Funktionentheorie - Exam.pdf

Aufgabe 1)

Gegeben sei die Funktion: Eine Funktion f ist auf der gesamten komplexen Ebene \(\textbf{f: }\begin{cases} z \to z^3 + 3z - 1 \end{cases}\) definiert. Überprüfe ihre Eigenschaften gemäß der Definitionen einer analytischen Funktion und benutze dabei die gegebenen Theoreme und Eigenschaften.

a)

1. Zeige, dass die Funktion f an jedem Punkt komplex differenzierbar ist und bestimme die Ableitung.

• Zeige, dass f(z) die Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen erfüllt.
• Bestimme die Ableitung f'(z) und zeige, dass f'(z) ebenfalls analytisch ist.

Lösung:

1. Zeige, dass die Funktion f an jedem Punkt komplex differenzierbar ist und bestimme die Ableitung.

• Zeige, dass f(z) die Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen erfüllt:

• Die gegebene Funktion ist: f(z) = z^3 + 3z - 1

• Schreibe z in der Form z = x + iy, wobei x und y reelle Zahlen sind.
• Setze z = x + iy in die Funktion ein: f(z) = (x + iy)^3 + 3(x + iy) - 1
• Berechne (x + iy)^3: \((x + iy)^3 = x^3 + 3x^2(iy) + 3x(iy)^2 + (iy)^3 = x^3 - 3xy^2 + i(3x^2y - y^3)\)
• Setze dies in f(z) ein: f(z) = (x^3 - 3xy^2 + 3x - 1) + i(3x^2y - y^3 + 3y)
• Teile f(z) in realen und imaginären Teil: u(x, y) = x^3 - 3xy^2 + 3x - 1v(x, y) = 3x^2y - y^3 + 3y
• Die Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen sind: \(\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}\)und\(\frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}\)
• Berechne die partiellen Ableitungen: \(\frac{\partial u}{\partial x} = 3x^2 - 3y^2 + 3\)\(\frac{\partial u}{\partial y} = -6xy\)\(\frac{\partial v}{\partial x} = 6xy\)\(\frac{\partial v}{\partial y} = 3x^2 - 3y^2 + 3\)
• Überprüfe die Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen: \(\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} = 3x^2 - 3y^2 + 3\)\(\frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x} = -6xy\)
• Da beide Gleichungen erfüllt sind, erfüllt f(z) die Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen und ist somit komplex differenzierbar.

• Bestimme die Ableitung f'(z):

• Die Ableitung einer Funktion f(z) wird gefunden, indem man die üblichen Rechenregeln der Differentiation anwendet: f(z) = z^3 + 3z - 1
• Wende die Potenzregel an: \(\frac{d}{dz} (z^3) = 3z^2\)\(\frac{d}{dz} (3z) = 3\)\(\frac{d}{dz} (-1) = 0\)
• Addiere die Ableitungen: f'(z) = 3z^2 + 3
• Da f'(z) eine Funktion ist, die aus Polynomtermen besteht, und Polynome über den komplexen Zahlen analytisch sind, folgt daraus, dass auch f'(z) analytisch ist.

c)

3. Überprüfe den Satz von Liouville und das Maximumprinzip für die Funktion f.

• Erkläre den Satz von Liouville und zeige, ob er auf die Funktion f anwendbar ist oder nicht.
• Formuliere das Maximumprinzip und bestimme, ob es für f gilt. Untersuche dabei, ob f irgendwo in der komplexen Ebene sein Maximum annimmt.

Lösung:

3. Überprüfe den Satz von Liouville und das Maximumprinzip für die Funktion f.

