Aufgabe 1)

Betrachten wir die BCS-Theorie der Supraleitung, die erklärt, wie Elektronenpaare (Cooper-Paare) sich durch Wechselwirkung mit Gittervibrationen (Phononen) binden. Der BCS-Zustand wird durch die Gleichung \[ | \Psi_{BCS} \rangle = \prod_{k}( u_k + v_k c_{k\uparrow}^\dagger c_{-k\downarrow}^\dagger )| 0 \rangle \] beschrieben, wobei \Delta_k die Gap-Funktion ist, definiert als \[ \Delta_k = \sum_{k'} V_{kk'} \langle c_{-k'\downarrow} c_{k'\uparrow} \rangle \]. Untersuche mit diesem Verständnis verschiedene Aspekte der BCS-Theorie.

a)

Leite den Ausdruck für den BCS-Zustand \[ | \Psi_{BCS} \rangle = \prod_{k}( u_k + v_k c_{k\uparrow}^\dagger c_{-k\downarrow}^\dagger )| 0 \rangle \] her und erkläre die Bedeutung der Koeffizienten \( u_k \) und \( v_k \).

Lösung:

Herleitung des BCS-Zustands und Bedeutung der Koeffizienten

In diesem Teil der Aufgabe geht es darum, den Ausdruck für den BCS-Zustand herzuleiten und die Bedeutung der Koeffizienten \( u_k \) und \( v_k \) zu erklären.

Der BCS-Zustand

Der BCS-Zustand, welcher den Grundzustand eines supraleitenden Systems beschreibt, wird durch die folgende Gleichung gegeben:

\[ | \Psi_{BCS} \rangle = \prod_{k}( u_k + v_k c_{k\uparrow}^\dagger c_{-k\downarrow}^\dagger )| 0 \rangle \]

Hierbei beschreibt \( c_{k\uparrow}^\dagger \) und \( c_{-k\downarrow}^\dagger \) die Erzeugungsoperatoren für Elektronen mit Wellenvektor \( k \) und entgegengesetzten Spinrichtungen. Diese Operatoren erzeugen aus dem Vakuumzustand \( |0\rangle \) ein Paar von Elektronen, ein sogenanntes Cooper-Paar.

Um diesen Zustand herzuleiten, müssen wir das Konzept des Paarkondensats verstehen. Es wird angenommen, dass die Elektronenpaare sich kohärent im System verteilen, was zu einer kollektiven Wellenfunktion führt.

Herleitung des BCS-Zustands

Wir starten mit der Annahme, dass der Grundzustand eines supraleitenden Systems durch eine kohärente Superposition von Zuständen beschrieben werden kann, in denen jeweils eine bestimmte Anzahl von Cooper-Paaren existiert. Der Grundzustand lässt sich dann als Produkttensor über alle möglichen Wellenvektoren \( k \) darstellen:

\[ | \Psi_{BCS}\rangle = \prod_{k}( u_k + v_k c_{k\uparrow}^\dagger c_{-k\downarrow}^\dagger )| 0 \rangle \]

Der Term \( (u_k + v_k c_{k\uparrow}^\dagger c_{-k\downarrow}^\dagger) \) beschreibt eine Superposition aus einem unbesetzten Zustand und einem besetzten Zustand (ein Cooper-Paar).

Die Bedeutung der Koeffizienten \(u_k\) und \(v_k\)

Die Koeffizienten \( u_k \) und \( v_k \) sind Variationsparameter der Ansatzfunktion und sie erfüllen die Normierungsbedingung:

\[ u_k^2 + v_k^2 = 1 \]

Bedeutung von \(u_k\) und \(v_k\):

• \(u_k\) gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass der Zustand bei Wellenvektor \( k \) unbesetzt ist.
• \(v_k\) gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass der Zustand bei Wellenvektor \( k \) von einem Cooper-Paar besetzt ist.

Der Ausdruck \( u_k + v_k c_{k\uparrow}^\dagger c_{-k\downarrow}^\dagger \) repräsentiert also eine Superposition aus einem unbesetzten Zustand und einem Paarzustand.

