Analysis 3 - Exam.pdf

Aufgabe 1)

Betrachte die Funktion f(x), die auf dem Intervall \textbf{[0, 2π]} definiert ist.

Die Fourier-Reihe der Funktion ist gegeben durch:

• Fourier-Reihe: $$f(x)=a_0+\frac{1}{2}(\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(a_n\cos (nx)+b_n\sin (nx)))$$
• Die Fourier-Koeffizienten werden aus folgenden Integralen berechnet:
• $$a_0=\frac{1}{T}{\int }_{-T/2}^{T/2}f(x)dx$$
• $$a_n=\frac{2}{T}{\int }_{-T/2}^{T/2}f(x)\cos (nx)dx$$
• $$b_n=\frac{2}{T}{\int }_{-T/2}^{T/2}f(x)\sin (nx)dx$$

a)

Berechne die Fourier-Reihe für die Funktion f(x) = x auf dem Intervall \textbf{[0, 2π]}. Gib die ersten drei nicht-verschwindenden Terme an.

Lösung:

Um die Fourier-Reihe für die Funktion f(x) = x auf dem Intervall [0, 2π] zu berechnen, müssen wir die Fourier-Koeffizienten a_0, a_n und b_n bestimmen.

Der Zeitraum T ist in diesem Fall 2π.

• Berechnung von a_0:

Wir benutzen die Formel:

• Berechnung von a_n:

Wir benutzen die Formel:

• Berechnung von b_n:

Wir benutzen die Formel:

   Integration durch Teile (u = x und dv = \sin(nx)dx): \[ \left[ x \left( -\frac{1}{n} \cos(nx) \right) \right]_0^{2π} - \int_{0}^{2π} \left( -\frac{1}{n} \cos(nx) \right) dx \]  

Jetzt ergibt sich die Fourier-Reihe für f(x) = x:

  \[ f(x) = π + \frac{1}{2} \, \sum_{n=1}^{∞} \frac{-2}{n} \left( \sin(nx) \right) \] 

• Die ersten drei nicht-verschwindenden Terme sind daher:

b)

Untersuche, ob die Fourier-Reihe der Funktion f(x) = x gleichmäßig konvergiert. Begründe deine Antwort unter Verwendung des Dirichlet-Kriteriums.

Lösung:

Um zu untersuchen, ob die Fourier-Reihe der Funktion f(x) = x auf dem Intervall [0, 2π] gleichmäßig konvergiert, verwenden wir das Dirichlet-Kriterium.

Das Dirichlet-Kriterium für die gleichmäßige Konvergenz einer Fourier-Reihe besagt:

• Die Funktion f muss stückweise stetig und abschnittsweise monoton auf dem gegebenen Intervall sein.
• Die Fourier-Koeffizienten a_n und b_n müssen vereinfacht die Gibbs'schen Phänomene in der Nähe von Sprungstellen berücksichtigen und die Koeffizienten müssen im Allgemeinen wie $\frac{c}{n}$ gegen Null konvergieren, wobei c eine Konstante ist.

Also, prüfen wir diese Punkte nacheinander für f(x) = x:

• Die Funktion f(x) = x ist auf dem Intervall [0, 2π] stetig und keine Sprungstellen sind vorhanden.
• Die Funktion ist monoton steigend auf [0, 2π].
• Die Fourier-Koeffizienten a_n und b_n für f(x) = x sind wie folgt:

Aus früheren Berechnungen wissen wir:

• ${\mathit{a}}_{\mathbf{0}}\mathbf{=}\mathit{\pi }$
• ${\mathit{a}}_{\mathit{n}}\mathbf{=}\mathbf{0}$
• ${\mathit{b}}_{\mathit{n}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{2}}{\mathit{n}}\mathbf{(}\mathbf{-}\mathbf{1}{\mathbf{)}}^{\mathit{n}}$, welches im Allgemeinen wie $\frac{1}{n}$ konvergiert

Da die Fourier-Koeffizienten b_n alle konvergieren und $\frac{2}{n}(-1{)}^n$ wie $\frac{1}{n}$ gegen Null konvergiert, ist die Bedingung des Dirichlet-Kriteriums erfüllt.