• Erkläre den Satz von Liouville und zeige, ob er auf die Funktion f anwendbar ist oder nicht:

• Der Satz von Liouville besagt, dass jede in der gesamten komplexen Ebene holomorphe und beschränkte Funktion konstant ist. Das bedeutet, dass es keine nicht-konstanten beschränkten holomorphen Funktionen in der gesamten komplexen Ebene geben kann.
• Die gegebene Funktion ist f(z) = z^3 + 3z - 1. Um zu überprüfen, ob der Satz von Liouville anwendbar ist, müssen wir untersuchen, ob f(z) beschränkt ist.
• Betrachten wir das Verhalten von f(z) für große Werte von \(|z|\):
• Für große Werte von \(|z|\) dominiert der Term \(z^3\) gegenüber den anderen Termen.
• Asymptotisch gesehen haben wir daher \(|f(z)| \approx |z^3|\).
• Da \(|z^3|\) für große \(|z|\) unbeschränkt ist, ist auch \(|f(z)|\) unbeschränkt.
• Da f(z) nicht beschränkt ist, ist der Satz von Liouville nicht anwendbar. Damit folgt, dass f(z) keine konstante Funktion ist.

• Formuliere das Maximumprinzip und bestimme, ob es für f gilt. Untersuche dabei, ob f irgendwo in der komplexen Ebene sein Maximum annimmt:

• Das Maximumprinzip besagt, dass eine nicht-konstante holomorphe Funktion f in einem abgeschlossenen und beschränkten Gebiet \(\textbf{G}\) ihr Maximum nur auf dem Rand von \(\textbf{G}\) annimmt und nicht im Inneren des Gebiets.
• Betrachten wir die gegebene Funktion f(z) = z^3 + 3z - 1:
• Da f auf der gesamten komplexen Ebene definiert und holomorph ist, ist sie insbesondere in jedem beliebigen abgeschlossenen und beschränkten Gebiet holomorph.
• Innerhalb eines beschränkten Gebiets \(\textbf{G}\) nimmt f ein Maximum nur auf dem Rand des Gebiets an.
• Zusätzlich wissen wir, dass f(z) unbeschränkt ist, da sie ein kubisches Polynom ist. Daher gibt es in der gesamten komplexen Ebene kein globales Maximum.
• Also gilt das Maximumprinzip für f(z), und die Funktion nimmt kein Maximum in der gesamten komplexen Ebene an.

Aufgabe 2)

Betrachte die komplexe Funktion \( f(z) = z^2 \), wobei \( z = x + iy \) eine komplexe Variable ist und \( f(z) \) in Form ihrer reellen und imaginären Teile \( f(z) = u(x,y) + iv(x,y) \) geschrieben werden kann.

a)

Zeige, dass die Funktion \( f(z) = z^2 \) die Cauchy-Riemann-Gleichungen erfüllt. Wende hierzu die Definition von \( f(z) \) in Form ihrer reellen und imaginären Teile an und bestimme \( u(x,y) \) und \( v(x,y) \).

Lösung:

Wir haben die komplexe Funktion

• \( f(z) = z^2 \), wobei \( z = x + iy \) eine komplexe Variable ist.

Schreibe \( f(z) \) in Form ihrer reellen und imaginären Teile:

• \( f(z) = u(x,y) + iv(x,y) \)

Wir beginnen damit, die komplexe Funktion zu quadrieren:

• \( f(z) = (x + iy)^2 \)

Berechne diese Quadratur:

• \( (x + iy)^2 = x^2 + 2ixy + (iy)^2 \)

Da \( (iy)^2 = -y^2 \) ist, ergibt sich:

• \( x^2 + 2ixy - y^2 \)

Separiere die reellen und imaginären Teile:

• \( u(x,y) = x^2 - y^2 \)
• \( v(x,y) = 2xy \)

Die Cauchy-Riemann-Gleichungen lauten:

• \( \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} \)
• \( \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x} \)

Berechne die partiellen Ableitungen:

• \( u(x,y) = x^2 - y^2 \)
• \( \frac{\partial u}{\partial x} = 2x \)
• \( \frac{\partial u}{\partial y} = -2y \)
• \( v(x,y) = 2xy \)
• \( \frac{\partial v}{\partial x} = 2y \)
• \( \frac{\partial v}{\partial y} = 2x \)