Zusammenfassung

Zusammenfassend beschreibt der BCS-Zustand \( |\Psi_{BCS}\rangle \) ein kohärentes Ensemble von Cooper-Paaren. Die Koeffizienten \( u_k \) und \( v_k \) sind Wahrscheinlichkeitsamplituden, die bestimmen, ob ein Zustand unbesetzt oder von einem Cooper-Paar besetzt ist. Sie müssen die Normierungsbedingung \( u_k^2 + v_k^2 = 1 \) erfüllen.

b)

Zeige, dass der BCS-Zustand die Grundzustandsenergie senkt im Vergleich zum normalen Zustand ohne Supraleitung. Berechne die Grundzustandsenergie des BCS-Zustands und vergleiche sie mit der Energie des normalen Zustands.

Lösung:

Untersuchung der Grundzustandsenergie des BCS-Zustands

In diesem Teil der Aufgabe soll gezeigt werden, dass der BCS-Zustand die Grundzustandsenergie im Vergleich zum normalen Zustand ohne Supraleitung senkt. Dazu werden wir die Grundzustandsenergie des BCS-Zustands berechnen und mit der Energie des normalen Zustands vergleichen.

Hamiltonoperator für das System

Der BCS-Hamiltonian für ein System von Elektronenpaaren, die durch Phononen-Wechselwirkungen gebunden werden, kann als folgt geschrieben werden:

\[ \hat{H} = \sum_k \epsilon_k (c_{k\uparrow}^\dagger c_{k\uparrow} + c_{-k\downarrow}^\dagger c_{-k\downarrow}) - \sum_{k, k'} V_{kk'} c_{k\uparrow}^\dagger c_{-k\downarrow}^\dagger c_{-k'\downarrow} c_{k'\uparrow} \]

Hier steht \( \epsilon_k \) für die kinetische Energie der Elektronen mit Wellenvektor \( k \), und \( V_{kk'} \) beschreibt die Wechselwirkung zwischen Elektronenpaaren.

Energie des normalen Zustands

Der normale Zustand (Fermi-See) hat eine Energie, die durch die Summe der kinetischen Energie der Elektronen im System gegeben ist:

\[ E_{normal} = 2 \sum_{k \leq k_F} \epsilon_k \]

wobei \( k_F \) der Fermi-Wellenvektor ist, der die Grenze zwischen besetzten und unbesetzten Zuständen im normalen Zustand kennzeichnet.

Energie des BCS-Zustands

Im BCS-Zustand wird die Energie durch einen neuen Grundzustand repräsentiert, der durch die Bildung von Cooper-Paaren beschrieben wird. Die Grundzustandsenergie des BCS-Zustands ist:

\[ E_{BCS} = \langle \Psi_{BCS} | \hat{H} | \Psi_{BCS} \rangle \]

Wir können die Energie \( \epsilon_k \) und die Wechselwirkungen \( \Delta_k \) einbeziehen, um die Energie des BCS-Zustands zu berechnen:

\[ E_{BCS} = \sum_k 2 \epsilon_k v_k^2 - \sum_k \Delta_k u_k v_k \]

Hierbei sind \( u_k \) und \( v_k \) die BCS-Koeffizienten, die die Wahrscheinlichkeiten für das Besetzen und Nichtbesetzen der Zustände angeben. Die Energie \( \Delta_k \) ist die supraleitende Energie-Lücke (Gap), die durch die Wechselwirkung \( V_{kk'} \) erzeugt wird.

Vergleich der Energien

Um zu zeigen, dass die Energie des BCS-Zustands kleiner ist als die des normalen Zustands, vergleichen wir die beiden Energien:

• Normale Energie: \( E_{normal} = 2 \sum_{k \leq k_F} \epsilon_k \)
• BCS-Energie: \( E_{BCS} = \sum_k 2 \epsilon_k v_k^2 - \sum_k \Delta_k u_k v_k \)

Die Differenz zwischen diesen Energien ist:

\[ E_{normal} - E_{BCS} = \sum_k 2 \epsilon_k (1 - v_k^2) + \sum_k \Delta_k u_k v_k \]

Da \( u_k^2 + v_k^2 = 1 \), ist \( 1 - v_k^2 = u_k^2 \). Somit können wir die Differenz umschreiben als:

\[ E_{normal} - E_{BCS} = \sum_k 2 \epsilon_k u_k^2 + \sum_k \Delta_k u_k v_k \]

Da \( \Delta_k u_k v_k \) immer negativ ist (wegen der Kondensation der Cooper-Paare), ist die Differenz \( E_{normal} - E_{BCS} \) positiv, was bedeutet, dass \( E_{BCS} < E_{normal} \).

