Experimental Physics 3 (Optics and Quantum Physics) - Exam.pdf

Aufgabe 1)

In einem Experiment wird ein Lichtstrahl auf eine Grenzfläche zwischen zwei Medien unterschiedlicher Brechungsindexe gelenkt. Das erste Medium hat einen Brechungsindex von n_1 = 1,5, und das zweite Medium hat einen Brechungsindex von n_2 = 1,2. Der Einfallswinkel des Lichtstrahls beträgt 30 Grad.

b)

Aufgabe 2: Der Lichtstrahl hat eine Amplitude von 1 in Medium 1. Bestimme die Amplitude des reflektierten Lichtstrahls. Berücksichtige dabei die Fresnel-Gleichungen für die Reflexionskoeffizienten bei senkrechtem Einfall:

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• Lösung:

  Um die Amplitude des reflektierten Lichtstrahls zu berechnen, verwenden wir die Fresnel-Gleichungen für die Reflexionskoeffizienten bei senkrechtem Einfall. Die Reflexionskoeffizienten beschreiben das Verhältnis der Amplituden des reflektierten und einfallenden Lichtstrahls.

  Bei senkrechtem Einfall lautet die Fresnel-Gleichung für den Reflexionskoeffizienten:

  • \(R = \left(\frac{n_{1} - n_{2}}{n_{1} + n_{2}}\right)^2\)

  Hierbei ist:

  • \(n_{1} = 1,5\) (Brechungsindex des ersten Mediums)
  • \(n_{2} = 1,2\) (Brechungsindex des zweiten Mediums)
  • \(A_{i} = 1\) (Amplitude des einfallenden Lichtstrahls)
  • Schrittweise Berechnung:
  • Schritt 1: Einsetzen der Werte in die Fresnel-Gleichung

    \(R = \left( \frac{1,5 - 1,2}{1,5 + 1,2} \right)^2\)

  • Schritt 2: Berechnung des Reflexionskoeffizienten

    \(R = \left( \frac{0,3}{2,7} \right)^2\)

    \(R = \left( \frac{1}{9} \right)^2\)

    \(R = \frac{1}{81} \)

  • Schritt 3: Berechnung der Amplitude des reflektierten Lichtstrahls

  Da der Reflexionskoeffizient \(R\) das Verhältnis der Amplituden beschreibt, ist die Amplitude des reflektierten Lichtstrahls \(A_{r}\:

  \(A_{r} = A_{i} \sqrt{R}\)

  \(A_{r} = 1 \sqrt{\frac{1}{81}}\)

  \(A_{r} = \frac{1}{9} = 0,111\)

  Ergebnis: Die Amplitude des reflektierten Lichtstrahls beträgt ungefähr 0,111.

  c)

  Aufgabe 3: Stelle die Beziehungen für die Interferenz von zwei Lichtstrahlen her, die auf die Grenzfläche fallen, und erkläre, wie die Interferenz das Muster der Reflexion und Transmission beeinflussen würde.

  Lösung:

  Um die Interferenz von zwei Lichtstrahlen, die auf eine Grenzfläche fallen, zu analysieren, müssen wir die grundlegenden Prinzipien der Interferenz verstehen. Interferenz tritt auf, wenn zwei oder mehr Lichtwellen sich überlagern und miteinander interagieren. Dies kann zu konstruktiver oder destruktiver Interferenz führen.

  Die Beziehungen für die Interferenz von Lichtstrahlen umfassen die Darstellung der Phasenverschiebung und der daraus resultierenden Amplitudenänderungen.

  Grundlagen der Interferenz:

  • Konstruktive Interferenz: Tritt auf, wenn die Wellenphasen übereinstimmen (in Phase sind), wodurch die Amplituden der Lichtwellen sich verstärken. Die Bedingung für konstruktive Interferenz lautet:
  • \(\text{Δ}\phi = m\lambda\), wobei \(m\) eine ganze Zahl ist.
  • Destruktive Interferenz: Tritt auf, wenn die Wellenphasen entgegengesetzt sind (gegenläufig in Phase sind), wodurch die Amplituden der Lichtwellen sich abschwächen oder auslöschen. Die Bedingung für destruktive Interferenz lautet:
  • \(\text{Δ}\phi = (m + \frac{1}{2})\lambda\), wobei \(m\) eine ganze Zahl ist.