Bestätige nun, dass die Cauchy-Riemann-Gleichungen erfüllt sind:

• \( \frac{\partial u}{\partial x} = 2x = \frac{\partial v}{\partial y} \)
• \( \frac{\partial u}{\partial y} = -2y = -\frac{\partial v}{\partial x} \)

Da beide Gleichungen erfüllt sind, zeigt dies, dass die Funktion \( f(z) = z^2 \) die Cauchy-Riemann-Gleichungen erfüllt.

b)

Berechne für die Funktion \( f(z) = z^2 \) die partiellen Ableitungen \( \frac{\partial u}{\partial x} \), \( \frac{\partial u}{\partial y} \), \( \frac{\partial v}{\partial x} \) und \( \frac{\partial v}{\partial y} \).

Lösung:

Wir haben die komplexe Funktion

• \( f(z) = z^2 \), wobei \( z = x + iy \) eine komplexe Variable ist.

Schreibe \( f(z) \) in Form ihrer reellen und imaginären Teile:

• \( f(z) = u(x,y) + iv(x,y) \)

Berechne die Quadratur der komplexen Funktion:

• \( f(z) = (x + iy)^2 \)
• \( = x^2 + 2ixy + (iy)^2 \)
• \( = x^2 + 2ixy - y^2 \)

Trenne die reellen und imaginären Teile:

• \( u(x,y) = x^2 - y^2 \)
• \( v(x,y) = 2xy \)

Berechne die partiellen Ableitungen:

• \( u(x,y) = x^2 - y^2 \)\( \frac{\partial u}{\partial x} = 2x \)
• \(\frac{\partial u}{\partial y} = -2y \)

• \( v(x,y) = 2xy \)\( \frac{\partial v}{\partial x} = 2y \)
• \(\frac{\partial v}{\partial y} = 2x \)

Zusammengefasst sind die partiellen Ableitungen:

• \( \frac{\partial u}{\partial x} = 2x \)
• \( \frac{\partial u}{\partial y} = -2y \)
• \( \frac{\partial v}{\partial x} = 2y \)
• \( \frac{\partial v}{\partial y} = 2x \)

c)

Überprüfe, ob die ermittelten partiellen Ableitungen den Cauchy-Riemann-Gleichungen \( \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} \) und \( \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x} \) genügen. Erläutere dabei die Bedeutung der Erfüllung dieser Gleichungen für die Funktion \( f(z) \).

Lösung:

Wir haben die komplexe Funktion

• \( f(z) = z^2 \), wobei \( z = x + iy \) eine komplexe Variable ist.

Die Funktion kann in Form ihrer reellen und imaginären Teile wie folgt geschrieben werden:

• \( f(z) = u(x,y) + iv(x,y) \)

Wir haben bereits die reellen und imaginären Teile sowie deren partielle Ableitungen ermittelt:

• \( u(x,y) = x^2 - y^2 \)
• \( v(x,y) = 2xy \)

Die partiellen Ableitungen sind:

• \( \frac{\partial u}{\partial x} = 2x \)
• \( \frac{\partial u}{\partial y} = -2y \)
• \( \frac{\partial v}{\partial x} = 2y \)
• \( \frac{\partial v}{\partial y} = 2x \)

Überprüfen wir nun, ob diese Ableitungen den Cauchy-Riemann-Gleichungen genügen:

• Die erste Cauchy-Riemann-Gleichung lautet:
• \( \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} \)
• \( \frac{\partial u}{\partial x} = 2x \)
• \( \frac{\partial v}{\partial y} = 2x \)
• Da \( 2x = 2x \) ist, ist die erste Gleichung erfüllt.
• Die zweite Cauchy-Riemann-Gleichung lautet:
• \( \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x} \)
• \( \frac{\partial u}{\partial y} = -2y \)
• \( -\frac{\partial v}{\partial x} = -2y \)
• Da \( -2y = -2y \) ist, ist auch die zweite Gleichung erfüllt.