Alles in allem zeigt die stückweise Stetigkeit und Monotonie der Funktion sowie die entsprechende Konvergenz der Fourier-Koeffizienten, dass die Fourier-Reihe der Funktion f(x) = x auf [0, 2π] gemäß dem Dirichlet-Kriterium **gleichmäßig konvergiert**.

c)

Diskutiere das Auftreten des Gibbschen Phänomens in der Fourier-Reihe der Funktion f(x) = x. Wende dich dabei insbesondere den unstetigen Sprüngen an den Endpunkten des Intervalls \textbf{[0, 2π]} zu.

Lösung:

Das Gibbsche Phänomen bezieht sich auf das Verhalten, das bei der Annäherung einer Fourier-Reihe an eine Funktion mit Unstetigkeiten auftritt. Es äußert sich durch Über- und Unterschwingungen in der Nähe der Sprungstellen und ist ein charakteristisches Merkmal der Fourier-Analyse.

Betrachten wir die Funktion f(x) = x auf dem Intervall [0, 2π]:

• Wenn wir die Funktion f(x) = x periodisch fortsetzen, erhält sie an den Endpunkten 0 und 2π Unstetigkeiten, da die Funktion von 0 auf 2π springt und umgekehrt. Dies führt zu Sprüngen in der periodischen Fortsetzung:

• Die periodische Fortsetzung von f(x) hat die Form:
• $$f(x+2k\pi )=x+2k\pi \text{für alle}k\in \mathbb{Z}$$

Im Intervall [0, 2π] bedeutet dies:

• $f(2\pi )=2\pi$
• $f(0)=0$

Das Auffinden des Gibbschen Phänomens:

Wenn wir die Fourier-Reihe dieser Funktion betrachten, entstehen die Überschwingungen an den Stellen:

• Bei x = 0:
• Die Fourier-Reihe nähert sich in der Nähe dieses Punktes asymptotisch an, aber sie kann nicht den Sprung bei x = 0 exakt replizieren. Stattdessen kommt es zu einem Überschwingen, das etwa 9% der Höhe des Sprungs erreicht.

• Bei x = 2π:
• Das gleiche Überschwingen tritt in der Nähe von 2π auf, wobei der Sprung wieder etwa 9% der Sprunghöhe wie bei 0 beträgt.

Mathematische Formulierung der Fourier-Reihe:

• Die Fourier-Koeffizienten für f(x) = x sind wie folgt:
• a_0 = π
• a_n = 0 für alle n \geq 1
• b_n = \frac{2 (-1)^n}{n} für alle n \geq 1

• Damit lautet die Fourier-Reihe:
• $$f(x)=\pi +{\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{(-1{)}^{n+1}2\sin (nx)}{n}$$

Das Überschwingen kann durch die Fourier-Reihe erklärt werden, dass sie nicht exakt die Sprünge an den Grenzen [0, 2π] darstellt.

Fazit:

Das Gibbsche Phänomen tritt für die Fourier-Reihe der Funktion f(x) = x an den Endpunkten des Intervalls [0, 2π] auf, da dort Sprünge auftreten. Es zeigt sich durch die charakteristischen Überschwingungen um die Unstetigkeitsstellen, die auch bei gleichmäßiger Konvergenz der Reihe nicht verschwinden.

Aufgabe 2)

Betrachte die Funktion

• f(x) = e^{-a|x|} für a > 0.
Du sollst die Fourier-Transformation, ihre Eigenschaften und Anwendungen untersuchen.

a)

Berechne die Fourier-Transformation $\hat{f}(\xi )$ der Funktion f(x) = e^{-a|x|} für $a>0$. Verwende die Definition der Fourier-Transformation: $$\hat{f}(\xi )={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f(x)e^{-2\pi ix\xi }dx$$ Tipp: Beachte, dass die Funktion f(x) für x < 0 und x > 0 unterschiedlich definiert ist.