  Hierbei ist:

  • \(\text{Δ}\phi\) die Phasenverschiebung
  • \(\lambda\) die Wellenlänge des Lichts

  Phasenverschiebung an einer Grenzfläche:

  • Die Gesamtphasenverschiebung einer Lichtwelle, die auf eine Grenzfläche trifft, hängt von den Brechungsindices der beiden Medien und der geometrischen Konfiguration ab. Bei senkrechter Einfall kann die Phasenverschiebung durch die Differenz der Brechungsindices und den Abstand \(d\) zwischen den Grenzflächen beschrieben werden:

  \(\text{Δ}\phi = 2\pi \left( \frac{d}{\lambda} \right) (n_2 - n_1)\)

  wo \(d\) der Abstand zwischen den Grenzflächen ist.

  Einfluss der Interferenz auf Reflexions- und Transmissionsmuster:

  • Reflexionsmuster: Bei konstruktiver Interferenz verstärken sich die reflektierten Strahlen, was zu helleren Mustern führt. Bei destruktiver Interferenz schwächen sich die reflektierten Strahlen ab, was zu dunkleren Mustern führt.
  • Transmissionsmuster: Bei konstruktiver Interferenz wird mehr Licht durchgelassen, was zu intensiveren Transmissionsmustern führt. Bei destruktiver Interferenz wird weniger Licht durchgelassen, was zu schwächeren Transmissionsmustern führt.

  Konkret beeinflusst die Interferenz das Muster der Reflexion und Transmission wie folgt:

  • Die Überlagerung von reflektierten und transmittierten Wellen führt zu unterschiedlichen Interferenzmustern, je nach der Phasenbeziehung der Wellen.
  • Diese Muster können als helle und dunkle Streifen oder Bereiche sichtbar sein, abhängig von der konstruktiven oder destruktiven Interferenz.

  Zusammengefasst: Die Interferenz von zwei Lichtstrahlen, die auf eine Grenzfläche fallen, führt zu variablen Reflexions- und Transmissionsmustern, die durch die Phasenbeziehungen der interferierenden Wellen bestimmt werden. Konstruktive Interferenz verstärkt die Lichtintensität, während destruktive Interferenz die Intensität verringert.

  Aufgabe 2)

  Quantisierung von Energie und Materie: Die Quantisierung zeigt, dass Energie und Materie nicht kontinuierlich, sondern in diskreten Werten oder Quanten vorkommen. Ein Photon hat eine Energie, die gegeben ist durch \( E = h u \). Elektronen in Atomen befinden sich nur auf diskreten Energieniveaus. Das Plancksche Wirkungsquantum ist etwa \( h \approx 6,626 \times 10^{-34} \text{ Js} \). Die De-Broglie-Wellenlänge beschreibt die Wellenlänge eines Teilchens und ist gegeben durch \( \lambda = \frac{h}{p} \). Die Heisenbergsche Unschärferelation stellt eine fundamentale Grenze für die Genauigkeit der gleichzeitigen Messung von Ort und Impuls dar und lautet \( \Delta x \Delta p \geq \frac{h}{4 \pi}\).

  a)

  Ein Photon hat eine Frequenz von \(5 \times 10^{14} \text{ Hz} \). Berechne die Energie des Photons. Nutze das Plancksche Wirkungsquantum \( h = 6,626 \times 10^{-34} \text{ Js} \).