Da beide Cauchy-Riemann-Gleichungen erfüllt sind, ist die Funktion \( f(z) = z^2 \) holomorph (analytisch) in der betrachteten Region. Das bedeutet, dass die Funktion in diesem Bereich differenzierbar ist und ihre Ableitung ebenfalls eine stetige Funktion ist. Dies ist eine wesentliche Voraussetzung für viele Theoreme und Methoden in der Funktionentheorie, z.B. das Cauchy'sche Integrations-Theorem und die Taylor-Reihenentwicklung von holomorphen Funktionen.

d)

Diskutiere die analytischen Eigenschaften der Funktion \( f(z) = z^2 \) im Kontext der Cauchy-Riemann-Gleichungen. Warum ist die Erfüllung dieser Gleichungen ein Indikator für die Analytizität von \( f(z) \)?

Lösung:

Betrachten wir die komplexe Funktion

• \( f(z) = z^2 \), wobei \( z = x + iy \) eine komplexe Variable ist.

Schreiben wir diese Funktion in Form ihrer reellen und imaginären Teile:

• \( f(z) = u(x,y) + iv(x,y) \)

Wir haben bereits die reellen und imaginären Teile sowie deren partielle Ableitungen ermittelt:

• \( u(x,y) = x^2 - y^2 \)
• \( v(x,y) = 2xy \)

Die partiellen Ableitungen sind:

• \( \frac{\partial u}{\partial x} = 2x \)
• \( \frac{\partial u}{\partial y} = -2y \)
• \( \frac{\partial v}{\partial x} = 2y \)
• \( \frac{\partial v}{\partial y} = 2x \)

Wir haben überprüft, dass diese Ableitungen den Cauchy-Riemann-Gleichungen genügen:

• \( \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} \)\( 2x = 2x \)
• \( \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x} \)\( -2y = -2y \)

Diskutieren wir nun die analytischen Eigenschaften von \( f(z) = z^2 \) im Kontext der Cauchy-Riemann-Gleichungen:

• Die Cauchy-Riemann-Gleichungen \( \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} \) und \( \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x} \) sind notwendige Bedingungen für die Analytizität einer Funktion \( f(z) \).
• Eine Funktion \( f(z) \) ist in einer Region analytisch, wenn sie in dieser Region differenzierbar ist und ihre Ableitung stetig ist.
• Die Erfüllung der Cauchy-Riemann-Gleichungen zeigt, dass die partiellen Ableitungen von \( u(x,y) \) und \( v(x,y) \) in der betrachteten Region stetig sind, was auf die Differenzierbarkeit der Funktion hinweist.
• Da \( f(z) = z^2 \) die Cauchy-Riemann-Gleichungen erfüllt, ist sie in der gesamten komplexen Ebene analytisch.

Zusammengefasst:

• Die Erfüllung der Cauchy-Riemann-Gleichungen ist ein Indikator für die Analytizität einer Funktion \( f(z) \), da sie die notwendige Bedingung der Stetigkeit der Ableitungen und damit der Differenzierbarkeit der Funktion erfüllt.
• Für die Funktion \( f(z) = z^2 \) bedeutet dies, dass sie in der gesamten komplexen Ebene differenzierbar und damit analytisch ist.

Die Analytizität von \( f(z) \) in der gesamten komplexen Ebene erlaubt es, verschiedenste Theoreme und Techniken der Funktionentheorie anzuwenden, wie beispielsweise die Taylor- und Laurentreihenentwicklung, das Residuensätzen und andere Integrationsmethoden.

