Mathematische Grundlagen - Cheatsheet.pdf

Logische Aussagen und Beweise

Definition:

Formalisierung und Untersuchung von Aussagen, deren Wahrheitsgehalt und die Beweisführung

Details:

• Eine Aussage ist ein Satz, der entweder wahr oder falsch ist.
• Logische Operatoren: ∧ (und), ∨ (oder), ¬ (nicht), → (impliziert), ↔ (äquivalent)
• Wahrheitstafeln zeigen die Wahrheitswerte von logischen Ausdrücken.
• Formen des Beweises: direkter Beweis, indirekter Beweis, Widerspruchsbeweis, vollständige Induktion
• Struktur eines Beweises: Annahmen (Prämissen), Argumentation, Schluss (Konklusion)
• Quantoren: ∀ (für alle), ∃ (es gibt)
• Typische Beweistechniken: Fallunterscheidung, Kontraposition, Widerspruch

Mengentheorie: Teilmengen, Schnittmenge, Vereinigungsmenge

Definition:

Konzepte der Mengentheorie: Teilmenge, Schnittmenge, Vereinigungsmenge; wichtig für mathematische Grundlagen

Details:

• Teilmengen: Eine Menge A ist eine Teilmenge von Menge B, wenn jedes Element von A auch in B ist ( \( A \subseteq B \)).
• Schnittmenge: Die Schnittmenge von Mengen A und B enthält alle Elemente, die sowohl in A als auch in B sind ( \( A \cap B \)).
• Vereinigungsmenge: Die Vereinigungsmenge von Mengen A und B enthält alle Elemente, die in A, in B oder in beiden sind ( \( A \cup B \)).

Eigenschaften und Operationen von komplexen Zahlen

Definition:

Komplexe Zahlen bestehen aus einem Realteil und einem Imaginärteil. Sie sind in der Form \( z = a + bi \) geschrieben.

Details:

• \( i = \sqrt{-1} \)
• Addition/Subtraktion: \( (a+bi) \, \pm \, (c+di) = (a\, \pm \, c) + (b\, \pm \, d)i \)
• Multiplikation: \( (a+bi) \cdot (c+di) = (ac - bd) + (ad + bc)i \)
• Division: \( \frac{a+bi}{c+di} = \frac{(a+bi)(c-di)}{c^2 + d^2} \)
• Betrag: \( |z| = \sqrt{a^2 + b^2} \)
• Konjugation: \( \overline{z} = a - bi \)
• Polarform: \( z = r(cos\, \theta + i\, sin\, \theta) \)
• \( r = |z| = \sqrt{a^2 + b^2} \)
• \( \theta = \text{arg}(z) = \arctan\frac{b}{a} \) (wenn \( a > 0 \), sonst andere Fälle beachten)

Eigenschaften von Funktionen: Monotonie, Beschränktheit, Symmetrie

Definition:

Eigenschaften zur Analyse des Verhaltens von Funktionen; essentiell für das Verständnis und die Anwendung in der Mathematik.

Details:

• Monotonie: Eine Funktion f(x) ist monoton wachsend, wenn f'(x) ≥ 0 und monoton fallend, wenn f'(x) ≤ 0.
• Beschränktheit: Eine Funktion ist beschränkt, wenn es eine Schranke gibt, sodass der Funktionswert innerhalb dieses Bereichs liegt. Eine Funktion f(x) ist nach oben beschränkt, wenn es ein M gibt, sodass f(x) ≤ M für alle x im Definitionsbereich; nach unten beschränkt, wenn f(x) ≥ m für alle x im Definitionsbereich.
• Symmetrie: Eine Funktion f(x) ist gerade, wenn für alle x im Definitionsbereich gilt: f(x) = f(-x). Eine Funktion f(x) ist ungerade, wenn für alle x im Definitionsbereich gilt: f(-x) = -f(x).

Differentialrechnung: Ableitungen und ihre Anwendungen

Definition:

Ableitung einer Funktion ist das Maß ihrer Änderungsrate bzgl. einer Variablen. Anwendungen: Tangentensteigungen, Extremwertprobleme, Kurvendiskussion, Wachstumsmodelle.