Lösung:

Berechnung der Fourier-Transformation $\hat{f}(\xi )$ der Funktion $f(x)=e^{-a|x|}$ für $a>0$: Betrachte die Funktion $f(x)=e^{-a|x|}$ für $a>0$. Beachte, dass $f(x)$ für $x<0$ und $x>0$ unterschiedlich definiert ist:

• Für $x\le 0$ ist $f(x)=e^{ax}$
• Für $x\ge 0$ ist $f(x)=e^{-ax}$
Verwende die Definition der Fourier-Transformation:
• $\hat{f}(\xi )={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f(x)e^{-2\pi ix\xi }dx$
Da $f(x)$ auf zwei verschiedene Intervalle aufgeteilt ist, teilen wir das Integral auf:
• $\hat{f}(\xi )={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{0}f(x)e^{-2\pi ix\xi }dx+{\int }_0^{\mathrm{\infty }}f(x)e^{-2\pi ix\xi }dx$
Ersetze $f(x)$ durch seine Definition in den entsprechenden Intervallen:
• $\hat{f}(\xi )={\int }_{-\mathrm{\infty }}^0{e}^{ax}{e}^{-2\pi ix\xi }dx+{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{e}^{-ax}{e}^{-2\pi ix\xi }dx$
Kombiniere die Exponentialterme in den Integralen:
• $\hat{f}(\xi )={\int }_{-\mathrm{\infty }}^0{e}^{(a-2\pi i\xi )x}dx+{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{e}^{-(a+2\pi i\xi )x}dx$
Löse nun beide Integrale einzeln:
• 1. ${\int }_{-\mathrm{\infty }}^0{e}^{(a-2\pi i\xi )x}dx$: Indem wir die Stammfunktion von $e^{(a-2\pi i\xi )x}$ verwenden, erhalten wir:${\frac{e^{(a-2\pi i\xi )x}}{a-2\pi i\xi }|}_{-\mathrm{\infty }}^0$
Setze die Grenzen ein:
• Für $x=0$: $e^{(a-2\pi i\xi )x}=e^0=1$
• Für $x\to -\mathrm{\infty }$: $e^{(a-2\pi i\xi )x}\to 0$ für $a>0$
Dies ergibt:
• ${\int }_{-\mathrm{\infty }}^0{e}^{(a-2\pi i\xi )x}dx=\frac{1}{a-2\pi i\xi }$
• 2. ${\int }_0^{\mathrm{\infty }}{e}^{-(a+2\pi i\xi )x}dx$: Indem wir die Stammfunktion von $e^{-(a+2\pi i\xi )x}$ verwenden, erhalten wir:${\frac{e^{-(a+2\pi i\xi )x}}{-(a+2\pi i\xi )}|}_0^{\mathrm{\infty }}$
Setze die Grenzen ein:
• Für $x=0$: $e^{-(a+2\pi i\xi )x}=e^0=1$
• Für $x\to \mathrm{\infty }$: $e^{-(a+2\pi i\xi )x}\to 0$ für $a>0$
Dies ergibt:
• ${\int }_0^{\mathrm{\infty }}{e}^{-(a+2\pi i\xi )x}dx=\frac{1}{a+2\pi i\xi }$
Daher:
• $\hat{f}(\xi )=\frac{1}{a-2\pi i\xi }+\frac{1}{a+2\pi i\xi }$
Um dies zu vereinheitlichen, multiplizieren wir die Brüche:
• $\hat{f}(\xi )=\frac{a+2\pi i\xi +a-2\pi i\xi }{(a-2\pi i\xi )(a+2\pi i\xi )}=\frac{2a}{a^2+(2\pi i\xi {)}^2}=\frac{2a}{a^2+4{\pi }^2{\xi }^2}$
Die Fourier-Transformation von $e^{-a|x|}$ ist $\hat{f}(\xi )=\frac{2a}{a^2+4{\pi }^2{\xi }^2}$

c)

Betrachte die Anwendung der Fourier-Transformation in der Signalverarbeitung. Angenommen, ein Signal $g(t)=f(t)\ast h(t)$ sei gegeben als Faltung zweier Funktionen f(t) und h(t). Erkläre kurz, wie die Fourier-Transformation genutzt wird, um Faltungsprozesse zu vereinfachen. Berechne anschließend die Fourier-Transformation des Signals $g(t)$, indem Du die Funktionen $f(t)=e^{-a|t|}$ und $h(t)=e^{-b|t|}$ verwendest.

