Überfachliche Grundlagen - Cheatsheet.pdf

Aussagenlogik: Definitionen, Konjunktionen, Disjunktionen, Implikationen

Definition:

Formale Sprache der Logik zur Analyse und Erstellung logischer Aussagen.

Details:

• Konjunktion: Verknüpfung durch 'und', symbolisiert durch \( p \land q \).
• Disjunktion: Verknüpfung durch 'oder', symbolisiert durch \( p \lor q \).
• Implikation: Bedingung 'wenn..., dann...', symbolisiert durch \( p \rightarrow q \).

Prädikatenlogik: Quantoren, Terme, Formeln

Definition:

In der Prädikatenlogik werden Aussagen über Objekte und deren Beziehungen mit Hilfe von Quantoren, Termen und Formeln dargestellt.

Details:

• Quantoren: \(\forall\) (Allquantor), \(\exists\) (Existenzquantor)
• Terme: Variablen, Konstanten, Funktionssymbole
• Formeln: Aussagen über Terme, Verknüpfungen und Quantoren
• Beispiele: \(\forall x \in \mathbb{R} \, (x^2 \geq 0)\), \(\exists y \in \mathbb{Z} \, (y \cdot 2 = 4)\)

Beweistechniken: Direkter Beweis, indirekter Beweis, Widerspruchsbeweis

Definition:

Beweistechniken zur Verifizierung mathematischer Aussagen.

Details:

• Direkter Beweis: Zeigt, dass aus den Voraussetzungen die Behauptung unmittelbar folgt.
• Indirekter Beweis: Beweist eine Aussage, indem gezeigt wird, dass die Negation zu einem Widerspruch führt.
• Widerspruchsbeweis: Nimmt an, dass die zu beweisende Aussage falsch ist, und zeigt, dass dies zu einem logischen Widerspruch führt.

Gruppen: Gruppenaxiome, Untergruppen, Homomorphismen

Definition:

Mathematische Struktur mit einer Menge und einer Verknüpfung, die bestimmte Axiome erfüllt.

Details:

• Gruppenaxiome: Abgeschlossenheit, Assoziativität, Existenz eines neutralen Elements, Existenz eines inversen Elements.
• Untergruppen: Teilmenge einer Gruppe, die selbst eine Gruppe ist.
• Homomorphismen: Abbildung zwischen zwei Gruppen, die die Verknüpfungsstruktur erhält.

Vektorräume: Basis, Dimension, Lineare Abbildungen

Definition:

Vektorraum: Kombinationen von Vektoren, die abgeschlossene algebraische Strukturen bilden.

Details:

• Basis: Lineare Unabhängigkeit und Spann, \(B = \{v_1, v_2, \ldots, v_n\}\)
• Dimension: Anzahl der Vektoren in einer Basis, z.B. \( \dim(V) = n \)
• Lineare Abbildungen: Funktionen zwischen Vektorräumen \(T: V \rightarrow W\)
• Kern: \( \ker(T) = \{v \in V \mid T(v) = 0 \} \)
• Bild: \( \operatorname{Im}(T) = \{T(v) \mid v \in V\} \)

Differenzialrechnung: Grenzwerte, Ableitungen, Regel von L'Hospital

Definition:

Grundkonzepte der Differenzialrechnung in der Mathematik.

Details:

• Grenzwerte: Beschreiben das Verhalten von Funktionen, wenn die Eingabevariable einen bestimmten Wert annimmt oder gegen Unendlich strebt. Formal: \( \lim_{{x \to a}} f(x) = L \)
• Ableitungen: Maß für die Änderungsrate einer Funktion. Erstableitung: \( f'(x) = \lim_{{h \to 0}} \frac{{f(x+h) - f(x)}}{{h}} \)
• Regel von L'Hospital: Zur Bestimmung von Grenzwerten bei unbestimmten Formen wie \( \frac{0}{0} \) oder \( \frac{\infty}{\infty} \). Formal:Wenn \( \lim_{{x \to a}} f(x) = 0 \) und \( \lim_{{x \to a}} g(x) = 0 \) oder \( \lim_{{x \to a}} f(x) = \infty \) und \( \lim_{{x \to a}} g(x) = \infty \), dann\( \lim_{{x \to a}} \frac{{f(x)}}{{g(x)}} = \lim_{{x \to a}} \frac{{f'(x)}}{{g'(x)}} \) vorausgesetzt, dass der letztere Grenzwert existiert.

Integralrechnung: Riemann-Integrale, Flächenberechnung, Volumenberechnung

Definition:

Bestimmung des Gesamtergebnisses eines kontinuierlichen Funktionalverlaufs durch Summation unendlich kleiner Beiträge.

Details:

• Riemann-Integral: Bestimme das Integral \( I = \int_a^b f(x) \, dx \) durch Grenzwertbildung der Riemann-Summe.
• Flächenberechnung: Fläche zwischen Kurve \( f(x) \) und x-Achse durch \( A = \int_a^b f(x) \, dx \) bestimmt.
• Volumenberechnung:
• Rotationsvolumen um die x-Achse: \( V = \pi \int_a^b [f(x)]^2 \, dx \).
• Rotationsvolumen um die y-Achse: \( V = \pi \int_a^b [g(y)]^2 \, dy \).