Geometrie - Exam.pdf

Aufgabe 2)

Betrachte die folgenden Gleichungen von Kegelschnitten und bestimme die Art des Kegelschnitts. Analysiere die Eigenschaften der Kurven und formuliere die relevanten Details.

a)

Die Gleichung eines Kegelschnitts lautet: \[ 9x^2 + 4y^2 = 36 \]. Bestimme die Art des Kegelschnitts und berechne die Halbachsenlängen a und b.

Lösung:

Um die Art des Kegelschnitts zu bestimmen, beginnen wir mit der gegebenen Gleichung:

   9x^2 + 4y^2 = 36 

Diese Gleichung muss in die Standardform einer Ellipse umgewandelt werden, die wie folgt aussieht:

   \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 

Teile dazu zunächst beide Seiten der Gleichung durch 36:

   \frac{9x^2}{36} + \frac{4y^2}{36} = \frac{36}{36} 

Vereinfachen wir die Brüche:

   \frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{9} = 1 

Nun haben wir die Standardform einer Ellipsengleichung. Dabei entsprechen die Terme:

• \(a^2 = 4\) -> \(a = 2\)
• \(b^2 = 9\) -> \(b = 3\)

Die Halbachsenlängen der Ellipse sind somit:

• \(a = 2\) (die Länge der Halbachse in x-Richtung)
• \(b = 3\) (die Länge der Halbachse in y-Richtung)

Daher handelt es sich um eine Ellipse mit den Halbachsenlängen:

• \(a = 2\)
• \(b = 3\)

b)

Gegeben ist die Gleichung \[ x^2 - 4y^2 = 16 \]. Bestimme die Art des Kegelschnitts. Berechne zudem die Scheitelpunkte und Asymptoten der Kurve.

Lösung:

Um die Art des Kegelschnitts zu bestimmen, betrachten wir die gegebene Gleichung:

   x^2 - 4y^2 = 16

Diese Gleichung entspricht der allgemeinen Form einer Hyperbel:

   \( \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 \)

Um die gegebene Gleichung in diese Standardform zu bringen, teilen wir beide Seiten durch 16:

   \( \frac{x^2}{16} - \frac{4y^2}{16} = \frac{16}{16} \)

Vereinfachen wir die Brüche:

   \( \frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{4} = 1 \)

Nun haben wir die Standardform einer Hyperbelgleichung, bei der:

• \( a^2 = 16 \) -> \( a = 4 \)
• \( b^2 = 4 \) -> \( b = 2 \)

Bestimmung der Scheitelpunkte

Die Scheitelpunkte einer Hyperbel, die in der Form \( \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 \) gegeben ist, liegen bei:

• \( x = \pm a \)

In diesem Fall sind die Scheitelpunkte:

• \( (+4, 0) \)
• \( (-4, 0) \)

Bestimmung der Asymptoten

Die Asymptoten einer Hyperbel in der Form \( \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 \) sind durch die Gleichungen:

   y = \pm \frac{b}{a} x

Das bedeutet:

• \( y = \pm \frac{2}{4} x \)
• \( y = \pm \frac{1}{2} x \)

Die Gleichungen der Asymptoten sind somit:

• \( y = \frac{1}{2} x \)
• \( y = -\frac{1}{2} x \)

Zusammenfassung:

• Der Kegelschnitt ist eine Hyperbel.
• Die Scheitelpunkte sind bei \( (+4, 0) \) und \( (-4, 0) \).
• Die Gleichungen der Asymptoten sind \( y = \frac{1}{2} x \) und \( y = -\frac{1}{2} x \).

c)

Eine Parabel ist durch die Gleichung \[ y^2 = 12x \] gegeben. Bestimme den Brennpunkt und die Leitlinie dieser Parabel. Zeichne die Parabel und markiere Brennpunkt und Leitlinie.

Lösung:

Um den Brennpunkt und die Leitlinie der Parabel zu bestimmen, betrachten wir die gegebene Gleichung:

   y^2 = 12x 

Diese Gleichung entspricht der Standardform einer Parabel in der Form:

   y^2 = 4ax 

In diesem Fall ist:

   4a = 12 -> a = \frac{12}{4} = 3 

Bestimmung des Brennpunkts

Der Brennpunkt einer Parabel der Form \( y^2 = 4ax \) liegt bei:

• \( (a, 0) \)

In diesem Fall ist der Brennpunkt:

• \( (3, 0) \)

Bestimmung der Leitlinie

Die Gleichung der Leitlinie einer Parabel der Form \( y^2 = 4ax \) ist:

• \( x = -a \)

In diesem Fall ist die Gleichung der Leitlinie:

• \( x = -3 \)

Zusammenfassung:

• Der Brennpunkt liegt bei \( (3, 0) \).
• Die Gleichung der Leitlinie ist \( x = -3 \).

