Hausaufgaben Analysis 2 (Mathematisches Studieren) - Exam.pdf

Aufgabe 1)

In dieser Aufgabe werden wir die Konzepte der Ableitung und deren Berechnung untersuchen. Betrachte die Funktion \(f(x) = x^3 - 3x^2 + x + 5\). Du wirst gebeten, die Ableitung dieser Funktion zu berechnen, ihre Eigenschaften zu analysieren und geometrische Interpretationen vorzunehmen.

b)

Bestimme alle Stellen, an denen die erste Ableitung der Funktion gleich null ist. Was bedeuten diese Stellen geometrisch? Gib eine Interpretation dieser Punkte im Kontext des Graphen der Funktion.

Lösung:

Bestimmung der Nullstellen der Ableitung

Schritte zur Bestimmung der Nullstellen:

• Schritt 1:

  Löse die Gleichung \(f'(x) = 0\):

  3x^2 - 6x + 1 = 0

• Schritt 2:

  Anwendung der Mitternachtsformel (quadratische Lösungsformel):

  x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

• Schritt 3:

  Identifizieren der Koeffizienten:

  a = 3, \, b = -6, \, c = 1

• Schritt 4:

  Einsetzen der Werte in die Mitternachtsformel:

  x = \frac{-(-6) \pm \sqrt{(-6)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 1}}{2 \cdot 3}

   = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 12}}{6}

   = \frac{6 \pm \sqrt{24}}{6}

   = \frac{6 \pm 2\sqrt{6}}{6}

   = 1 \pm \frac{\sqrt{6}}{3}

Zusammenfassung der Nullstellen:

x_1 = 1 + \frac{\sqrt{6}}{3}

x_2 = 1 - \frac{\sqrt{6}}{3}

Geometrische Interpretation:

• Diese Stellen repräsentieren die kritischen Punkte der Funktion \(f(x)\). An diesen Punkten hat die Funktion entweder ein lokales Maximum, ein lokales Minimum oder einen Sattelpunkt.
• Diese Punkte sind die Stellen, an denen die Tangente an den Graphen der Funktion waagerecht ist (Steigung = 0).

Aufgabe 2)

Betrachte die Funktionen \( f(x) = e^{2x} \) und \( g(x) = x^4 + 3x \). Verwende die Regeln der Differentiation, um verschiedene Ableitungen zu berechnen und zu interpretieren.

Aufgabe 3)

In dieser Aufgabe betrachtest Du zwei verschiedene Methoden der Integration: Substitution und partielle Integration. Gegeben sind Dir die grundlegenden Formeln und Beispiele für beide Methoden. Mit diesen Techniken kannst Du eine Vielzahl von Integralen lösen.

a)

1. Bestimme das Integral \ \ \[ I = \ \int (2x + 1)e^{x^2 + x} \, dx \] \ \ indem Du eine geeignete Substitution durchführst. Gib die Substitutionsvorschrift an und löse das Integral vollständig.

Lösung:

• Bestimme das Integral \[ I = \int (2x + 1)e^{x^2 + x} \, dx \] indem Du eine geeignete Substitution durchführst:

• Schritt 1: Wahl der Substitution: Eine geeignete Substitution kann den Exponenten des Exponentialausdrucks \(x^2 + x\) zu einer einfacheren Funktion umformen. Wir wählen daher: \( u = x^2 + x \)
• Schritt 2: Ableitung der Substitution: Wir berechnen die Ableitung von \(u\) in Bezug auf \(x\): \( du = (2x + 1) \, dx \) Das bedeutet, dass \((2x + 1) \, dx = du\) ist.
• Schritt 3: Ersetzen im Integral: Wir ersetzen nun \((2x + 1) \, dx\) durch \(du\) und den Funktionsterm durch \(e^u\). Das Integral wird dadurch vereinfacht: \[ I = \int e^u \, du \]
• Schritt 4: Berechnung des Integrals: Das Integral von \(e^u\) ist einfach \(e^u + C\), wobei \(C\) die Integrationskonstante ist: \[ I = e^u + C \]
• Schritt 5: Rücksubstitution: Schließlich setzen wir \(u = x^2 + x\) wieder ein: \[ I = e^{x^2 + x} + C \]
• Ergebnis: Das bestimmte Integral lautet: \[ I = \int (2x + 1)e^{x^2 + x} \, dx = e^{x^2 + x} + C \]

b)

2. Berechne das Integral \ \ \[ J = \ \int x \ cos(x) \, dx \] \ \ mittels partieller Integration. Wähle geeignete Funktionen u und dv, wende die Formel der partiellen Integration an und führe alle Schritte detailliert durch, um das Endergebnis zu erhalten.

