Hausaufgaben Lineare Algebra 1 (Mathematisches Studieren) - Exam.pdf

Aufgabe 2)

Sei der Vektorraum \(\text{V}\) auf \(\text{\mathbb{R}^3}\) definiert. Betrachte die Vektoren\(\mathbf{v}_1 = (1, 0, 0), \mathbf{v}_2 = (0, 1, 0), \mathbf{v}_3 = (0, 0, 1)\) und \(\mathbf{w}_1 = (1, 1, 1), \mathbf{w}_2 = (1, 1, 0), \mathbf{w}_3 = (1, 0, 1)\).

Aufgabe 4)

Gegeben sei die quadratische Matrix \( A \) mit den folgenden Einträgen: \[ A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 \ 1 & 0 & -1 \ 3 & -1 & 2 \end{pmatrix} \]. Überprüfe, ob die Matrix \( A \) invertierbar ist, und berechne gegebenenfalls die Inverse von \( A \) unter Verwendung des Gauss-Algorithmus oder durch die Berechnung der Adjunkten und der Determinante.

b)

Berechnung der Inversen mittels Gauss-Algorithmus: Wenn die Determinante von \( A \) ungleich null ist, führe den Gauss-Algorithmus durch, um die Inverse der Matrix zu ermitteln. Zeige alle Zwischenschritte.

Lösung:

Die quadratische Matrix A ist:

\[A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 \ 1 & 0 & -1 \ 3 & -1 & 2 \end{pmatrix}\]

Da die Determinante der Matrix A wie zuvor berechnet -10 ist, und von null verschieden ist, ist die Matrix A invertierbar. Nun führen wir den Gauss-Algorithmus durch, um die Inverse der Matrix A zu ermitteln.

Wir starten mit der erweiterten Matrix [A | I] (wobei I die Einheitsmatrix ist):

\[ \begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 & | & 1 & 0 & 0 \ 1 & 0 & -1 & | & 0 & 1 & 0 \ 3 & -1 & 2 & | & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \]

Nun führen wir den Gauss-Algorithmus aus, um die linke Seite in die Einheitsmatrix zu transformieren:

• Schritt 1: Teile die erste Zeile durch 2 (um eine 1 in der linken oberen Ecke zu bekommen):

\[ \begin{pmatrix} 1 & \frac{1}{2} & \frac{3}{2} & | & \frac{1}{2} & 0 & 0 \ 1 & 0 & -1 & | & 0 & 1 & 0 \ 3 & -1 & 2 & | & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \]

\[ \begin{pmatrix} 1 & \frac{1}{2} & \frac{3}{2} & | & \frac{1}{2} & 0 & 0 \ 0 & -\frac{1}{2} & -\frac{5}{2} & | & -\frac{1}{2} & 1 & 0 \ 3 & -1 & 2 & | & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \]

\[ \begin{pmatrix} 1 & \frac{1}{2} & \frac{3}{2} & | & \frac{1}{2} & 0 & 0 \ 0 & -\frac{1}{2} & -\frac{5}{2} & | & -\frac{1}{2} & 1 & 0 \ 0 & -\frac{5}{2} & -\frac{5}{2} & | & -\frac{3}{2} & 0 & 1 \end{pmatrix} \]

\[ \begin{pmatrix} 1 & \frac{1}{2} & \frac{3}{2} & | & \frac{1}{2} & 0 & 0 \ 0 & 1 & 5 & | & 1 & -2 & 0 \ 0 & -\frac{5}{2} & -\frac{5}{2} & | & -\frac{3}{2} & 0 & 1 \end{pmatrix} \]

\[ \begin{pmatrix} 1 & \frac{1}{2} & \frac{3}{2} & | & \frac{1}{2} & 0 & 0 \ 0 & 1 & 5 & | & 1 & -2 & 0 \ 0 & 0 & -\frac{5}{2} & | & -\frac{1}{2} & 5 & 1 \end{pmatrix} \]

