Bachelor's Thesis - Exam.pdf

Aufgabe 1)

Du führst ein Experiment zur Bestimmung der Gravitationskonstante durch. Da Du mehrere Messreihen durchführst, möchtest Du die systematischen und zufälligen Fehler minimieren und eine präzise statistische Auswertung durchführen.

a)

Beschreibe, wie systematische und zufällige Fehler in Deinem Experiment auftreten könnten und wie Du diese jeweils minimieren könntest. Gehe dabei auf konkrete Beispiele ein, wie z.B. falsche Kalibrierung (systematischer Fehler) und Rauschen bei den Messungen (zufälliger Fehler).

Lösung:

• Systematische Fehler:
• Definition: Systematische Fehler sind Fehler, die in einem Messverfahren stets in gleicher Weise auftreten. Sie führen zu einer systematischen Abweichung der Messwerte in eine bestimmte Richtung und sind in der Regel reproduzierbar.
• Beispiele:
• Falsche Kalibrierung: Wenn das Messgerät nicht korrekt kalibriert ist, können alle Messungen einen konstanten Fehler aufweisen. Zum Beispiel könnte eine Waage konstant 0,1 g zu viel anzeigen.
• Konstante Temperaturschwankungen: Wenn das Experiment in einem Raum mit konstanter und höherer Temperatur als erwartet durchgeführt wird, könnte dies die Messwerte konstant nach oben verfälschen.
• Minimierung:
• Regelmäßige Kalibrierung: Stelle sicher, dass alle Messgeräte regelmäßig und genau kalibriert werden, um sicherzustellen, dass sie korrekte Werte anzeigen.
• Präzise Umgebungsbedingungen: Führe das Experiment unter kontrollierten und konstanten Bedingungen durch, um Einflüsse durch Temperatur, Luftdruck oder Feuchtigkeit zu minimieren.
• Vergleichs- und Kontrollmessungen: Führe Kontrollmessungen mit bekannten Standards durch, um sicherzustellen, dass keine systematischen Abweichungen vorliegen.
• Zufällige Fehler:
• Definition: Zufällige Fehler entstehen durch unvorhersehbare und nicht reproduzierbare Faktoren, die die Messgenauigkeit beeinträchtigen. Diese führen zu Schwankungen in den Messwerten.
• Beispiele:
• Messrauschen: Elektronisches Rauschen in Messgeräten kann zu zufälligen Schwankungen in den aufgezeichneten Werten führen.
• Vibrationen: Unvorhersehbare Vibrationen, die durch externe Einflüsse verursacht werden, können die Messwerte beeinflussen.
• Minimierung:
• Wiederholte Messungen: Führe das Experiment mehrfach durch und berechne den Mittelwert der Messwerte, um den Einfluss zufälliger Fehler zu reduzieren.
• Rauschreduzierung: Verwende hochwertige, rauscharme Geräte und gegebenenfalls Filter, um unerwünschtes Rauschen zu minimieren.
• Isolierung: Führe das Experiment in einer Umgebung durch, die vor Vibrationen und anderen externen Einflüssen geschützt ist.

b)

Du hast insgesamt 10 Messwerte für die Gravitationskonstante erhalten:

• 6.67x10^{-11}
• 6.69x10^{-11}
• 6.68x10^{-11}
• 6.66x10^{-11}
• 6.70x10^{-11}
• 6.71x10^{-11}
• 6.68x10^{-11}
• 6.67x10^{-11}
• 6.69x10^{-11}
• 6.67x10^{-11}

Berechne den Mittelwert \(\bar{x}\), die Standardabweichung \(\sigma\) und die statistische Unsicherheit \(\sigma\_\bar{x}\) dieser Messwerte. Nutze dafür die folgenden Formeln:

• Mittelwert: \ \bar{x} = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} x_i \
• Standardabweichung: \ \sigma = \sqrt{\frac{1}{N-1} \sum_{i=1}^{N} (x_i - \bar{x})^2}\
• Statistische Unsicherheit: \ \sigma_{\bar{x}} = \frac{\sigma}{\sqrt{N}} \

Lösung:

• Gegebene Messwerte:
• 6.67×10^-11
• 6.69×10^-11
• 6.68×10^-11
• 6.66×10^-11
• 6.70×10^-11
• 6.71×10^-11
• 6.68×10^-11
• 6.67×10^-11
• 6.69×10^-11
• 6.67×10^-11
• Berechnung des Mittelwerts (\(\bar{x}\)):
• Zuerst summiere alle Messwerte:
• Summe = (6.67 + 6.69 + 6.68 + 6.66 + 6.70 + 6.71 + 6.68 + 6.67 + 6.69 + 6.67) × 10^-11 = 66.82 × 10^-11
• Berechne den Mittelwert:
• \(\bar{x} = \frac{1}{10} × 66.82 × 10^{-11} = 6.682 × 10^{-11}\)
• Berechnung der Standardabweichung (\(\sigma\)):
• Berechne die quadrierten Abweichungen vom Mittelwert:
• (6.67 - 6.682)² = (-0.012)² = 0.000144 × 10^-22
• (6.69 - 6.682)² = (0.008)² = 0.000064 × 10^-22
• (6.68 - 6.682)² = (-0.002)² = 0.000004 × 10^-22
• (6.66 - 6.682)² = (-0.022)² = 0.000484 × 10^-22
• (6.70 - 6.682)² = (0.018)² = 0.000324 × 10^-22
• (6.71 - 6.682)² = (0.028)² = 0.000784 × 10^-22
• (6.68 - 6.682)² = (-0.002)² = 0.000004 × 10^-22
• (6.67 - 6.682)² = (-0.012)² = 0.000144 × 10^-22
• (6.69 - 6.682)² = (0.008)² = 0.000064 × 10^-22
• (6.67 - 6.682)² = (-0.012)² = 0.000144 × 10^-22
• Summiere alle quadrierten Abweichungen:
• Summe = 0.000144 + 0.000064 + 0.000004 + 0.000484 + 0.000324 + 0.000784 + 0.000004 + 0.000144 + 0.000064 + 0.000144 = 0.00216 × 10^-22
• Berechne die Varianz:
• Varianz = \(\frac{0.00216 × 10^{-22}}{10 - 1} = 0.00024 × 10^{-22}\)
• Berechne die Standardabweichung:
• \(\sigma = \sqrt{0.00024 × 10^{-22}} = 0.01549 × 10^{-11}\)
• Berechnung der statistischen Unsicherheit des Mittelwerts (\(\sigma_{\bar{x}}\)):
• \(\sigma_{\bar{x}} = \frac{\sigma}{\sqrt{10}} = \frac{0.01549 × 10^{-11}}{\sqrt{10}} = 0.00490 × 10^{-11}\)

Aufgabe 2)

Quantenmechanik und Quantenfeldtheorie: Die Quantenmechanik beschreibt physikalische Systeme auf kleinster Skala, wie Atome und Teilchen. Die Quantenfeldtheorie erweitert dies und beschreibt Felder sowie die Wechselwirkungen zwischen Teilchen.

• Die Wellenfunktion \( \psi \ \) beschreibt den Zustand eines Quantensystems.
• Die Schrödinger-Gleichung lautet: \[ i\hbar \frac{\partial}{\partial t} \psi (\mathbf{r}, t) = \hat{H} \psi (\mathbf{r}, t) \]
• Die Heisenbergsche Unschärferelation lautet: \[ \Delta x \Delta p \geq \frac{\hbar}{2} \]
• Fermionen und Bosonen: Fermionen gehorchen dem Pauli-Verbot, Bosonen nicht.
• Die Pfadintegralformulierung in der Quantenfeldtheorie lautet: \[ Z = \int \mathcal{D}\phi \, e^{iS[\phi]/\hbar} \]
• Feynman-Diagramme werden zur Visualisierung von Teilchenwechselwirkungen verwendet.

b)

Gegeben sei ein System von Fermionen.
• Erkläre, wie die Heisenbergsche Unschärferelation \( \Delta x \Delta p \geq \frac{\hbar}{2} \ \) die Untergrenze für die Energiepostionen dieser Fermionen festlegt.
• Nehmen wir an, dass eine Wechselwirkung zwischen Fermionen und Bosonen durch ein einfache Wechselwirkungsterm in der Quantenfeldtheorie beschrieben werden kann. Berechne den Übergangszustand mithilfe des Feynman-Diagramms und erkläre Schritt für Schritt die wesentlichen Konzepte.

