Hausaufgaben Lineare Algebra 1 (Mathematisches Studieren) - Cheatsheet.pdf

Definition und Beispiele von Vektorräumen

Definition:

Ein Vektorraum (oder linearer Raum) ist eine Menge von Vektoren, die unter Vektoraddition und Skalarmultiplikation abgeschlossen ist.

Details:

• Sei \( V \) ein Vektorraum über einem Körper \( K \).
• Für alle \( \textbf{u}, \textbf{v}, \textbf{w} \in V \) und \( a, b \in K \) gelten:
• Assoziativgesetz der Addition: \( (\textbf{u} + \textbf{v}) + \textbf{w} = \textbf{u} + (\textbf{v} + \textbf{w}) \).
• Kommutativgesetz der Addition: \( \textbf{u} + \textbf{v} = \textbf{v} + \textbf{u} \).
• Existenz eines neutralen Elements: Es gibt ein \( \textbf{0} \in V \) mit \( \textbf{v} + \textbf{0} = \textbf{v} \) für alle \( \textbf{v} \in V \).
• Existenz eines inversen Elements: Für jedes \( \textbf{v} \in V \) gibt es ein \( -\textbf{v} \in V \) mit \( \textbf{v} + (-\textbf{v}) = \textbf{0} \).
• Distributivgesetz I: \( a(\textbf{u} + \textbf{v}) = a\textbf{u} + a\textbf{v} \).
• Distributivgesetz II: \( (a + b)\textbf{v} = a\textbf{v} + b\textbf{v} \).
• Assoziativgesetz der Skalarmultiplikation: \( a(b\textbf{v}) = (ab)\textbf{v} \).
• Existenz eines Einselements: \( 1\textbf{v} = \textbf{v} \) für alle \( \textbf{v} \in V \).
• Beispiele:
• \( \textbf{R}^n \) mit Komponentensumme und Skalarmultiplikation.
• Der Raum aller \( m \times n \)-Matrizen über \( K \).
• Der Raum der polynome mit Koeffizienten in \( K \).

Lineare Unabhängigkeit und Basen

Definition:

Lineare Unabhängigkeit: Vektoren sind linear unabhängig, wenn keine Kombination der anderen Vektoren zu einem anderen Vektor führt. Basen: Eine Basis eines Vektorraums ist eine Menge linear unabhängiger Vektoren, die den gesamten Raum aufspannen.

Details:

• Vektoren \(\{v_1, v_2, \dots, v_k\}\) sind linear unabhängig, wenn \(c_1 v_1 + c_2 v_2 + \dots + c_k v_k = 0\) impliziert, dass \(c_1 = c_2 = \dots = c_k = 0\)
• Maximale Anzahl linear unabhängiger Vektoren in \(\mathbb{R}^n\) ist n
• Eine Basis eines Vektorraums V hat die Eigenschaften:
  • Linear unabhängig
  • Spannt V auf: Jeder Vektor in V kann als Linearkombination der Basisvektoren geschrieben werden
• Dimension eines Vektorraums: Anzahl der Vektoren in einer Basis

Kern und Bild einer linearen Abbildung

Definition:

Kern und Bild einer linearen Abbildung sind fundamentale Konzepte in der linearen Algebra, die Eigenschaften einer linearen Transformation charakterisieren.

Details:

• Kern: Menge aller Vektoren, die auf den Nullvektor abgebildet werden.Formal: \( \text{Kern}(T) = \{ v \in V \mid T(v) = 0 \} \).Eigenschaften: Unterraum des Ausgangsraums \( V \).
• Bild: Menge aller Vektoren, die durch die Abbildung getroffen werden.Formal: \( \text{Bild}(T) = \{ T(v) \mid v \in V \} \).Eigenschaften: Unterraum des Zielraums \( W \).
• Wichtige Beziehungen: Dimensionssatz - \( \text{dim}(\text{Kern}(T)) + \text{dim}(\text{Bild}(T)) = \text{dim}(V) \).

Inversen von Matrizen

Definition:

Eine Matrix ist invertierbar, wenn es eine Matrix gibt, die mit der ursprünglichen Matrix multipliziert die Einheitsmatrix ergibt.

Details:

• Sei A eine Matrix, dann ist ihre Inverse durch A^-1 dargestellt
• Es gilt: A * A^-1 = I und A^-1 * A = I, wobei I die Einheitsmatrix ist
• Nur quadratische Matrizen können eine Inverse haben
• Eine Matrix ist genau dann invertierbar, wenn ihr Determinant ungleich null ist
• Berechnung der Inversen über Gauss-Algorithmus oder Adjunkte und Determinante

Laplace-Entwicklung

Definition:

Laplace-Entwicklung: Methode zur Berechnung der Determinante einer quadratischen Matrix durch Rekursionsschritte anhand von Minoren.

Details:

• Entwicklung nach einer Zeile oder Spalte
• Determinante einer Matrix A: \[ \det(A) = \sum_{j=1}^{n} (-1)^{i+j} a_{ij} \det(A_{ij}) \]
• \( A_{ij} \) ist die (i,j)-Kofaktormatrix
• Rekursive Anwendung für kleinere Matrizen
• Häufig für schmale Matrixfamilien oder diagonale Elemente nützlich

Diagonalisierbarkeit von Matrizen

Definition:

Eine Matrix A ist diagonalisierbar, wenn es eine invertierbare Matrix P und eine Diagonalmatrix D gibt, sodass gilt: \[ A = P D P^{-1} \]

Details:

• Die Eigenwerte von A stehen auf der Diagonalen von D.
• Die Spalten von P sind die Eigenvektoren von A.
• Voraussetzung: A hat n linear unabhängige Eigenvektoren.
• Bsp.: Symmetrische Matrizen sind stets diagonalisierbar.

Geometrische und algebraische Vielfachheit

Definition:

Geometrische Vielfachheit: Anzahl der linear unabhängigen Eigenvektoren zu einem Eigenwert. Algebraische Vielfachheit: Vorkommen eines Eigenwerts als Nullstelle des charakteristischen Polynoms.

Details:

• Geometrische Vielfachheit (GV) ist immer kleiner oder gleich der algebraischen Vielfachheit (AV): \(\text{GV}(\rho) \leq \text{AV}(\rho)\).
• Algebraische Vielfachheit: Wurzelmultiplikation des Eigenwerts im charakteristischen Polynom.
• Geometrische Vielfachheit: Dimension des Eigenraums zum Eigenwert.
• Eigenraum: \[E_{\rho} = \{v \in V \mid (A - \rho I) v = 0\}\]