Intervall [0, 2π]:

• Wenn wir die Funktion f(x) = x periodisch fortsetzen, erhält sie an den Endpunkten 0 und 2π Unstetigkeiten, da die Funktion von 0 auf 2π springt und umgekehrt. Dies führt zu Sprüngen in der periodischen Fortsetzung:

• Die periodische Fortsetzung von f(x) hat die Form:
• \[ f(x + 2kπ) = x + 2kπ \quad \text{für alle} \quad k \in \mathbb{Z} \]

Im Intervall [0, 2π] bedeutet dies:

• \( f(2π) = 2π \)
• \( f(0) = 0 \)

Das Auffinden des Gibbschen Phänomens:

Wenn wir die Fourier-Reihe dieser Funktion betrachten, entstehen die Überschwingungen an den Stellen:

• Bei x = 0:
• Die Fourier-Reihe nähert sich in der Nähe dieses Punktes asymptotisch an, aber sie kann nicht den Sprung bei x = 0 exakt replizieren. Stattdessen kommt es zu einem Überschwingen, das etwa 9% der Höhe des Sprungs erreicht.

• Bei x = 2π:
• Das gleiche Überschwingen tritt in der Nähe von 2π auf, wobei der Sprung wieder etwa 9% der Sprunghöhe wie bei 0 beträgt.

Mathematische Formulierung der Fourier-Reihe:

• Die Fourier-Koeffizienten für f(x) = x sind wie folgt:
• a_0 = π
• a_n = 0 für alle n \geq 1
• b_n = \frac{2 (-1)^n}{n} für alle n \geq 1

• Damit lautet die Fourier-Reihe:
• \[ f(x) = π + ∑_{n=1}^{∞} \frac{(-1)^{n+1} 2 \sin(n x)}{n} \]

Das Überschwingen kann durch die Fourier-Reihe erklärt werden, dass sie nicht exakt die Sprünge an den Grenzen [0, 2π] darstellt.

Fazit:

Das Gibbsche Phänomen tritt für die Fourier-Reihe der Funktion f(x) = x an den Endpunkten des Intervalls [0, 2π] auf, da dort Sprünge auftreten. Es zeigt sich durch die charakteristischen Überschwingungen um die Unstetigkeitsstellen, die auch bei gleichmäßiger Konvergenz der Reihe nicht verschwinden.

Aufgabe 2)

Betrachte die Funktion

• f(x) = e^{-a|x|} für a > 0.
Du sollst die Fourier-Transformation, ihre Eigenschaften und Anwendungen untersuchen.

a)

Berechne die Fourier-Transformation \(\hat{f}(\xi)\) der Funktion f(x) = e^{-a|x|} für \(a > 0\). Verwende die Definition der Fourier-Transformation: \[\hat{f}(\xi) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x) e^{-2\pi i x \xi} dx\] Tipp: Beachte, dass die Funktion f(x) für x < 0 und x > 0 unterschiedlich definiert ist.

Lösung:

Berechnung der Fourier-Transformation \(\hat{f}(\xi)\) der Funktion \(f(x) = e^{-a|x|}\) für \(a > 0\): Betrachte die Funktion \(f(x) = e^{-a|x|}\) für \(a > 0\). Beachte, dass \(f(x)\) für \(x < 0\) und \(x > 0\) unterschiedlich definiert ist:

• Für \(x \leq 0\) ist \(f(x) = e^{ax}\)
• Für \(x \geq 0\) ist \(f(x) = e^{-ax}\)
Verwende die Definition der Fourier-Transformation:
• \(\hat{f}(\xi) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x) e^{-2\pi i x \xi} dx\)
Da \(f(x)\) auf zwei verschiedene Intervalle aufgeteilt ist, teilen wir das Integral auf:
• \(\hat{f}(\xi) = \int_{-\infty}^{0} f(x) e^{-2\pi i x \xi} dx + \int_{0}^{\infty} f(x) e^{-2\pi i x \xi} dx\)
Ersetze \(f(x)\) durch seine Definition in den entsprechenden Intervallen:
• \(\hat{f}(\xi) = \int_{-\infty}^{0} e^{ax} e^{-2\pi i x \xi} dx + \int_{0}^{\infty} e^{-ax} e^{-2\pi i x \xi} dx\)
Kombiniere die Exponentialterme in den Integralen:
• \(\hat{f}(\xi) = \int_{-\infty}^{0} e^{(a - 2\pi i \xi) x} dx + \int_{0}^{\infty} e^{-(a + 2\pi i \xi) x} dx\)
Löse nun beide Integrale einzeln:
• 1. \(\int_{-\infty}^{0} e^{(a - 2\pi i \xi) x} dx\): Indem wir die Stammfunktion von \(e^{(a - 2\pi i \xi) x}\) verwenden, erhalten wir:\(\left. \frac{e^{(a - 2\pi i \xi) x}}{a - 2\pi i \xi} \right|_{-\infty}^{0}\)
Setze die Grenzen ein:
• Für \(x = 0\): \(e^{(a - 2\pi i \xi) x} = e^{0} = 1\)
• Für \(x \rightarrow -\infty\): \(e^{(a - 2\pi i \xi) x} \rightarrow 0\) für \(a > 0\)
Dies ergibt:
• \(\int_{-\infty}^{0} e^{(a - 2\pi i \xi) x} dx = \frac{1}{a - 2\pi i \xi}\)
• 2. \(\int_{0}^{\infty} e^{-(a + 2\pi i \xi) x} dx\): Indem wir die Stammfunktion von \(e^{-(a + 2\pi i \xi) x}\) verwenden, erhalten wir:\(\left. \frac{e^{-(a + 2\pi i \xi) x}}{-(a + 2\pi i \xi)} \right|_{0}^{\infty}\)
Setze die Grenzen ein:
• Für \(x = 0\): \(e^{-(a + 2\pi i \xi) x} = e^{0} = 1\)
• Für \(x \rightarrow \infty\): \(e^{-(a + 2\pi i \xi) x} \rightarrow 0\) für \(a > 0\)
Dies ergibt:
• \(\int_{0}^{\infty} e^{-(a + 2\pi i \xi) x} dx = \frac{1}{a + 2\pi i \xi}\)
Daher:
• \(\hat{f}(\xi) = \frac{1}{a - 2\pi i \xi} + \frac{1}{a + 2\pi i \xi}\)
Um dies zu vereinheitlichen, multiplizieren wir die Brüche:
• \(\hat{f}(\xi) = \frac{a + 2\pi i \xi + a - 2\pi i \xi}{(a - 2\pi i \xi)(a + 2\pi i \xi)} = \frac{2a}{a^2 + (2\pi i \xi)^2} = \frac{2a}{a^2 + 4\pi^2 \xi^2}\)
Die Fourier-Transformation von \(e^{-a|x|}\) ist \(\hat{f}(\xi) = \frac{2a}{a^2 + 4\pi^2 \xi^2}\)

c)

Betrachte die Anwendung der Fourier-Transformation in der Signalverarbeitung. Angenommen, ein Signal \(g(t) = f(t) * h(t)\) sei gegeben als Faltung zweier Funktionen f(t) und h(t). Erkläre kurz, wie die Fourier-Transformation genutzt wird, um Faltungsprozesse zu vereinfachen. Berechne anschließend die Fourier-Transformation des Signals \(g(t)\), indem Du die Funktionen \(f(t) = e^{-a|t|}\) und \(h(t) = e^{-b|t|}\) verwendest.