Zusammenfassung

Durch die Bildung von Cooper-Paaren und die damit einhergehende Energieänderung im System befindet sich die Grundzustandsenergie des BCS-Zustands unter der Energie des normalen Zustands. Dies ist der zentrale Mechanismus, durch den die Supraleitung gemäß der BCS-Theorie erklärt wird.

c)

Erkläre, wie die Gap-Funktion \( \Delta_k = \sum_{k'} V_{kk'} \langle c_{-k'\downarrow} c_{k'\uparrow} \rangle \) in der BCS-Theorie bestimmt wird. Welche physikalische Bedeutung hat die Lücke \( \Delta \)?

Lösung:

Bestimmung der Gap-Funktion und ihre physikalische Bedeutung

In diesem Teil der Aufgabe erklären wir, wie die Gap-Funktion \( \Delta_k \) in der BCS-Theorie bestimmt wird und welche physikalische Bedeutung die Energie-Lücke \( \Delta \) hat.

Definition der Gap-Funktion

Die Gap-Funktion \( \Delta_k \) wird durch die folgende Gleichung definiert:

\[ \Delta_k = \sum_{k'} V_{kk'} \langle c_{-k'\downarrow} c_{k'\uparrow} \rangle \]

Hierbei:

• \( \Delta_k \) ist die supraleitende Energie-Lücke bei einem bestimmten Wellenvektor \( k \).
• \( V_{kk'} \) ist das Wechselwirkungspotenzial zwischen Elektronenpaaren bei Wellenvektoren \( k \) und \( k' \).
• \( \langle c_{-k'\downarrow} c_{k'\uparrow} \rangle \) ist der Erwartungswert des Paarzerstörungsoperators im BCS-Zustand, der die Wahrscheinlichkeit beschreibt, dass ein Cooper-Paar mit diesen Impulsen existiert.

Bestimmung der Gap-Funktion

Die Berechnung der Gap-Funktion \( \Delta_k \) erfolgt durch Lösen der Selbstkonsistenzgleichung:

\[ \Delta_k = \sum_{k'} V_{kk'} \frac{\Delta_{k'}}{2E_{k'}} \text{tanh} \left( \frac{E_{k'}}{2k_B T} \right) \]

Hierbei ist:

• \( E_{k'} \) die Energie des Quasiteilchens bei Wellenvektor \( k' \), gegeben durch \( E_{k} = \sqrt{ \xi_k^2 + \Delta_k^2 } \), wobei \( \xi_k \) die kinetische Energie relativ zur Fermi-Energie ist.
• \( k_B \) die Boltzmann-Konstante.
• \( T \) die Temperatur des Systems.

Diese Gleichung muss iterativ gelöst werden, um die Werte von \( \Delta_k \) bei verschiedenen Wellenvektoren zu bestimmen.

Physikalische Bedeutung der Energie-Lücke \( \Delta \)

Die Energie-Lücke \( \Delta \) hat in der BCS-Theorie eine tiefe physikalische Bedeutung:

• Supraleitender Zustand: \( \Delta \) ist direkt mit der supraleitenden Energie-Lücke verbunden. Sie gibt die Energie an, die benötigt wird, um Elektronenpaare (Cooper-Paare) zu brechen und das System in einen normalleitenden Zustand zu überführen.
• Experimentelle Beobachtung: Die Größe der Energie-Lücke \( \Delta \) kann in Experimenten durch Messung des spezifischen Wärmeverhaltens, des magnetischen Verhältnisses und der optischen Spektren bestimmt werden.
• Temperaturabhängigkeit: \( \Delta \) nimmt mit steigender Temperatur ab und verschwindet bei der kritischen Temperatur \( T_c \), wobei der Übergang vom supraleitenden in den normalleitenden Zustand stattfindet.
• Stabilität des supraleitenden Zustands: Eine größere \( \Delta \) impliziert eine stabilere supraleitende Phase bei tieferen Temperaturen.

