Mathematische Grundlagen - Exam.pdf

Aufgabe 1)

Betrachte die Aussagenlogik in einem gegebenen logischen Ausdruck. Unten sind einige Aussagen und deren entsprechende Operatoren gegeben: A: „Es regnet“, B: „Es ist bewölkt“. Betrachte die Ausdrucke P und Q:

• P: A ∨ B
• Q: ¬A ∧ B

Analysiere die Wahrheitswerte der Aussagen und beweise die Beziehung zwischen P und Q, wenn möglich, durch verschiedene Beweistechniken.

a)

Erstelle eine Wahrheitstafel für die Aussagen P und Q. Zeige alle möglichen Kombinationen der Wahrheitswerte für A und B und deren Auswirkungen auf P und Q. Bestimme für jede Kombination, ob P und/oder Q wahr oder falsch ist.

Lösung:

Wahrheitstafel für die Aussagen P und QBetrachte die Aussagen:

• A: „Es regnet“
• B: „Es ist bewölkt“

Die logischen Ausdrücke sind:

• P: A ∨ B
• Q: ¬A ∧ B

Um die Wahrheitstafel zu erstellen, listen wir alle möglichen Kombinationen der Wahrheitswerte für A und B auf und bestimmen die daraus resultierenden Wahrheitswerte für P und Q.Wahrheitstafel:

• A = wahr (W), B = wahr (W)
• A = wahr (W), B = falsch (F)
• A = falsch (F), B = wahr (W)
• A = falsch (F), B = falsch (F)

Erste Kombination: A = W, B = W

• P = A ∨ B = W ∨ W = W
• Q = ¬A ∧ B = ¬W ∧ W = F ∧ W = F

Zweite Kombination: A = W, B = F

• P = A ∨ B = W ∨ F = W
• Q = ¬A ∧ B = ¬W ∧ F = F ∧ F = F

Dritte Kombination: A = F, B = W

• P = A ∨ B = F ∨ W = W
• Q = ¬A ∧ B = ¬F ∧ W = W ∧ W = W

Vierte Kombination: A = F, B = F

• P = A ∨ B = F ∨ F = F
• Q = ¬A ∧ B = ¬F ∧ F = W ∧ F = F

Daher ergibt sich die vollständige Wahrheitstafel wie folgt:

A	B	P (A ∨ B)	Q (¬A ∧ B)
W	W	W	F
W	F	W	F
F	W	W	W
F	F	F	F

b)

Beweise oder widerlege die Aussage: „P impliziert Q“ (P → Q). Nutze hierzu unterschiedliche Beweistechniken:

• direkter Beweis
• indirekter Beweis
• Widerspruchsbeweis

Lösung:

Beweis oder Widerlegung der Aussage: „P impliziert Q“ (P → Q)Betrachten wir die Aussagen:

• A: „Es regnet“
• B: „Es ist bewölkt“

Die logischen Ausdrücke sind:

• P: A ∨ B
• Q: ¬A ∧ B

Jetzt sollen wir beweisen oder widerlegen, dass P (A ∨ B) Q (¬A ∧ B) impliziert.Direkter Beweis:Wir nehmen an, dass P wahr ist und dann zeigen wir, dass Q auch wahr sein muss.

• Wenn P = A ∨ B wahr ist, dann gilt mindestens eines der folgenden: A ist wahr oder B ist wahr (oder beide).
• Betrachten wir die möglichen Fälle:
  • Fall 1: A ist wahr. Dann ist ¬A falsch und deshalb ist ¬A ∧ B immer falsch, unabhängig vom Wahrheitswert von B. Dies bedeutet, dass Q falsch ist.
  • Fall 2: B ist wahr. In diesem Fall müssen wir die Subfälle betrachten:
    • Subfall 2.1: A ist wahr. Dann ist ¬A falsch, also ist Q = ¬A ∧ B = falsch ∧ wahr = falsch.
    • Subfall 2.2: A ist falsch. Dann ist ¬A = wahr und Q = ¬A ∧ B = wahr ∧ wahr = wahr.