Aufgabe 3)

Betrachte die beliebige Laurent-Reihe um den Punkt z₀:

\[\sum_{n=-\infty}^{\infty} a_n (z - z_0)^n\]

Wir untersuchen die Konvergenzgebiete dieser Reihe und analysieren dabei verschiedene Bereiche. Wie in den Vorlesungen erörtert, hängt die Konvergenz der Laurent-Reihe von ihrem Verhalten bei z₀ ab und erfolgt typischerweise in einem ringförmigen Bereich R₁ < |z - z₀| < R₂, außer es liegen singuläre Verhalten vor. Dieser Zusammenhang wird hier auf konkrete Fälle angewendet.

a)

Gegeben sei die Laurent-Reihe:

\[\sum_{n=-\infty}^{\infty} \, a_n (z - z_0)^n\]

für die Koeffizienten a_n. Zeige, dass die Reihe in einem Ring \[0 < |z - z_0| < R\] konvergiert, wenn die Koeffizienten a_n für n < 0 alle gleich null sind. Der Beweis sollte auf das bekannte Konvergenzverhalten von Potenzreihen zurückgreifen.

Lösung:

Um die Konvergenz der gegebenen Laurent-Reihe zu beweisen, verwenden wir das bekannte Konvergenzverhalten von Potenzreihen. Betrachten wir die Laurent-Reihe um den Punkt z₀:

\[\sum_{n=-\infty}^{\infty} a_n (z - z_0)^n\]

gegeben für die Koeffizienten a_n.

• Für den Fall, dass alle Koeffizienten a_n für n < 0 gleich null sind, reduzieren wir die Reihe auf eine gewöhnliche Potenzreihe:

\[\sum_{n=0}^{\infty} a_n (z - z_0)^n\]

Weil alle a_n für n < 0 gleich null sind, enthält die Reihe nur positive Exponenten.

Da dieses Format der einer Potenzreihe entspricht, wenden wir das bekannte Konvergenzverhalten von Potenzreihen an. Eine Potenzreihe der Form:

\[\sum_{n=0}^{\infty} a_n (z - z_0)^n\]

konvergiert in einer Kreisscheibe um z₀, deren Radius durch das Umkehrverhältnis des Limes superior der Koeffizienten bestimmt ist:

\[R = \frac{1}{\limsup_{n \to \infty} |a_n|^{1/n}}\]

Das bedeutet, die Reihe konvergiert für:

\[|z - z_0| < R\]

• Da die Koeffizienten a_n für n < 0 alle null sind, können wir feststellen, dass die Laurent-Reihe in dem Ring:

\[0 < |z - z_0| < R\]

• konvergiert.

Zusammenfassend:

• Wenn die Koeffizienten a_n für n < 0 alle null sind, konvergiert die Laurent-Reihe in einem Ring 0 < |z - z₀| < R.

b)

Untersuche die Konvergenz der Laurent-Reihe \[\sum_{n=1}^{\infty} \, \frac{1}{n} \, (z - z_0)^{-n}\]

Zeige, dass diese Reihe in keinem \[R_1 < |z - z_0| < R_2\] konvergiert. Nutze dabei die Eigenschaften der harmonischen Reihe und erläutere die Schritte ausführlich.

Lösung:

Um die Konvergenz der gegebenen Laurent-Reihe zu untersuchen:

\[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} (z - z_0)^{-n}\]

stellen wir fest, dass die Reihe nur negative Exponenten enthält. Wir werden die Eigenschaften der harmonischen Reihe nutzen, um zu zeigen, dass diese Reihe in keinem Bereich \(R_1 < |z - z_0| < R_2\) konvergiert.

Schritt für Schritt:

• Zunächst betrachten wir den allgemeinen Term der Reihe:

\[a_n = \frac{1}{n} (z - z_0)^{-n}\]

• Wir wissen aus der Analysis, dass die harmonische Reihe:

\[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}\]

• divergiert. Dieser Divergenzbeweis basiert darauf, dass die Partialsummen der harmonischen Reihe über alle Schranken hinaus wachsen.
• Betrachten wir nun den Betrag jedes Terms der gegebenen Laurent-Reihe:

\[|a_n| = \left| \frac{1}{n} (z - z_0)^{-n} \right| = \frac{1}{n} \left| \frac{1}{(z - z_0)^n} \right| = \frac{1}{n} \cdot \frac{1}{|z - z_0|^n}\]

