Condensed Matter Physics 2 - Cheatsheet.pdf

BCS-Theorie der Supraleitung

Definition:

BCS-Theorie beschreibt Supraleitung durch Bildung von Cooper-Paaren, verbunden durch Phononen.

Details:

• Cooper-Paare: gebundenes Elektronenpaar mit entgegengesetztem Spin und Impuls
• Effektive Anziehung durch Gittervibrationen (Phononen)
• Ordnungssparameter: \Psi = \langle c_{\mathbf{k}\uparrow} c_{-\mathbf{k}\downarrow} \rangle
• BCS-Zustand: \[| \Psi_{BCS} \rangle = \prod_{k}\left( u_k + v_k c_{k\uparrow}^\dagger c_{-k\downarrow}^\dagger \right)| 0 \rangle \]
• Gap-Funktion: \(\Delta_k = \sum_{k'} V_{kk'} \langle c_{-k'\downarrow} c_{k'\uparrow} \rangle\)
• Grundzustandsenergie niedriger als normale Zustand

Cooper-Paare

Definition:

Paare von Elektronen mit entgegengesetztem Spin und Impuls, die bei tiefen Temperaturen eine Bindung eingehen und Supraleitung ermöglichen.

Details:

• Bestehen aus zwei Elektronen mit je einem Spin-1/2
• Entstehung durch Elektronen-Phonon-Wechselwirkung
• Kondensieren in einen kohärenten Quantenzustand
• Energielücke: \( \triangle E = 2 \triangle \)
• Konzept der BCS-Theorie (Bardeen-Cooper-Schrieffer)
• Meissner-Ochsenfeld-Effekt: Ausschluss des Magnetfeldes
• Ortsfreie Zustände: Cooper-Paare haben eine endliche Kohärenzlänge
• Wichtig für die Bildung eines suprafluiden Zustands

Kritische Temperatur und kritischer Magnetfeld

Definition:

Kritische Temperatur (T_c) und kritisches Magnetfeld (H_c) kennzeichnen den Übergang eines Supraleiters vom supraleitenden in den normalleitenden Zustand.

Details:

• T_c: Temperatur, bei der der Supraleiter seinen Widerstand verliert.
• H_c: Magnetfeldstärke, bei der der Supraleiter seinen supraleitenden Zustand verliert.
• Für T < T_c gilt: Widerstand = 0
• Für H < H_c gilt: Supraleitender Zustand
• Ginzburg-Landau-Theorie beschreibt H_c als Funktion von T: \[H_c(T) = H_c(0) \left[1 - \left( \frac{T}{T_c} \right)^2 \right]\]
• Bestellt man die Zustandsänderung in Bezug auf die freie Energie: \[\Delta F = F_{supraleitend} - F_{normal} \,\]

Dia-, Para- und Ferromagnetismus

Definition:

Dia- (alle Elektronen gepaart, schwach abstoßend), Para- (ungepaarte Elektronen, schwach anziehend), Ferromagnetismus (geordnete magnetische Momente, starke Anziehung)

Details:

• Diamagnetismus: Entsteht durch Änderung der Elektronenbahnen in einem äußeren Magnetfeld; magnetische Suszeptibilität \(\text{χ} < 0\)
• Paramagnetismus: Ungepaarte Elektronenmomente richten sich im äußeren Magnetfeld aus; Suszeptibilität \(\text{χ} > 0\); folgt Curie-Gesetz \[ \text{χ} = \frac{C}{T} \]
• Ferromagnetismus: Permanente magnetische Momente; starke Wechselwirkungen (Austauschwechselwirkung); Suszeptibilität sehr groß, folgt der Curie-Weiss-Gesetz \[ \text{χ} = \frac{C}{T-T_C} \]

Hysterese und magnetische Domänen

Definition:

Hysterese beschreibt das Verhalten eines magnetischen Materials, dessen Magnetisierung nicht nur von dem aktuellen Magnetfeld, sondern auch von der historischen Magnetfeldstärke abhängt. Magnetische Domänen sind Bereiche, in denen die magnetischen Momente parallel ausgerichtet sind.

Details:

• Hysterese-Schleife: zeigt Zusammenhang zwischen Magnetisierung (M) und Magnetfeld (H).
• Koerzitivfeldstärke: das Feld, das nötig ist, um die Magnetisierung zu null zu machen.
• Remanenz: verbleibende Magnetisierung, wenn externes Feld null ist.
• Magnetische Domänen minimieren magnetische Energie durch Bildung von Bereichen mit paralleler Ausrichtung.
• Weißsche Bezirke: spezielle Art von magnetischen Domänen in ferromagnetischen Materialien.
• Bloch-Wand: Übergangsbereich zwischen zwei magnetische Domänen.
• Gesamtmagnetisierung entsteht durch Bewegung der Bloch-Wände.

Bandstruktur und Energiebandtheorie

Definition:

Beschreibung der erlaubten Energiezustände und Bandlücken in Festkörpern unter Verwendung quantenmechanischer Modelle.

Details:

• Valenzband: Maximale Energie, die Elektronen im bodenzustand haben.
• Leitungsband: Energielevel, ab dem Elektronen zur Leitung beitragen.
• Bandlücke: Energieunterschied zwischen Valenz- und Leitungsband, kein zulässiger Zustand.
• Metalle, Halbleiter, Isolatoren: Unterscheiden sich durch die Größe ihrer Bandlücke.
• Bloch-Theorem: Wellenfunktionen in periodischen Potentialen, \(\psi_{n,k}(r) = e^{i k \cdot r} u_{n,k}(r)\).
• Dispersionrelation: Zusammenhang zwischen Energie (E) und Wellenzahl (k), \(E(k)\).

Elektronenzustände in periodischen Potentialen

Definition:

In Festkörpern formen Elektronen in periodischen Potentialen Energiebänder statt diskreter Energieniveaus.

Details:

• Bloch-Theorem: Wellenfunktionen der Elektronen sind Bloch-Funktionen: \[ \psi_{n\mathbf{k}}(\mathbf{r}) = e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}} u_{n\mathbf{k}}(\mathbf{r}) \]
• Dispersionsrelation \( E_{n}(\mathbf{k}) \) beschreibt das Energieniveau eines Elektrons in Abhängigkeit vom Wellenvektor \( \mathbf{k} \).
• Fermi-Fläche: Grenzfläche im \( \mathbf{k} \)-Raum, die besetzte von unbesetzten Zuständen trennt.
• Bandlücken: Bereiche verbotener Energieniveaus zwischen erlaubten Energiebändern.
• Wichtige Kriterien für die Bandstruktur: Kristallsymmetrie, Potentialtopographie.
• Metalle haben teilweise gefüllte Bänder, Isolatoren/Bänder vollständig gefüllt/leer mit Bandlücke dazwischen.

Röntgenbeugung und Strukturbestimmung

Definition:

Methode zur Bestimmung der Kristallstruktur durch Beugung von Röntgenstrahlen.

Details:

• Bragg-Gleichung: \[n\lambda = 2d\sin(\theta)\]
• Wellenlänge \( \lambda \)
• Gitterabstand \( d \)
• Beugungswinkel \( \theta \)
• Konstruktive Interferenz bei Bragg-Bedingung
• Fourier-Transformation der Beugungsdaten liefert Elektronendichte