Aus den Fällen sehen wir, dass es eine Bedingung gibt, unter der P wahr und Q falsch ist (A wahr und B wahr), daher wird die Implikation „P impliziert Q“ widerlegt.Indirekter Beweis:Ein indirekter Beweis zeigt, dass ¬Q → ¬P.

• Wenn Q falsch ist, dann gilt ¬A ∧ B ist falsch.
• Die Aussage ¬A ∧ B ist falsch, wenn entweder ¬A falsch ist (was bedeutet, dass A wahr ist) oder B falsch ist.
• Wenn B falsch ist, dann A ∨ B = A (unabhängig davon, ob A wahr oder falsch ist), was bedeutet, dass P wahr sein kann oder nicht.
• Daher kann ¬Q nicht konsistent zu ¬P führen, da P unabhängig von B auch wahr sein könnte. Dies widerlegt ebenfalls die Implikation.

Widerspruchsbeweis:Angenommen, P → Q ist falsch, dann bedeutet das, dass P wahr und Q falsch sind.

• P: A ∨ B und Q: ¬A ∧ B.
• Für Q falsch, müssen wir entweder ¬A = falsch (was bedeutet, dass A wahr ist) oder B = falsch.
• Da P wahr ist (A ∨ B = wahr), haben wir zwei Fälle:
  • Fall 1: A wahr. Dadurch ist ¬A falsch und ¬A ∧ B = falsch, was bedeutet, dass Q falsch ist.
  • Fall 2: B wahr. Auch wenn B wahr ist, A wahr macht Q falsch.
  Da ein Fall existiert, in dem P wahr ist und Q falsch, wird die Implikation widerlegt.

Zusammenfassend, durch direkte, indirekte und Widerspruchsbeweise haben wir gezeigt, dass die Aussage „P impliziert Q“ falsch ist.

Aufgabe 2)

Gegeben sind die Mengen

• A = {1, 2, 3, 4}
• B = {3, 4, 5, 6}
• C = {4, 5, 6, 7}

Nutze die Konzepte der Mengenlehre, um die folgenden Aufgaben zu lösen.

a)

1) Bestimme die Schnittmengen A ∩ B und A ∩ C. Zeige deine Schritte.

Lösung:

Um die Schnittmengen A ∩ B und A ∩ C zu bestimmen, müssen wir die Elemente finden, die in beiden Mengen vorkommen.

• A = {1, 2, 3, 4}
• B = {3, 4, 5, 6}
• C = {4, 5, 6, 7}

1) Berechnung von A ∩ B:

• A = {1, 2, 3, 4}
• B = {3, 4, 5, 6}

Die Elemente, die sowohl in A als auch in B vorkommen, sind 3 und 4. Daher ist:

A ∩ B = {3, 4}

2) Berechnung von A ∩ C:

• A = {1, 2, 3, 4}
• C = {4, 5, 6, 7}

Das einzige Element, das sowohl in A als auch in C vorkommt, ist 4. Daher ist:

A ∩ C = {4}

Zusammenfassend sind die Schnittmengen:

• A ∩ B = {3, 4}
• A ∩ C = {4}

b)

2) Bestimme die Vereinigungsmengen A ∪ B und B ∪ C. Zeige deine Schritte.

Lösung:

Um die Vereinigungsmengen A ∪ B und B ∪ C zu bestimmen, müssen wir alle Elemente der beiden Mengen kombinieren und Duplikate entfernen.