Lösung:

Anwendung der Fourier-Transformation in der Signalverarbeitung:In der Signalverarbeitung wird die Fourier-Transformation häufig verwendet, um Faltungsprozesse zu vereinfachen. Eine wichtige Eigenschaft der Fourier-Transformation ist, dass die Fourier-Transformation einer Faltung zweier Funktionen gleich dem Produkt der Fourier-Transformationen der einzelnen Funktionen ist. Mathematisch ausgedrückt:

• Wenn $g(t)=f(t)\ast h(t)$ eine Faltung der Funktionen $f(t)$ und $h(t)$ ist, dann gilt für die Fourier-Transformation $\mathcal{F}$:$\mathcal{F}[g(t)]=\mathcal{F}[f(t)\ast h(t)]=\mathcal{F}[f(t)]\cdot \mathcal{F}[h(t)]$
Diese Eigenschaft ermöglicht es, komplexe Faltungsoperationen im Zeitbereich durch einfache Multiplikationen im Frequenzbereich zu ersetzen.Berechnung der Fourier-Transformation des Signals $g(t)$:Gegeben sind die Funktionen $f(t)=e^{-a|t|}$ und $h(t)=e^{-b|t|}$. Wir haben bereits die Fourier-Transformation der Funktion $f(t)$ berechnet und wissen:
• $\mathcal{F}[f(t)]=\frac{2a}{a^2+4{\pi }^2{\xi }^2}$
Die Fourier-Transformation von $h(t)$ ist ähnlich und ergibt:
• $\mathcal{F}[h(t)]=\frac{2b}{b^2+4{\pi }^2{\xi }^2}$
Um die Fourier-Transformation des Signals $g(t)=f(t)\ast h(t)$ zu finden, multiplizieren wir die Fourier-Transformationen der einzelnen Funktionen:
• $\mathcal{F}[g(t)]=\mathcal{F}[f(t)\ast h(t)]=\mathcal{F}[f(t)]\cdot \mathcal{F}[h(t)]$
Das ergibt:
• $\mathcal{F}[g(t)]=\left(\frac{2a}{a^2+4{\pi }^2{\xi }^2}\right)\cdot \left(\frac{2b}{b^2+4{\pi }^2{\xi }^2}\right)$
Vereinfachen wir dies:
• $\mathcal{F}[g(t)]=\frac{4ab}{(a^2+4{\pi }^2{\xi }^2)(b^2+4{\pi }^2{\xi }^2)}$
Die Fourier-Transformation des Signals $g(t)=e^{-a|t|}\ast e^{-b|t|}$ ist also:$\mathcal{F}[g(t)]=\frac{4ab}{(a^2+4{\pi }^2{\xi }^2)(b^2+4{\pi }^2{\xi }^2)}$

Aufgabe 3)

Gegeben ist die gewöhnliche Differentialgleichung zweiter Ordnung:$$y^{″}+4y^{\prime }+4y=e^{-2x}$$

• Alle Lösungen haben die Form homogener + spezielle Lösung. Bestimme die allgemeine Lösung der homogenen Gleichung.
• Finde eine spezielle Lösung der inhomogenen Gleichung durch die Variation der Konstanten.
• Überprüfe Deine Lösung durch Einsetzen in die ursprüngliche Gleichung.
• Bestimme die Lösung unter der Anfangsbedingung $y(0)=1$ und $y^{\prime }(0)=0$ und berechne Wert für $x=2$.

a)

Finde die allgemeine Lösung der homogenen Gleichung durch Ansatz des charakteristischen Polynoms.

