Hausaufgaben Analysis 1 (Mathematisches Studieren) - Cheatsheet.pdf

Banach-Räume und deren Normen

Definition:

Ein Banach-Raum ist ein vollständiger normierter Vektorraum, das heißt, jede Cauchy-Folge konvergiert in diesem Raum.

Details:

• Normierter Vektorraum: Vektorraum mit einer Norm \( \| \cdot \| \)
• Vollständigkeit: Jede Cauchy-Folge konvergiert in diesem Raum
• Beispiel einer Norm: \( \|x\|_p = \left( \sum_{i=1}^n |x_i|^p \right)^{1/p} \) für \( 1 \leq p < \infty \)
• Wichtige Banach-Räume: \( \ell^p \)-Räume, \( L^p \)-Räume
• Banach-Fixpunktsatz: Jede kontraktive Abbildung in einem Banach-Raum hat genau einen Fixpunkt

Hilbert-Räume und Skalarprodukte

Definition:

Ein Hilbert-Raum ist ein vollständiger, normierter Raum mit einem Skalarprodukt. Das Skalarprodukt induziert eine Norm im Raum.

Details:

• Skalarprodukt: \( \langle x, y \rangle = \sum_{i=1}^n x_i \overline{y_i} \) für endliche Dimensionen.
• Norm durch Skalarprodukt: \( \| x \| = \sqrt{\langle x, x \rangle} \).
• Ein vollständiger Raum bedeutet, dass jede Cauchy-Folge konvergiert.
• Bedeutung: Wichtige Grundlage in der Quantenmechanik und Funktionalanalysis.

Lebesgue-Integration und Vergleich zur Riemann-Integration

Definition:

Lebesgue-Integration: Integration, indem man Funktion und Definitionsbereich erweitertRiemann-Integration: Limiten von Summe der Rechteckflächen

Details:

• Lebesgue-Integration setzt Maßtheorie ein
• Riemann-Integration: Partition des Intervalls, Summe der Rechtecknäherungen
• Lebesgue: misst, wie oft Funktionswerte innerhalb eines Intervalls auftreten
• Vorteil Lebesgue: integriert breitere Klasse von Funktionen
• Vorteil Riemann: intuitiver und einfacher zu verstehen

Existenz- und Eindeutigkeitstheoreme für Lösungen von Differentialgleichungen

Definition:

Satz von Picard-Lindelöf: Existenz und Eindeutigkeit einer lokalen Lösung eines Anfangswertproblems für gewöhnliche Differentialgleichungen.

Details:

• Form des Anfangswertproblems: \( y'(t) = f(t, y(t)) \), \( y(t_0) = y_0 \)
• Bedingungen für \( f(t, y) \): Lipschitz-Stetigkeit in \( y \) und Stetigkeit in \( t \)
• Schlussfolgerung: Eindeutige lokale Lösung \( y(t) \) existiert in einem Intervall um \( t_0 \)

Satz der dominierten Konvergenz

Definition:

Satz, der Bedingungen beschreibt, unter denen der Limes eines Integrals gleich dem Integral des Limes ist.

Details:

• Gegeben sei eine Folge messbarer Funktionen \( f_n \), die punktweise gegen eine Funktion \( f \) konvergiert.
• Existiert eine integrierbare Funktion \( g \) mit \( |f_n| \leq g \) für alle \( n \), dann gilt:
• \[ \lim_{n \to \infty} \int f_n \, d\mu = \int \lim_{n \to \infty} f_n \, d\mu = \int f \, d\mu \]

Numerische Methoden zur Lösung von Differentialgleichungen

Definition:

Numerische Techniken zur Bestimmung von Approximationen von Lösungen von Differentialgleichungen.

Details:

• Euler-Verfahren: Für \( y' = f(t, y) \) und Anfangswert \( y(t_0) = y_0 \), berechne \( y_{n+1} = y_n + h f(t_n, y_n) \).
• Runge-Kutta-Verfahren: Erweiterung des Euler-Verfahrens, z.B. RK4, um Genauigkeit zu verbessern.
• Fehlermetriken: Globale und lokale Fehler, zur Beurteilung der Güte der numerischen Lösung.
• Stabilität: Untersuchung der Stabilität des Verfahrens bei langen Zeitschritten.
• Multistep-Verfahren: Verwenden mehrerer zurückliegender Punkte zur Verbesserung der Lösung, z.B. Adams-Bashforth-Moulton.
• Anwendung: Typischerweise für gewöhnliche Differentialgleichungen, aber auch parabolische und elliptische partielle DGLs.

Spektraltheorie von Operatoren

Definition:

Spektraltheorie behandelt die Untersuchung der Spektren (Eigenwerte) von Operatoren auf Vektorräumen, besonders auf Hilberträumen.

Details:

• Eigenwertgleichung: \(A \psi = \lambda \psi\)
• Spektrum eines Operators: Menge der \(\lambda\), für die der Operator \(A - \lambda I\) nicht invertierbar ist.
• Unterteilung des Spektrums: Punkt-, kontinuierliches und Restspektrum.
• Wichtig: Kompakte Operatoren, selbstadjungierte Operatoren.
• Spektralsatz für selbstadjungierte Operatoren: Jeder selbstadjungierte Operator auf einem Hilbertraum ist diagonalisierbar.

Fubini-Tonelli-Theorem für die Integration über Produktmaßen

Definition:

Fubini-Tonelli-Theorem: Austausch der Reihenfolge von Integration in iterierten Integralen; Voraussetzung: Messbarkeit und Integrierbarkeit.

Details:

• Seien \(X, \mathcal{A}, \mu\) und \(Y, \mathcal{B}, u\) zwei Maße.
• Für eine \(\mathcal{A} \otimes \mathcal{B}\)-messbare Funktion \(f: X \times Y \to \mathbb{R}\):
• Ist \(f\) nichtnegativ: \[ \int_{X \times Y} f \, d(\mu \times u) = \int_X \left( \int_Y f(x, y) \, du(y) \right) d\mu(x) = \int_Y \left( \int_X f(x, y) \, d\mu(x) \right) du(y) \]
• Ist \(f\) integrierbar über \(\mu \times u\): Das gleiche Resultat gilt.
• Ermöglicht Vereinfachung von Doppelintegralen.