Funktionentheorie - Cheatsheet.pdf

Eigenschaften analytischer Funktionen

Definition:

Eigenschaften analytischer Funktionen beschreiben die spezifischen Merkmale und Verhaltensweisen von Funktionen, die in ihrem Definitionsbereich komplex differenzierbar sind.

Details:

• Analytische Funktion ist komplex differenzierbar in jedem Punkt ihres Definitionsbereichs.
• Besitzt eine konvergente Potenzreihenentwicklung um jeden Punkt.
• Gemäß dem Identitätssatz bestimmt durch ihren Wert auf einer beliebigen Punktmenge mit Häufungspunkt.
• Erfüllt die Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen.
• Jede Nullstelle einer analytischen Funktion ist isoliert.
• Die Ableitungen aller Ordnungen sind ebenfalls analytisch.
• Haben den Satz von Liouville, Maximumprinzip, und den Grosse Satz von Picard als wichtige Theoreme.

Herleitung der Cauchy-Riemann-Gleichungen

Definition:

Herleitung der CR-Gleichungen durch Vergleich der partiellen Ableitungen der reellen und imaginären Teile einer komplexen Funktion.

Details:

• Sei \( f(z) = u(x,y) + iv(x,y) \) eine komplexe Funktion, wobei \( u(x,y) \) und \( v(x,y) \) reelle Funktionen sind.
• Setze \( z = x + iy \) und betrachte die Ableitungen \( \frac{\partial f}{\partial x} \) und \( \frac{\partial f}{\partial y} \).
• Die analytische Bedingung \( \frac{df}{dz} \) existiert genau dann, wenn \( \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} \) und \( \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x} \).
• Diese Bedingungen sind die Cauchy-Riemann-Gleichungen:

• \( \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} \)
• \( \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x} \)

Konvergenzgebiete von Laurent-Reihen

Definition:

Regionen, in denen eine Laurent-Reihe konvergiert.

Details:

• Laurent-Reihen haben die Form \( \sum_{n=-\infty}^{\infty} a_n (z - z_0)^n \)
• Konvergenz hängt vom singulären Verhalten bei \( z_0 \) ab
• Typischerweise in Ringen \( R_1 < |z - z_0| < R_2 \)
• Für analytische Fortsetzung in Singulärrinnen betrachten.

Verbindung zur Potentialtheorie

Definition:

Verbindung zwischen komplexer Analysis und Potentialtheorie

Details:

• Harmonische Funktionen: Reelle und Imaginäre Teile analytischer Funktionen sind harmonisch.
• Dirichlet-Problem: Lösen mit holomorphen Funktionen in einfach zusammenhängenden Gebieten.
• Laplace-Gleichung: Harmonie folgt aus der Cauchy-Riemann-Gleichung \(\frac{\text{d}u}{\text{d}x} = \frac{\text{d}v}{\text{d}y}, \frac{\text{d}v}{\text{d}x} = -\frac{\text{d}u}{\text{d}y}\)
• Poisson-Kern: Darstellung von Lösungen harmonischer Funktionen.
• Schwarzscher Spiegelungsprinzip: Verallgemeinerung der Fortsetzung harmonischer Funktionen.

Integration über geschlossene Kurven

Definition:

Integration einer komplexen Funktion entlang einer geschlossenen Kurve in der komplexen Ebene.

Details:

• Sei \(\gamma\) eine geschlossene Kurve, \(f\) eine komplexe Funktion.
• Wegintegral: \(\int_{\gamma} f(z) dz\)
• Cauchy'scher Integralsatz: Ist \(f\) holomorph in einem einfach zusammenhängenden Gebiet, dann gilt: \(\int_{\gamma} f(z) dz = 0\)
• Cauchy's Integralformel: Für \(f\) holomorph in einem einfach zusammenhängenden Gebiet, \(a\) innerhalb von \(\gamma\): \(f(a) = \frac{1}{2\pi i} \int_{\gamma} \frac{f(z)}{z-a} dz\)
• Residuenkalkül zur Berechnung von Integralen, insbesondere bei nicht-holomorphen Funktionen.

Gleichmäßige Konvergenz von Funktionenfolgen

Definition:

Gleichmäßige Konvergenz von Funktionenfolgen bedeutet, dass eine Funktionenfolge \((f_n)\) auf einer Menge \(D\) gegen eine Funktion \(f\) konvergiert und diese Konvergenz unabhängig vom Punkt \(x\) in \(D\) erfolgt.

Details:

• Def.: \(f_n \to f\) gleichmäßig auf \(D\), wenn \( \forall \epsilon > 0 \exists N \in \mathbb{N} \forall n > N \forall x \in D: |f_n(x) - f(x)| < \epsilon \)
• Gleichmäßige Konvergenz impliziert punktweise Konvergenz, aber nicht umgekehrt.
• Wenn \((f_n)\) gleichmäßig gegen \(f\) konvergiert und jede \(f_n\) stetig ist, dann ist auch \(f\) stetig (Satz von der gleichmäßigen Stetigkeit).
• Nützlich für Austausch der Reihenfolge von Grenzwertprozessen (z.B. Austausch von Grenzwert und Integral).

Anwendungen zur Darstellung von Funktionen mit Singularitäten

Definition:

Methoden zur Veranschaulichung und Analyse von Funktionen mit Singularitäten in der Funktionentheorie.

Details:

• Polstellen: Nutzen von Laurent-Reihen zur Bestimmung und Einordnung.
• Residuen: Berechnung und Anwendung in der komplexen Integration.
• Konforme Abbildungen: Vermeidung und Umgang mit Singularitäten.
• Pole, essenzielle Singularitäten, Verzweigungspunkte.
• Riemann'sche Flächen und ihre Anwendung bei Funktionen mit Singularitäten.