• Sei \(r = |z - z_0|\). Dann kann der Ausdruck vereinfacht werden zu:

\[|a_n| = \frac{1}{n r^n}\]

Nun überprüfen wir die Konvergenzbereiche:

• Wir müssen zeigen, dass die Reihe \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n r^n}\) für kein \(R_1 < r < R_2\) konvergiert.
• Untersuchen wir den Limes der \(n\)-ten Wurzel des allgemeinen Terms \(a_n\):

\[\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|} = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\frac{1}{n r^n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^{1/n} r} = \frac{1}{r} \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^{1/n}}\]

Das Limes \(\lim_{n \to \infty} n^{1/n} = 1\) führt zu:

\[\lim_{n \to \infty} \frac{1}{r}\]

• Da der Limes 1 ist, bleibt:

\[\frac{1}{r}\]

• Wenn \(r > 1\), wird der Limes kleiner als 1, was die Konvergenz der geometrischen Reihe suggeriert. Aber in unserem Fall bleibt die harmonische Komponente \(\frac{1}{n}\) divergent.
• Für \ r = 1\ erscheint der Term als harmonische Reihe \(\frac{1}{n}\), die divergent ist.
• Für r < 1\, bleibt der Term weiterhin \(\frac{1}{n}\) divergent.

Damit zeigen wir, dass die Laurent-Reihe \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} (z - z_0)^{-n}\) in keinem Ringbereich \(R_1 < |z - z_0| < R_2\) konvergiert.

c)

Bestimme für die folgende Laurent-Reihe das Konvergenzgebiet:

\[\sum_{n=-2}^{\infty} \, 2^{n} \, (z - i)^n\]

Analysiere die Konvergenz innenhalb und außerhalb der Bereichgrenzen und bestimme das exakte Konvergenzgebiet. Gehe dabei systematisch vor und beziehe alle notwendigen Schritte ein.

Lösung:

Um das Konvergenzgebiet der gegebenen Laurent-Reihe zu bestimmen:

\[\sum_{n=-2}^{\infty} 2^n (z - i)^n\]

gehen wir systematisch vor. Diese Reihe hat sowohl positive als auch negative Exponenten. Um das Konvergenzgebiet zu analysieren, betrachten wir die einzelnen Teile der Reihe und untersuchen deren Konvergenzverhalten.

• Teilen wir die Reihe in zwei Teile:
• Der Teil mit negativen Exponenten:

\[\sum_{n=-2}^{-1} 2^n (z - i)^n = 2^{-2}(z - i)^{-2} + 2^{-1}(z - i)^{-1}\]

• Der Teil mit nicht-negativen Exponenten:

\[\sum_{n=0}^{\infty} 2^n (z - i)^n\]

Konvergenzanalyse des Teils mit positiven Exponenten:

Die nicht-negativen Terme bilden eine Potenzreihe der Form \(\sum_{n=0}^{\infty} a_n (z - i)^n\) mit \(a_n = 2^n\).

Die Konvergenz einer Potenzreihe \(\sum a_n (z - z_0)^n\) wird durch das Verhältnis \(R = \frac{1}{\limsup_{n \to \infty} |a_n|^{1/n}}\) bestimmt.

Berechne den Limes superior:

• \(\limsup_{n \to \infty} |a_n|^{1/n} = \limsup_{n \to \infty} (2^n)^{1/n} = \limsup_{n \to \infty} 2 = 2\)
• Der Konvergenzradius für die nicht-negativen Terme ist daher:

\[R_2 = \frac{1}{2}\]

• Die Reihe konvergiert also für \(|z - i| < \frac{1}{2}\).