Zusammenfassung

Die Gap-Funktion \( \Delta_k \) in der BCS-Theorie wird durch eine Selbstkonsistenzgleichung bestimmt, die die Wechselwirkung zwischen Elektronenpaaren berücksichtigt. Die Energie-Lücke \( \Delta \) ist ein Maß für die Stabilität des supraleitenden Zustands und die Energie, die benötigt wird, um Cooper-Paare zu brechen. Ihre Größe hängt vom spezifischen Material und den Wechselwirkungen im System ab und kann experimentell beobachtet werden.

d)

Diskutiere den Einfluss von Phononen auf die Ausbildung von Cooper-Paaren. Warum führt die Wechselwirkung mit Phononen zu einer effektiven Anziehung zwischen Elektronen?

Lösung:

Einfluss von Phononen auf die Ausbildung von Cooper-Paaren

Die BCS-Theorie der Supraleitung erklärt, wie sich Elektronenpaare, sogenannte Cooper-Paare, durch Wechselwirkung mit Gittervibrationen (Phononen) binden. Diese Phononen spielen eine entscheidende Rolle bei der Ausbildung der supraleitenden Eigenschaften von Materialien. Im Folgenden wird diskutiert, warum die Wechselwirkung mit Phononen zu einer effektiven Anziehung zwischen Elektronen führt und wie dies zur Bildung von Cooper-Paaren beiträgt.

Wechselwirkung von Elektronen mit Phononen

Phononen sind quantisierte Gitterschwingungen, die durch thermische Bewegungen der Atome in einem Kristallgitter erzeugt werden. Wenn sich ein Elektron durch das Gitter bewegt, kann es mit diesen Phononen wechselwirken:

• Elektron-Phonon-Wechselwirkung: Ein Elektron, das durch das Gitter fliegt, kann Phononen erzeugen oder absorbieren. Diese Interaktion führt zu einer temporären Verformung des Gitters, da die Ionen in der Nähe des Elektrons angezogen werden.

Induzierte Anziehung zwischen Elektronen

In der BCS-Theorie wird gezeigt, dass diese Wechselwirkung mit Phononen eine effektive Anziehung zwischen zwei Elektronen mit entgegengesetzten Impulsen und Spins verursacht:

• Temporäre Gitterverformung: Wenn ein Elektron das Gitter deformiert, erzeugt es eine Region erhöhter positiver Ladungsdichte. Ein anderes Elektron kann von dieser positiven Ladung angezogen werden, was zu einer indirekten Wechselwirkung zwischen den beiden Elektronen führt.
• Bindung durch Phononen: Diese durch Phononen vermittelte Anziehung ist stark genug, um die natürliche Coulomb-Abstoßung zwischen Elektronen zu überwinden, wenn die Energie der Phononen niedrig genug ist. Dies führt dazu, dass die beiden Elektronen ein gebundenes Paar bilden - die Cooper-Paare.

Mathematische Beschreibung der Anziehung

Die durch Phononen vermittelte Anziehung kann mathematisch als effektives Wechselwirkungspotenzial \( V_{kk'} \) beschrieben werden, das von der Energie und dem Impuls der beteiligten Elektronen abhängt:

\[ V_{kk'} = -|V_0| e^{-\frac{|\xi_k - \xi_{k'}|}{\hbar \omega_D}} \]

Hierbei:

• \( V_0 \) ist die Stärke des Wechselwirkungspotenzials
• \( \hbar \omega_D \) ist die Debye-Energie, die die maximale Energie der beteiligten Phononen beschreibt

Die exponentielle Abhängigkeit zeigt, dass die Anziehung stark abfällt, wenn die Energie- oder Impulsdifferenz der beiden Elektronen zu groß wird. Dies erklärt, warum nur Elektronen nahe der Fermi-Oberfläche, mit entgegengesetzten Impulsen und Spins, zu Cooper-Paaren gebunden werden.

Schlussfolgerung

Die Wechselwirkung mit Phononen führt durch die temporäre Verformung des Kristallgitters zu einer effektiven Anziehung zwischen Elektronen. Diese Anziehung ist stark genug, um die Coulomb-Abstoßung zu überwinden und die Bildung von Cooper-Paaren zu ermöglichen. Diese Cooper-Paare sind für das supraleitende Verhalten von Materialien verantwortlich, wie es durch die BCS-Theorie erklärt wird.

