Condensed Matter Physics 1 - Cheatsheet.pdf

Kristallstruktur und Gitterdynamik

Definition:

Kristallstruktur beschreibt die geordnete, periodische Anordnung von Atomen in einem Kristall. Gitterdynamik beschäftigt sich mit den Bewegungen (Phononen) dieser Atome und deren Auswirkung auf die physikalischen Eigenschaften des Kristalls.

Details:

• Kristallgitter: regelmäßiges, dreidimensionales Punktraster.
• Basis: Kombination von Atomen, die an jedem Gitterpunkt des Kristallgitters wiederholt wird.
• Elementarzelle: kleinste eindeutige Einheit des Kristallgitters, die durch Translationsvektoren definiert ist.
• Bravais-Gitter: 14 Typen dreidimensionaler Gitterstrukturen, welche die Bausteine der Kristallstrukturen darstellen.
• Phononen: Quasiteilchen, die quantisierte Gitterschwingungen darstellen.
• Dispersionsrelation: beschreibt die Beziehung zwischen Frequenz (u) und Wellenvektor (\textbf{k}) der Phononen in einem Kristall.
• Wärmekapazität: kann durch das Debye-Modell oder das Einstein-Modell erklärt werden.

Elektronenbänder und Bandstruktur

Definition:

Elektronenbänder und Bandstruktur beschreiben die Energieverteilungen von Elektronen in einem Kristallgitter.

Details:

• Valenzband: höchstes mit Elektronen besetztes Energieniveau bei T=0.
• Leitungsband: niedrigstes unbesetztes Energieniveau.
• Bandlücke: Energiespanne zwischen Valenz- und Leitungsband.
• Metalle: Überlapp von Valenz- und Leitungsband.
• Halbleiter: Kleine Bandlücke, typischerweise < 3 eV.
• Isolatoren: Große Bandlücke.
• Brillouin-Zone: Grundlegende Zone im k-Raum für die Bandstruktur.
• Kronig-Penney-Modell: Einfaches Modell zur Berechnung der Bandstruktur.

Bloch'scher Theorem und seine Implikationen

Definition:

Beschreibt die Welleneigenschaften von Elektronen in einem periodischen Potenzial (Kristallgitter). Wellenfunktionen in Kristallen können als Produkt einer planaren Welle und einer Funktion mit der Periodizität des Gitters dargestellt werden.

Details:

• Mathematisch: \[ \psi_{n\mathbf{k}}(\mathbf{r}) = e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}} u_{n\mathbf{k}}(\mathbf{r}) \]
• \( u_{n\mathbf{k}}(\mathbf{r}) \) hat die Periodizität des Gitters.
• Führt zu Energiebändern und Bandlücken.
• Bedeutend für elektrische und warmteleitende Eigenschaften von Materialien.

Quasiteilchen und ihre Beschreibung

Definition:

Quasiteilchen sind kollektive Anregungen in Festkörpern, die sich wie Teilchen mit effektiver Masse und Ladung verhalten.

Details:

• Beispiele: Elektron-Loch-Paare (Exzitonen), Magnonen, Phononen, Polaronen
• Mathematisch beschrieben durch die Quasiteilchen-Hamiltonfunktion
• Bewegung folgt der effektiven Masse: \( \frac{1}{m^*} = \frac{1}{\frac{d^2E}{dk^2}} \)
• Ladung der Quasiteilchen kann von der tatsächlichen Elementarladung abweichen
• Quasiteilchen-Lebensdauer begrenzt durch Wechselwirkungen

Klassifikation von Phasenübergängen

Definition:

Unterscheidung der verschiedenen Arten von Phasenübergängen auf Basis ihrer physikalischen Eigenschaften und Wärmekapazität.

Details:

• 1. Ordnung: Diskontinuierlich, latente Wärme vorhanden, Beispiel: Schmelzen, Verdampfen.
• 2. Ordnung: Kontinuierlich, aber Unstetigkeiten in der ersten Ableitung (z.B. spezifische Wärmekapazität), Beispiel: Übergang supraleitender Zustand.
• Kontinuierlicher Übergang: keine latente Wärme, jedoch kritische Fluktuationen und Divergenz der Korrelationslänge.

Renormalisierungsgruppen-Theorie

Definition:

Theorie zur Untersuchung des Verhaltens physikalischer Systeme bei verschiedenen Längenskalen

Details:

• Hilfreich bei der Analyse von Phasenübergängen und kritischem Verhalten
• Basierend auf Iterationen von Transformationen, die das System umskalieren
• Fixpunkte der Transformationen liefern mögliche Phasen des Systems
• Grobe Gleichung: \( R(g) = b^{y} g(bx) \)
• Erklärung von universellen Eigenschaften nahe kritischer Punkte

Fourier-Transformationen und ihre Anwendungen

Definition:

Mathematisches Werkzeug zur Untersuchung von Systemen in Frequenz- und Wellenzahlraum, wichtig für die Analyse periodischer Strukturen und kollektiver Anregungen in der Festkörperphysik.

Details:

• Fourier-Transformation: \(\tilde{f}(k) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x)e^{-ikx} dx\)
• Inverse Fourier-Transformation: \(f(x) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} \tilde{f}(k)e^{ikx} dk\)
• Anwendung zur Bestimmung der Bandstruktur und Zustandsdichte in Kristallen
• Nützlich bei der Lösung der Schrödinger-Gleichung in periodischen Potentialen
• Untersuchung von Phononen und Elektronen in Festkörpern
• Analyse von Streuexperimenten und Festkörper-Bildgebungstechniken