Lineare Algebra 1 - Exam.pdf

Aufgabe 1)

Betrachte den Vektorraum \(\textbf{V} = \textbf{R}^3\) über dem Körper \(\textbf{R}\) mit den Standardoperationen der Vektoraddition und der skalaren Multiplikation. \(\textbf{u} = [1, 2, 3]^T\), \(\textbf{v} = [4, -1, 2]^T\), und \(\textbf{w} = [-3, 0, 1]^T\). Es seien weiterhin \(\textbf{a} = 2\) und \(\textbf{b} = -1\).

a)

Zeige, dass die Vektoraddition \(\textbf{u} + \textbf{v}\) im Raum \(\textbf{R}^3\) die Eigenschaft der Kommutativität erfüllt.

Lösung:

Um zu zeigen, dass die Vektoraddition im Raum \(\textbf{R}^3\) die Eigenschaft der Kommutativität erfüllt, betrachten wir die Vektoren \(\textbf{u} = [1, 2, 3]^T\) und \(\textbf{v} = [4, -1, 2]^T\).

Die Eigenschaft der Kommutativität besagt, dass für zwei Vektoren \(\textbf{u}\) und \(\textbf{v}\) gilt:

• \(\textbf{u} + \textbf{v} = \textbf{v} + \textbf{u}\)

Berechnen wir zunächst die Addition der Vektoren in der vorgegebenen Reihenfolge:

• \(\textbf{u} + \textbf{v} = [1, 2, 3]^T + [4, -1, 2]^T\) das ergibt

  [1 + 4, 2 + (-1), 3 + 2]^T = [5, 1, 5]^T

Berechnen wir nun die Addition der Vektoren in der umgekehrten Reihenfolge:

• \(\textbf{v} + \textbf{u} = [4, -1, 2]^T + [1, 2, 3]^T\) das ergibt

  [4 + 1, -1 + 2, 2 + 3]^T = [5, 1, 5]^T

Da beide Ergebnisse gleich sind, können wir schließen, dass:

• \(\textbf{u} + \textbf{v} = \textbf{v} + \textbf{u}\)

Damit ist gezeigt, dass die Vektoraddition im Raum \(\textbf{R}^3\) die Eigenschaft der Kommutativität erfüllt.

b)

Zeige, dass der Vektor \(\textbf{0} = [0, 0, 0]^T\) das neutrale Element der Vektoraddition in \(\textbf{R}^3\) ist, indem Du die Gleichung \(\textbf{0} + \textbf{u} = \textbf{u}\) überprüfst.

Lösung:

Um zu zeigen, dass der Vektor \( \textbf{0} = [0, 0, 0]^T \) das neutrale Element der Vektoraddition in \( \textbf{R}^3 \) ist, überprüfen wir die Gleichung \( \textbf{0} + \textbf{u} = \textbf{u} \) für den gegebenen Vektor \( \textbf{u} = [1, 2, 3]^T \).

Das neutrale Element der Vektoraddition bedeutet, dass ein Vektor bei der Addition mit dem Nullvektor unverändert bleibt.

• Berechnen wir die Addition:

  \( \textbf{0} + \textbf{u} = [0, 0, 0]^T + [1, 2, 3]^T \)

  Das ergibt:

  [0 + 1, 0 + 2, 0 + 3]^T = [1, 2, 3]^T

Da das Ergebnis \( \textbf{u} \) ist, können wir schließen, dass:

• \( \textbf{0} + \textbf{u} = \textbf{u} \)

Damit ist gezeigt, dass der Vektor \( \textbf{0} = [0, 0, 0]^T \) das neutrale Element der Vektoraddition in \( \textbf{R}^3 \) ist.

c)

Bestimme das Inverse des Vektors \(\textbf{v} = [4, -1, 2]^T\) in Bezug auf die Vektoraddition und zeige, dass diese beiden Vektoren die Inverseseigenschaft erfüllen.