Aufgabe 2)

Cooper-Paare sind Paare von Elektronen mit entgegengesetztem Spin und Impuls, die durch die Elektronen-Phonon-Wechselwirkung bei tiefen Temperaturen eine Bindung eingehen und somit die Supraleitung ermöglichen. Sie kondensieren in einen kohärenten Quantenzustand und bilden eine Energielücke von \( \triangle E = 2 \triangle \), gemäß der BCS-Theorie (Bardeen-Cooper-Schrieffer). Die Cooper-Paare sind verantwortlich für den Meissner-Ochsenfeld-Effekt, der das Ausschließen des Magnetfeldes aus dem Inneren des Supraleiters beschreibt. Diese Paare existieren in ortsfreien Zuständen mit einer endlichen Kohärenzlänge und sind entscheidend für die Bildung eines suprafluiden Zustands.

a)

• Erkläre, wie die Elektronen-Phonon-Wechselwirkung zur Bildung von Cooper-Paaren führt und warum diese Bindung bei tiefen Temperaturen stabil ist.
• Leite die Energielücke \( \triangle E = 2 \triangle \) her und beschreibe, welche Bedeutung diese Lücke für die Elektronen im Supraleiter hat.
• Diskutiere den Meissner-Ochsenfeld-Effekt und dessen Bedeutung für die Materialeigenschaften von Supraleitern. Gehe dabei insbesondere auf die Konsequenzen ein, die dieser Effekt für makroskopische elektrische und magnetische Eigenschaften hat.

Lösung:

Hier sind die Lösungen für die Unteraufgaben:

• Elektronen-Phonon-Wechselwirkung und Cooper-Paare

Die Elektronen-Phonon-Wechselwirkung beschreibt die Interaktion zwischen Elektronen und Gittervibrationen (Phononen) in einem Kristall. Bei tiefen Temperaturen können diese Wechselwirkungen dazu führen, dass Elektronen mit entgegengesetztem Spin und Impuls eine Bindung eingehen und sogenannte Cooper-Paare bilden. Dies geschieht in mehreren Schritten:

• Ein Elektron bewegt sich durch das Gitter und zieht die positiv geladenen Ionen an, wodurch es zu einer lokalen Verzerrung des Gitters kommt.
• Diese Verzerrung führt zu einer lokalen Anziehung, die ein zweites Elektron mit entgegengesetztem Spin und Impuls anzieht.
• Das Paar aus Elektronen bleibt durch diese Anziehung stabil und bildet ein Cooper-Paar.
• Bei tiefen Temperaturen sind thermische Fluktuationen gering, wodurch die Bindung der Cooper-Paare stabil bleibt.
• Diese Cooper-Paare kondensieren in einen kohärenten Quantenzustand mit einer gemeinsamen Phase, was zur Supraleitung führt.

• Energielücke \( \triangle E = 2 \triangle \) und ihre Bedeutung

Die Energielücke in einem Supraleiter, dargestellt durch \( \triangle E = 2 \triangle \), kann wie folgt hergeleitet werden:

• In der BCS-Theorie wird angenommen, dass die Elektronen paarweise gebunden sind und dabei eine Energielücke \( \triangle \) entsteht, die proportional zur Kopplungsstärke ist.
• Die Gesamtenergielücke für das Aufbrechen eines Cooper-Paares beträgt daher \( \triangle E = 2 \triangle \).

Diese Energielücke bedeutet, dass eine Mindestenergie aufgebracht werden muss, um die Cooper-Paare zu trennen und den supraleitenden Zustand zu zerstören. Solange die thermische Energie der Elektronen (gegeben durch \( k_B T \)) geringer ist als die Energielücke, bleibt der supraleitende Zustand stabil.

• Meissner-Ochsenfeld-Effekt und seine Bedeutung

Der Meissner-Ochsenfeld-Effekt beschreibt das vollständige Ausschließen eines Magnetfeldes aus dem Inneren eines Supraleiters. Das bedeutet:

• Ein Supraleiter weist eine Oberflächenströmung auf, die ein Gegenmagnetfeld erzeugt, welches das externe Magnetfeld im Inneren des Materials aufhebt.
• Durch diesen Effekt wird das Magnetfeld von der Oberfläche des Supraleiters abgestoßen.

Für die makroskopischen elektrischen und magnetischen Eigenschaften hat der Meissner-Ochsenfeld-Effekt folgende Konsequenzen:

• Supraleiter zeigen keinen elektrischen Widerstand, da die Cooper-Paare ohne Dissipation durch das Material fließen können.
• Magnete können über Supraleitern schweben (magnetische Levitation), da das abstoßende Magnetfeld eine stabile Schwebelagerung ermöglicht.