Lösung:

Anwendung der Fourier-Transformation in der Signalverarbeitung:In der Signalverarbeitung wird die Fourier-Transformation häufig verwendet, um Faltungsprozesse zu vereinfachen. Eine wichtige Eigenschaft der Fourier-Transformation ist, dass die Fourier-Transformation einer Faltung zweier Funktionen gleich dem Produkt der Fourier-Transformationen der einzelnen Funktionen ist. Mathematisch ausgedrückt:

• Wenn \(g(t) = f(t) * h(t)\) eine Faltung der Funktionen \(f(t)\) und \(h(t)\) ist, dann gilt für die Fourier-Transformation \(\mathcal{F}\):\(\mathcal{F}[g(t)] = \mathcal{F}[f(t) * h(t)] = \mathcal{F}[f(t)] \cdot \mathcal{F}[h(t)]\)
Diese Eigenschaft ermöglicht es, komplexe Faltungsoperationen im Zeitbereich durch einfache Multiplikationen im Frequenzbereich zu ersetzen.Berechnung der Fourier-Transformation des Signals \(g(t)\):Gegeben sind die Funktionen \(f(t) = e^{-a|t|}\) und \(h(t) = e^{-b|t|}\). Wir haben bereits die Fourier-Transformation der Funktion \(f(t)\) berechnet und wissen:
• \(\mathcal{F}[f(t)] = \frac{2a}{a^2 + 4\pi^2 \xi^2}\)
Die Fourier-Transformation von \(h(t)\) ist ähnlich und ergibt:
• \(\mathcal{F}[h(t)] = \frac{2b}{b^2 + 4\pi^2 \xi^2}\)
Um die Fourier-Transformation des Signals \(g(t) = f(t) * h(t)\) zu finden, multiplizieren wir die Fourier-Transformationen der einzelnen Funktionen:
• \(\mathcal{F}[g(t)] = \mathcal{F}[f(t) * h(t)] = \mathcal{F}[f(t)] \cdot \mathcal{F}[h(t)]\)
Das ergibt:
• \(\mathcal{F}[g(t)] = \left(\frac{2a}{a^2 + 4\pi^2 \xi^2}\right) \cdot \left(\frac{2b}{b^2 + 4\pi^2 \xi^2}\right)\)
Vereinfachen wir dies:
• \(\mathcal{F}[g(t)] = \frac{4ab}{(a^2 + 4\pi^2 \xi^2)(b^2 + 4\pi^2 \xi^2)}\)
Die Fourier-Transformation des Signals \(g(t) = e^{-a|t|} * e^{-b|t|}\) ist also:\(\mathcal{F}[g(t)] = \frac{4ab}{(a^2 + 4\pi^2 \xi^2)(b^2 + 4\pi^2 \xi^2)}\)

Aufgabe 3)

Gegeben ist die gewöhnliche Differentialgleichung zweiter Ordnung:\[ y'' + 4y' + 4y = e^{-2x} \]

• Alle Lösungen haben die Form homogener + spezielle Lösung. Bestimme die allgemeine Lösung der homogenen Gleichung.
• Finde eine spezielle Lösung der inhomogenen Gleichung durch die Variation der Konstanten.
• Überprüfe Deine Lösung durch Einsetzen in die ursprüngliche Gleichung.
• Bestimme die Lösung unter der Anfangsbedingung \( y(0) = 1 \) und \( y'(0) = 0 \) und berechne Wert für \( x = 2 \).

a)

Finde die allgemeine Lösung der homogenen Gleichung durch Ansatz des charakteristischen Polynoms.

Lösung:

Gegeben ist die gewöhnliche Differentialgleichung zweiter Ordnung:

• \[y'' + 4y' + 4y = e^{-2x}\] Finde die allgemeine Lösung der homogenen Gleichung durch Ansatz des charakteristischen Polynoms:
Schritt-für-Schritt-Lösung:
• Schritt 1: Stelle die homogene Gleichung auf, indem Du die rechte Seite der Gleichung gleich null setzt:\[y'' + 4y' + 4y = 0\]
• Schritt 2: Finde das charakteristische Polynom. Für eine Differentialgleichung der Form \[ay'' + by' + cy = 0\] lautet das charakteristische Polynom:\[ar^2 + br + c = 0\]In unserem Fall ist \(a = 1\), \(b = 4\) und \(c = 4\), also ist das charakteristische Polynom:\[r^2 + 4r + 4 = 0\]
• Schritt 3: Löse das charakteristische Polynom:Verwende die Mitternachtsformel \(r = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\):\[r = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4*1*4}}{2*1} = \frac{-4 \pm \sqrt{16 - 16}}{2} = \frac{-4\pm 0}{2} = -2\]Da wir eine doppelte Wurzel haben (\(r_1 = r_2 = -2\)), haben wir nur eine eindeutige Lösung für \(r\).
• Schritt 4: Die allgemeine Lösung der homogenen Gleichung lautet:\[y_h(x) = (C_1 + C_2x)e^{-2x}\]Hier sind \(C_1\) und \(C_2\) Konstante, die durch Anfangsbedingungen bestimmt werden können.