• A = {1, 2, 3, 4}
• B = {3, 4, 5, 6}
• C = {4, 5, 6, 7}

1) Berechnung von A ∪ B:

• A = {1, 2, 3, 4}
• B = {3, 4, 5, 6}

Die Vereinigungsmenge enthält alle Elemente von A und B, jedoch jedes Element nur einmal:

A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

2) Berechnung von B ∪ C:

• B = {3, 4, 5, 6}
• C = {4, 5, 6, 7}

Die Vereinigungsmenge enthält alle Elemente von B und C, jedoch jedes Element nur einmal:

B ∪ C = {3, 4, 5, 6, 7}

Zusammenfassend sind die Vereinigungsmengen:

• A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
• B ∪ C = {3, 4, 5, 6, 7}

c)

3) Zeige, ob A eine Teilmenge von B oder C ist. Notiere deine Begründung.

Lösung:

Um zu bestimmen, ob A eine Teilmenge von B oder C ist, müssen wir überprüfen, ob alle Elemente der Menge A auch in den Mengen B bzw. C vorhanden sind.

• A = {1, 2, 3, 4}
• B = {3, 4, 5, 6}
• C = {4, 5, 6, 7}

1) Überprüfung, ob A eine Teilmenge von B ist:

A = {1, 2, 3, 4}B = {3, 4, 5, 6}

Wir überprüfen jedes Element von A:

• 1 ist nicht in B
• 2 ist nicht in B
• 3 ist in B
• 4 ist in B

Da nicht alle Elemente von A in B sind, ist A keine Teilmenge von B. Das heißt:

A ⊈ B

2) Überprüfung, ob A eine Teilmenge von C ist:

A = {1, 2, 3, 4}C = {4, 5, 6, 7}

Wir überprüfen jedes Element von A:

• 1 ist nicht in C
• 2 ist nicht in C
• 3 ist nicht in C
• 4 ist in C

Da nicht alle Elemente von A in C sind, ist A keine Teilmenge von C. Das heißt:

A ⊈ C

Zusammenfassend ist A weder eine Teilmenge von B noch von C.

• A ⊈ B
• A ⊈ C

d)

4) Zeige, ob B ∩ C eine Teilmenge von A ist. Begründe deine Antwort detailliert.

Lösung:

Um zu bestimmen, ob B ∩ C eine Teilmenge von A ist, müssen wir zuerst die Schnittmenge B ∩ C berechnen und anschließend überprüfen, ob alle Elemente dieser Schnittmenge in der Menge A enthalten sind.

• A = {1, 2, 3, 4}
• B = {3, 4, 5, 6}
• C = {4, 5, 6, 7}

1) Berechnung der Schnittmenge B ∩ C:

• B = {3, 4, 5, 6}
• C = {4, 5, 6, 7}

Die Elemente, die sowohl in B als auch in C vorkommen, sind 4, 5 und 6. Daher ist:

B ∩ C = {4, 5, 6}

2) Überprüfung, ob B ∩ C eine Teilmenge von A ist:

Wir überprüfen, ob alle Elemente von B ∩ C in A enthalten sind:

• 4 ist in A
• 5 ist nicht in A
• 6 ist nicht in A

Da nicht alle Elemente der Menge B ∩ C in A enthalten sind, ist B ∩ C keine Teilmenge von A. Das heißt:

B ∩ C ⊈ A

Zusammenfassend ist B ∩ C keine Teilmenge von A:

• B ∩ C = {4, 5, 6}
• B ∩ C ⊈ A

Aufgabe 3)

Komplexe Zahlen und ihre Operationen: Komplexe Zahlen bestehen aus einem Realteil und einem Imaginärteil und sind in der Form \( z = a + bi \) geschrieben. Es gelten folgende Eigenschaften und Operationen:

• \( i = \sqrt{-1} \)
• Addition/Subtraktion: \( (a+bi) \pm (c+di) = (a \pm c) + (b \pm d)i \)
• Multiplikation: \( (a+bi) \cdot (c+di) = (ac - bd) + (ad + bc)i \)
• Division: \( \frac{a+bi}{c+di} = \frac{(a+bi)(c-di)}{c^2+d^2} \)
• Betrag: \( |z| = \sqrt{a^2 + b^2} \)
• Konjugation: \( \overline{z} = a - bi \)
• Polarform: \( z = r(\text{cos}\theta + i \text{sin}\theta) \)
• \( r = |z| = \sqrt{a^2 + b^2} \)
• \( \theta = \text{arg}(z) = \text{arctan}\frac{b}{a} \) (wenn \( a>0 \), sonst andere Fälle beachten)

a)

Berechne die Summe und das Produkt der folgenden komplexen Zahlen: \( z_1 = 3 + 4i \) und \( z_2 = 1 - 2i \).