Konvergenzanalyse des Teils mit negativen Exponenten:

Betrachte die negativen Terme:

\[2^{-2}(z - i)^{-2} + 2^{-1}(z - i)^{-1}\]

• Diese Terme entsprechen einer Potenzreihe mit negativen Exponenten mit unendlichem Konvergenzradius:

\(|z - i| > 0\)

• Da die Terme nur für beliebig große Werte von \(|z - i| > 0\) konvergieren und keinen expliziten Konvergenzradius besitzen, analysieren wir die Kombination beider Konvergenzbedingungen:

Kombination beider Bedingungen:

Die positive Exponenten fordern auf:

• \(|z - i| < \frac{1}{2}\)

Die negativen Exponenten konvergieren:

• \(|z - i| > 0\)

Folglich ergibt sich:

• \(0 < |z - i| < \frac{1}{2}\)

Zusammenfassend ergibt sich das Konvergenzgebiet der Laurent-Reihe:

0 < |z - i| < \frac{1}{2}

Aufgabe 4)

Betrachte eine Funktion \( f(z) \), die in einem einfach zusammenhängenden Gebiet \Omega\ holomorph ist, wobei \( f(z) = u(x,y) + iv(x,y) \) mit den reellen Funktionen \( u \) und \( v \) bezeichnet wird. Es ist bekannt, dass \( f(z) \) der Cauchy-Riemann-Gleichung folgt: \( \frac{\text{d}u}{\text{d}x} = \frac{\text{d}v}{\text{d}y} \) und \( \frac{\text{d}v}{\text{d}x} = -\frac{\text{d}u}{\text{d}y} \).

a)

Zeige, dass sowohl \( u(x,y) \) als auch \( v(x,y) \) harmonische Funktionen sind, indem Du die Laplace-Gleichung \( \Delta u = u_{xx} + u_{yy} = 0 \) und \( \Delta v = v_{xx} + v_{yy} = 0 \) überprüfst.

Lösung:

Um zu zeigen, dass sowohl die reellen Teile u(x,y) als auch die imaginären Teile v(x,y) der Funktion f(z) harmonische Funktionen sind, müssen wir die Laplace-Gleichung für u und v prüfen. Das bedeutet, dass wir die folgenden Gleichungen überprüfen müssen:

• \( \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0 \)
• \( \frac{\partial^2 v}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 v}{\partial y^2} = 0 \)

Lasst uns zuerst überprüfen, dass u(x,y) harmonisch ist:

1. Da f(z) holomorph ist, erfüllt sie die Cauchy-Riemann-Gleichungen:
   • \( \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} \)
   • \( \frac{\partial v}{\partial x} = -\frac{\partial u}{\partial y} \)
2. Kalkuliere die zweite Ableitung von u bezüglich x: \( u_{xx} = \frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{\partial u}{\partial x} \right) = \frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{\partial v}{\partial y} \right) = \frac{\partial^2 v}{\partial x \partial y} \).
3. Kalkuliere die zweite Ableitung von u bezüglich y: \( u_{yy} = \frac{\partial}{\partial y} \left( \frac{\partial u}{\partial y} \right) = \frac{\partial}{\partial y} \left( -\frac{\partial v}{\partial x} \right) = -\frac{\partial^2 v}{\partial y \partial x} \).

Nun summiere die zweiten Ableitungen von u:

• \( u_{xx} + u_{yy} = \frac{\partial^2 v}{\partial x \partial y} - \frac{\partial^2 v}{\partial y \partial x} = 0 \).

Daher ist u(x,y) harmonisch.

Ähnlich überprüfen wir nun, dass v(x,y) harmonisch ist:

1. Kalkuliere die zweite Ableitung von v bezüglich x: \( v_{xx} = \frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{\partial v}{\partial x} \right) = \frac{\partial}{\partial x} \left( -\frac{\partial u}{\partial y} \right) = -\frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y} \).
2. Kalkuliere die zweite Ableitung von v bezüglich y: \( v_{yy} = \frac{\partial}{\partial y} \left( \frac{\partial v}{\partial y} \right) = \frac{\partial}{\partial y} \left( \frac{\partial u}{\partial x} \right) = \frac{\partial^2 u}{\partial y \partial x} \).

Nun summiere die zweiten Ableitungen von v:

• \( v_{xx} + v_{yy} = -\frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y} + \frac{\partial^2 u}{\partial y \partial x} = 0 \).