  Lösung:

  Quantisierung von Energie und Materie: Die Quantisierung zeigt, dass Energie und Materie nicht kontinuierlich, sondern in diskreten Werten oder Quanten vorkommen. Ein Photon hat eine Energie, die gegeben ist durch:\( E = h u \). Elektronen in Atomen befinden sich nur auf diskreten Energieniveaus. Das Plancksche Wirkungsquantum ist etwa \( h \approx 6,626 \times 10^{-34} \text{ Js} \). Die De-Broglie-Wellenlänge beschreibt die Wellenlänge eines Teilchens und ist gegeben durch \( \lambda = \frac{h}{p} \). Die Heisenbergsche Unschärferelation stellt eine fundamentale Grenze für die Genauigkeit der gleichzeitigen Messung von Ort und Impuls dar und lautet \( \Delta x \Delta p \geq \frac{h}{4 \pi} \). Subaufgabe:Ein Photon hat eine Frequenz von \(5 \times 10^{14} \text{ Hz} \). Berechne die Energie des Photons. Nutze das Plancksche Wirkungsquantum \( h = 6,626 \times 10^{-34} \text{ Js} \).

  • Gegebene Werte:
    • Frequenz des Photons: \(u = 5 \times 10^{14} \text{ Hz} \)
    • Plancksches Wirkungsquantum: \( h = 6,626 \times 10^{-34} \text{ Js} \)
  • Gesuchte Größe: Energie des Photons \(E\)
  Berechnungsansatz: Die Energie eines Photons ist gegeben durch die Formel: \( E = h u \)
  • Schritt 1: Setze die gegebenen Werte in die Formel ein: \( E = (6,626 \times 10^{-34} \text{ Js}) \times (5 \times 10^{14} \text{ Hz}) \)
  • Schritt-für-Schritt-Berechnung:
    • Zuerst multiplizieren wir die beiden Werte:
      • \(6,626 \times 10^{-34}\text{ Js} \times 5 \times 10^{14}\text{ Hz})\
      • Multipliziere die Zahlen: \( 6,626 \times 5 = 33,13 \)
      • Verwende die Eigenschaften von Potenzen: \( 10^{-34} \times 10^{14} = 10^{-34 + 14} = 10^{-20} \)
  • Das ergibt: \( E = 33,13 \times 10^{-20} \text{ J} \)
  • Schritt 2: Formatiere die Antwort in wissenschaftlicher Notation:Das Endergebnis ist \( E = 3,313 \times 10^{-19} \text{ J} \)
  Endergebnis: Die Energie des Photons beträgt \( E = 3,313 \times 10^{-19} \text{ J} \).

  b)

  Ein Elektron bewegt sich in einem Wasserstoffatom im Grundzustand. Angenommen, der Impuls des Elektrons beträgt \( 1,65 \times 10^{-24} \text{ kg m/s} \). Berechne die De-Broglie-Wellenlänge dieses Elektrons.

  Lösung:

  Quantisierung von Energie und Materie: Die Quantisierung zeigt, dass Energie und Materie nicht kontinuierlich, sondern in diskreten Werten oder Quanten vorkommen. Ein Photon hat eine Energie, die gegeben ist durch:\( E = h u \). Elektronen in Atomen befinden sich nur auf diskreten Energieniveaus. Das Plancksche Wirkungsquantum ist etwa \( h \approx 6,626 \times 10^{-34} \text{ Js} \). Die De-Broglie-Wellenlänge beschreibt die Wellenlänge eines Teilchens und ist gegeben durch \( \lambda = \frac{h}{p} \). Die Heisenbergsche Unschärferelation stellt eine fundamentale Grenze für die Genauigkeit der gleichzeitigen Messung von Ort und Impuls dar und lautet \( \Delta x \Delta p \geq \frac{h}{4 \pi} \).Subaufgabe: Ein Elektron bewegt sich in einem Wasserstoffatom im Grundzustand. Angenommen, der Impuls des Elektrons beträgt \( 1,65 \times 10^{-24} \text{ kg m/s} \). Berechne die De-Broglie-Wellenlänge dieses Elektrons.