Lösung:

Um das Inverse des Vektors \(\textbf{v} = [4, -1, 2]^T\) in Bezug auf die Vektoraddition zu bestimmen, suchen wir einen Vektor \(\textbf{v}^{-1}\), sodass:

• \(\textbf{v} + \textbf{v}^{-1} = \textbf{0}\)

Sei \(\textbf{v}^{-1} = [a, b, c]^T\). Dann muss gelten:

[4, -1, 2]^T + [a, b, c]^T = [0, 0, 0]^T

Dies führt zu den folgenden Gleichungen:

• \(4 + a = 0\)
• \(-1 + b = 0\)
• \(2 + c = 0\)

Lösen wir diese Gleichungen nach \(a\), \(b\) und \(c\) auf:

• \(a = -4\)
• \(b = 1\)
• \(c = -2\)

Somit ist das Inverse von \(\textbf{v}\) gegeben durch:

• \(\textbf{v}^{-1} = [-4, 1, -2]^T\)

Um die Inverseseigenschaft zu überprüfen, berechnen wir die Summe von \(\textbf{v}\) und \(\textbf{v}^{-1}\):

[4, -1, 2]^T + [-4, 1, -2]^T

Das ergibt:

[4 - 4, -1 + 1, 2 - 2]^T = [0, 0, 0]^T

Da \(\textbf{v} + \textbf{v}^{-1} = \textbf{0}\) gilt, erfüllen die beiden Vektoren die Inverseseigenschaft.

Aufgabe 3)

Gegeben sei die lineare Abbildung \( T: \text{R}^3 \rightarrow \text{R}^2 \) definiert durch die Abbildungsvorschrift:

• \( T(x, y, z) = (x + 2y - z, 3x - y + 5z) \)

a)

Bestimme den Kern von \(T\).

• Finde alle Vektoren \( (x, y, z) \) in \( \text{R}^3 \), die durch die Abbildungsvorschrift von \( T \) auf den Nullvektor von \( \text{R}^2 \) abgebildet werden.
• Zeige die detaillierten Schritte zur Berechnung.

Lösung:

Gegeben sei die lineare Abbildung

• Sei die lineare Abbildung definiert durch: \(T: \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^2\) \(T(x, y, z) = (x + 2y - z, 3x - y + 5z)\)

• Bestimme den Kern von \(T\). Das bedeutet, finde alle Vektoren \((x, y, z)\) in \(\mathbb{R}^3\), die durch die Abbildungsvorschrift von \(T\) auf den Nullvektor \((0,0)\) in \(\mathbb{R}^2\) abgebildet werden.
• Zeige die detaillierten Schritte zur Berechnung.

1. Schreibe die Gleichungen aus der Abbildungsvorschrift auf, wenn \(T(x, y, z) = (0, 0)\):
   • 1. Gleichung: \( x + 2y - z = 0 \)
   • 2. Gleichung: \( 3x - y + 5z = 0 \)
2. Löse die Gleichungen simultan. Zuerst multiplizieren wir die erste Gleichung mit 3, um \(x\) zu eliminieren:
   • \( 3(x + 2y - z) = 3 * 0 \) ergibt \( 3x + 6y - 3z = 0 \)
   • Unsere Gleichungen sind jetzt:
     • \( 3x + 6y - 3z = 0 \) (I)
     • \( 3x - y + 5z = 0 \) (II)
3. Subtrahiere Gleichung (II) von Gleichung (I), um eine neue Gleichung ohne \( x \) zu erhalten:
   • \( (3x + 6y - 3z) - (3x - y + 5z) = 0 \)
   • Das führt zu: \( 3x + 6y - 3z - 3x + y - 5z = 0 \)
   • Daraus folgt: \( 7y - 8z = 0 \) (III)
4. Löse Gleichung (III) nach \( y \) auf:
   • \( 7y = 8z \)
   • \( y = \frac{8}{7}z \)
5. Setze \( y = \frac{8}{7}z \) in eine der ursprünglichen Gleichungen ein (zum Beispiel in Gleichung (I)), um \( x \) in Abhängigkeit von \( z \) zu bestimmen:
   • Gleichung (I): \( x + 2y - z = 0 \)
   • \( x + 2\left(\frac{8}{7}z\right) - z = 0 \)
   • \( x + \frac{16}{7}z - z = 0 \)
   • \( x + \frac{16}{7}z - \frac{7}{7}z = 0 \)
   • \( x + \frac{9}{7}z = 0 \)
   • \( x = -\frac{9}{7}z \)
6. Nun haben wir alle Variablen in Abhängigkeit von \( z \) ausgedrückt:
   • \( x = -\frac{9}{7}z \)
   • \( y = \frac{8}{7}z \)
7. Der Kern von \( T \) ist die Menge aller Vektoren der Form \( (x, y, z) = ( -\frac{9}{7}z, \frac{8}{7}z, z) \), also:
   • \[ \text{Kern}(T) = \left\{ z \left( -\frac{9}{7}, \frac{8}{7}, 1 \right) \mid z \in \mathbb{R} \right\} \]