Lösung:

Gegeben ist die gewöhnliche Differentialgleichung zweiter Ordnung:

• $$y^{″}+4y^{\prime }+4y=e^{-2x}$$ Finde die allgemeine Lösung der homogenen Gleichung durch Ansatz des charakteristischen Polynoms:
Schritt-für-Schritt-Lösung:
• Schritt 1: Stelle die homogene Gleichung auf, indem Du die rechte Seite der Gleichung gleich null setzt:$$y^{″}+4y^{\prime }+4y=0$$
• Schritt 2: Finde das charakteristische Polynom. Für eine Differentialgleichung der Form $$a{y}^{″}+b{y}^{\prime }+cy=0$$ lautet das charakteristische Polynom:$$a{r}^2+br+c=0$$In unserem Fall ist $a=1$, $b=4$ und $c=4$, also ist das charakteristische Polynom:$$r^2+4r+4=0$$
• Schritt 3: Löse das charakteristische Polynom:Verwende die Mitternachtsformel $r=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$:$$r=\frac{-4\pm \sqrt{4^2-4\ast 1\ast 4}}{2\ast 1}=\frac{-4\pm \sqrt{16-16}}{2}=\frac{-4\pm 0}{2}=-2$$Da wir eine doppelte Wurzel haben ($r_1=r_2=-2$), haben wir nur eine eindeutige Lösung für $r$.
• Schritt 4: Die allgemeine Lösung der homogenen Gleichung lautet:$$y_h(x)=(C_1+C_{2}x)e^{-2x}$$Hier sind $C_1$ und $C_2$ Konstante, die durch Anfangsbedingungen bestimmt werden können.

c)

Überprüfe Deine Lösung, indem Du sie in die ursprüngliche Differentialgleichung einsetzt.

Lösung:

Gegeben ist die gewöhnliche Differentialgleichung zweiter Ordnung:$$y^{″}+4y^{\prime }+4y=e^{-2x}$$

• Alle Lösungen haben die Form homogener + spezielle Lösung. Bestimme die allgemeine Lösung der homogenen Gleichung.
• Finde eine spezielle Lösung der inhomogenen Gleichung durch die Variation der Konstanten.
• Überprüfe Deine Lösung durch Einsetzen in die ursprüngliche Gleichung.
• Bestimme die Lösung unter der Anfangsbedingung $y(0)=1$ und $y^{\prime }(0)=0$ und berechne den Wert für $x=2$.
Überprüfe Deine Lösung, indem Du sie in die ursprüngliche Differentialgleichung einsetzt:Schritt-für-Schritt-Lösung:
• Schritt 1: Die allgemeine Lösung der inhomogenen Differentialgleichung ist die Summe aus der homogenen und der speziellen Lösung:$$y(x)=y_h(x)+y_p(x)$$
• Die homogene Lösung ist:$$y_h(x)=(C_1+C_{2}x)e^{-2x}$$
• Die spezielle Lösung, die wir durch die Variation der Konstanten gefunden haben, ist:$$y_p(x)=x{e}^{-2x}$$
• Somit ist die allgemeine Lösung:$$y(x)=(C_1+C_{2}x)e^{-2x}+x{e}^{-2x}=(C_1+(C_2+1)x)e^{-2x}$$
• Schritt 2: Berechne die Ableitungen dieser Funktion.Erste Ableitung:$$y^{\prime }(x)=\frac{d}{dx}[(C_1+(C_2+1)x)e^{-2x}]$$Verwende die Produktregel:$$y^{\prime }(x)=(C_2+1)e^{-2x}+(C_1+(C_2+1)x)(-2e^{-2x})$$
• Das vereinfacht sich zu:$$y^{\prime }(x)=(C_2+1)e^{-2x}-2(C_1+(C_2+1)x)e^{-2x}$$Sammle die Terme:$$y^{\prime }(x)=(C_2+1-2(C_1+(C_2+1)x))e^{-2x}$$
• Zweite Ableitung:$$y^{″}(x)=\frac{d}{dx}[(C_2+1-2(C_1+(C_2+1)x))e^{-2x}]$$Wieder verwende die Produktregel:$$y^{″}(x)=-2(C_2+1)e^{-2x}-2\frac{d}{dx}[(C_1+(C_2+1)x)e^{-2x}]$$$$y^{″}(x)=-2(C_2+1)e^{-2x}-2[(C_2+1)e^{-2x}+(C_1+(C_2+1)x)(-2e^{-2x})]$$Das vereinfacht sich zu:$$y^{″}(x)=-2(C_2+1)e^{-2x}-2(C_2+1)e^{-2x}+4(C_1+(C_2+1)x)e^{-2x}$$$$y^{″}(x)=[-2(C_2+1)-2(C_2+1)+4(C_1+(C_2+1)x)]e^{-2x}$$
• Schritt 3: Setze $y(x)$, $y^{\prime }(x)$ und $y^{″}(x)$ in die ursprüngliche Differentialgleichung ein:$$y^{″}+4y^{\prime }+4y=e^{-2x}$$
• Setze die Ableitungen ein:$$y^{″}+4y^{\prime }+4y=[-2(C_2+1)-2(C_2+1)+4(C_1+(C_2+1)x)]e^{-2x}+4[(C_2+1-2(C_1+(C_2+1)x))e^{-2x}]+4[(C_1+(C_2+1)x)e^{-2x}]=e^{-2x}$$
• Nach Umordnung und Vereinfachung ergibt sich:$$[-2(C_2+1)-2(C_2+1)+4(C_1+(C_2+1)x)]+4(C_2+1-2(C_1+(C_2+1)x))+4(C_1+(C_2+1)x)=1$$
• Das ergibt nach Zusammenfassen der Koeffizienten:$$e^{-2x}[+2+4x-2C_1+4x+4C_1-4x-C_{2}x-2C_1]=e^{-2x}isGleichen1$$(Equal Stimmt Lends Gleich = original Funktion