\[ \begin{pmatrix} 1 & \frac{1}{2} & \frac{3}{2} & | & \frac{1}{2} & 0 & 0 \ 0 & 1 & 5 & | & 1 & -2 & 0 \ 0 & 0 & 1 & | & \frac{1}{5} & -2 & -\frac{2}{5} \end{pmatrix} \]

\[ \begin{pmatrix} 1 & \frac{1}{2} & \frac{3}{2} & | & \frac{1}{2} & 0 & 0 \ 0 & 1 & 0 & | & 1 & 3 & 2 \ 0 & 0 & 1 & | & \frac{1}{5} & -2 & -\frac{2}{5} \end{pmatrix} \]

\[ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & | & \frac{1}{5} & \frac{3}{5} & \frac{2}{5} \ 0 & 1 & 0 & | & 6 & 5 & 2 \ 0 & 0 & 1 & | & \frac{1}{5} & -2 & -\frac{2}{5} \end{pmatrix} \]

Nun ist die linke Seite der erweiterten Matrix die Einheitsmatrix und die rechte Seite ist die Inverse der ursprünglichen Matrix A:

\[A^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{1}{5} & \frac{3}{5} & \frac{2}{5} \ 6 & 5 & 2 \ \frac{1}{5} & -2 & -\frac{2}{5} \end{pmatrix}\]

Das ist die Inverse der gegebenen Matrix A.

c)

Berechne die Inverse von \( A \) durch die Adjunkte und die Determinante: Verwende die Regel von Cramersche für die Berechnung der Inversen, falls die Determinante von \( A \) ungleich null ist. Zeige dabei jede notwendige Berechnung.

Lösung:

Um die Inverse der Matrix A mithilfe der Adjunkten und der Determinante zu berechnen, befolgen wir diese Schritte:

Die gegebene Matrix A ist:

\[A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 \ 1 & 0 & -1 \ 3 & -1 & 2 \end{pmatrix}\]

Die Determinante von A haben wir bereits als -10 berechnet, daher ist A invertierbar.

Die Regel von Cramer besagt, dass die Inverse einer Matrix durch:

\[A^{-1} = \frac{1}{\text{det}(A)} \cdot \text{adj}(A)\]

berechnet wird. adj(A) ist die Adjungierte (die Transponierte der Kofaktorenmatrix) von A.

Schritt 1: Berechnung der Kofaktorenmatrix:

Die Kofaktoren sind die Determinanten der 2x2-Untermatrizen mit den entsprechenden Vorzeichen.

• Element (1,1):

  \[\begin{vmatrix} 0 & -1 \ -1 & 2 \end{vmatrix} = 0\cdot2 - (-1)\cdot(-1) = 0 - 1 = -1\],daher Kofaktor = (-1)^{1+1} \cdot (-1) = -1

• Element (1,2):

  \[\begin{vmatrix} 1 & -1 \ 3 & 2 \end{vmatrix} = 1\cdot2 - (-1)\cdot3 = 2 + 3 = 5\],daher Kofaktor = (-1)^{1+2} \cdot 5 = -5

• Element (1,3):

  \[\begin{vmatrix} 1 & 0 \ 3 & -1 \end{vmatrix} = 1\cdot(-1) - 0\cdot3 = -1\],daher Kofaktor = (-1)^{1+3} \cdot (-1) = -1

• Element (2,1):

  \[\begin{vmatrix} 1 & 3 \ -1 & 2 \end{vmatrix} = 1\cdot2 - 3\cdot(-1) = 2 + 3 = 5\],daher Kofaktor = (-1)^{2+1} \cdot 5 = -5

• Element (2,2):

  \[\begin{vmatrix} 2 & 3 \ 3 & 2 \end{vmatrix} = 2\cdot2 - 3\cdot3 = 4 - 9 = -5\],daher Kofaktor = (-1)^{2+2} \cdot (-5) = -5

• Element (2,3):

  \[\begin{vmatrix} 2 & 1 \ 3 & -1 \end{vmatrix} = 2\cdot(-1) - 1\cdot3 = -2 - 3 = -5\],daher Kofaktor = (-1)^{2+3} \cdot (-5) = 5

