Hausaufgaben Analysis 2 (Mathematisches Studieren) - Cheatsheet.pdf

Grundlagen und Definition der Ableitung

Definition:

Ableitung beschreibt die Änderungsrate einer Funktion. Mathematisch die Steigung der Tangente an den Grafen der Funktion in einem Punkt.

Details:

• Definition: Die Ableitung einer Funktion f an der Stelle x ist definiert als der Grenzwert des Differenzenquotienten, sofern dieser existiert:

• Berechnung:

• Definitionslücke:

• Ableitungsregeln:

• Geometrische Interpretation als Tangentensteigung.

Regeln der Differentiation (Produktregel, Quotientenregel, Kettenregel)

Definition:

Regeln zur Berechnung der Ableitungen zusammengesetzter Funktionen

Details:

• Produktregel: \( (f \times g)' = f' \times g + f \times g' \)
• Quotientenregel: \[ \bigg( \frac{f}{g} \bigg)' = \frac{f' \times g - f \times g'}{g^2} \]
• Kettenregel: \( (f \big( g(x) \big))' = f' \big( g(x) \big) \times g'(x) \)

Techniken der Integration (Substitution, partielle Integration)

Definition:

Techniken zur Berechnung von Integralen mittels Substitution und partieller Integration.

Details:

• Substitution: Setze \( u = g(x) \), dann \( du = g'(x) dx \). Ziel: Integral in einfacherer Form darstellen.
• Beispiel: \[ \int f(g(x)) g'(x) \, dx = \int f(u) \, du \]
• Partielle Integration: Setze \( u = f(x) \) und \( dv = g'(x) dx \), dann \[ \int u \, dv = uv - \int v \, du \]
• Beispiel: \[ \int x e^x \, dx = x e^x - \int e^x \, dx = x e^x - e^x + C \]

Hauptsatz der Integralrechnung

Definition:

Hauptsatz der Integralrechnung verbindet die Differential- und Integralrechnung und ermöglicht die Berechnung bestimmter Integrale durch Stammfunktionen.

Details:

• Sei \( f \) stetig auf einem Intervall \([a, b] \), dann gibt es eine Funktion \( F \) mit \( F'(x) = f(x) \) für alle \( x \) in \([a, b] \).
• Bestimmtes Integral von \( f \) über \([a, b] \): \[ \int_{a}^{b} f(x) \, dx = F(b) - F(a) \]

Definition der Stetigkeit und Arten der Stetigkeit

Definition:

Eine Funktion ist stetig an einem Punkt, wenn der Grenzwert der Funktion an diesem Punkt gleich dem Funktionswert an diesem Punkt ist.

Details:

• Formale Definition: Eine Funktion \( f \) ist stetig an der Stelle \( x_0 \), wenn für alle \( \epsilon > 0 \) ein \( \delta > 0 \) existiert, sodass für alle \( x \) mit \( 0 < |x - x_0| < \delta \) gilt: \( |f(x) - f(x_0)| < \epsilon \).
• Arten der Stetigkeit:
  • Beschränkt stetig: Funktion ist stetig auf einem beschränkten Intervall.
  • Unbeschränkt stetig: Funktion ist auf ihrem gesamten Definitionsbereich stetig.
  • Uniform stetig: \( \delta \) hängt nur von \( \epsilon \) ab, nicht von \( x_0 \).
  • Stetigkeit von Folgen: Eine Funktion \( f \) ist stetig, wenn sie konvergente Folgen von Argumenten auf konvergente Folgen von Funktionswerten abbildet.

Eigenschaften und Anwendungen stetiger Funktionen

Definition:

Stetigkeit sichert das 'glatte' Verhalten von Funktionen.

Details:

• Eine Funktion f: D → R ist stetig, wenn ∀ x_0 ∈ D gilt: ∀ ε > 0 ∃ δ > 0, sodass ∀ x ∈ D: |x - x_0| < δ ⇒ |f(x) - f(x_0)| < ε.
• Stetige Funktionen haben Zwischenwertsatz und Extremwertsatz.
• Konstante, identische sowie lineare Funktionen sind Beispiele stetiger Funktionen.
• Stetigkeit erhalten durch Addition, Multiplikation und Komposition.
• In der Physik und Technik für Sensoren und Modelle wichtig.

Modellierung in Physik und Ingenieurwesen

Definition:

Mathematische Beschreibung physikalischer oder technischer Systeme zur Analyse und Vorhersage von Verhaltensweisen.

Details:

• Erstellen von Gleichungen auf Basis physikalischer Gesetze und Prinzipien.
• Verwendung von Differentialgleichungen zur Modellierung dynamischer Systeme.
• Numerische Methoden und Simulationen zur Lösung komplexer Modelle.
• Vergleich von Modellergebnissen mit experimentellen Daten zur Validierung.
• Optimierung und Kontrolle in Ingenieuranwendungen durch Modellierung.

Methoden der Problemlösung und mathematische Beweise

Definition:

Methoden, um mathematische Probleme systematisch zu lösen und um Aussagen zu formalisieren und zu beweisen

Details:

• Direkter Beweis: Beweise eine Aussage direkt mit logischen Schritten von Annahmen zur Konklusion.
• Indirekter Beweis (Widerspruch): Angenommen die Negation der Aussage ist wahr, führe zum Widerspruch.
• Widerspruchsbeweis: Angenommen, eg B ist wahr, zeige Widerspruch daraus.
• Induktionsbeweis: Basisfall zeigen, dann Induktionshypothese annehmen und Induktionsschritt durchführen.
• Konstruktiver Beweis: Existenz durch explizite Konstruktion des Objekts zeigen.
• Analytische Methoden: Zerlegen des Problems in lösbare Teilprobleme.
• Symmetrie: Nutzung von Symmetrieeigenschaften zur Vereinfachung.