b)

Bestimme das Bild von \(T\).

• Finde die Menge aller Vektoren \( (a, b) \) in \( \text{R}^2 \), für die es einen Vektor \( (x, y, z) \) in \( \text{R}^3 \) gibt, sodass \( T(x,y,z)=(a,b) \).
• Zeige die detaillierten Schritte zur Berechnung und überprüfe, dass sie eine Unterraum von \( \text{R}^2 \) ist.

Lösung:

Gegeben sei die lineare Abbildung

• Sei die lineare Abbildung definiert durch: \(T: \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^2\) \(T(x, y, z) = (x + 2y - z, 3x - y + 5z)\)

• Bestimme das Bild von \(T\). Das bedeutet, finde die Menge aller Vektoren \((a, b)\) in \(\mathbb{R}^2\), für die es einen Vektor \((x, y, z)\) in \(\mathbb{R}^3\) gibt, sodass \(T(x,y,z) = (a,b)\).
• Zeige die detaillierten Schritte zur Berechnung und überprüfe, dass es ein Unterraum von \(\mathbb{R}^2\) ist.

1. Um das Bild von \(T\) zu bestimmen, stellen wir die Gleichungen auf, die \(T(x, y, z) = (a, b)\) entsprechen:
   • 1. Gleichung: \(x + 2y - z = a\)
   • 2. Gleichung: \(3x - y + 5z = b\)
2. Wir schreiben diese Gleichungen in Matrixform um: \[\begin{pmatrix}1 & 2 & -1 \ 3 & -1 & 5 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}x \ y \ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a \ b \end{pmatrix}\]
3. Wir müssen überprüfen, ob dieses lineare Gleichungssystem für alle \((a, b)\) lösbar ist. Dazu bringen wir die erweiterte Koeffizientenmatrix in die Zeilenstufenform: \[\begin{pmatrix}1 & 2 & -1 & | & a \ 3 & -1 & 5 & | & b\end{pmatrix}\]
4. Führen wir die Zeilenoperationen durch:
   • Wir multiplizieren die erste Zeile mit 3 und subtrahieren sie von der zweiten Zeile:
   \[\begin{pmatrix}1 & 2 & -1 & | & a \ 3 & -1 & 5 & | & b \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix}1 & 2 & -1 & | & a \ 0 & -7 & 8 & | & b - 3a \end{pmatrix}\]
5. Die zweite Zeile teilen wir durch -7: \[\begin{pmatrix}1 & 2 & -1 & | & a \ 0 & 1 & -\frac{8}{7} & | & -\frac{b - 3a}{7}\end{pmatrix}\]
6. Die Matrix ist nun in Zeilenstufenform, und wir sehen, dass es keine Widersprüche gibt. Daher gibt es immer eine Lösung für \((x, y, z)\) für beliebige \((a, b)\). Das bedeutet, dass jeder Vektor \((a, b)\) in \(\mathbb{R}^2\) getroffen werden kann.