  • Gegebene Werte:
    • Impuls des Elektrons: \( p = 1,65 \times 10^{-24} \text{ kg m/s} \)
    • Plancksches Wirkungsquantum: \( h = 6,626 \times 10^{-34} \text{ Js} \)
  • Gesuchte Größe: De-Broglie-Wellenlänge des Elektrons \( \lambda \)
  Berechnungsansatz: Die De-Broglie-Wellenlänge eines Teilchens ist gegeben durch die Formel: \( \lambda = \frac{h}{p} \)
  • Schritt 1: Setze die gegebenen Werte in die Formel ein: \( \lambda = \frac{6,626 \times 10^{-34} \text{ Js}}{1,65 \times 10^{-24} \text{ kg m/s}} \)
  • Schritt-für-Schritt-Berechnung:
    • Zuerst führen wir die Division der beiden Werte durch:
      • \( \lambda = \frac{6,626 \times 10^{-34}}{1,65 \times 10^{-24}} \)
      • Teile die Zahlen: \( \frac{6,626}{1,65} = 4,015 \)
      • Verwende die Eigenschaften von Potenzen: \( 10^{-34} - (-24) = 10^{-34 + 24} = 10^{-10} \)
  • Das ergibt: \( \lambda = 4,015 \times 10^{-10} \text{ m} \)
  Endergebnis: Die De-Broglie-Wellenlänge des Elektrons beträgt \( \lambda = 4,015 \times 10^{-10} \text{ m} \).

  Aufgabe 4)

  Ein monochromatischer Lichtstrahl der Wellenlänge \( \lambda = 600 \text{nm} \) trifft auf einen Einzelspalt mit einer Breite von \( \ a = 0.1 \text{mm} \). Das Licht wird auf einen Schirm in einer Entfernung von \( \text{D} = 1 \text{m} \) projiziert. Beantworte die folgenden Fragen basierend auf diesem Szenario.

  a)

  Berechne die Winkelpositionen und die Abstände der ersten drei Minima vom zentralen Maximum auf dem Schirm. Gehe davon aus, dass \( \sin \theta \approx \theta \) für kleine Winkel und dass \( k\) eine ganze Zahl ist.

  Lösung:

  Berechne die Winkelpositionen und die Abstände der ersten drei Minima vom zentralen Maximum auf dem Schirm.

  Um die Winkelpositionen der Minima zu berechnen, verwenden wir die Bedingung für die Minima bei der Einzelspaltbeugung:

  • Bedingung für Minima: \[ a \, \sin \theta = k \, \lambda \]

  Hierbei ist:

  • \( \lambda = 600 \text{nm} = 600 \times 10^{-9} \text{m} \)
  • \( a = 0.1 \text{mm} = 0.1 \times 10^{-3} \text{m} \)
  • \( D = 1 \text{m} \)
  • \( k \) = Position der Minima (\( k = 1, 2, 3 \))

  Da \( \sin \theta \approx \theta \) für kleine Winkel, können wir die Formel vereinfachen zu:

  • \[ a \, \theta = k \, \lambda \]
  • \[ \theta = \frac{k \, \lambda}{a} \]

  Setzen wir die Werte ein:

  • Erstes Minimum (\( k = 1 \)):
    • \[ \theta_1 = \frac{1 \times 600 \times 10^{-9}}{0.1 \times 10^{-3}} = 6 \times 10^{-3} \text{rad} \]
    • Die Winkelposition ist \(6 \times 10^{-3} \text{rad}\).
  • Zweites Minimum (\( k = 2 \)):
    • \[ \theta_2 = \frac{2 \times 600 \times 10^{-9}}{0.1 \times 10^{-3}} = 12 \times 10^{-3} \text{rad} \]
    • Die Winkelposition ist \(12 \times 10^{-3} \text{rad}\).
  • Drittes Minimum (\( k = 3 \)):
    • \[ \theta_3 = \frac{3 \times 600 \times 10^{-9}}{0.1 \times 10^{-3}} = 18 \times 10^{-3} \text{rad} \]
    • Die Winkelposition ist \(18 \times 10^{-3} \text{rad}\).