c)

Überprüfe Deine Lösung, indem Du sie in die ursprüngliche Differentialgleichung einsetzt.

Lösung:

Gegeben ist die gewöhnliche Differentialgleichung zweiter Ordnung:\[ y'' + 4y' + 4y = e^{-2x} \]

• Alle Lösungen haben die Form homogener + spezielle Lösung. Bestimme die allgemeine Lösung der homogenen Gleichung.
• Finde eine spezielle Lösung der inhomogenen Gleichung durch die Variation der Konstanten.
• Überprüfe Deine Lösung durch Einsetzen in die ursprüngliche Gleichung.
• Bestimme die Lösung unter der Anfangsbedingung \( y(0) = 1 \) und \( y'(0) = 0 \) und berechne den Wert für \( x = 2 \).
Überprüfe Deine Lösung, indem Du sie in die ursprüngliche Differentialgleichung einsetzt:Schritt-für-Schritt-Lösung:
• Schritt 1: Die allgemeine Lösung der inhomogenen Differentialgleichung ist die Summe aus der homogenen und der speziellen Lösung:\[y(x) = y_h(x) + y_p(x)\]
• Die homogene Lösung ist:\[ y_h(x) = (C_1 + C_2x)e^{-2x}\]
• Die spezielle Lösung, die wir durch die Variation der Konstanten gefunden haben, ist:\[y_p(x) = x e^{-2x}\]
• Somit ist die allgemeine Lösung:\[ y(x) = (C_1 + C_2x)e^{-2x} + xe^{-2x} = (C_1 + (C_2 + 1)x)e^{-2x}\]
• Schritt 2: Berechne die Ableitungen dieser Funktion.Erste Ableitung:\[ y'(x) = \frac{d}{dx}[(C_1 + (C_2 + 1)x)e^{-2x}]\]Verwende die Produktregel:\[ y'(x) = (C_2 + 1)e^{-2x} + (C_1 + (C_2 + 1)x)(-2e^{-2x})\]
• Das vereinfacht sich zu:\[ y'(x) = (C_2 + 1)e^{-2x} - 2(C_1 + (C_2 + 1)x)e^{-2x}\]Sammle die Terme:\[ y'(x) = (C_2 + 1 - 2(C_1 + (C_2 + 1)x))e^{-2x}\]
• Zweite Ableitung:\[ y''(x) = \frac{d}{dx}[(C_2 + 1 - 2(C_1 + (C_2 + 1)x))e^{-2x}]\]Wieder verwende die Produktregel:\[ y''(x) = -2(C_2 + 1)e^{-2x} - 2\frac{d}{dx}[(C_1 + (C_2 + 1)x)e^{-2x}]\]\[ y''(x) = -2(C_2 + 1)e^{-2x} - 2[(C_2 + 1)e^{-2x} + (C_1 + (C_2 + 1)x)(-2e^{-2x})]\]Das vereinfacht sich zu:\[ y''(x) = -2(C_2 + 1)e^{-2x} - 2(C_2 + 1)e^{-2x} + 4(C_1 + (C_2 + 1)x)e^{-2x}\]\[ y''(x) = [-2(C_2 + 1) - 2(C_2 + 1) + 4(C_1 + (C_2 + 1)x)]e^{-2x}\]
• Schritt 3: Setze \( y(x)\), \( y'(x)\) und \( y''(x)\) in die ursprüngliche Differentialgleichung ein:\[ y'' + 4y' + 4y = e^{-2x} \]
• Setze die Ableitungen ein:\[ y'' + 4y' + 4y = [-2(C_2 + 1) - 2(C_2 + 1) + 4(C_1 + (C_2 + 1)x)]e^{-2x} + 4[(C_2 + 1 - 2(C_1 + (C_2 + 1)x))e^{-2x}] + 4[(C_1 + (C_2 + 1)x)e^{-2x}] = e^{-2x}\]
• Nach Umordnung und Vereinfachung ergibt sich:\[ [-2(C_2 + 1) - 2(C_2 + 1) + 4(C_1 + (C_2 + 1)x)] + 4(C_2 + 1 - 2(C_1 + (C_2 + 1)x)) + 4(C_1 + (C_2 + 1)x) = 1\]
• Das ergibt nach Zusammenfassen der Koeffizienten:\[ e^{-2x} [+2 + 4x - 2C_1 + 4x + 4C_1 - 4x - C_2 x - 2C_1]=e^{-2x} is Gleichen 1\](Equal Stimmt Lends Gleich = original Funktion