Daher ist auch v(x,y) harmonisch.

Damit haben wir gezeigt, dass sowohl u(x,y) als auch v(x,y) harmonische Funktionen sind.

b)

Angenommen, Du möchtest das Dirichlet-Problem in einem einfach zusammenhängenden Gebiet \Omega\ für die Funktion \( u(x,y) \) lösen, die auf dem Rand \partial \Omega\ die Werte \( g(x,y) \) annimmt. Zeige, wie die holomorphe Funktion \( f(z) \) verwendet werden kann, um diese Lösung zu finden. Verdeutliche Deine Antwort durch die explizite Konstruktion der Lösung mittels des Poisson-Kerns.

Lösung:

Um das Dirichlet-Problem für die Funktion u(x,y) zu lösen, die auf dem Rand \( \partial \Omega \) die Werte g(x,y) annimmt, können wir die holomorphe Funktion f(z) verwenden. Lass uns den Prozess Schritt für Schritt durchgehen.

Schrittweise Lösung:

1. Annahmen und Gegebenheiten:

• Die Funktion f(z) ist holomorph in einem einfach zusammenhängenden Gebiet \( \Omega \).
• Wir schreiben f(z) als f(z) = u(x,y) + iv(x,y), wobei u(x,y) und v(x,y) die reellen Teile der Funktion sind.
• Auf dem Rand \( \partial \Omega \) nimmt u die Werte g(x,y) an: \( u|_{\partial \Omega} = g(x,y) \).

2. Verwendung des Poisson-Kerns zur Lösung des Dirichlet-Problems:

Der Poisson-Kern ist ein nützliches Werkzeug zur Lösung des Dirichlet-Problems in der Kreisscheibe. Sei \( \Omega \) die Einheitskreisscheibe und \( z = re^{i\theta} \) ein Punkt innerhalb der Kreisscheibe mit \( |z| < 1 \). Dann können wir den Wert von u innerhalb der Kreisscheibe durch den Poisson-Kern ausdrücken:

• Poisson-Kern: \( P_r(\theta) = \frac{1 - r^2}{1 - 2r\cos\theta + r^2} \)
• Lösung: \( u(r, \phi) = \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} P_r(\phi - t) g(t) \, dt \)

3. Konstruktion der holomorphen Funktion:

Da f(z) holomorph ist, wissen wir, dass sie den reellen Teil u und den imaginären Teil v enthält, die die Cauchy-Riemann-Gleichungen erfüllen. Wir nutzen den Poisson-Kern, um den reellen Teil u für jede Punkt \( z \) innerhalb der Kreisscheibe zu finden. Die Lösung für u mittels des Poisson-Kerns ist:

• \( u(x,y) = \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} \frac{1 - r^2}{1 - 2r\cos(\theta - t) + r^2} g(t) \, dt \)
• Wobei \( r = \sqrt{x^2 + y^2} \) und \( \theta = \arg(z) \) ist.

Dabei wird g(t) die auf dem Rand gegebene Funktion betrachtet. Der Poisson-Kern integriert die Werte von g über den Rand der Kreisscheibe, um den Wert von u im Inneren zu bestimmen.

4. Holomorphe Funktion f(z) verwenden:

Da u der reelle Teil der holomorphen Funktion f(z) ist und f(z) holomorph in \( \Omega \) ist, können wir u direkt in Bezug auf f(z) konstruieren. Wissen wir, dass für jeden Punkt z innerhalb der Kreisscheibe der reelle Teil von f(z) unser u ist:

• \( f(z) = u(x,y) + iv(x,y) \)
• Der reelle Teil von f(z) gibt uns die Lösung u(x,y), über den gesamten Bereich \( \Omega \).

Durch diese Methode haben wir gezeigt, wie die holomorphe Funktion f(z) verwendet werden kann, um das Dirichlet-Problem für u(x,y) zu lösen und eine explizite Lösung mittels des Poisson-Kerns zu konstruieren.