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TU München

Master of Science Mathematik

Prof. Dr.

2024

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Numerik - Cheatsheet
Direkte und iterative Lösungsverfahren Definition: Direkte Verfahren lösen Gleichungssysteme in endlich vielen Schritten. Iterative Verfahren approximieren die Lösung schrittweise. Details: Matrixlösungen: \textbf{direkt}: \textit{LU-Zerlegung}, \textit{Cholesky-Zerlegung}, \textit{QR-Zerlegung} \textbf{Iterativ}: \textit{Jacobi-Verfahren}, \textit{Gauss-Seidel-Verfahren}, \textit{SOR-Verfahren} E...

Numerik - Cheatsheet

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Numerik - Exam
Aufgabe 2) Rundungsfehler und deren Auswirkungen Rundungsfehler entstehen, wenn Zahlen bei der Darstellung oder Berechnung gerundet werden, da Computer nur eine begrenzte Anzahl von Dezimalstellen darstellen können. Rundungsfehler treten bei Fließkomma-Arithmetik auf. Kumulation von Rundungsfehlern führt zu Ungenauigkeiten. Bekannte Effekte: Numerische Instabilität, Verlust signifikanten Stellen, ...

Numerik - Exam

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Was ist der Unterschied zwischen direkten und iterativen Lösungsverfahren?

Nennen Sie drei typische direkte Verfahren zur Lösung von Gleichungssystemen.

Für welche Art von Matrizen sind iterative Verfahren besonders geeignet?

Was sind Rundungsfehler und wie entstehen sie?

Nenne einige Auswirkungen von Rundungsfehlern.

Wie kann man Rundungsfehler vermeiden?

Was ist das Ziel der Methode der kleinsten Quadrate?

Welche Gleichung stellt die Normalengleichung der Methode der kleinsten Quadrate dar?

Welche Methode kann genutzt werden, um die Normalengleichung zu lösen?

Was ist das Euler-Verfahren zur numerischen Lösung von gewöhnlichen Differentialgleichungen (ODEs)?

Erkläre das Runge-Kutta-Verfahren zur Lösung von ODEs.

Welche Hauptaspekte müssen bei numerischen Methoden zur Lösung von ODEs geprüft werden?

Was beschreibt das Burnsidesche Lemma?

Wie lautet die Formel für das Burnsidesche Lemma?

Was bedeutet \( \text{Fix}(g) \) im Kontext des Burnsideschen Lemmas?

Was versteht man unter der Finite-Differenzen-Methode für PDEs?

Wie wird die Ableitung \( \frac{\partial u}{\partial x} \) bei Vorwärtsdifferenzen approximiert?

Welche Faktoren sind wichtig für die Genauigkeit der numerischen Lösung bei der Finite-Differenzen-Methode?

Was ist die Konditionszahl \( \text{cond}(A) \)?

Was beschreibt die Stabilität eines numerischen Verfahrens?

Wann ist ein Problem gut konditioniert?

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Diese Konzepte musst du verstehen, um Numerik an der TU München zu meistern:

01
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Numerische Methoden

Dieser Kurs vermittelt grundlegende und fortgeschrittene numerische Methoden, die für die Lösung von mathematischen Problemen wichtig sind.

  • Grundlagen numerischer Analysis
  • Direkte und iterative Lösungsverfahren
  • Numerische Lineare Algebra
  • Nichtlineare Gleichungssysteme
  • Anwendung in realen mathematischen Modellen
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02
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Fehleranalyse

Die Fehleranalyse befasst sich damit, die Genauigkeit numerischer Berechnungen zu bewerten und die Fehlerquellen zu identifizieren.

  • Rundungsfehler und deren Auswirkungen
  • Trunkationsfehler und Approximation
  • Kondition und Stabilität numerischer Verfahren
  • Fehlerschranken und -abschätzungen
  • Fehlerfortpflanzung und Sensitivitätsanalyse
Karteikarten generieren
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Interpolation

Interpolation ist eine Methode zur Konstruktion neuer Datenpunkte innerhalb des Bereichs bekannter Datenpunkte.

  • Polynominterpolation
  • Stückweise lineare und spline-Interpolation
  • Lagrange-Interpolation
  • Newton-Interpolationsformeln
  • Fehleranalyse der Interpolation
Karteikarten generieren
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Approximation

In der numerischen Mathematik bezieht sich die Approximation auf die Annäherung komplexer Funktionen oder Datenmengen durch einfachere mathematische Formen.

  • Least-Squares-Approximation
  • Orthogonale Polynome und Fourier-Approximation
  • Spline-Approximation
  • Rational-Approximation
  • Konvergenz und Fehlerschätzungen in der Approximation
Karteikarten generieren
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Lösungsverfahren für Differentialgleichungen

Lösungsverfahren für gewöhnliche und partielle Differentialgleichungen umfassen verschiedene numerische Techniken zur Lösung dieser fundamentalen mathematischen Gleichungen.

  • Numerische Lösung gewöhnlicher Differentialgleichungen (ODEs)
  • Explizite und implizite Verfahren
  • Finite-Differenzen-Methoden für partielle Differentialgleichungen (PDEs)
  • Finite-Elemente-Methoden
  • Stabilität und Konvergenz von Lösungen
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Alles Wichtige zu diesem Kurs an der TU München

Numerik an TU München - Überblick

In der Vorlesung Numerik im Rahmen des Mathematik-Studiums an der Technischen Universität München erwirbst Du umfassende Kenntnisse in numerischen Methoden und ihrer praktischen Anwendung. Diese Vorlesung vermittelt Dir als Student wichtige Fähigkeiten zur Lösung komplexer mathematischer Probleme, die in der modernen Wissenschaft und Technik auftreten. Du lernst detailliert verschiedene numerische Methoden kennen, analysierst Fehlerquellen und wendest Interpolations- und Approximationstechniken an. Zudem beschäftigst Du Dich intensiv mit numerischen Lösungsverfahren für gewöhnliche und partielle Differentialgleichungen, was Dich optimal auf weiterführende Kurse und berufliche Anwendungen vorbereitet.

Wichtige Informationen zur Kursorganisation

Kursleiter: Prof. Dr.

Modulstruktur: Die detaillierte Struktur der Vorlesung umfasst die Modulstruktur, die die Verteilung der Unterrichtszeit beschreibt, die Studienleistungen, die das Prüfungsformat am Ende der Vorlesung definieren (zum Beispiel eine Klausur oder eine Fallstudie), und die Angebotstermine, die angeben, wann der Kurs üblicherweise angeboten wird (Wintersemester / Sommersemester).

Studienleistungen: Die Prüfungsleistung am Ende des Kurses besteht in der Regel in einer Klausur.

Angebotstermine: Der Kurs wird üblicherweise sowohl im Wintersemester als auch im Sommersemester angeboten.

Curriculum-Highlights: Numerische Methoden, Fehleranalyse, Interpolation, Approximation, Lösungsverfahren für gewöhnliche und partielle Differentialgleichungen

So bereitest Du Dich optimal auf die Prüfung vor

Beginne frühzeitig mit dem Lernen, idealerweise schon zu Beginn des Semesters, um Dir die nötige theoretische Basis anzueignen.

Nutze verschiedene Ressourcen, wie Bücher, Übungsaufgaben, Karteikarten und Probeklausuren, um dein Wissen zu vertiefen.

Schließe Dich Lerngruppen an und tausche Dich mit anderen Studierenden aus, um gemeinsam Lösungsstrategien zu entwickeln.

Vergiss nicht, regelmäßige Pausen einzulegen und in diesen Zeiten komplett abzuschalten, um eine Überbelastung zu vermeiden.

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