  Für die Abstände der Minima vom zentralen Maximum auf dem Schirm verwenden wir die Beziehung:

  • Beziehung zwischen Abstand und Winkel:\[ y = D \tan \theta \]

  Da \( \tan \theta \approx \theta \) für kleine Winkel:

  • Erstes Minimum (\( k = 1 \)):
    • \[ y_1 = D \times \theta_1 = 1 \times 6 \times 10^{-3} = 6 \times 10^{-3} \text{m} = 6 \text{mm} \]
    • Der Abstand ist \(6 \text{mm}\).
  • Zweites Minimum (\( k = 2 \)):
    • \[ y_2 = D \times \theta_2 = 1 \times 12 \times 10^{-3} = 12 \times 10^{-3} \text{m} = 12 \text{mm} \]
    • Der Abstand ist \(12 \text{mm}\).
  • Drittes Minimum (\( k = 3 \)):
    • \[ y_3 = D \times \theta_3 = 1 \times 18 \times 10^{-3} = 18 \times 10^{-3} \text{m} = 18 \text{mm} \]
    • Der Abstand ist \(18 \text{mm}\).

  b)

  Bestimme die Intensitätsverteilung \( I(\theta)\) als Funktion des Winkels für die gegebenen Parameter. Berechne die Intensität \( I(\theta)\) bei den Winkeln, die den ersten beiden Minima entsprechen.

  Lösung:

  Bestimme die Intensitätsverteilung \( I(\theta) \) als Funktion des Winkels für die gegebenen Parameter.

  Die Intensitätsverteilung für die Beugung an einem Einzelspalt kann beschrieben werden durch die Formel:

  • Formel für die Intensitätsverteilung:\[ I(\theta) = I_0 \left( \frac{\sin(\beta)}{\beta} \right)^2 \]

  Hierbei ist:

  • \( I_0 \) die maximale Intensität in der Mitte des Verteilungsmusters
  • \( \beta = \frac{\pi a \sin(\theta)}{\lambda} \)

  Berechne die Intensität \( I(\theta) \) bei den Winkeln, die den ersten beiden Minima entsprechen.

  • Erstes Minimum:
    • Die Bedingung für Minima ist \( a \sin(\theta) = k \lambda \)
    • Für das erste Minimum (\( k = 1 \)):\( a \sin(\theta_1) = 1 \times 600 \times 10^{-9} \text{m} \)\( \sin(\theta_1) = \frac{600 \times 10^{-9}}{0.1 \times 10^{-3}} = 6 \times 10^{-3} \)\( \theta_1 \approx 6 \times 10^{-3} \text{rad} \)
    • Der Ausdruck für \( \beta \):\( \beta_1 = \frac{\pi a \sin(\theta_1)}{\lambda} = \frac{\pi \times 0.1 \times 10^{-3} \times 6 \times 10^{-3}}{600 \times 10^{-9}} = \pi \)
    • Die Intensität bei \( \theta = \theta_1 \) ist:\[ I(\theta_1) = I_0 \left( \frac{\sin(\pi)}{\pi} \right)^2 = I_0 \left( \frac{0}{\pi} \right)^2 = 0 \]
  • Zweites Minimum:
    • Für das zweite Minimum (\( k = 2 \)):\( a \sin(\theta_2) = 2 \times 600 \times 10^{-9} \text{m} \)\( \sin(\theta_2) = \frac{2 \times 600 \times 10^{-9}}{0.1 \times 10^{-3}} = 12 \times 10^{-3} \)\( \theta_2 \approx 12 \times 10^{-3} \text{rad} \)
    • Der Ausdruck für \( \beta \):\( \beta_2 = \frac{\pi a \sin(\theta_2)}{\lambda} = \frac{\pi \times 0.1 \times 10^{-3} \times 12 \times 10^{-3}}{600 \times 10^{-9}} = 2\pi \)
    • Die Intensität bei \( \theta = \theta_2 \) ist:\[ I(\theta_2) = I_0 \left( \frac{\sin(2\pi)}{2\pi} \right)^2 = I_0 \left( \frac{0}{2\pi} \right)^2 = 0 \]