Lösung:

• Berechne das Integral \[ J = \int x \cos(x) \, dx \] mittels partieller Integration:

• Schritt 1: Auswahl der Funktionen \( u \) und \( dv \): Bei der partiellen Integration wählen wir:
  • \(u = x\)
  • \(dv = \, \cos(x) \, dx\)
• Schritt 2: Bestimmung von \(du\) und \(v\): Um die Ableitungen und Integrale durchzuführen, bestimmen wir: \(du = \, dx\) \(v = \, \int \cos(x) \, dx = \, \sin(x)\)
• Schritt 3: Anwenden der partiellen Integrationsformel: Die Formel der partiellen Integration lautet: \[ \int u \, dv = uv - \int v \, du \] Jetzt setzen wir unsere gewählten und bestimmten Funktionen ein: \[ \int x \cos(x) \, dx = x \sin(x) - \int \sin(x) \, dx \]
• Schritt 4: Berechnung des verbleibenden Integrals: Wir berechnen das Integral \( \int \sin(x) \, dx \): \( \int \sin(x) \, dx = - \cos(x) \) Nun setzen wir dies in die Gleichung ein: \[ x \sin(x) - \int \sin(x) \, dx = x \sin(x) - (- \cos(x)) = x \sin(x) + \cos(x) + C \]
• Ergebnis: Das bestimmte Integral lautet: \[ J = \int x \cos(x) \, dx = x \sin(x) + \cos(x) + C \]

Aufgabe 4)

• Sei \( f \) stetig auf einem Intervall \([a, b] \), dann gibt es eine Funktion \( F \) mit \( F'(x) = f(x) \) für alle \( x \) in \([a, b] \).
• Bestimmtes Integral von \( f \) über \([a, b] \): \[ \int_{a}^{b} f(x) \, dx = F(b) - F(a) \]

a)

Gegeben sei die Funktion \( f(x) = 4x^3 - 6x^2 + 12x - 8 \). Zeige, dass \( F(x) = x^4 - 2x^3 + 6x^2 - 8x \) eine Stammfunktion von \( f(x) \) ist. Berechne anschließend das bestimmte Integral \( \int_{1}^{3} (4x^3 - 6x^2 + 12x - 8) \, dx \) unter Verwendung des Hauptsatzes der Integralrechnung.

Lösung:

• Zeigen, dass \( F(x) = x^4 - 2x^3 + 6x^2 - 8x \) eine Stammfunktion von \( f(x) = 4x^3 - 6x^2 + 12x - 8 \) ist:
  • Um zu zeigen, dass \( F(x) \) eine Stammfunktion von \( f(x) \) ist, müssen wir die Ableitung von \( F(x) \) berechnen.
  • Berechnen wir die Ableitung von \( F(x) \): \( F(x) = x^4 - 2x^3 + 6x^2 - 8x \) \( F'(x) = \frac{d}{dx}(x^4) - \frac{d}{dx}(2x^3) + \frac{d}{dx}(6x^2) - \frac{d}{dx}(8x) \) \( F'(x) = 4x^3 - 6x^2 + 12x - 8 \)
  • Da \( F'(x) = f(x) \) gilt, haben wir gezeigt, dass \( F(x) \) eine Stammfunktion von \( f(x) \) ist.
• Bestimmtes Integral \( \int_{1}^{3} (4x^3 - 6x^2 + 12x - 8) \, dx \) berechnen:
  • Wir verwenden den Hauptsatz der Integralrechnung, der besagt: \[ \int_{a}^{b} f(x) \, dx = F(b) - F(a) \]
  • Setzen wir \( a = 1 \) und \( b = 3 \) sowie die Stammfunktion \( F(x) = x^4 - 2x^3 + 6x^2 - 8x \) ein:
  • \( F(3) = 3^4 - 2 \cdot 3^3 + 6 \cdot 3^2 - 8 \cdot 3 = 81 - 54 + 54 - 24 = 57 \)
  • \( F(1) = 1^4 - 2 \cdot 1^3 + 6 \cdot 1^2 - 8 \cdot 1 = 1 - 2 + 6 - 8 = -3 \)
  • Berechnung des bestimmten Integrals: \[ \int_{1}^{3} (4x^3 - 6x^2 + 12x - 8) \, dx = F(3) - F(1) = 57 - (-3) = 60 \]

• Das bestimmte Integral \( \int_{1}^{3} (4x^3 - 6x^2 + 12x - 8) \, dx \) ist somit 60.

b)

Bestimme den Flächeninhalt zwischen der x-Achse und der Funktion \( f(x) = \sin(x) \) im Intervall \([0, \pi] \). Nutze auch in diesem Fall den Hauptsatz der Integralrechnung.

Lösung:

• Bestimme den Flächeninhalt zwischen der x-Achse und der Funktion \( f(x) = \sin(x) \) im Intervall \([0, \pi] \).
• Schritt 1: Stammfunktion bestimmen.
  • Um den Flächeninhalt zu bestimmen, benötigen wir zunächst eine Stammfunktion von \( f(x) = \sin(x) \).
  • Die Stammfunktion von \( \sin(x) \) ist \( F(x) = -\cos(x) \), da \( \frac{d}{dx}(-\cos(x)) = \sin(x) \).
• Schritt 2: Hauptsatz der Integralrechnung anwenden.
  • Der Hauptsatz der Integralrechnung besagt: \[ \int_{a}^{b} f(x) \, dx = F(b) - F(a) \]
  • Setzen wir \( a = 0 \) und \( b = \pi \) ein sowie die Stammfunktion \( F(x) = -\cos(x) \):
  • \( F(\pi) = -\cos(\pi) = -(-1) = 1 \)
  • \( F(0) = -\cos(0) = -(1) = -1 \)
  • Berechnung des bestimmten Integrals: \[ \int_{0}^{\pi} \sin(x) \, dx = F(\pi) - F(0) = 1 - (-1) = 2 \]
• Der Flächeninhalt zwischen der x-Achse und der Funktion \( f(x) = \sin(x) \) im Intervall \([0, \pi] \) beträgt somit 2.