Lösung:

Aufgabe: Berechne die Summe und das Produkt der folgenden komplexen Zahlen: \( z_1 = 3 + 4i \) und \( z_2 = 1 - 2i \).Schrittweise Lösung:1. Addition: Die Summe zweier komplexer Zahlen wird berechnet, indem man die Realteile und die Imaginärteile getrennt addiert:\( z_1 + z_2 = (3 + 4i) + (1 - 2i) \)\( = (3 + 1) + (4i - 2i) \)\( = 4 + 2i \)2. Multiplikation: Das Produkt zweier komplexer Zahlen wird wie folgt berechnet:\( z_1 \times z_2 = (3 + 4i) \times (1 - 2i) \)Hierbei verwenden wir die Distributivgesetz und die Tatsache, dass \( i^2 = -1 \):\( = 3 \times 1 + 3 \times (-2i) + 4i \times 1 + 4i \times (-2i) \)\( = 3 - 6i + 4i - 8i^2 \)Erinnern wir uns daran, dass \( i^2 = -1 \), daher ist:\( = 3 - 6i + 4i + 8 \)\( = 3 + 8 - 6i + 4i \)\( = 11 - 2i \)Zusammenfassung:

• Die Summe der komplexen Zahlen \( z_1 \) und \( z_2 \) ist \( 4 + 2i \).
• Das Produkt der komplexen Zahlen \( z_1 \) und \( z_2 \) ist \( 11 - 2i \).

b)

Bestimme den Betrag und die Konjugation der komplexen Zahl \( z = -2 + 5i \).

Lösung:

Aufgabe: Bestimme den Betrag und die Konjugation der komplexen Zahl \( z = -2 + 5i \).Schrittweise Lösung:1. Betrag: Der Betrag einer komplexen Zahl \( z = a + bi \) wird berechnet als:\( |z| = \sqrt{a^2 + b^2} \)Für \( z = -2 + 5i \) sind \( a = -2 \) und \( b = 5 \):\( |z| = \sqrt{(-2)^2 + 5^2} \)\( = \sqrt{4 + 25} \)\( = \sqrt{29} \)2. Konjugation: Die Konjugation einer komplexen Zahl \( z = a + bi \) ist definiert als:\( \overline{z} = a - bi \)Für \( z = -2 + 5i \) ist die Konjugation:\( \overline{z} = -2 - 5i \)Zusammenfassung:

• Der Betrag der komplexen Zahl \( z = -2 + 5i \) ist \( \sqrt{29} \).
• Die Konjugation der komplexen Zahl \( z = -2 + 5i \) ist \( -2 - 5i \).

c)

Schreibe die komplexe Zahl \( z = 1 + i \) in Polarform. Berechne dazu zuerst \( r \) und \( \theta \).

Lösung:

Aufgabe: Schreibe die komplexe Zahl \( z = 1 + i \) in Polarform. Berechne dazu zuerst \( r \) und \( \theta \).Schrittweise Lösung:1. Betrag (\( r \)): Der Betrag einer komplexen Zahl \( z = a + bi \) wird berechnet als:\( r = |z| = \sqrt{a^2 + b^2} \)Für \( z = 1 + i \) sind \( a = 1 \) und \( b = 1 \):\( r = \sqrt{1^2 + 1^2} \)\( = \sqrt{1 + 1} \)\( = \sqrt{2} \)2. Winkel (\( \theta \)): Der Winkel einer komplexen Zahl \( z = a + bi \) wird berechnet als:\( \theta = \text{arg}(z) = \text{arctan}\left(\frac{b}{a}\right) \)Für \( z = 1 + i \) sind \( a = 1 \) und \( b = 1 \):\( \theta = \text{arctan}\left(\frac{1}{1}\right) \)\( = \text{arctan}(1) \)\( = \frac{\pi}{4} \)3. Polarform: Die Polarform einer komplexen Zahl \( z \) ist gegeben durch:\( z = r(\text{cos}\theta + i \text{sin}\theta) \)Für \( z = 1 + i \) haben wir nun \( r = \sqrt{2} \) und \( \theta = \frac{\pi}{4} \):\( z = \sqrt{2}(\text{cos}\frac{\pi}{4} + i \text{sin}\frac{\pi}{4}) \)Zusammenfassung:

• Der Betrag der komplexen Zahl \( z = 1 + i \) ist \( \sqrt{2} \).
• Der Winkel der komplexen Zahl \( z = 1 + i \) ist \( \frac{\pi}{4} \).
• Die Polarform der komplexen Zahl \( z = 1 + i \) ist \( \sqrt{2}(\text{cos}\frac{\pi}{4} + i \text{sin}\frac{\pi}{4}) \).

Aufgabe 4)

Betrachte die Funktion \(f(x) = x^3 - 3x + 2\) und analysiere deren Eigenschaften im Detail.

a)

Teilaufgabe A: Bestimme die Monotonie der Funktion \(f(x)\).

• Berechne die erste Ableitung \(f'(x)\).
• Untersuche anhand der ersten Ableitung die Intervalle, in denen \(f(x)\) monoton wachsend bzw. fallend ist.
• Skizziere das Monotonieverhalten der Funktion.

Lösung:

Betrachte die Funktion \( f(x) = x^3 - 3x + 2 \) und analysiere deren Eigenschaften im Detail.

Teilaufgabe A: Bestimme die Monotonie der Funktion \(f(x)\).

• Berechne die erste Ableitung \(f'(x)\).
• Untersuche anhand der ersten Ableitung die Intervalle, in denen \(f(x)\) monoton wachsend bzw. fallend ist.
• Skizziere das Monotonieverhalten der Funktion.

Lösung:

• Berechnung der ersten Ableitung \(f'(x)\):

Die gegebene Funktion ist:

\[ f(x) = x^3 - 3x + 2 \]

Die erste Ableitung von \( f(x) \) berechnet sich wie folgt:

\[ f'(x) = \frac{d}{dx} (x^3 - 3x + 2) \]

Verwende die Potenzregel und die Konstantregel zur Ableitung:

\[ f'(x) = 3x^2 - 3 \]

• Untersuchung der Intervalle:

Um die Monotonie von \( f(x) \) zu untersuchen, setzen wir die erste Ableitung gleich null und lösen nach \( x \) auf:

\[ f'(x) = 0 \]

\[ 3x^2 - 3 = 0 \]

\[ x^2 - 1 = 0 \]

\[ x^2 = 1 \]

\[ x = ±1 \]

Wir haben die kritischen Punkte \( x = -1 \) und \( x = 1 \).

Nun untersuchen wir das Vorzeichen von \( f'(x) \) in den Intervallen:

1. \( (-∞, -1) \)
2. \( (-1, 1) \)
3. \( (1, ∞) \)

Wähle Testwerte in jedem Interval und berechne \( f'(x) \):

Für \( x = -2 \):

\[ f'(-2) = 3(-2)^2 - 3 = 3 ⋅ 4 - 3 = 12 - 3 = 9 > 0 \]

Für \( x = 0 \):

\[ f'(0) = 3(0)^2 - 3 = -3 < 0 \]

Für \( x = 2 \):

\[ f'(2) = 3(2)^2 - 3 = 3 ⋅ 4 - 3 = 12 - 3 = 9 > 0 \]

Die Monotonieintervalle sind:

• Die Funktion ist monoton wachsend in \( (-∞, -1) \) und \( (1, ∞) \).
• Die Funktion ist monoton fallend in \( (-1, 1) \).