Lösung:

Quantenmechanik und Quantenfeldtheorie: Die Quantenmechanik beschreibt physikalische Systeme auf kleinster Skala, wie Atome und Teilchen. Die Quantenfeldtheorie erweitert dies und beschreibt Felder sowie die Wechselwirkungen zwischen Teilchen.

• Die Wellenfunktion \( \psi \) beschreibt den Zustand eines Quantensystems.
• Die Schrödinger-Gleichung lautet: \[ i\hbar \frac{\partial}{\partial t} \psi(\mathbf{r}, t) = \hat{H} \psi(\mathbf{r}, t) \]
• Die Heisenbergsche Unschärferelation lautet: \[ \Delta x \Delta p \geq \frac{\hbar}{2} \]
• Fermionen und Bosonen: Fermionen gehorchen dem Pauli-Verbot, Bosonen nicht.
• Die Pfadintegralformulierung in der Quantenfeldtheorie lautet: \[ Z = \int \mathcal{D}\phi \, e^{iS[\phi]/\hbar} \]
• Feynman-Diagramme werden zur Visualisierung von Teilchenwechselwirkungen verwendet.

Subexercise Lösung:

• Gegeben sei ein System von Fermionen.
• Erkläre, wie die Heisenbergsche Unschärferelation \( \Delta x \Delta p \geq \frac{\hbar}{2} \) die Untergrenze für die Energiepositionen dieser Fermionen festlegt.
• Nehmen wir an, dass eine Wechselwirkung zwischen Fermionen und Bosonen durch einen einfachen Wechselwirkungsterm in der Quantenfeldtheorie beschrieben werden kann. Berechne den Übergangszustand mithilfe des Feynman-Diagramms und erkläre Schritt für Schritt die wesentlichen Konzepte.

Schritt-für-Schritt-Anleitung:

• Teil 1: Heisenbergsche Unschärferelation und Untergrenze der Energie Die Heisenbergsche Unschärferelation lautet: \[ \Delta x \Delta p \geq \frac{\hbar}{2} \] Dies bedeutet, dass die Unschärfe im Ort \( \Delta x \) und die Unschärfe im Impuls \( \Delta p \) eine Mindestgrenze haben. Für ein Fermionsystem, das dem Pauli-Verbot gehorcht, bedeutet dies, dass die Teilchen eine Mindestenergie besitzen, da sie nicht beliebig in den tiefsten Energiezustand fallen können. Die Unschärferelation legt fest, dass es eine natürliche Unschärfe im Impuls gibt, was eine entsprechende Mindestenergie für die Fermionen zur Folge hat.
• Teil 2: Wechselwirkung zwischen Fermionen und Bosonen Nehmen wir an, die Wechselwirkung zwischen Fermionen und Bosonen wird durch einen einfachen Wechselwirkungsterm beschrieben: \[ \mathcal{L}_{int} = g \bar{\psi} \phi \psi \] wobei \( g \) die Kopplungskonstante, \( \bar{\psi} \) das Fermionfeld, \( \psi \) das Fermionfeld und \( \phi \) das Bosonfeld ist.
• Schritt 1: Zeichnung des Feynman-Diagramms Zeichne das zugehörige Feynman-Diagramm für die Wechselwirkung. Ein einfacher Prozess könnte die Emission eines Bosons durch ein Fermion sein:
  • Fermion kommt herein
  • Vertex mit Boson emittiert
  • Fermion geht hinaus
• Schritt 2: Zuordnung der Impulse Weisen Sie jedem äußeren Teilchen einen Impuls zu. Angenommen, das einlaufende Fermion hat den Impuls \( p \), das auslaufende Fermion hat den Impuls \( p' \) und das emittierte Boson hat den Impuls \( q \).
• Schritt 3: Berechnung des Matrixelements Das Matrixelement für diesen Prozess ist proportional zu: \[ \mathcal{M} = g \bar{u}(p') u(p) \] wobei \( u(p) \) und \( \bar{u}(p') \) die Spinoren für das einlaufende und auslaufende Fermion sind.
• Schritt 4: Übergangswahrscheinlichkeit Die Übergangswahrscheinlichkeit berechnet sich aus dem Quadrat des Matrixelements und muss über die möglichen Endzustände summiert werden:
• Schritt 5: Phasenraum und Integrale Integrieren Sie über den Phasenraum des auslaufenden Fermions und des Bosons, um die vollständige Übergangswahrscheinlichkeit zu erhalten.