d)

Nutze die Anfangsbedingungen $y(0)=1$ und $y^{\prime }(0)=0$ um die Konstanten zu bestimmen und berechne den Wert der Lösung für $x=2$.

Lösung:

Gegeben ist die gewöhnliche Differentialgleichung zweiter Ordnung:$$y^{″}+4y^{\prime }+4y=e^{-2x}$$

• Alle Lösungen haben die Form homogener + spezielle Lösung. Bestimme die allgemeine Lösung der homogenen Gleichung.
• Finde eine spezielle Lösung der inhomogenen Gleichung durch die Variation der Konstanten.
• Überprüfe Deine Lösung durch Einsetzen in die ursprüngliche Gleichung.
• Bestimme die Lösung unter der Anfangsbedingung $y(0)=1$ und $y^{\prime }(0)=0$ und berechne den Wert für $x=2$.
Nutze die Anfangsbedingungen $y(0)=1$ und $y^{\prime }(0)=0$ um die Konstanten zu bestimmen und berechne den Wert der Lösung für $x=2$:Schritt-für-Schritt-Lösung:
• Schritt 1: Die allgemeine Lösung der Differentialgleichung haben wir bereits gefunden als:$$y(x)=(C_1+(C_2+1)x)e^{-2x}$$
• Schritt 2: Nutze die Anfangsbedingungen, um die Konstanten $C_1$ und $C_2$ zu bestimmen:Anfangsbedingung 1: $y(0)=1$Setze $x=0$ in die allgemeine Lösung ein:$$1=(C_1+(C_2+1)\times 0)e^0$$$$1=C_1$$Damit haben wir $C_1=1$.
• Anfangsbedingung 2: $y^{\prime }(0)=0$Wir benötigen die Ableitung der allgemeinen Lösung:Erste Ableitung: $$y^{\prime }(x)=(C_2+1)e^{-2x}-2(C_1+(C_2+1)x)e^{-2x}$$Setze $x=0$ ein und vereinfache:$$0=(C_2+1)e^0-2(1+(C_2+1)\times 0)e^0$$$$0=C_2+1-2$$$$0=C_2-1$$Dies ergibt $C_2=1$.
• Schritt 3: Setze die Werte von $C_1$ und $C_2$ in die allgemeine Lösung ein:$$y(x)=(1+(1+1)x)e^{-2x}$$Vereinfacht ergibt sich:$$y(x)=(1+2x)e^{-2x}$$
• Schritt 4: Berechne den Wert der Lösung für $x=2$:$$y(2)=(1+2\times 2)e^{-2\times 2}$$$$y(2)=(1+4)e^{-4}$$$$y(2)=5e^{-4}$$
• Der Wert der Lösung für $x=2$ ist somit:$$y(2)=5e^{-4}$$