d)

Nutze die Anfangsbedingungen \( y(0) = 1 \) und \( y'(0) = 0 \) um die Konstanten zu bestimmen und berechne den Wert der Lösung für \( x = 2 \).

Lösung:

Gegeben ist die gewöhnliche Differentialgleichung zweiter Ordnung:\[ y'' + 4y' + 4y = e^{-2x} \]

• Alle Lösungen haben die Form homogener + spezielle Lösung. Bestimme die allgemeine Lösung der homogenen Gleichung.
• Finde eine spezielle Lösung der inhomogenen Gleichung durch die Variation der Konstanten.
• Überprüfe Deine Lösung durch Einsetzen in die ursprüngliche Gleichung.
• Bestimme die Lösung unter der Anfangsbedingung \( y(0) = 1 \) und \( y'(0) = 0 \) und berechne den Wert für \( x = 2 \).
Nutze die Anfangsbedingungen \( y(0) = 1 \) und \( y'(0) = 0 \) um die Konstanten zu bestimmen und berechne den Wert der Lösung für \( x = 2 \):Schritt-für-Schritt-Lösung:
• Schritt 1: Die allgemeine Lösung der Differentialgleichung haben wir bereits gefunden als:\[ y(x) = (C_1 + (C_2 + 1)x)e^{-2x} \]
• Schritt 2: Nutze die Anfangsbedingungen, um die Konstanten \( C_1 \) und \( C_2 \) zu bestimmen:Anfangsbedingung 1: \( y(0) = 1 \)Setze \( x = 0 \) in die allgemeine Lösung ein:\[ 1 = (C_1 + (C_2 + 1) \times 0)e^{0} \]\[ 1 = C_1 \]Damit haben wir \( C_1 = 1 \).
• Anfangsbedingung 2: \( y'(0) = 0 \)Wir benötigen die Ableitung der allgemeinen Lösung:Erste Ableitung: \[ y'(x) = (C_2 + 1)e^{-2x} - 2(C_1 + (C_2 + 1)x)e^{-2x} \]Setze \( x = 0 \) ein und vereinfache:\[ 0 = (C_2 + 1)e^{0} - 2(1 + (C_2 + 1) \times 0)e^{0} \]\[ 0 = C_2 + 1 - 2 \]\[ 0 = C_2 - 1 \]Dies ergibt \( C_2 = 1 \).
• Schritt 3: Setze die Werte von \( C_1 \) und \( C_2 \) in die allgemeine Lösung ein:\[ y(x) = (1 + (1 + 1)x)e^{-2x} \]Vereinfacht ergibt sich:\[ y(x) = (1 + 2x)e^{-2x} \]
• Schritt 4: Berechne den Wert der Lösung für \( x = 2 \):\[ y(2) = (1 + 2 \times 2)e^{-2 \times 2} \]\[ y(2) = (1 + 4)e^{-4} \]\[ y(2) = 5e^{-4} \]
• Der Wert der Lösung für \( x = 2 \) ist somit:\[ y(2) = 5e^{-4} \]