Fazit: Wir haben die Heisenbergsche Unschärferelation in Bezug auf die Untergrenze der Energiepositionen von Fermionen erklärt und einen einfachen Wechselwirkungsprozess zwischen Fermionen und Bosonen mithilfe von Feynman-Diagrammen untersucht.

Aufgabe 4)

Eine wichtige gewöhnliche Differentialgleichung (ODE), die oft in physikalischen Anwendungen vorkommt, ist die Differentialgleichung der harmonischen Schwingung: \[ \ddot{x}(t) + \omega^2 x(t) = 0 \] Hierbei stellt \( \ddot{x}(t) \) die Beschleunigung, \( x(t) \) die Auslenkung und \( \omega \) die Kreisfrequenz des schwingenden Systems dar. Diese Gleichung beschreibt die Bewegung eines harmonischen Oszillators. Du sollst diese Differentialgleichung lösen und einige grundlegende Eigenschaften dieses Systems untersuchen.

b)

Betrachte die allgemeine Lösung der Differentialgleichung im vorherigen Teil. Bestimme die Lösung für die Anfangsbedingungen \( x(0) = x_0 \) und \( \dot{x}(0) = v_0 \). Welche Arten von Bewegungen resultieren aus unterschiedlichen Anfangsbedingungen? Beschreibe kurz.

Lösung:

Um die Differentialgleichung \( \ddot{x}(t) + \omega^2 x(t) = 0 \) zu lösen und die spezifische Lösung für die Anfangsbedingungen \( x(0) = x_0 \) und \( \dot{x}(0) = v_0 \) zu finden, gehen wir wie folgt vor:

• Schritt 1: Nutzen der allgemeinen Lösung
• Schritt 2: Bestimmung der Konstanten \( A \) und \( B \) durch Anfangsbedingungen
• Schritt 3: Untersuchung der Bewegungsarten

Schritt 1: Nutzen der allgemeinen Lösung Die allgemeine Lösung der Differentialgleichung lautet:

x(t) = A \cos(\omega t) + B \sin(\omega t)

Wir setzen die Anfangsbedingungen in diese Lösung ein.

Schritt 2: Bestimmung der Konstanten \( A \) und \( B \) durch Anfangsbedingungen Setzen wir die Anfangsbedingungen ein:

• Bei \( t = 0 \) haben wir \( x(0) = x_0 \):

  x_0 = A \cos(0) + B \sin(0) = A

  Also ist: \( A = x_0 \).
• Berechnen der ersten Ableitung und Einsetzen der Anfangsbedingung \( \dot{x}(0) = v_0 \):

  \dot{x}(t) = -A \omega \sin(\omega t) + B \omega \cos(\omega t)

  Bei \( t = 0 \) ergibt sich \( \dot{x}(0) = -A \omega \sin(0) + B \omega \cos(0) = B \omega \). Also ist: \( B = \frac{v_0}{\omega} \).

Die spezifische Lösung mit den gegebenen Anfangsbedingungen lautet daher:

x(t) = x_0 \cos(\omega t) + \frac{v_0}{\omega} \sin(\omega t)

Schritt 3: Untersuchung der Bewegungsarten

• Wenn \( x_0 ≠ 0 \) und \( v_0 = 0 \), startet das System von einer maximalen Auslenkung und schwingt harmonisch zurück durch das Gleichgewicht.
• Wenn \( x_0 = 0 \) und \( v_0 ≠ 0 \), hat das System eine Anfangsgeschwindigkeit und beginnt sofort durch das Gleichgewicht zu schwingen.
• Wenn \( x_0 ≠ 0 \) und \( v_0 ≠ 0 \), hat das System sowohl eine anfängliche Auslenkung als auch eine anfängliche Geschwindigkeit und führt eine Mischung der beiden vorherigen Bewegungsarten aus.

Diese unterschiedlichen Anfangsbedingungen resultieren in Oszillationen, bei denen die maximale Amplitude und Phasenverschiebung unterschiedlich sind. Sie führen zu verschiedenen Schwingungsmustern, jedoch alle in harmonischer Form.