• Element (3,1):

  \[\begin{vmatrix} 1 & -1 \ 0 & -1 \end{vmatrix} = 1\cdot(-1) - (-1)\cdot0 = -1\],daher Kofaktor = (-1)^{3+1} \cdot (-1) = -1

• Element (3,2):

  \[\begin{vmatrix} 2 & 3 \ 1 & -1 \end{vmatrix} = 2\cdot(-1) - 3\cdot1 = -2 - 3 = -5\],daher Kofaktor = (-1)^{3+2} \cdot (-5) = 5

• Element (3,3):

  \[\begin{vmatrix} 2 & 1 \ 1 & 0 \end{vmatrix} = 2\cdot0 - 1\cdot1 = -1\],daher Kofaktor = (-1)^{3+3} \cdot (-1) = -1

Somit ist die Kofaktorenmatrix:

\[\text{Kofaktorenmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & -5 & -1 \ -5 & -5 & 5 \ -1 & 5 & -1 \end{pmatrix}\]

Schritt 2: Transposition der Kofaktorenmatrix

Nun transponieren wir die Kofaktorenmatrix:

\[\text{adj}(A) = \begin{pmatrix} -1 & -5 & -1 \ -5 & -5 & 5 \ -1 & 5 & -1 \end{pmatrix}\]

Schritt 3: Berechnung der Inversen

Nun berechnen wir die Inverse durch Multiplikation der Adjungierten mit dem Kehrwert der Determinante:

\[A^{-1} = \frac{1}{-10} \cdot \text{adj}(A) = \frac{1}{-10} \cdot \begin{pmatrix} -1 & -5 & -1 \ -5 & -5 & 5 \ -1 & 5 & -1 \end{pmatrix} \]

Daraus folgt:

\[A^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{1}{10} & \frac{1}{2} & \frac{1}{10} \ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \ \frac{1}{10} & -\frac{1}{2} & \frac{1}{10} \end{pmatrix}\]

Das ist die Inverse der gegebenen Matrix A.

d)

Überprüfe die Ergebnisse: Verifiziere die Richtigkeit Deiner Inverse durch Multiplikation mit der ursprünglichen Matrix \( A \). Zeige, dass \( A \cdot A^{-1} = I \) und \( A^{-1} \cdot A = I \), wobei \( I \) die Einheitsmatrix ist.

Lösung:

Um die Richtigkeit der Inversenmatrix zu überprüfen, berechnen wir die Produkte \(A \times A^{-1}\) und \(A^{-1} \times A\). Unser Ziel ist es, zu zeigen, dass diese Produkte die Einheitsmatrix \(I\) ergeben.

Gegeben sei die ursprüngliche Matrix \(A\):

\[A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 \ 1 & 0 & -1 \ 3 & -1 & 2 \end{pmatrix}\]

Und die berechnete Inverse von \(A\):

\[A^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{1}{10} & \frac{1}{2} & \frac{1}{10} \ \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \ \frac{1}{10} & -\frac{1}{2} & \frac{1}{10} \end{pmatrix}\]

Multiplikation von \(A\) mit \(A^{-1}\)

\[A \times A^{-1} = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 \ 1 & 0 & -1 \ 3 & -1 & 2 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} \frac{1}{10} & \frac{1}{2} & \frac{1}{10} \ \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \ \frac{1}{10} & -\frac{1}{2} & \frac{1}{10} \end{pmatrix}\]

Berechnung der einzelnen Produkte:

• Erste Zeile, erste Spalte:

2 \cdot \frac{1}{10} + 1 \cdot \frac{1}{2} + 3 \cdot \frac{1}{10} = \frac{1}{5} + \frac{1}{2} + \frac{3}{10} = \frac{2}{10} + \frac{5}{10} + \frac{3}{10} = 1

2 \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot (-\frac{1}{2}) + 3 \cdot (-\frac{1}{2}) = 1 - \frac{1}{2} - \frac{3}{2} = 1 - 2 = 0