Aufgabe 4)

Dia-, Para- und Ferromagnetismus: In diesem Problem werden wir untersuchen, wie Diamagnetismus, Paramagnetismus und Ferromagnetismus verschiedene Materialien beeinflussen und wie wir diese Effekte mathematisch beschreiben können. Diamagnetismus tritt auf, wenn alle Elektronen gepaart sind und nur eine schwache abstoßende Wechselwirkung mit einem externen Magnetfeld besteht. Paramagnetismus ergibt sich aus ungepaarten Elektronen, die schwach vom Magnetfeld angezogen werden. Ferromagnetismus entsteht durch die geordnete Ausrichtung von magnetischen Momenten und resultiert in einer starken Anziehung.

• Diamagnetismus: Entsteht durch die Änderung der Elektronenbahnen in einem äußeren Magnetfeld; magnetische Suszeptibilität \( \text{χ} < 0 \)
• Paramagnetismus: Ungepaarte Elektronenmomente richten sich im äußeren Magnetfeld aus; Suszeptibilität \( \text{χ} > 0 \); folgt dem Curie-Gesetz \[ \text{χ} = \frac{C}{T} \]
• Ferromagnetismus: Permanente magnetische Momente; starke Wechselwirkungen (Austauschwechselwirkung); Suszeptibilität sehr groß, folgt dem Curie-Weiss-Gesetz \[ \text{χ} = \frac{C}{T-T_C} \]

a)

1. Diamagnetismus: Erkläre, warum und wie die Elektronenbahnen in einem diamagnetischen Material auf ein externes Magnetfeld reagieren. Berechne die magnetische Suszeptibilität \( \text{χ} \) für ein Material, das in einem externen Magnetfeld \( B \) eine magnetische Momentänderung von \( \text{Δ}m = -2.0 \times 10^{-5} \ \text{emu} \) und ein Volumen \( V = 1.0 \ \text{cm}^3 \) hat.

Lösung:

1. Diamagnetismus: Diamagnetismus tritt auf, wenn in einem Material alle Elektronen gepaart sind, was bedeutet, dass es keine permanenten magnetischen Momente gibt. Wenn ein externes Magnetfeld angelegt wird, induziert es eine Änderung der Elektronenbahnen. Diese Änderung führt zu einer kleinen, dem äußeren Magnetfeld entgegengesetzten magnetischen Reaktion. Dies geschieht aufgrund der Lorentzkraft, die auf die sich bewegenden Elektronen wirkt und deren Bahnen geringfügig verändert. Dadurch wird ein kleines Magnetfeld erzeugt, das dem äußeren Magnetfeld entgegengesetzt ist. Diese Reaktion ist schwach und führt zu einer negativen magnetischen Suszeptibilität (\( \text{χ} < 0 \)). Um die magnetische Suszeptibilität \( \text{χ} \) eines Materials zu berechnen, das in einem externen Magnetfeld \( B \) eine magnetische Momentänderung von \( \text{Δ}m = -2.0 \times 10^{-5} \text{ emu} \) und ein Volumen \( V = 1.0 \text{ cm}^3 \) hat, verwenden wir die Beziehung: \( \text{χ} = \frac{M}{H} \) Dabei ist \( M \) die Magnetisierung und \( H \) die Magnetfeldstärke. Die Magnetisierung \( M \) ist definiert als das magnetische Moment pro Volumeneinheit: \( M = \frac{\text{Δ}m}{V} \) Setzen wir die gegebenen Werte ein: \( M = \frac{-2.0 \times 10^{-5} \text{ emu}}{1.0 \text{ cm}^3} \) Also: \( M = -2.0 \times 10^{-5} \text{ emu/cm}^3 \) Da 1 emu = 1 erg/(G \times cm³) und 1 Gauß (G) = 1 Oersted (Oe) in cgs-Einheiten , ergibt sich: \( M = -2.0 \times 10^{-5} \text{ erg/(G} \times \text{cm}^3) \) Nun verwenden wir die Beziehung für die magnetische Suszeptibilität \( \text{χ} \) und berücksichtigen, dass \( H \) gleich dem externen Magnetfeld \( B \) in cgs-Einheiten ist: \( \text{χ} = \frac{M}{H} \) Setzen wir \( H = B \) ein, erhalten wir: \( \text{χ} = \frac{-2.0 \times 10^{-5} \text{ erg/(G} \times \text{cm}^3)}{B} \) Da die Suszeptibilität dimensionslos ist und wir von einem homogenen Magnetfeld ausgehen, ergibt sich direkt: \( \text{χ} = -2.0 \times 10^{-5} \) Dies bedeutet, dass die magnetische Suszeptibilität dieses Materials \( \text{χ} = -2.0 \times 10^{-5} \) beträgt, was eine schwache abstoßende Reaktion beschreibt, wie sie für diamagnetische Materialien typisch ist.