• Skizzierung des Monotonieverhaltens:

Da die Funktion in \( (-∞, -1) \) und \( (1, ∞) \) wachsend und in \( (-1, 1) \) fallend ist, ergibt sich das folgende Monotonieverhalten:

b)

Teilaufgabe B: Untersuche die Beschränktheit und Symmetrie der Funktion \(f(x)\).

• Bestimme, ob die Funktion \(f(x)\) nach oben und/oder unten beschränkt ist.
• Untersuche, ob die Funktion \(f(x)\) symmetrisch ist (gerade, ungerade oder keine von beiden).
• Gib eine Begründung für jede Eigenschaft und beziehe die analytischen Ergebnisse der Funktion \(f(x)\) mit ein.

Lösung:

Betrachte die Funktion \( f(x) = x^3 - 3x + 2 \) und analysiere deren Eigenschaften im Detail.

Teilaufgabe B: Untersuche die Beschränktheit und Symmetrie der Funktion \(f(x)\).

• Bestimme, ob die Funktion \(f(x)\) nach oben und/oder unten beschränkt ist.
• Untersuche, ob die Funktion \(f(x)\) symmetrisch ist (gerade, ungerade oder keine von beiden).
• Gib eine Begründung für jede Eigenschaft und beziehe die analytischen Ergebnisse der Funktion \(f(x)\) mit ein.

Lösung:

• Beschränktheit der Funktion:

Um die Beschränktheit der Funktion zu untersuchen, betrachten wir das Verhalten von \( f(x) \) für große positive und negative Werte von \( x \). Die gegebene Funktion ist:

\[ f(x) = x^3 - 3x + 2 \]

Für große positive Werte von \( x \) (d.h. \( x \to \infty \)) dominiert der \( x^3 \)-Term:

\[ f(x) = x^3 - 3x + 2 \approx x^3 \]

Das bedeutet, dass \( f(x) \to \infty \), wenn \( x \to \infty \).

Für große negative Werte von \( x \) (d.h. \( x \to - \infty \)) dominiert ebenfalls der \( x^3 \)-Term:

\[ f(x) = x^3 - 3x + 2 \approx x^3 \]

Das bedeutet, dass \( f(x) \to - \infty \), wenn \( x \to - \infty \).

Daraus folgt, dass die Funktion \( f(x) \) weder nach oben noch nach unten beschränkt ist.

• Symmetrie der Funktion:

Um die Symmetrie der Funktion zu bestimmen, prüfen wir, ob sie gerade, ungerade oder keine von beiden ist. Eine Funktion ist:

• Gerade: wenn \( f(-x) = f(x) \)
• Ungerade: wenn \( f(-x) = -f(x) \)

Berechnen wir \( f(-x) \) für die gegebene Funktion:

\[ f(-x) = (-x)^3 - 3(-x) + 2 \]

\[ f(-x) = -x^3 + 3x + 2 \]

Vergleichen wir \( f(-x) \) mit \( f(x) \):

\[ f(x) = x^3 - 3x + 2 \]

\[ f(-x) = -x^3 + 3x + 2 \]

Offensichtlich haben wir weder \( f(-x) = f(x) \) noch \( f(-x) = -f(x) \), was bedeutet, dass die Funktion weder gerade noch ungerade ist.

• Begründung:

Die Funktion \( f(x) = x^3 - 3x + 2 \) zeigt weder eine gerade Symmetrie (Symmetrie zur y-Achse) noch eine ungerade Symmetrie (Punktsymmetrie zum Ursprung). Dies ist evident durch den Vergleich der Ausdrücke \( f(x) \) und \( f(-x) \).

Zusammenfassend:

• Die Funktion \( f(x) \) ist weder nach oben noch nach unten beschränkt.
• Die Funktion \( f(x) \) ist weder gerade noch ungerade.