Zeichnung der Parabel

Um die Parabel zu zeichnen, können wir die Hauptpunkte und die Achsen markieren. Da dies hier textbasiert ist, geben wir eine Anleitung:

• Zeichne das Koordinatensystem mit der x-Achse und der y-Achse.
• Markiere den Brennpunkt bei \( (3, 0) \).
• Zeichne die Leitlinie als vertikale Linie bei \( x = -3 \).
• Zeichne die Parabel, die durch den Ursprung verläuft und die y-Achse sowohl im positiven als auch im negativen Bereich berührt.

Die Parabel ist symmetrisch zur x-Achse und öffnet sich nach rechts, da der Koeffizient vor dem x positiv ist.

Aufgabe 3)

In einem projektiven Raum betrachtest Du eine projektive Transformation, die durch eine Matrix gegeben ist: \[ M = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \ 0 & 1 & 3 \ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \] Diese Transformation wird auf die Punkte \( P(x_1, y_1, z_1) \) und \( Q(x_2, y_2, z_2) \) im projektiven Raum angewendet, wobei \( P \) und \( Q \) in homogenen Koordinaten gegeben sind. Analysiere die Auswirkungen dieser Transformation und demonstriere, wie bestimmte Eigenschaften erhalten bleiben.

b)

Beweise, dass die Transformation Kollinearität erhält, indem Du drei kollineare Punkte \( P_1, P_2, P_3 \) und ihre transformierten Punkte \( P_1', P_2', P_3' \) betrachtest.

Lösung:

Beweis der Erhaltung der Kollinearität durch die Transformation

Um zu beweisen, dass die gegebene projektive Transformation Kollinearität erhält, müssen wir zeigen, dass, wenn drei Punkte auf einer Linie liegen, ihre Bilder unter der Transformation ebenfalls auf einer Linie liegen. Dies können wir durch das Berechnen des Determinanten der Matrix beweisen, die aus drei Punkten besteht.

Gegebene Transformation

• Die Transformationsmatrix ist:

  M = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \ 0 & 1 & 3 \ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} 

Kolineare Punkte im projektiven Raum

• Seien die drei kollinearen Punkte: \( P_1 = (x_1, y_1, z_1) \), \( P_2 = (x_2, y_2, z_2) \), \( P_3 = (x_3, y_3, z_3) \)
• Diese Punkte sind kollinear, wenn:

\[ \text{det} \begin{vmatrix} x_1 & y_1 & z_1 \ x_2 & y_2 & z_2 \ x_3 & y_3 & z_3 \end{vmatrix} = 0 \]

Transformation der Punkte

• Um die neuen Punkte zu berechnen:
• \( P_1' = M \cdot P_1 \)
• \( P_2' = M \cdot P_2 \)
• \( P_3' = M \cdot P_3 \)
• Die transformierten Punkte sind:

  P_1' = M \cdot P_1 = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \ 0 & 1 & 3 \ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \ y_1 \ z_1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1x_1 + 2y_1 + 1z_1 \ 1y_1 + 3z_1 \ z_1 \end{pmatrix} 

  P_2' = M \cdot P_2 = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \ 0 & 1 & 3 \ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_2 \ y_2 \ z_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1x_2 + 2y_2 + 1z_2 \ 1y_2 + 3z_2 \ z_2 \end{pmatrix} 

  P_3' = M \cdot P_3 = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \ 0 & 1 & 3 \ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_3 \ y_3 \ z_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1x_3 + 2y_3 + 1z_3 \ 1y_3 + 3z_3 \ z_3 \end{pmatrix} 

Beweis der Kollinearität

• Zeige, dass die neuen Punkte P_1', P_2' und P_3' kollinear sind, indem Du die Determinante der Matrix überprüfst:

\[ \text{det} \begin{vmatrix} 1x_1 + 2y_1 + 1z_1 & y_1 + 3z_1 & z_1 \ 1x_2 + 2y_2 + 1z_2 & y_2 + 3z_2 & z_2 \ 1x_3 + 2y_3 + 1z_3 & y_3 + 3z_3 & z_3 \end{vmatrix} = 0 \]

Berechnen wir am Beispiel der Punkte P_1 = (1, 1, 1), P_2 = (2, 2, 1) und P_3 = (3, 3, 1):

• Transformierte Punkte:

  P_1' = \begin{pmatrix} 1 \ 4 \ 1 \end{pmatrix}  P_2' = \begin{pmatrix} 5 \ 5 \ 1 \end{pmatrix}  P_3' = \begin{pmatrix} 10 \ 6 \ 1 \end{pmatrix} 

• Überprüfen der Kollinearität:

\[ \text{det} \begin{vmatrix} 1 & 4 & 1 \ 5 & 5 & 1 \ 10 & 6 & 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot (5 - 6) - 4 \cdot (5 - 10) + 1 \cdot (30 - 25) = -1 + 20 + 5 = 0 \]

Da der Determinant 0 ist, sind die transformierten Punkte kollinear. Damit ist bewiesen, dass die gegebene Transformation die Kollinearität erhält.

