Geometrie - Cheatsheet.pdf

Punkte und Vektoren im kartesischen Koordinatensystem

Definition:

Punkte und Vektoren im kartesischen Koordinatensystem repräsentieren Positionen und Richtungen im Raum.

Details:

• Punkt: Position im Raum, dargestellt als \((x, y, z)\)
• Vektor: Objekt mit Richtung und Länge, dargestellt als \(\begin{pmatrix} x \ y \ z \end{pmatrix}\)
• Vektor Addition: \(\begin{pmatrix} x_1 \ y_1 \ z_1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} x_2 \ y_2 \ z_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_1 + x_2 \ y_1 + y_2 \ z_1 + z_2 \end{pmatrix}\)
• Vektor Subtraktion: \(\begin{pmatrix} x_1 \ y_1 \ z_1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} x_2 \ y_2 \ z_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_1 - x_2 \ y_1 - y_2 \ z_1 - z_2 \end{pmatrix}\)
• Skalare Multiplikation: \(\begin{pmatrix} x \ y \ z \end{pmatrix} \times \alpha = \begin{pmatrix} \alpha x \ \alpha y \ \alpha z \end{pmatrix}\)

Kegelschnitte: Parabeln, Ellipsen und Hyperbeln

Definition:

Kegelschnitte entstehen durch den Schnitt eines Kegels mit einer Ebene.

Details:

• Parabel: Setzt voraus, dass die Schnittebene parallel zu einer Mantellinie des Kegels ist. Gleichung: \( y^2 = 4ax \).
• Ellipse: Entsteht, wenn die Ebene den Kegel schneidet, ohne parallel zur Mantellinie zu sein und nicht durch die Spitze. Gleichung: \( \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \).
• Hyperbel: Erfordert, dass die Schnittebene die beiden Mantellinien des Kegels schneidet. Gleichung: \( \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 \).

Projektive Transformationen und ihre Eigenschaften

Definition:

Projektive Transformationen sind bijektive Abbildungen projektiver Räume, die geradlinige Strukturen bewahren.

Details:

• Erhalten Geraden und Ebenen
• Zwischenräumliche Beziehungen bleiben erhalten: Wenn drei Punkte kollinear sind, bleiben sie kollinear.
• Darstellung als Matrixmultiplikation in der homogenen Koordinatendarstellung: \( P' = MP \) mit einer nicht-singulären Matrix M
• Eigenschaften wie Kollinearität und Teilverhältnisse bleiben invariant
• Identitätstransformation, Translation, Skalierung, Scherung und Drehung als spezielle Fälle
• Kreuzverhältnis bleibt unter projektiven Transformationen invariant: Für vier kollineare Punkte A, B, C, D gilt: \[ (A, B; C, D) = \frac{(A - C)(B - D)}{(A - D)(B - C)} \]

Satz von Desargues

Definition:

Satz der projektiven Geometrie, der besagt, dass zwei Dreiecke perspektivisch aus einem Punkt genau dann perspektivisch aus einer Geraden sind.

Details:

• Bedingung: Existenz eines Perspektivitätszentrums
• Schluss: Existenz einer Perspektivitätsachse
• Geometrischer Beweis durch Dualität in der projektiven Ebene
• Dreiecke: A, B, C und A', B', C'
• Wenn \textit{AA'}, \textit{BB'}, \textit{CC'} konkurrieren, sind \textit{(AB \textit{und} A'B')}, \textit{(BC \textit{und} B'C')}, \textit{(CA \textit{und} C'A')} kollinear

Einführung in die hyperbolische Geometrie

Definition:

Grundlagen der hyperbolischen Geometrie, Theorie der Nicht-Euklidischen Ebenen.

Details:

• Nicht-Euklidische Geometrie: Geometrie mit konstant negativer Krümmung.
• Modell der Poincaré-Scheibe: Innere Punkte der Einheitsscheibe.
• Parallelenaxiom: Durch einen Punkt außerhalb einer Linie gibt es unendlich viele Parallelen zu dieser Linie.
• Hyperbolische Linien: Geodäten in der Poincaré-Scheibe (Kreisbögen orthogonal zum Rand).
• Abstand: Ausdruck über den natürlichen Logarithmus in der Poincaré-Scheibe:

Modelle für nicht-euklidische Geometrien

Definition:

Modelle zur Veranschaulichung von nichteuklidischen Geometrien (hyperbolisch, elliptisch), untersuchen alternative Axiomensysteme.

Details:

• Hyperbolische Geometrie: Negativ gekrümmte Räume, Parallelenaxiom modifiziert (z.B. Poincaré-Scheibe).
• Elliptische Geometrie: Positiv gekrümmte Räume, keine Parallelen (z.B. Riemannsche Geometrie).
• Aufbauend auf dem 5. Postulat von Euklid und dessen Modifikationen.
• Formeln für Abstand und Winkelabweichungen:

• Hyperbolisch (z.B. Poincaré-Modell):

• Elliptisch (z.B. Projektive Ebene):

Symmetrien und Gruppentheorie in der Geometrie

Definition:

Studium von Transformationen, die geometrische Objekte unverändert lassen; Nutzung der Gruppentheorie zur Klassifizierung und Analyse.

Details:

• Symmetrien: Drehungen, Spiegelungen, Translationen
• Isometrien: Abstandserhaltende Transformationen
• Gruppen: Menge von Symmetrien mit Gruppenaxiomen (Assoziativität, Identität, Inverses)
• Wichtige Gruppen: Drehgruppe SO(n), Euklidische Gruppe E(n), Spiegelgruppe D(n)
• Anwendungen: Kristallographie, Physik, Robotik

Geometrische Optik und Lichtausbreitung

Definition:

Untersuchung der Lichtausbreitung anhand geradliniger Strahlen (Strahlenmodell). Verwendet für Abbildungen und optische Instrumente.

Details:

• Lichtstrahl: Modell für Lichtausbreitung, geradlinig
• Reflexion: Einfallswinkel = Ausfallswinkel
• Brechung: Snellius-Gesetz \[n_1 \sin(\theta_1) = n_2 \sin(\theta_2)\]
• Brennweite: Abstand zw. Linse/Spiegel und Brennpunkt
• Abbildungsgleichung für dünne Linsen/Spiegel: \[\frac{1}{f} = \frac{1}{d_o} + \frac{1}{d_i}\]
• Vergrößerung: \[M = -\frac{d_i}{d_o}\]