b)

2. Paramagnetismus: Ein paramagnetisches Material hat eine magnetische Suszeptibilität von \( \text{χ} = \frac{C}{T} \) mit einer Curie-Konstanten von \( C = 1.2 \ \text{K} \). Berechne die magnetische Suszeptibilität bei \( T = 300 \ \text{K} \). Welche physikalische Bedeutung hat die Curie-Konstante?

Lösung:

2. Paramagnetismus: Ein paramagnetisches Material hat eine magnetische Suszeptibilität von \( \text{χ} = \frac{C}{T} \) gemäß dem Curie-Gesetz. Hierbei ist \( C \) die Curie-Konstante und \( T \) die Temperatur. Die Berechnung der magnetischen Suszeptibilität bei \( T = 300 \ \text{K} \) erfolgt wie folgt:

• Gegeben ist die Curie-Konstante: \( C = 1.2 \ \text{K} \). Setzen wir diese Werte in die Formel ein: \( \text{χ} = \frac{C}{T} \) Ersetzen wir die gegebenen Werte: \( \text{χ} = \frac{1.2 \ \text{K}}{300 \ \text{K}} \) \( \text{χ} = \frac{1.2}{300} \) \( \text{χ} = 0.004 \)

Physikalische Bedeutung der Curie-Konstante: Die Curie-Konstante \( C \) beschreibt die Proportionalität zwischen der magnetischen Suszeptibilität eines paramagnetischen Materials und dem Kehrwert der Temperatur. Sie ist ein Maß für die Stärke der Interaktion der magnetischen Momente mit dem externen Magnetfeld. Eine höhere Curie-Konstante bedeutet, dass das Material in einem externen Magnetfeld stärker magnetisiert wird. Die Curie-Konstante hängt von der Anzahl der magnetischen Momente pro Volumeneinheit und der effektiven Größe des magnetischen Moments ab.

• Die magnetische Suszeptibilität bei \( T = 300 \ \text{K} \) beträgt: \( \text{χ} = 0.004 \)
• Die Curie-Konstante \( C \) gibt an, wie stark die magnetischen Momente im Material auf das externe Magnetfeld ansprechen
• Eine höhere Curie-Konstante zeigt eine höhere magnetische Anfälligkeit des Materials bei gegebener Temperatur an.

c)

3. Ferromagnetismus: Diskutiere das Curie-Weiss-Gesetz und die Bedeutung der kritischen Temperatur \( T_C \) in ferromagnetischen Materialien. Berechne die Suszeptibilität \( \text{χ} \) für ein ferromagnetisches Material bei \( T = 350 \ \text{K} \) mit einer Curie-Konstante von \( C = 2.5 \ \text{K} \) und einer kritischen Temperatur \( T_C = 300 \ \text{K} \).

Lösung:

3. Ferromagnetismus: Das Curie-Weiss-Gesetz beschreibt das Verhalten der magnetischen Suszeptibilität \( \chi \) von ferromagnetischen Materialien oberhalb ihrer kritischen Temperatur \( T_C \). Es lautet: \( \chi = \frac{C}{T - T_C} \) Hierbei ist \( C \) die Curie-Konstante, \( T \) die absolute Temperatur und \( T_C \) die kritische Temperatur. Die kritische Temperatur \( T_C \) ist die Temperatur, bei der ein ferromagnetisches Material seine ferromagnetischen Eigenschaften verliert und zu einem paramagnetischen Material wird. Diese Temperatur wird auch als Curie-Temperatur bezeichnet. Oberhalb von \( T_C \) verhält sich das Material paramagnetisch und die magnetische Suszeptibilität sinkt mit steigender Temperatur gemäß dem Curie-Weiss-Gesetz. Unterhalb von \( T_C \) zeigt das Material ferromagnetische Eigenschaften, wobei die magnetischen Momente der Atome oder Moleküle eine langfristige Ordnung aufweisen. Nun berechnen wir die magnetische Suszeptibilität \( \chi \) für ein ferromagnetisches Material bei \( T = 350 \ \text{K} \) mit einer Curie-Konstante von \( C = 2.5 \ \text{K} \) und einer kritischen Temperatur \( T_C = 300 \ \text{K} \). Setzen wir die gegebenen Werte in das Curie-Weiss-Gesetz ein: \( \chi = \frac{C}{T - T_C} \) Ersetzen wir die Werte: \( \chi = \frac{2.5 \ \text{K}}{350 \ \text{K} - 300 \ \text{K}} \) \( \chi = \frac{2.5}{50} \) \( \chi = 0.05 \)Zusammengefasst:

• Das Curie-Weiss-Gesetz beschreibt das Verhalten der magnetischen Suszeptibilität von ferromagnetischen Materialien oberhalb ihrer kritischen Temperatur \( T_C \).
• Die kritische Temperatur \( T_C \) ist die Temperatur, bei der ein ferromagnetisches Material seine ferromagnetischen Eigenschaften verliert.
• Bei \( T = 350 \ \text{K} \) beträgt die magnetische Suszeptibilität \( \chi = 0.05 \).

d)

4. Vergleich und Anwendungen: Vergleiche die Stärken der magnetischen Suszeptibilitäten von Dia-, Para- und Ferromagnetismus. In welchen praktischen Anwendungen treten diese magnetischen Eigenschaften typischerweise auf? Gebe für jede Art von Magnetismus ein Beispiel eines realen Materials und erkläre deren Anwendung.

Lösung:

4. Vergleich und Anwendungen:Die magnetische Suszeptibilität \( \chi \) charakterisiert, wie stark ein Material auf ein externes Magnetfeld reagiert. Die Stärken der magnetischen Suszeptibilitäten unterscheiden sich erheblich zwischen Diamagnetismus, Paramagnetismus und Ferromagnetismus.

• Diamagnetismus:Die magnetische Suszeptibilität ist negativ und klein (\( \chi < 0 \)). Typischerweise liegt sie im Bereich von \( -10^{-5} \) bis \( -10^{-6} \).Beispiel: Bismut (Bi).Anwendung: Diamagnetische Materialien werden in Anwendungen genutzt, bei denen eine schwache Abstoßung erforderlich ist, wie in levitierenden Zügen (Maglev), wo diamagnetische Materialien dazu verwendet werden, den Zug über den Gleisen schweben zu lassen.
• Paramagnetismus:Die magnetische Suszeptibilität ist positiv und klein (\( \chi > 0 \)). Sie ist proportional zum Kehrwert der Temperatur und liegt meist im Bereich von \( 10^{-4} \) bis \( 10^{-6} \).Beispiel: Aluminium (Al).Anwendung: Paramagnetische Materialien finden Anwendung in Magnetresonanztomographen (MRT), wobei sie aufgrund ihrer schwachen, aber positiven Reaktion auf magnetische Felder zur Erzeugung der Bildkontraste beitragen.
• Ferromagnetismus:Die magnetische Suszeptibilität ist sehr groß und kann stark variieren (\( \chi \gg 0 \)). Sie folgt dem Curie-Weiss-Gesetz und zeigt eine deutliche Abhängigkeit von der Temperatur mit einer hohen Suszeptibilität unterhalb der Curie-Temperatur.Beispiel: Eisen (Fe).Anwendung: Ferromagnetische Materialien werden in vielen Anwendungen verwendet, die starke magnetische Eigenschaften erfordern, wie in Elektromotoren, Transformatoren und magnetischen Speichergeräten (z. B. Festplatten, Magnetbänder).

Zusammenfassung der Anwendungen:

• Diamagnetismus: Levitationstechnologien (z.B. Maglev-Züge) - Beispielmaterial: Bismut (Bi).
• Paramagnetismus: Magnetresonanztomographie (MRT) - Beispielmaterial: Aluminium (Al).
• Ferromagnetismus: Elektromotoren, Transformatoren, Magnetische Speicher - Beispielmaterial: Eisen (Fe).