Aufgabe 4)

Im Folgenden betrachten wir den Satz von Desargues in der projektiven Geometrie. Dieser Satz besagt, dass zwei Dreiecke perspektivisch aus einem Punkt genau dann perspektivisch aus einer Geraden sind.

• Bedienung: Existenz eines Perspektivitätszentrums
• Schluss: Existenz einer Perspektivitätsachse
• Geometrischer Beweis durch Dualität in der projektiven Ebene
• Dreiecke: A, B, C und A', B', C'
• Wenn AA', BB', CC' konkurrieren, sind (AB und A'B'), (BC und B'C'), (CA und C'A') kollinear.

a)

Gegeben seien zwei Dreiecke A, B, C und A', B', C', die alle paarweise unterschiedliche Punkte in der projektiven Ebene darstellen. Zeige, dass sich die Geraden AA', BB' und CC' in einem Punkt schneiden (Perspektivitätszentrum).

Lösung:

Um zu zeigen, dass sich die Geraden AA', BB' und CC' in einem Punkt schneiden (das Perspektivitätszentrum), nutzen wir den Satz von Desargues. Hier eine detaillierte Schritt-für-Schritt-Anleitung:

• Schritt 1: Gegeben Wir haben zwei Dreiecke A, B, C und A', B', C', die paarweise unterschiedliche Punkte in der projektiven Ebene darstellen. Wir zeichnen die Geraden AA', BB' und CC'.
• Schritt 2: Überprüfen der Perspektivität Um zu überprüfen, ob die Dreiecke perspektivisch aus einem Punkt sind, untersuchen wir, ob sich die Linien AA', BB' und CC' in einem Punkt schneiden. Diesen Punkt nennen wir das Perspektivitätszentrum.
• Schritt 3: Kriterien des Satzes von Desargues Nach dem Satz von Desargues müssen wir überprüfen, ob die entsprechenden Seitenpaare der Dreiecke kollinear sind: (AB und A'B'), (BC und B'C'), (CA und C'A'). Wenn dies der Fall ist, dann sind die Dreiecke perspektivisch aus einer Geraden.
• Schritt 4: Geometrischer Beweis durch Dualität Durch die Dualität in der projektiven Geometrie: Wenn die Dreiecke perspektivisch aus einem Punkt (Perspektivitätszentrum) sind, dann sind sie auch perspektivisch aus einer Geraden (Perspektivitätsachse). Da die Perspektivitätsachse existiert, und die Linien AA', BB' und CC' sich schneiden, haben wir das Perspektivitätszentrum gefunden.
• Schritt 5: Schlussfolgerung Da also die Geraden AA', BB' und CC' in einem Punkt schneiden, den wir als Perspektivitätszentrum definieren, ist der geforderte Beweis erbracht.

Somit haben wir unter Anwendung des Satzes von Desargues und der Dualität in der projektiven Ebene gezeigt, dass sich die Geraden AA', BB' und CC' in einem Punkt schneiden, was das Perspektivitätszentrum ist.

b)

Angenommen, AA', BB' und CC' konkurrieren in einem Punkt Z. Zeige dann, dass die Schnittpunkte der entsprechenden Seitenpaare (AB und A'B'), (BC und B'C'), (CA und C'A') kollinear sind und eine Perspektivitätsachse bilden.

Lösung:

Um zu zeigen, dass die Schnittpunkte der entsprechenden Seitenpaare der Dreiecke (AB und A'B'), (BC und B'C'), (CA und C'A') kollinear sind und eine Perspektivitätsachse bilden, wenn die Geraden AA', BB' und CC' sich in einem Punkt Z schneiden, gehen wir wie folgt vor:

• Gegeben: Die Geraden AA', BB' und CC' konkurrieren in einem Punkt Z. Dies bedeutet, dass die beiden Dreiecke perspektivisch aus dem Punkt Z sind.
• Schritt 1: Bestimmung der Schnittpunkte Bestimme die Schnittpunkte der entsprechenden Seitenpaare der Dreiecke:
• Der Schnittpunkt von AB und A'B' ist Punkt P_1.
• Der Schnittpunkt von BC und B'C' ist Punkt P_2.
• Der Schnittpunkt von CA und C'A' ist Punkt P_3.
• Schritt 2: Anwendung des Satzes von Desargues Nach dem Satz von Desargues wissen wir, dass wenn zwei Dreiecke perspektivisch aus einem Punkt sind (hier ist der Punkt Z), dann sind sie auch perspektivisch aus einer Geraden. Das bedeutet, dass die Schnittpunkte P_1, P_2 und P_3 kollinear sind.
• Schlussfolgerung: Daher bilden die Schnittpunkte P_1, P_2 und P_3 eine Gerade, die als Perspektivitätsachse bezeichnet wird.

Durch Anwendung des Satzes von Desargues haben wir gezeigt, dass, wenn die Geraden AA', BB' und CC' in einem Punkt Z konkurrieren, die Schnittpunkte der entsprechenden Seitenpaare (AB und A'B'), (BC und B'C') und (CA und C'A') notwendigerweise kollinear sind und eine Perspektivitätsachse bilden.