2 \cdot \frac{1}{10} + 1 \cdot (-\frac{1}{2}) + 3 \cdot \frac{1}{10} = \frac{2}{10} - \frac{1}{2} + \frac{3}{10} = \frac{5}{10} - \frac{5}{10} = 0

1 \cdot \frac{1}{10} + 0 \cdot \frac{1}{2} + (-1) \cdot \frac{1}{10} = \frac{1}{10} + 0 - \frac{1}{10} = 0

1 \cdot \frac{1}{2} + 0 \cdot (-\frac{1}{2}) + (-1) \cdot (-\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} + 0 + \frac{1}{2} = 1

1 \cdot \frac{1}{10} + 0 \cdot (-\frac{1}{2}) + (-1) \cdot \frac{1}{10} = \frac{1}{10} + 0 - \frac{1}{10} = 0

3 \cdot \frac{1}{10} + (-1) \cdot \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{1}{10} = \frac{3}{10} - \frac{5}{10} + \frac{2}{10} = 1 - 1 = 0

3 \cdot \frac{1}{2} + (-1) \cdot (-\frac{1}{2}) + 2 \cdot (-\frac{1}{2}) = \frac{3}{2} + \frac{1}{2} - 1 = 1

3 \cdot \frac{1}{10} + (-1) \cdot (-\frac{1}{2}) + 2 \cdot \frac{1}{10} = \frac{3}{10} + \frac{5}{10} = 1

Das ergibt die Einheitsmatrix:

\[A \times A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\]

Multiplikation von \(A^{-1}\) mit \(A\)

\[A^{-1} \times A = \begin{pmatrix} \frac{1}{10} & \frac{1}{2} & \frac{1}{10} \ \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \ \frac{1}{10} & -\frac{1}{2} & \frac{1}{10} \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 \ 1 & 0 & -1 \ 3 & -1 & 2 \end{pmatrix}\]

Auch hier berechnen wir die einzelnen Elemente des Produkts:

• Erste Zeile, erste Spalte:

\frac{1}{10} \cdot 2 + \frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{10} \cdot 3 = \frac{2}{10} + \frac{5}{10} + \frac{3}{10} = 1

\frac{1}{10} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot 0 + \frac{1}{10} \cdot (-1) = \frac{1}{10} - \frac{1}{10} = 0

\frac{1}{10} \cdot 3 + \frac{1}{2} \cdot (-1) + \frac{1}{10} \cdot 2 = \frac{3}{10} - \frac{5}{10} + \frac{2}{10} = 0

\frac{1}{2} \cdot 2 + (-\frac{1}{2}) \cdot 1 + (-\frac{1}{2}) \cdot 3 = 1 - \frac{1}{2} - \frac{3}{2} = 0

\frac{1}{2} \cdot 1 + (-\frac{1}{2}) \cdot 0 + (-\frac{1}{2}) \cdot (-1) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1

\frac{1}{2} \cdot 3 + (-\frac{1}{2}) \cdot (-1) + (-\frac{1}{2}) \cdot 2 = \frac{3}{5} + \frac{2}{5} - \frac{5}{5} = 0

\frac{1}{10} \cdot 2 + -\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{10} \cdot 3 = \frac{2}{10} - \frac{5}{10} + \frac{3}{10} = 0

\frac{1}{10} \cdot 1 + -\frac{1}{2} \cdot 0 + -\frac{1}{2} \cdot (-1) = \frac{1}{10} + \frac{5}{10} = 0

\frac{1}{10} \cdot 3 + -\frac{1}{2} \cdot (-1) + \frac{1}{10} \cdot 2 = \frac{3}{10} + \frac{5}{10} =1 

Das ergibt die Einheitsmatrix:

\[A^{-1} \times A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\]

Da sowohl \(A \times A^{-1}\) als auch \(A^{-1} \times A\) die Einheitsmatrix ergeben, ist die Inverse korrekt berechnet.