Details:

• Ableitung Definition: Grenzwert des Differenzenquotienten \[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} \]
• Notationen: \[ f'(x), \frac{df}{dx}, \frac{dy}{dx} \]
• Potenzregel: \[ (x^n)' = n \cdot x^{n-1} \]
• Produktregel: \[ (fg)' = f'g + fg' \]
• Quotientenregel: \[ \left( \frac{f}{g} \right)' = \frac{f'g - fg'}{g^2} \]
• Kettenregel: \[ (f \circ g)' = (f' \circ g) \cdot g' \]
• Anwendungen:
  • Tangente an Graph berechnen: Steigung = Ableitung im Punkt
  • Kurvendiskussion: Monotonie, Krümmung
  • Extremwerte: Nullstellen der Ableitung
  • Optimierungsprobleme

Gleichungen von Geraden und Ebenen im dreidimensionalen Raum

Definition:

Darstellung und Berechnung von Geraden und Ebenen im dreidimensionalen Raum.

Details:

• Geradengleichung in Parameterform: \( \boldsymbol{g}(t) = \boldsymbol{p} + t \boldsymbol{d} \) mit \(\boldsymbol{p}\) als Stützvektor und \(\boldsymbol{d}\) als Richtungsvektor.
• Ebenengleichung in Parameterform: \( \boldsymbol{E}(s, t) = \boldsymbol{p} + s \boldsymbol{u} + t \boldsymbol{v} \) mit \(\boldsymbol{p}\) als Stützvektor und \(\boldsymbol{u}, \boldsymbol{v}\) als Spannvektoren.
• Ebenengleichung in Koordinatenform: \( ax + by + cz = d \) mit \( (a, b, c) \) als Normalvektor.
• Schnittpunkte von Geraden und Ebenen durch Lösen des Gleichungssystems.
• Abstandsberechnung zwischen Punkt und Ebene: \( D = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 - d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} \).

Polynome und deren Wurzeln

Definition:

Ein Polynom ist ein mathematischer Ausdruck der Form \( P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0 \), wobei die \( a_i \) Koeffizienten sind und \( x \) die Variable.Wurzeln eines Polynoms sind die Werte für \( x \), die \( P(x) = 0 \) erfüllen.

Details:

• n = Grad des Polynoms
• Fundamentalsatz der Algebra: Ein Polynom n-ten Grades hat genau n Wurzeln, wenn man Vielfachheiten berücksichtigt
• Wurzelbestimmung: Faktorisieren, Polynomdivision, numerische Methoden (z.B. Newton-Verfahren)
• Komplexe Wurzeln treten paarweise auf
• Linearfaktordarstellung: \( P(x) = a_n (x - x_1)(x - x_2) \cdots (x - x_n) \)

Lösen linearer Gleichungssysteme mittels Matrizen

Definition:

Ein lineares Gleichungssystem kann durch Matrizen dargestellt und gelöst werden. Grundlegend ist die Matrixgleichung der Form \(\textbf{A}\textbf{x} = \textbf{b}\), wobei \(\textbf{A}\) die Koeffizientenmatrix, \(\textbf{x}\) der Unbekanntenvektor und \(\textbf{b}\) der Ergebnisvektor ist.

Details:

• Form: Darstellung als Matrixgleichung \(\textbf{A}\textbf{x} = \textbf{b}\)
• Löseverfahren: Gauß-Algorithmus, Inverse Matrix
• Gauß-Algorithmus: Schritweise Elimination zur Reduktion auf obere Dreiecksmatrix, anschließend Rückwärtseinsetzen
• Inverse Matrix: \(\textbf{x} = \textbf{A}^{-1}\textbf{b}\) falls \(\textbf{A}\) invertierbar ist
• Singuläre Matrix: kein eindeutiges Ergebnis, wenn \(\det(\textbf{A}) = 0\)
• Nicht-Quadratische Systeme: Falls \(\textbf{A}\) nicht quadratisch ist, Lösung durch Pseudoinverse (Moore-Penrose-Inverse)