• Ein Unterraum muss den Nullvektor enthalten. Für \((a, b) = (0, 0)\) haben wir: \(0 + 2(0) - 0 = 0\) und \(3(0) - 0 + 5(0) = 0\). Daher ist \((0, 0)\ ein Element des Bildes von \(T\).
• Ein Unterraum muss unter Vektoraddition geschlossen sein. Sei \((a_1, b_1)\) und \((a_2, b_2)\) im Bild, dann gibt es \((x_1, y_1, z_1)\) und \((x_2, y_2, z_2)\) in \(\mathbb{R}^3\), sodass: \(T(x_1, y_1, z_1) = (a_1, b_1)\) und \(T(x_2, y_2, z_2) = (a_2, b_2)\) Dann ist \(T((x_1+x_2), (y_1+y_2), (z_1+z_2)) = (a_1 + a_2, b_1 + b_2)\).
• Ein Unterraum muss geschlossen unter skalarer Multiplikation sein. Sei \((a, b)\) im Bild und \(c\) ein Skalar, dann gibt es \((x, y, z)\) in \(\mathbb{R}^3\), sodass \(T(x, y, z) = (a, b)\). Dann ist \(T(c(x), c(y), c(z)) = (ca, cb)\).

Aufgabe 4)

Gegeben sei der lineare Homomorphismus \( f: \mathbb{R}^4 \to \mathbb{R}^3 \), definiert durch die Matrix

• \( A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & 1 \ 0 & 1 & -1 & 2 \ 3 & 4 & 2 & 3 \end{pmatrix} \)

b)

Berechne die Dimension des Kerns \( \text{Ker}(f) \) und gebe eine Basis für \( \text{Ker}(f) \) an.

Lösung:

Um die Dimension des Kerns \( \text{Ker}(f) \) zu berechnen und eine Basis für \( \text{Ker}(f) \) anzugeben, gehen wir wie folgt vor:

• Gegebene Matrix A:

      A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & 1 \ 0 & 1 & -1 & 2 \ 3 & 4 & 2 & 3 \end{pmatrix}    

• Berechnung des Rangs der Matrix A:In der vorherigen Aufgabe haben wir festgestellt, dass der Rang der Matrix A 3 ist:

      \text{Rang}(A) = 3    

• Anwendung des Rangsatzes (Dimensionssatz bzw. Rank-Nullity-Theorem):Der Rangsatz besagt, dass für eine lineare Abbildung \( f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m \) gilt:

     \dim(\text{Ker}(f)) + \dim(\text{Im}(f)) = n   

  Hierbei ist:
  • \( n = 4 \)
  • \( \dim(\text{Im}(f)) = 3 \) (Rang der Matrix A)
  Durch Einsetzen der Werte erhalten wir:

      \dim(\text{Ker}(f)) + 3 = 4    \rightarrow    \dim(\text{Ker}(f)) = 4 - 3 = 1    

• Bestimmung einer Basis für \( \text{Ker}(f) \):Um eine Basis für den Kern zu finden, lösen wir das homogene Gleichungssystem \( A\mathbf{x} = 0 \).
• Die Matrix A ist

  \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & 1 \ 0 & 1 & -1 & 2 \ 3 & 4 & 2 & 3 \end{pmatrix}.

  In Zeilenstufenform sieht sie so aus:

  \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & 1 \ 0 & 1 & -1 & 2 \ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

  Das bedeutet, das System ist äquivalent zu den folgenden Gleichungen:
  • \( x_1 + 2x_2 + x_4 = 0 \)
  • \( x_2 - x_3 + 2x_4 = 0 \)
  • \( x_4 = 0 \)
• Setzen wir \( x_4 = 0 \), erhalten wir:
  • \( x_1 = -2x_2 \)
  • \( x_2 = x_3 \)
  Setzen wir \( x_2 = t \, x_3 = t \, x_4 = 0 \), erhalten wir eine Basis für \( \text{Ker}(f) \) in Form eines Vektors:

  \mathbf{x} = \begin{pmatrix} -2t \ t \ t \ 0 \end{pmatrix} = t \begin{pmatrix} -2 \ 1 \ 1 \ 0 \end{pmatrix}

• Daher ist die Basis für \( \text{Ker}(f) \):

  \begin{pmatrix} -2 \ 1 \ 1 \ 0 \end{pmatrix}

• Zusammenfassung:
  • Dimension des Kerns \( \text{Ker}(f) \): 1
  • Basis für \( \text{Ker}(f) \): \( \begin{pmatrix} -2 \ 1 \ 1 \ 0 \end{pmatrix} \)